6

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Optimalisasi

Optimalisasi adalah serangkaian proses untuk mendapatkan gugus kondisi

yang diperlukan untuk mendapatkan hasil terbaik dalam situasi tertentu.

Berdasarkan pendekatan normatif dapat diketahui bahwa optimasi mengindikasi

penyelesaian terbaik suatu masalah yang disarankan pada tujuan maksimasi atau

minimasi melalui fungsi tujuan (Nasendi dan Anwar, 2005).

Optimalisasi merupakan persoalan menentukan nilai variabel-variabel

suatu fungsi menjadi maksimum atau minimum dengan memperhatikan

keterbatasan-keterbatasan yang ada. Keterbatasanbiasanya meliputi semua faktor

produksi yang digunakan dalam proses produksi seperti tenaga kerja, uang dan

material yang merupakan input dari suatu waktu dan uang.

2.2 Produksi

Produksi adalah suatu proses pengubahan bahan baku menjadi produk jadi.

Produk yang dihasilkan bisa berupa barang yaitu benda yang berwujud atau

benda yang tidak berwujud sehingga produk yang dihasilkan dapat diterima dan

dinikmati oleh konsumen.

Produksi merupakan penciptaan atau penambahan faedah bentuk, waktu

dan tempat atas faktor-faktor produksi sehingga lebih bermanfaat bagi

pemenuhan kebutuhan manusia. Proses transformasi atau perubahan bentuk,

faktor-faktor produksi tersebut disebut proses produksi.

7

Produksi adalah pengubahan bahan-bahan dari sumber-sumber menjadi

hasil yang diinginkan oleh konsumen, hasil itu dapat berupa barang ataupun jasa.

Dengan demikian produksi merupakan konsep yang lebih luas dari pada

manufaktur (pengolahan), karena pengolahan hanyalah sebagai ”bentuk khusus”

dari produksi. Jadi dengan demikian pedagang besar, pengecer, dan lembaga-

lembaga yang meyediakan jasa juga berkepentingan dengan produksi (Daryanto,

2012: 41).

Istilah “produksi” sering berkaitan dengan istilah “produktivitas” namun

bukan berarti produktivitas merupakan fasilitas yang aktif. Produktivitas adalah

sebuah konsep yang menggambarkan hubungan antara hasil (jumlah barang atau

jasa yang diproduksi) dengan sumber (jumlah tenaga kerja, modal, tanah, energi,

dan sebagainya) untuk meghasilkan hasil tersebut.

2.3 Program Linier

Program linear merupakan teknik aplikasi dari matematika yang disusun

oleh George B. Dantzig di tahun 1947 pada saat memimpin Air Force Statistical

control’s Combat Analysis Branch di Pentagon. Pada saat Dantzig menganalisis

masalah perencanaan air force, dia menyadari dapat merumuskan sistem

ketidaksamaan linear, hal diatas merupakan awal pemberian nama untuk teknik

“program dalam struktur linear”, yang belakangan disederhanakan menjadi

program linear.

Menurut Sri Mulyono (2004) Program linear (Linear Programming yang

disingkat LP) merupakan salah satu teknik Operating Research yang digunakan

paling luas dan diketahui dengan baik. Program Linear merupakan metode

8

matematika dalam mengalokasikan sumber daya yang langka untuk mencapai

tujuan.

Definisi sederhana program linear adalah suatu teknik aplikasi matematika

dalam menentukan pemecahan masalah yang bertujuan untuk memaksimumkan

atau meminimumkan sesuatu yang dibatasi olehbatasan-batasan tertentu, dimana

hal ini dikenal juga sebagai teknik optmalisasi (Sukanto Reksohadiprodjo dan

Indriyo Gitosudarmo, 2009).

Berdasarkan definisi tersebut diatas, maka dalam program linear akan

melibatkan model yang mendeskripsikan tujuan dan model yang yang

mendeskripsikan batasan-batasannya. Adapun model yang dimaksud adalah

suatu fungsi yang berderajat satu, yaitu fungsi linear.

Terdapat karakteristik-karakteristik yang biasa digunakan dalam persoalan

program linear, yaitu (Tjutju Tarliah Dimyati dan Ahmad Dimyati, 1992:18-20):

1. Variabel keputusan

Variabel keputusan adalah variabel yang menguraikan secara lengkap

keputusan-keputusan yang akan dibuat.

2. Fungsi tujuan

Fungsi tujuan merupakan fungsi dari variabel keputusan yang akan

dimaksimumkan (untuk pendapatan atau keuntungan)atau

diminimumkan (untuk ongkos).

3. Pembatas atau fungsi kendala

Pembatas merupakan kendala yang dihadapi sehingga kita tidak bisa

menentukan harga-harga variabel keputusan secara sembarang.

9

4. Pembatas tanda

Pembatas tanda adalah pembatas yang menjelaskan apakah variabel

keputusannya diasumsikan hanya berharga nonnegatif atau variabel

keputusan tersebut boleh berharga positif, juga negatif (tidak terbatas

dalam tanda).

Secara umum menurut Sri Mulyono (2004) untuk menyelesaikan

pemrograman linier akan digunakan karasteristik-karasteristik sebagai berikut:

1. Variabel Keputusan (decision variables)

Variabel keputusan adalah variabel persoalan yang akan

mempengaruhi nilai tujuan yang akan dicapai. Maka dalam proses

pemodelan, penemuan variabel keputusan tersebut harus dilakukan

terlebih dahulu sebelum merumuskan fungsi tujuan dan kendala-

kendalanya.

2. Fungsi Tujuan (objective function)

Menyelesaikan model pemrograman linier, tujuan yang harus dicapai

harus diwujudkan ke dalam sebuah fungsi matematika linier yaitu,

fungsi tersebut dimaksimumkan atau diminimumkan terhadap

kendala-kendala yang ada.

3. Fungsi Kendala (constrains)

Fungsi pembatas atau sering disebut juga sebagai fungsi kendala.

Fungsi ini merupakan bentuk penyajian secara matematis pembatasan-

pembatasan kapasitas yang tersedia yang akan dialokasikan secara

10

optimal keberbagai kegiatan. Fungsi batasan juga merupakan

hubungan linier dari variabel-variabel keputusan, yang menunjukan

keterbatasan sumber daya atau pedoman yang dimiliki.

