DIFFERENSIAL

Disusun oleh:

kelompok 11

1. Rika Farhani (09320011)

2. Noor Syahrida (09320019)

3. Yessi Priska Marina (09320033)

Kelas : 3A

1

TURUNAN

A. Definisi Turunan

Turunan fungsi f adalah fingsi lain f’ (dibaca f aksen) yang nilainya pada

sebarang nilai c adalah :

Jika limit ini memang ada, maka dikatakan bahwa f terdiferensialkan di c.

Pencarian turunan disebut pendiferensialkan.

Contoh1:Untuk y = 2x maka

Contoh 2 : Andaikan , carilah f’(2)

Jawab :

Maka :

B. Sifat-sifat Turunan

Dengan menggunakan definisi turunan dapat diturunkan sejumlah sifat

tentang turunan, yaitu :

1. jika dengan c dan n konstanta real, maka

contoh :

1

2. jika dengan c R maka

contoh :

3. jika maka

4. jika maka

contoh :

5. jika maka

contoh :

6. jika maka

contoh :

7. jika maka

contoh :

2

8. jika maka

contoh :

9. jika maka

contoh :

Catatan :

untuk dapat diperoleh dengan mengganti x menjadi a pada

10. y = sin n f(x) → y’ = n sin n−1 f(x). cos f(x) . f’(x)

11. y = cos n f(x) → y’ = - n cos n−1 f(x). sin f(x) . f’(x)

C. Turunan Ke-n dari suatu fungsi

3

Turunan ke-n suatu fungsi diperoleh dengan menurunkan fungsi sebanyak n kali.

Notasi-notasi untuk turunan pertama, turunan kedua, turunan ketiga, sampai

turunan ke-n dari fungsi disajikan dalam daftar Tabel berikut.

Notasi yang digunakan

Turunan pertama

atau atau atau

Turunan kedua

atau ) atau atau

........................ ..... ..... ..... ..... ..... ..... .....

Turunan ke-n

atau ) atau atau

Contoh:

D. Turunan fungsi Trigonometri

Misalkan diketahui fungsi sinus: . Turunan fungsi sinus:

ditentukan sebagai berikut.

4

=

=

=

= sinx - cos x

= cos x

Untuk fungsi-fungsi trigonometri yang lain juga dapat dicari dengan cara

seperti diatas, sehingga diperoleh :

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Contoh-sontoh soal dan pembahasan :

1.Apabila f(x) = maka f’ adalah

5

Bahasan : jika f(x) = maka =

=

2. jika y= sin 3 x ,maka

Bahasan :

6

E. Menentukan gradien garis singgung kurva

persamaan garis singgungya adalah y –b = m (x –a) dimana m = f’(x)

apabila terdapat dua persamaan garis y= m1 x + c1 dan y= m 2 x + c 2 dikatakan

- sejajar apabila m1 = m 2

- tegak lurus apabila m1 . m 2 = -1

Misal garis menyinggung kurva dititik

maka gradien adalah:

Contoh:

Tentukan gradien garis singgung kurva di titik

Jawab:

Gradien garis singgung kurva di titik adalah :

G. Menentukan interval fungsi naik dan turun

Kurva naik untuk dan turun untuk Interval

yang memenuhi dan dapat ditentukan dengan

menggambarkan garis bilangan dari

Contoh:

Tentukan interval fungsi naik dan turun dari

Jawab:

7

=

Dapat diketahui bahwa untuk atau dan untuk

jadi fungsi naik untuk atau dan fungsi turun untuk

H. Menentukan nilai maksimum dan nilai minimum fungsi

Nilai maksimum dan minimum suatu fungsi sering disebut dengan nilai

ekstrim atau nilai stasioner fungsi tersebut. Nilai ekstrim dari fungsi

diperoleh pada Misalkan adalah nilai yang memenuhi

maka adalah titik ekstrim dan adalah nilai ekstrim. Nilai ekstrim

ini akan merupakan nilai maksimum jika dan dan

merupakan nilai minimim jika dan

Contoh:

Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi

Jawab:

untuk dan

maksimum untuk nilai

maksimum =80

minimum untuk nilai minimum =-28

Menentukan titik stasioner

diketahui y = f (x).