4. Pembentukan Model Matematika

Model matematika merupakan representasi kuantitatif tujuan dan

sumber daya yang membatasi sebagai fungsi variabel keputusan.

Model matematika permasalahan optimasi terdiri dari dua bagian

model, yaitu fungsi tujuan dan fungsi kendala/sumber daya yang

membatasi.

Data mengenai alokasi sumber daya sebuah proses produksi dapat

disajikan dalam bentuk tabel guna mempermudah dalam pembentukan model

matematikanya, seperti disajikan dalam Tabel 2.1 berikut ini :

Tabel 2.1 Data yang dibutuhkan untuk Model Pemrograman Linier

Meliputi Alokasi Sumber Daya untuk Aktivitas

Sumber Daya

Penggunaan Perunit Variabel

Keputusan Jumlah tiap

Sumber Daya

yang tersedia

Produksi (Aktivitas)

1 2 3 ... N

1 a11 a12 a13 ... a1n b1

2 a21 a22 a23 ... a2n b2

... ... ... ... ... ... ...

M am1 am2 am3 ... Amn Bm

Kontribusi Perunit

Variabel terhadap

Z c1 c2 c3 ... Cn

Sumber data:Jumarin, 2012.

11

Secara umum, model linear programming dapat dinyatakan sebagai

berikut:

1. Fungsi Tujuan

Memakasimumkan atau meminimumkan :

Z =c1x1 + c2x2 + ... + cnxn

2. Memenuhi syarat kendala :

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn(=, ≤, ≥) b1

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn(=, ≤, ≥)b2

…

am1x1 + am2x2 + … + amnxn(=, ≤, ≥)bm

x1, x2, …, xn ≥ 0

Fungsi pembatas bisa berbentuk persamaan (=) atau pertidaksamaan (≤

atau ≥).

Fungsi pembatas disebut juga sebagai konstrain. Konstanta (baik

sebagai koefisien maupun nilai kanan) dalam fungsi pembatas maupun

pada tujuan dikatakan sebagai parameter model.

Simbol x1, x2, ..., xn (xi) menunjukkan variabel keputusan. Jumlah

variabel keputusan (xi) oleh karenanya tergantung dari jumlah kegiatan

atau aktivitas yang dilakukan untuk mencapai tujuan. Simbol

c1,c2,...,cn merupakan kontribusi masing-masing variabel keputusan

terhadap tujuan, disebut juga koefisien fungsi tujuan pada

modelmatematiknya.Simbol a11, ...,a1n,...,amn merupakan penggunaan

per unit variabel keputusan akan sumber daya yang

12

membatasi, atau disebut juga sebagai koefisien fungsi kendala pada

model matematiknya.

Simbol b1,b2,...,bm menunjukkan jumlah masing-masing sumber daya

yang ada. Jumlah fungsi kendala akan tergantung dari banyaknya

sumber daya yang terbatas.Pertidaksamaan terakhir (x1, x2, …, xn≥ 0)

menunjukkan batasan non negatif (Wahyuni, 2008:124-125).

Asumsi dasar yang menjadi ciri khas dari model linear programming

menurut(Tjutju Tarliah Dimyati dan Ahmad Dimyati, 1992:26-27) adalah :

1. Asumsi kesebandingan (proportionality)

a. Konstribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi tujuan adalah

sebanding dengan nilai variabel keputusan.

b. Kontribusi suatu variabel keputusan terhadap ruas kiri dari setiap

pembatas juga sebanding dengan nilai variabel keputusan itu.

2. Asumsi penambahan (additivity)

a. Konstribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi tujuan

bersifat tidak bergantung pada nilai dari variabel keputusan yang

lain.

b. Kontribusi suatu variabel keputusan terhadap ruas kiri dari setiap

pembatas bersifat tidak bergantung pada nilai dari variabel

keputusan yang lain.

3. Asumsi pembagian (divisibility)

Dalam persoalan linear programming, variabel keputusan boleh

diasumsikan berupa bilangan pecahan.

13

4. Asumsi kepastian (certainty/deterministic)

Setiap parameter, yaitu koefesien fungsu tujuan, ruas kanan, dan

koefesien teknologis, diasumsikan dapat diketahui secara pasti.

2.4 Metode Simpleks

2.4.1. Pengertian Metode Simpleks

Metode simpleks pertama kali diperkenalkan oleh George B. Dantzig

pada tahun 1947 dan telah diperbaiki oleh para ahli lain. Metode ini

menyelesaikan masalah program linear melalui perhitungan-ulang (iterasi)

dimana langkah-langkah perhitungan yang sama diulang berkali-kali sampai

solusi optimal dicapai.

Metode Simpleks merupakan suatu algoritma yang digunakan untuk

pemecahan berbagai masalah linier rogramming (LP). Pemecahan masalah

dengan menggunakan metode ini sangat mengguntungkan bagi pengguna karena

tidak hanya fungsi tujuan dan nilai optimum dari variable dapat kita ketahui tapi

kita juga dapat memberikan interpretasi ekonomi dan melakukan analisis

sensitivitas. Metode simplex lebih efisien serta dilengkapi dengan suatu “test

criteria” yang bisa memberitahukan kapan hitungan harus dihentikan dan kapan

harus dilanjutkan sampai diperoleh suatu “optimal solution” (maximum profit,

maximum revenue, minimum cost, etc). Pada umumnya dipergunakan table-

tabel, dari table pertama yang memberikan pemecahan terakhir yang

memberikan pemecahan dasar permulaan yang fisibel (initial basic feasible

solution) sampai pada pemecahan terakhir yang memberikan optimal solution.

Yang lebih menarik ialah bahwa semua informasi yang diperlukan (test criteria,

14

nilai variabel-variabel, nilai fungsi tujuan) akan terdapat pada setiap tabel, selain

daripada itu nilai fungsi tujuan dari suatu tabel akan lebih besar/kecil atau sama

dengan tabel sebelumnya (Harsuko Riniwati, 2015).

Metode simpleks (sering disebut dengan algoritma simpleks) adalah

prosedur matematika berulang untuk menyelesaikan soal pemrograman linier

dengan cara menguji titik sudut daerah yang memenuhi kendala-kendala

sehingga ditemukan sudut ektrim yaitu titik sudut yang akan memaksimumkan

atau meminimumkan fungsi tujuan (Siswanto, 2007).

Metode simpleks adalah suatu prosedur ulang yang bergerak dari satu

jawab layak basis ke jawab berikutnya sedemikian rupa sehingga harga fungsi

tujuan terus menaik (dalam permasalahan maksimisasi). Proses ini akan

berkelanjutan sampai dicapainya jawab optimal (jika ada) yang memberi harga

maksimum (P. Siagian, 2006:85).

Metode simpleks digunakan untuk memecahkan masalah pada

pemrograman linier yang terdiri dari tiga variabel atau lebih, sehingga tidak bisa

diselesaikan dengan menggunakan metode grafik karena terlalu rumit

untukdiselesaikan. Pengertian metode simpleks menurut Heizer Jay dan Rander

Barry (2005 : 674) (Tri Harjiyanto,2004) mengemukakan bahwa : “The simplex

method is actually an algorithm (or a set of instructions) with wich we examine

corner point in a methodical fashion until we arrive at the best solution highest

profit or lowest cost”. Artinya : “Metode simpleks merupakan suatu algoritma

(atau serangkaian perintah) yang digunakan untuk menguji titik sudut dalam

suatu cara tertentu sehingga sampai pada solusi terbaik dengan keuntungan yang

15

paling tinggi atau biaya yang paling rendah”.

Ada beberapa hal yang harus diperhatikan bahwa kendala yang terdapat

dalam fungsi kendala model program linear dapat dibedakan dengan tanda

hubungan matematis berupa :

1. Fungsi kendala dengan pertidaksamaan ≤ dalam bentuk umum, diubah

menjadi persamaan (=) dengan menambahkan satu variabel slack.

2. Fungsi kendala dengan pertidaksamaan ≥ dalam bentuk umum, diubah

menjadi persamaan (=) dengan mengurangkan satu variabel surplus.

3. Fungsi kendala dengan persamaan dalam bentuk umum, ditambahkan

satuartificial variabel (variabel buatan).

2.4.2. Penyelesaian dengan Metode Simpleks

Langkah-langkah penyelesaian dengan metode simpleks adalah sebagai

berikut (P. Siagian, 2006) :

1. Mengubah fungsi tujuan dan batasan

Semua fungsi tujuan dan batasan diubah ke bentuk persamaan

(standar),dengan cara fungsi tujuan diubah menjadi fungsi implisit, yaitu

fungsi tujuan digeser ke kiri dan menambah variabel penolong (slack) pada

fungsi kendala.

Contoh :

Z = 3X1 + 5X2 diubah menjadi Z - 3X1 - 5X2= 0

Pada bentuk standar, semua batasan mempunyai tanda ≤. Ketidaksamaan

ini harus diubah menjadi kesamaan. Caranya dengan menambah slack

variable. Variable slack ini adalah Xn+1, Xn+2, ....Xn+m. Karena tingkat

16

atau hasil kegiatan-kegiatan yang ada di awali oleh X1 dan X2, maka

variable slack dimulai dari X3, X4 dan seterusnya.

2X1 ≤ 8 menjadi 2X1 + X3 = 8

3X2 ≤ 15 menjadi 3X2 + X4 = 15

6X1 + 5X2 ≤ 15 menjadi 6X1 + 5X2 + X5 = 30

Berdasarkan perubahan persamaan-persamaan di atas dapat disusun

formulasi yang diubah, sebagai berikut :

Fungsi tujuan : Maksimumkan Z - 3X1 - 5X2

Batasan-batasan : 2X1 + x3 = 8

3X2 + x4 = 15

6X1 + 5x2 + x5 = 30

2. Menyusun persamaan-persamaan ke dalam tabel simpleks

Setelah formulasi diubah kemudian disusun ke dalam tabel, dalam bentuk

simbol seperti tampak pada tabel 2.2, sedangkan untuk contoh seperti

terlihat pada tabel 2.3.

Tabel 2.2 Simpleks Dalam Bentuk Simbol

Var. Dasar Z X1 X2 ..... Xn S1 S2 ..... Sn NK

Z 1 0 0 ..... -Cn 0 0 0 0 0

Xn+1 0 a11 a12 ..... a1n 1 0 0 0 b1

Xn+2 0 a21 a22 ..... a2n 0 1 0 0 b2

..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .....

Xn+m 0 am1 am2 ..... amn 0 0 0 1 bm

Sumber data : P.siagian, 2006.

17

NK adalah nilai kanan persamaan, yaitu nilai di belakang tanda sama

dengan. Untuk batasan 1 sebesar 8, batasan 2 sebesar 15, dan batasan 3

sebesar 30.

Tabel 2.3 Tabel Simpleks untuk Contoh Kasus

Variabel dasar Z X1 X2 X3 X4 X5 NK

Z 1 -3 -5 0 0 0 0

X3 0 2 0 1 0 0 8

X4 0 0 3 0 1 0 15

X5 0 6 5 0 0 1 30

Sumber:Tjutju Tarliah Dimyati-Ahmad Dimyati, 1992.

Setelah data disusun di dalam tabel kemudian diadakan perubahan-

perubahan agar dapat mencapai titik optimal dengan langkah selanjutnya.

3. Memilih kolom kunci

Caranya dengan memilih kolom yang mempunyai nilai pada garis

fungsitujuan yang bernilai negatif dengan angka terbesar. Dalam hal ini

kolom X2 dengan nilai pada baris persamaan tujuan -5.

Tabel 2.4 Tabel Pemilihan Kolom Kunci

Variabel dasar Z X1 X2 X3 X4 X5 NK

Z 1 -3 -5 0 0 0 0

X3 0 2 0 1 0 0 8

X4 0 0 3 0 1 0 15

X5 0 6 5 0 0 1 30

Sumber:Tjutju Tarliah Dimyati-Ahmad Dimyati, 1992.

18

4. Memilih baris kunci

Pilih baris yang mempunyai limit ratio (indeks) dengan angka positif

terkecil.

𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜(𝑖𝑛𝑑𝑒𝑘𝑠) =𝑁𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑘𝑜𝑙𝑜𝑚 𝑁𝐾

𝑁𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑘𝑜𝑙𝑜𝑚 𝑘𝑢𝑛𝑐𝑖

Untuk baris batasan 1 besarnya indeks 8/0 = ~ , baris batasan 2 sebesar

15/3 = 5 dan baris batasan 3 sebesar 30/5 = 6. Dalam hal ini baris yang

mempunyai indeks positif dengan anngka terkecil adalah batasan ke-2.