Bila f’(a) = 0 maka (a, f(a) ) adalah titik stasioner

- (a, f(a) ) titik minimum jika f ’’ (a) > 0

- (a, f(a) ) titik maksimum jika f ’’ (a) < 0

I. Titik Kritis

Definisi titik kritis

8

Titik kritis adalah titik interior dalam f dimana f ‘ 0 atau tidak ada.

• f(x) = 4x – 3x2 + 1 ; x [2,1] , tentukan nilai ekstrim fungsi f !

a. titik –titik ujung adalah x = 2 dan x = 1

X = 2f(2) = 4(2) – 3(2)² +1 = 8 – 12 + 1= -3

x = 1f(1) = 4(1) – 3(1)² +1 = 4 – 3 + 1 = 2

b. Titik kritis

f(x) = 4x – 3x² - 1

f’(x) = 4 – 6x

f’ (x) = 0

4 – 6x = 0

4 = 6x

4/6 = x, maka tidak mencapai titik kritis

Nilai minimum = { -3, 2},

nilai maksimum = {-3, 2 } = 2

J. Titik Belok fungsi

1. Definisi titik belok fungsi

Jika pada titik (a, f(a)) terjadi perubahan kecekungan grafik fungsi y=f(x)

(dari cekung ke bawah menjadi cekung ke atas atau sebaliknya) maka titik

(a,f(a)) dinamakan titik belok fungsi y= f(x). Untuk memeriksa kondisi bagi

titik belok fungsi, simaklah fungsi berikut ini.

fungsi - 1. turunan pertama dan kedua dari fungsi

-1 berturut-turut adalah:

dan

Tanda-tanda di sekitar x=0

diperlihatkan pada gambar. Berdasarkan tanda-

tanda itu, dapat dibaca sebagai berikut.

a. < 0 untuk x < 0 fungsi cekung

ke bawah

b. = 0 untuk x = 0 fungsi

mempunyai titik belok di (0,-1)

9

c. >0 untuk x > 0 fungsi cekung

ke atas.

Jadi grafik fungsi -1 mengalami perubahan

kecekungan dari cekung ke bawah menjadi cekung ke atas dan perubahan

kecekungan ini terjadi di titik (0,-1). Titik (0,-1) disebut titik belok bagi

fungsi -1.

Selain itu, berdasarkan pengamatan pada nilai turunan kedua syarat

perlu atau kondisi perlu bagi sebuah titik belok fungsi dan diungkapkan

melalui teorema beriku

2. Teorema :syarat perlu bagi titik belok

Jika f(x) diferensiabel dua kali pada x=a atau f’’(a) ada dan (a,f(a)) adalah

titik belok grafik fungsi y= f(x) maka f’’(a) = 0

K. Titik Balik

Andaikan f kontinu di c. Kita sebut (c, f(c)) suatu titik balik dari grafik f jika f

cekung ke atas pada satu sisi dan cekung ke bawah pada sisi lainnya dari c. Grafik

berikut menunjukkan sejumlah kemungkinan.

10

L. Menggambar grafik fungsi

Langkah-langkah untuk memggambar grafik fungsi:

Langkah I

1. tentukan koordinat-koordinat titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat,

jika koordinat-koordinat itu mudah ditentukan.

Titik potong dengan sumbu X diperoleh dari syarat y = 0

Titik potong dengan sumbu Y diperoleh dari syarat x = 0

2. tentukan turunan pertama dan turunan kedua dari fungsi , yaitu

dan . Dari turunan pertama , dapat ditentukan:

interval-interval dimana naik dan turun

titik ekstrim fungsi serta jenis-jenisnya.

Dari turunan kedua dapat ditentukan:

Interval-interval dimana cekung ke atas dan cekung ke

bawah,

Titik belok fungsi .

3. jika fungsi didefinisikan dalam interval tertutup, tentukan nilai fungsi

pada ujung-ujung interval.

4. jika diperlukan, tentuakan beberapa titik tertentu.

Langkah II

Titik-titik yang diperoleh pada langkah I digambarkan pada bidang cartesius.