Nilai yang masuk dalam kolom kunci dan juga termasuk dalam baris

kunci disebut anngka kunci.

Tabel 2.5 Cara Memilih Baris Kunci

Variabel dasar Z X1 X2 X3 X4 X5 NK

Z 1 -3 -5 0 0 0 0

X3 0 2 0 1 0 0 8

X4 0 0 3 0 1 0 15

X5 0 6 5 0 0 1 30

Sumber:Tjutju Tarliah Dimyati-Ahmad Dimyati, 1992.

5. Mengubah nilai-nilai baris kunci

Nilai baris kunci diubah dengan cara membaginya dengan angka kunci.

Baris baru kunci = baris kunci : angka kunci

Seperti terlihat pada tabel 2.6 dibawah ini (0/3 = 0, 3/3 = 1, 0/3 = 0, 1/3

=1/3, 0/3 = 0, 15/3 = 5. Gantilah variabel dasar pada baris itu dengan

variabel yang terdapat di bagian atas kolom kunci (X2).

19

Tabel 2.6 Cara Mengubah Nilai-Nilai Baris Kunci

Variabel dasar Z X1 X2 X3 X4 X5 NK

Z 1 -3 -5 0 0 0 0

X3 0 2 0 1 0 0 8

X4 0 0 3 0 1 0 15

X5 0 6 5 0 0 1 30

Variabel dasar Z X1 X2 X3 X4 X5 NK

Z 1

X3 0

X2 0 0 1 0 1/3 0 5

X5 0

Sumber:Tjutju Tarliah Dimyati-Ahmad Dimyati, 1992.

6. Mengubah nilai-nilai selain pada baris kunci sehingga nilai-nilai kolom

kunci(selainbaris kunci) = 0

Untuk mengubahnya menggunakan rumus :

Baris baru = baris lama – (koefisien per kolom kunci) nilai bari baris

kunci.

Untuk contoh kasus di atas, nilai baru baris pertama (Z) adalah :

-3 -5 0 0 0, 0

-5 0 1 0 1/3 0, 5

Nilai baru -3 0 0 5/3 0, 25

Baris ke-2 (batasan 1)

2 0 1 0 0, 8

0 0 1 0 1/3 0, 5

Nilai baru 2 0 1 0 0, 8

Baris ke-4 (batasan 3)

6 5 0 0 1, 30

5 0 1 0 0/3 0, 5

Nilai baru 6 0 0 -5/3 1, 5

20

Nilai-nilai baru tersebut dipakai untuk melengkapi isi tabel 2.6 bagian

bawah, dan hasilnya dapat dilihat pada tabel 2.7.

Tabel 2.7 Tabel Pertama Nilai Lama Dan Tabel Kedua Nilai Baru

Variabel dasar Z X1 X2 X3 X4 X5 NK

Z 1 -3 -5 0 0 0 0

X3 0 2 0 1 0 0 8

X4 0 0 3 0 1 0 15

X5 0 6 5 0 0 1 30

Z 1 -3 0 0 5/3 0, 25

X3 0 2 0 1 0 0, 8

X2 0 0 1 0 1/3 0 5

X5 0 6 0 0 -5/3 1 5

Sumber:Tjutju Tarliah Dimyati-Ahmad Dimyati, 1992.

7. Melanjutkan perbaikan-perbaikan atau perubahan-perubahan.

Ulangi langkah 3 - 6, sampai semua nilai pada fungsi tujuan bernilai

positif.

2.4.3. Istilah-Istilah dalam Metode Simpleks

Beberapa Istilah yang digunakan dalam metode simpleks penjelasannya

diantaranya sebagai berikut:

1. Iterasi

Tahapan perhitungan dimana nilai dalam perhitungan itu tergantung dari

nilai tabel sebelumnya.

2. Variabel non basis

Variabel yang nilainya diatur menjadi nol pada sembarang iterasi. Dalam

terminologi umum, jumlah variabel non basis selalu sama dengan derajat

bebas dalam sistem persamaan.

21

3. Variabel basis

Variabel yang nilainya bukan nol pada sembarang iterasi. Pada solusi

awal,variabel basis merupakan variabel slack (jika fungsi kendala

menggunakanpertidaksamaan <) atau variabel buatan (jika fungsi

kendala menggunakanpertidaksamaan > atau =). Secara umum, jumlah

variabel batas selalu samadengan jumlah fungsi pembatas (tanpa fungsi

non negatif).

4. Solusi atau Nilai Kanan (NK)

Nilai sumber daya pembatas yang masih tersedia. Pada solusi awal, nilai

kananatau solusi sama dengan jumlah sumber daya pembatas awal yang

ada, karenaaktivitas belum dilaksanakan.

5. Variabel Slack

Variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala untuk

mengkonversikan pertidaksamaan < menjadi persamaan (=).

Penambahan variabel ini terjadi padatahap inisialisasi. Pada solusi awal,

variabel slack akan berfungsi sebagai variabelbasis.

6. Variabel Surplus

Variabel yang dikurangkan dari model matematik kendala

untukmengkonversikan pertidaksamaan > menjadi persamaan (=).

Penambahan variabelini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal,

variabel surplus tidak dapatberfungsi sebagai variabel bebas.

22

7. Variabel Buatan

Variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala dengan bentuk

> atau = untuk difungsikan sebagai variabel basis awal. Penambahan

variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Variabel ini harus bernilai 0

pada solusi optimal, karena kenyataannya variabel ini tidak ada. Variabel

ini hanya ada di atas kertas.

8. Kolom Pivot (Kolom Kerja)

Kolom yang memuat variabel masuk. Koefisien pada kolom ini akan

menjadi pembagi nilai kanan untuk menentukan baris pivot (baris kerja).

9. Baris Pivot (Baris Kerja)

Salah satu baris dari antara variabel baris yang memuat variabel keluar.

10. Elemen Pivot (Elemen Kerja)

Elemen yang terletak pada perpotongan kolom dan baris pivot. Elemen

pivot akan menjadi dasar perhitungan untuk tabel simpleks berikutnya.

11. Variabel Masuk

Variabel yang terpilih untuk menjadi variabel basis pada iterasi

berikutnya.Variabel masuk dipilih satu dari antara variabel non basis

pada setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya bernilai positif.

12. Variabel Keluar

Variabel yang keluar dari variabel basis pada iterasi berikutnya dan

digantikan dengan variabel masuk. Variabel keluar dipilih satu dari

antara variabel basis pada setiap iterasi dan bernilai 0.

23

2.5 Analisis Dual

Analisa dual dilakukan untuk mengetahui penilaian terhadap sumberdaya

yang ada dan menilai keputusan proses produksi dengan melihat kekurangan

(slack) atau kelebihan (surplus) dan nilai dualnya. Nilai dual menunjukkan

perubahan yang akan terjadi pada fungsi tujuan apabila sumberdaya berubah

sebesar satu satuan. Dual value menunjukkan bahwa penambahan satu satuan

sumberdaya akan meningkatkan nilai fungsi tujuan sebesar nilai dual valuenya.

Variabel slack akan berhubungan dengan batasan dan mewakili jumlah

kelebihan sisi kanan dari batasan tersebut dibandingkan sisi kiri. Sedangkan,

variabel surplus merupakan batasan kelebihan sisi kiri dibandingkan sisi kanan

(Liya Asrina dan Migunani, 2013).

Nilai slack atau surplus menunjukkan status sumber daya yang digunakan

apakah sumber daya berlebih atau berkurang.Apabila nilai slack atau surplus

lebih besar dari nol dan nilai dualnya sama dengan nol, maka sumberdaya

tersebut dikategorikan sebagai sumberdaya yang sifatnya berlebih atau tidak

menjadi kendala. Sumber daya yang temasuk dalam kendala bukan pembatas,

yaitu kendala yang tidak habis dipakai dalam proses produksi serta tidak

mempengaruhi fungsi tujuan jika terjadi penambahan sebesar satu satuan.

Apabila nilai slack atau surplus dan nilai dualnya sama dengan nol maka artinya

penambahan atau pengurangan semberdaya tidak akan berpengaruh terhadap

nilai solusi optimalnya.

24

2.6 Analisa Sensitivitas

Analisis sensitivitas merupakan analisa yang berkaitan dengan perubahan

parameter untuk melihat berapa besar perubahan dapat ditolerir sebelum solusi

optimal mulai kehilangan optimalitasnya. Jika suatu perubahan kecil dalam

parameter menyebabkan perubahan drastis dalam solusi, maka dikatakan bahwa

solusi adalah sensitif terhadap nilai parameter itu. Sebaliknya jika perubahan

parameter tidak mempunyai pengaruh besar terhadap solusi maka dapat

dikatakan solusi relatif intensif terhadap nilai parameter tersebut. Melalui

analisis sensitivitas dapat dievaluasi pengaruh perubahan-perubahan parameter

dengan sedikit tambahan perhitungan berdasarkan tabel simpleks optimum

(Taha,2007:77).

Dalam analisis sensitivitas, perubahan-perubahan parameter

dikelompokkan menjadi:

1. Perubahan koefisien fungsi tujuan untuk variabel non basis

2. Perubahan koefisien fungsi tujuan untuk variabel basis

3. Perubahan pada ruas kanan suatu pembatas

4. Perubahan kolom untuk suatu variabel non basis

5. Penambahan suatu variabel atau aktivitas baru

6. Penambahan suatu pembatas baru

Analisis sensitivitas diperlukan untuk mengetahui sejauh mana pengaruh

perubahan pada dua parameter input dalam program linier yaitu nilai fungsi

tujuan atau keuntungan maksimum dan ketersediaan sumberdaya. Perubahaan

nilai koefisian fungsi tujuan jika masih dalam batas perubahan akan menjamin

25

tidak adanya perubahan pada solusi optimal, dengan kata lain tingkat produksi

untuk X1,X2..Xn tetap sama namun keuntungan maksimumnya yang berubah.

Perubahan nilai ketersediaan sumberdaya dalam batas perubahan akan menjamin

tidak adanya perubahan pada nilai dual price dari kendala, namun nilai tingkat

produksi dan keuntungan dapat berubah.

Analisi sensitivas merupakan analisis untuk mengetahui akibat atau

pengaruh dari perubahan yang terjadi pada parameter-parameter linier

programming terhadap solusi optimal yang telah dicapai. Untuk lebih

memahami perhatikan contoh di bawah ini :

Z = 60 X1 + 30 X2 + 20 X3

Berdasarkan : 8𝑋1 + 6 𝑋2 + 𝑋3 ≤ 48

4X1 + 2 X2 + 1,5 X3 ≤ 20

2𝑋1 + 1,5 𝑋2 + 0,5 𝑋3 ≤ 8

X1, X2, X3 ≥ 0

Tabel 2.8 Hasil dari Tabel Optimal

BV Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 Solusi

Z 1 0 5 0 0 10 0 280

S1 0 0 -2 0 1 2 -8 24

X3 0 0 -2 1 0 2 -4 8

X1 0 1 1,25 0 0 -0,5 1,5 2

Sumber:Tjutju Tarliah Dimyati-Ahmad Dimyati, 1992.

Dari tabel diatas dapat di artikan sebagai berikut :

BV = {S1, x3, x1}; NBV = {x2, S2, S3}

𝑋𝐵𝑉 = 𝑆1𝑋3𝑋1

; 𝑋𝑁𝐵𝑉𝑋2𝑆2𝑆3

Yang merupakan m x 1

26

1. Perubahan koefesien fungsi tujuan untuk variabel nonbasis

Pada contoh di atas , satu-satunya variabel keputusan nonbasis adalah X2,

koefisien X2 adalah C2 = 30. Jika C2 berubah, bagaimana pengaruhnya

terhadap solusi optimal, harga-harga C2 manakah yang menyebabkan BV

= {S1, X3, X1} tetap optimal. Perubahan C2 dari 30 menjadi (30 + ∆)

tidak mengubah harga B-1

dan b. Karena itu, ruas kanan untuk BV, yaitu

B-1

b,tidak akan berubah sehingga BV tetap fisibel. Karena C2 adalah

variabel nonbasis, maka CBV juga tidak akan berubah. Dengan

demikian, BV akan tetap optimal jika ^C2 ≥ 0, dan BV akan menjadi sub

optimal jika ^C2 ≤ 0. Harga z mungkin dapat diperbaiki dengan

memasukkan X2 ke dalam basis.