Langkah III

Selanjutnya titik-titik yang telah disajikan dalam bidang Cartesius pada

langkah II dihubungkan dengan mempertimbangkan naik atau turunnya fungsi

dan kecekunga fungsi pada interval-interval yang telah ditentukan.

Contoh

Gambarlah grafik dari persamaan

11

Langkah I

1 koordianat-koordinat titik potong kurva dengan sumbu-sumbu koordinat

titik potong dengan sumbu X diperoleh dengan syarat y = 0

Nilai-nilai yang memenuhi persamaan tersebut adalah akar-akar dari

persamaan sukubanyak tersebut. Akan tetapi akar-akar dari persamaan suku

banyak itu sulit untuk ditentukan, sehingga koordinat titik potong dengan sumbu

X tidak perlu ditetapkan.

Titik potong dengan sumbu diperoleh dari syarat .

Titik potong dengan sumbu adalah (0,4)

2. Turunan pertama dan kedua dari fungsi berturut-

turut adalah dan .

a. Dari dapat ditentukan:

naik diperoleh dari

atau

turun diperoleh dari

atau

Fungsi naik dalam interval atau dan

turun dalam interval .

Nilai-nilai stasioner diperoleh dari

12

atau

Untuk , diperoleh .

merupakan nilai balik maksimum , sebab berubah

tanda dari positif menjadi negatif ketika melewati ,

Untuk x = 3, diperoleh f(3) = (3)3 – 2(3)2 + 3(3) + 4.

f(3) = 4 merupakan nilai balik minimum f(x), sebab f’(x) berubah tanda

dari negatif menjadi positif ketika melewati x = 3 ,

fungsi mempunyai koordinat titik balik

maksimum (1, 5⅓) dan koordinat titk balik minimum (3, 4).

b. dari f” (x) = 2x – 4 dapat ditentukan.

f(x) cekung ke atas diperoleh dari f ” (x) > 0

2x – 4 > 0 ↔ x > 2

f(x) cekung kebawa diperoleh dari f” (x) < 0

2x – 4 < 0 ↔ x< 2

Fungsi cekung keatas dalam interval x >

2 dan cekung kedalam dalam interval x< 2

syarat perlu bagi titik belok diperoleh dari f” (x) = 0

2x – 4 < 0 ↔ x= 2

Untuk x = 2, diperoleh f(2) = (2)3 – 2(2)2 + 3(2) + 4 = 4

Titik (2, 4 ) merupakan titoik belok fungsi f(x), sebab fungsi f(x)

mengalami perubahan kecekungan dari cekung kebawah (f”(x) <

0)menjadi cekung ke atas (f”(x) > 0) ketika melewati x=2.

Langkah II

Titik-titik yang diperoleh dri langkah 1 digambarkan pada bidang

Cartesius

13

Langkah III

Selanjutnya titik-titil yang telah digambarkan pada bidang cartesius

tersebut dihubungkan sehingga diperoleh grafik fungsi

.

M. SOAL

1. Carilah turunan dari

2. Carilah turunan kedua dari

3. Carilah turunan dari y =

4. Carilah nilai balik maksimum dan nilai balik minimum pada fungsi

f(x)=x⁴ - 2x²

5. Tentukan koordinat-koordinat titik belok fungsi f(x)= x⁴ -8x³

+18x²+12x-25 dalam daerah asal Df = {x/XєR}

14

DAFTAR PUSTAKA

Wirodikromo, Sartono. 2002. MATEMATIKA untuk SMA Kelas XII , Penerbit

Erlangga, Jakarta.

Edwin j.purcell, dale varberg. 1984. Kalkulus dan geometri analitis , Penerbit

Erlangga, Jakarta

Stewart, James. 2001. KALKULUS edisi keempat ,Penerbit Erlangga, Jakarta.

Simangunsong, wilson. 1997. matematika dasar , Penerbit Erlangga, Jakarta.

Anonym .2009. Turunan (Differensial) ,(online), www.BELAJAR-

MATEMATIKA.com .

Anonym .2007. Math11.Differensial Fungsi sederhana ,(online),

www.matematika.com .

15