CBV B-1

= [ 0 20 60 ] 1 2 −80 2 −40 −0,5 1,5

= [ 0 10 10 ]

Sehingga ^C2 = [ 0 10 10 ] 62

1,5 - ( 30 + ∆) = 35 – 30 - ∆ = 5 - ∆

Agar ^C2 ≥ 0 dan BV tetap optimal, maka (5 - ∆) harus ≥ 0 atau ∆ ≤ 5.

Sebaliknya jika harga ^C2 akan < 0 jika ∆ >5 sehingga BV tidak lagi

optimal. Artinya, jika harga C2 naik atau turun sebesar 5 atau kurang,

maka BV akan tetap optimal, tetapi jika naik atau turunnya lebih besar

dari 5 maka BV tidak lagi optimal.

27

2. Perubahan koefisien fungsi tujuan untuk variabel basis.

Misalkan C1 berubah dari 60 menjadi (60 + ∆). Maka CBV yang baru

adalah [ 0 20 (60 + ∆) ] sehingga:

CBVB-1 = [ 0 20 (60 + ∆) ] 1 2 −80 2 −40 −0,5 1,5

= [ 0 10 -0,5 10 + 1,5 ∆ ]

Sehingga koefisien baris 0 menjadi:

a. ^C2 = CBVB-1

a2 – c2

= [ 0 10 -0,5∆ 10 + 1,5 ∆ ] 62

1,5 − 30 = 5 + 1,25∆

b. Koefisien S2 = elemen kedua dari CBV B-1

= 10 – 0,5∆

c. Koefisien S3 = elemen ketiga dari CBV B-1

= 10 + 0,5∆

Dengan demikin, BV akan tetap optimal jika :

5 + 1,25∆ ≥ 0 atau ∆ > -4

10 – 0,5∆ ≥ 0 atau ∆ < 20

20 + 1,5∆ ≥ 0 atau ∆ > - 20/3

3. Perubahan pada ruas kanan pembatas

Jika perubahan pada ruas kanan menyebabkan paling sedikit ada satu

ruas kanan pada tabel optimal yang menjadi beharga negatif, maka solusi

saat ini tidak lagi fisibel, dan karenanya tidak lagi optimal. Sebagai

contoh, jika b2 berubah dari 20 menjadi (20 + ∆) maka ruas kanan

menjadi :

28

B-1

b = 1 2 −80 2 −40 −0,5 1,5

4820 + ∆8

= 24 + 2 ∆8 + 2 ∆2 − 0,5 ∆

Solusi basis akan tetap optimal jika :

24 + 2∆ ≥ 0 atau ∆ ≥ -12

8 + 2∆ ≥ 0 atau ∆ ≥ -4

2 - 0,5 ∆ ≥ 0 atau ∆ ≤ 4

Dengan kata lain soslusi basis akan tetap optimal jika -4 ≤ ∆ ≤ 4. Dengan

demikian, sepanjang (20 – 4) ≤ b2 ≤ (20 + 4) atau 16 ≤ b2 ≤ 24, solusi

basis akan tetap fisibel dan optimal, tetapi harga z tentu saja akan

berubah.

4. Perubahan kolom variabel nonbasis

a2 = 62

1,5 berubah menjadi a2 =

522

Perubahan tidak akan mengubah baik B-1

ataupun b sehingga ruas kanan

tabel optimal juga tidak akan berubah. Yang akan berubah adalah ^C2< 0.

Tetapi jika ^C2≥ 0, maka solusi basis saat ini akan tetap optimal dengan

berubahnya kolom a2, maka :

^C2= [ 0 10 10 ] 522 − 43 = −3 < 0

Karena ^C2< 0, maka solusi basis saat ini tidak lagi optimal. Kolom a2

untuk pembatas pada tabel optimal menjadi :

29

B-1

a2 = 1 2 −80 2 −40 −0,5 1,5

522 =

−7−42

Karena ^C2< 0, maka x2 akan menjadi variabel basis pada solusi optimal

yang baru.

5. Penambahan suatu aktivitas

Misalkan akan dibuat produk ke-4 sehingga formulasi menjadi :

Maksimumkan : z = 60 X1 + 30 X2 + 20 X3 + 15 X4

Berdasarkan : 8 X1 + 6 X2 + X3 + X4< 48

4 X1 + 2 X2 + 1,5 X3 + X4< 20

2 X1 + 1,5 X2 + 0,5 X3 + X4< 8

X1, X2, X3, X4> 0

Ruas kanan seluruh pembatas dan koefisien baris 0 untuk variabel yang

lama tidak akan berubah, karena itu solusi basis saat ini akan tetap

optimal jika ^C4 ≥ 0.

Dari formulai di atas kita peroleh :

^C4 = [ 0 10 10 ] 111 − 15 = 5 > 0

Karena ^C4 > 0, maka solusi basis saat ini tetap optimal sehingga produk

ke-4 sebaiknya tidak dibuat.

6. Penambahan pembatas baru

Jika suatu pembatas baru ditambahkan, maka kita akan berada pada salah

satu dari ketiga kasus berikut :

30

Kasus 1 : solusi optimal saat ini memenuhi pembatas baru.

Kasus 2 : solusi optimal saat ini tidak memenuhi pembatas baru,

tetapi persoalan tetap mempunyai solusi fisibel.

Kasus 3 : pembatas baru menyebabkan persoalan tidak mempunyai

solusi fisibel.

Contoh kasus 1 :

Misalkan pada contoh soal ditambahkan pembatas X1 + X2 + X3< 11

maka solusi basis saat ini, yaitu X1 = 2, X2 = 0, + X3 = 8 dan z = 280

akan memenuhi pembatas baru tersebut. Karena solusi basis saat ini tetap

fisibel dan z tetap 280 maka solusi ini tetap optimal.

Contoh kasus 2 :

Misalkan pada contoh soal ditambahkan pembatas X2 ≥ 1. Karena saat ini

X2 = 0, maka solusi saat ini tidak lagi fisibel. Untuk mencari solusi

optimal yang baru, ubahlah ketidaksamaan X2 ≥ 1 menjadi persamaan X2

– S4 = 1, kemudian kalikan dengan (-1) sehingga diperoleh – X2 + S4 = -

1. Tambahkan pembatas kedalam tabel sehingga diperoleh :

Tabel 2.9 Tabel Penambahan Batas

BV Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 S4 Solusi

Z 1 0 5 0 0 10 0 0 280

S1 0 0 -2 0 1 2 -8 0 24

X3 0 0 -2 1 0 2 -4 0 8

X1 0 1 1,25 0 0 -0,5 1,5 0 2

S4 0 0 -1 0 0 0 0 1 -1

Sumber:Tjutju Tarliah Dimyati dan Ahmad Dimyati, 1992.

31

Tabel 2.10 Tabel Hasil Optimal Dual Simpleks

BV Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 S4 Solusi

Z 1 0 0 0 0 10 10 5 275

S1 0 0 0 0 1 2 -8 -2 26

X3 0 0 0 1 0 2 -4 -2 10

X1 0 1 0 0 0 -0,5 1,5 1,25 0,75

X2 0 0 1 0 0 0 0 -1 1

Sumber:Tjutju Tarliah Dimyati dan Ahmad Dimyati, 1992.

Jika pembatas X2 ≥ 1 ditambahkan terhadap persoalan semula, solusi

optimal akan menjadi z = 275, X3 = 10, X1 = 0,75, dan X2 = 1.

Contoh kasus 3 :

Misalkan pada contoh ditambah pembatas X1 + X2 ≥ 12 sehingga

diperoleh X1 + X2 – S4 = 12 atau X1 – X2 + S4 = -12.

Sehingga tabel akan menjadi seperti dibawah ini :

Tabel 2.11 Tabel Penambahan Batas

BV Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 S4 Solusi

Z 1 0 5 0 0 10 10 5 280

S1 0 0 -2 0 1 2 -8 -2 24

X3 0 0 -2 1 0 2 -4 -2 8

X1 0 1 1,25 0 0 -0,5 1,5 1,25 2

S4 0 0 -1 0 0 0 0 -1 -12

Sumber:Tjutju Tarliah Dimyati-Ahmad Dimyati, 1992.

Agar X1 tetap menjadi basis, hilangkan X1 pada baris S4 dengan cara

mengganti baris 4 dengan (baris 3 + baris 4). Hasilnya adalah sebagai

berikut :

32

EV

BV Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 S4 Solusi

Z 1 0 5 0 0 10 0 0 280

S1 0 0 -2 0 1 2 -8 0 24

X3 0 0 -2 1 0 2 -4 0 8

X1 0 1 1,25 0 0 -0,5 1,5 0 2

S4 0 0 0,25 0 0 -0,5 1,5 1 -10 LV

EV

BV Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 S4 Solusi

Z 1 0 10 0 0 0 40 20 80

S1 0 0 -1 0 1 0 -2 4 -16

X3 0 0 -1 1 0 0 2 4 -32 LV

X1 0 1 1 0 0 0 0 -1 12

S2 0 0 -0,5 0 0 1 -3 -2 20

BV Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 S4 Solusi

Z 1 0 0 10 0 0 60 60 -240

S1 0 0 0 -1 1 0 -4 0 16

X2 0 0 1 -1 0 0 -2 -4 32

X1 0 1 0 1 0 0 2 3 -20

S2 0 0 0 -0,5 0 1 -4 -4 36

Pada tabel terakhir kita memperoleh X1 + X3 + 2 S3 + 3 S4 = -20.

Padahal, X1 ≥ 0, X3 ≥ 0, 2S3 ≥ 0 dan 3S4 ≥ 0. Sehingga ruas kiri dari

persamaan di atas tidak mungkin – 20. Artinya jika pada persoalan

semula ditambahkan pembatas X1 + X2 ≥ 12, maka persoalan menjadi

tidak mempunyai solusi fisibel.

2.7 QMFor Windows

Program QMfor windows merupakan paket program komputer untuk

menyelesaikan persoalan-persoalan metode kuantitatif, manajemen sains, atau

riset operasi. QMfor windows merupakan gabungan dari program terdahulu DS

33

dan POMfor windows, jadi jika dibandingkan dengan program POMfor

windowsmodul-modul yang tersedia pada QM for windows lebih banyak. Namun

ada modul-modul yang hanya tersedia pada program POM for windows atau

hanya tersedia di program DSfor windows dan tidak tersedia di QMfor

windows(Harsuko Riniwati, 2015).

Program QM for Windows menyediakan modul-modul dalam area

pengambilan keputusan bisnis. Modul yang tersedia pada QMfor windows

meliputi :

1. Assigment

2. Breakeven/Cost-Volume Analysis

3. Decision Analysis

4. Forecasting

5. Game Theory

6. Goal Programming

7. Integer Programming

8. Inventory

9. Linier programming

10. Markov Analysis

11. Material Requirement Planning

12. Mixed Integer Programming

13. Networks

14. Project Management (PERT/CPM)

15. Quality Control

34

16. Simulation

17. Transportation

18. Waiting lines

2.8 Langkah-Langkah Menjalankan QMFor Windows

1. Buka aplikasi QMfor windows. Kemudian akan muncul jendela Tip of the

day, bila ingin segera memulai program, anda dapat klik OK.

2. Dari menu QM, klik module > Linier Programming

Gambar 2.1Pemilihan Penyelesaian Masalah

3. Klik file new, kemudian > akan muncul tampilan seperti berikut:

Gambar 2.2 Step Awal Lembar Kerja Awal QMFor Windows

35

4. Isi identitas data yang ada, identitas data terdiri dari :

4.1 Tittle:judul masalah

4.2 Number of constrainst:jumlah fungsi batasan yang ada pada kasus

4.3 Number variables: jumlah variabel yang ada

4.4 Objective maximize or minimize:tujuan yang ingin di capai:

maksimalisasi laba atau minimlisasi biaya)

4.5 Klik OK, maka akan muncul tampilan berikut:

Gambar 2.3Step Ke Dua Isian Lembar Kerja QMFor Windows

5. Klik “Solve” untuk mengetahui hasilnya,jika ingin hasil kelimanya tampil

dapat dilakukan dengan cara klikWindows > Title.

Gambar 2.4 Step Ke Tiga Out Put Hasil Proses

36

2.9 Kajian Penelitian Terdahulu

Penelitian terdahulu yang digunakan sebagi rujukan adalah penelitian

tentang pengambilan keputusan mengenai permasalahan produksi dengan model

linier programming.

Penelitian sejenis pernah dilakukan oleh Teguh Sriwidadi dan Erni

Agustina (2013), yang meneliti mengenai Analisis Optimalisasi Produksi dengan

Linear Programming melalui Metode Simpleks. PD Utama Jaya Plasindo

memiliki beberapa masalah atau kendaladalam perencanaan produksi. Fluktuasi

permintaan barang yang tidak menentu dari satu periode ke periodelain

menyebabkan kekurangan atau kelebihan produksi.Analisismenggunakan

Metode Simpleks yang merupakan salah satu Linear Programming merupakan

alat yang digunakan untuk penyelesaian masalah sehingga dapatmemaksimalkan

laba. Hasil penelitian menunjukkan bahwa total laba keseluruhan yang diperoleh

PD Utama Jaya Plasindo dariproduk gesper plastik untuk per harinya yaitu Rp.

837.600 dan untuk per bulannya dengan 20 hari masa aktifRp. 16.752.000

dengan asumsi perolehan laba sesuai dengan fungsi tujuan dan fungsi kendala

tetap.

Metode linier programming juga pernah dilakukan oleh Denny Sindi

Pratama, dalam penelitiannya menganalisis mengenai Optimalisasi Produksi

Industri Sambal Menggunakan Pemrograman Linier (Optimalization Of

Production Industrial Sauce Using Linear Programming).Tujuan penelitian ini

adalah memaksimalkan keuntungan dengan memproduksijumlah kuantitas

produksi yang tepat dari semua produk. Berdasarkan hasil penelitian,

37

keuntungan maksimal yang diperoleh sebesar Rp.234.347.800 dengan kombinasi

dari semua produk sambal. Kombinasi produk sambalyang harus diproduksi

sebanyak 45.835 unit sachet, produk botol kecil 140 ml sebanyak54.675 unit,

produk botol sedang 320 ml sebanyak 59.418 unit, produk botol besar 600ml

sebanyak 7.684 unit, produk jerigen 5 kg sebanyak 603 unit, dan produk

botolsedang seafood 320 ml sebanyak 5.791 unit. Hasil analisis sensitivitas bila

diasumsikanterjadi peningkatan biaya produksi tanpa adanya peningkatan harga

jual sekitar 26%dan dengan peningkatan harga jual sekitar 27%.

Penelitian yang dilakukan oleh Sri Desiana Shintya Dewi,dkk (2014).

mengenai Analisis Sensitivitas Dalam Optimalisasi Keuntungan Produksi

Busana dengan Mengguanakan Meode Simpleks. Tujuan dari penelitian ini

adalah untukmengetahui keuntungan maksimal yang diperoleh dalam produksi

busana di Garmen Lsmenggunakan formulasi model simpleks serta mengetahui

hasil analisis sensitivitasterhadap perubahan-perubahan koefisien fungsi tujuan

dan konstanta ruas kanan fungsikendala pada model simpleks. Setelah dilakukan

penerapan metode simpleks, keuntungan maksimal yangdiperoleh Garmen Ls

dalam sehari meningkat sebesar Rp. 865.264,00 dari Rp.1.027.920,00 menjadi

Rp. 1.893.184,00 dengan banyak produksi dress payung 34 buah,celana aladdin

XL 68 buah, celana aladdin XXL 60 buah, celana aladdin ¾ 96 buah,dress kerut

26 buah, dan daster haji 26 buah. Berdasarkan hasil analisis sensitivitas,

keuntungan akan tetap berada pada kondisioptimal apabila perubahan koefisien-

koefisien fungsi tujuan bernilai lebih kecil atau sama dengan koefisien fungsi

tujuan pada model awal .

38

Beberapa hal yang membedakan penelitian yang dilakukan oleh peneliti

dengan penelitian terdahulu, disajikan dalam bentuk tabel 2.12 berikut ini:

Tabel 2.12 Perbandingan antara Kajian Terdahulu dengan Peneliti

No

Nama

Penulis,

tahun

Judul Kesimpulan

1 Teguh

Sriwidadi

dan Erni

Agustina,

2013

Analisis Optimalisasi

Produksi

Dengan Linear

Programming Melalui

Metode Simpleks

Total laba keseluruhan yang diperoleh

PD Utama Jaya Plasindo dari

produk gesper plastik untuk per harinya

yaitu Rp. 837.600 dan untuk per

bulannya dengan 20 hari masa aktif

Rp. 16.752.000 dengan asumsi

perolehan laba sesuai dengan fungsi

tujuan dan fungsi kendala tetap.

2 Denny

Sindi

Pratama

Optimalisasi Produksi

Industri Sambal

Menggunakan

Pemrograman Linier

(Optimalization Of

Production Industrial

Sauce Using Linear

Programming)

Produk sambal yang harus diproduksi

sebanyak 45.835 unit sachet, produk

botol kecil 140 ml sebanyak 54.675 unit,

produk botol sedang 320 ml sebanyak

59.418 unit, produk botol besar 600 ml

sebanyak 7.684 unit, produk jerigen 5 kg

sebanyak 603 unit, dan produk botol

sedang seafood 320 ml sebanyak 5.791

unit.

3 Sri Desiana

Shintya

Dewi,dkk

(2014).

Analisis Sensitivitas

Dalam Optimalisasi

Keuntungan Produksi

Busana dengan

Mengguanakan Meode

Simpleks

Keuntungan maksimal yangdiperoleh

Garmen Ls dalam sehari meningkat

sebesar Rp. 865.264,00 dari

Rp.1.027.920,00 menjadi Rp.

1.893.184,00 dengan banyak produksi

Dress Payung 34 buah,

Celana Aladdin XL 68 buah, Celana

Aladdin XXL 60 buah, Celana Aladdin

¾ 96 buah, Dress Kerut 26 buah, dan

Daster Haji 26 buah.

Berdasarkan hasil analisis sensitivitas,

keuntungan akan tetap berada pada

kondisi optimal apabila perubahan

koefisien-koefisien fungsi tujuan

bernilai lebih kecil atau sama dengan

koefisien fungsi tujuan pada model

awal.

4 Alam Putri

(2017)

Optimalisasi Produksi

Carang Madu

Menggunakan Metode

Inier Programming

Rencana penelitian menganalisis

menggunakan metode linier

programming di Home Industry Sumber

Barokah.

38