bab ii fungsi linier

Bab II : Fungsi Linear | 13

By : Turmudi E-mail : [email protected] blog: www.toermoedy.wordpress.com

Dalil : Grafik dari fungsi-fungsi linear (linear artinya pangkat satu atau straight) adalah suatu garis lurus.

2.1. GARIS LURUS MELALUI TITIK ASAL (0,0)

Tarik Garis dari titik O ke titik P dimana OP terletak

pada garis g.

Titik Q juga terletak pada garis g.

Buktikan bahwa persamaan garis lurus melalui titik

O (0,0) y = mx

Bukti : Perhatikan segitiga OPP’ dan segitiga OQQ’

QQ’ : PP’ = Q’O : P’O

y : b = x : a

ay = bx

y = xab

; jika mab

y = mx (terbukti)

2.2. BENTUK UMUM PERSAMAAN GARIS LURUS

Garis 1 memotong sumbu X di titik A (-a,0) dan titik B(0,b)

Titik P terletak pada garis 1, sehingga PP’//BO

Buktikan bahwa persamaan umum garis lurus adalah

y = xab

+b

Bukti

BO : PP’ = AO : AP’

b : y = -a : (-a + x)

-ay = b (-a + x)

-ay = -ab : bx

y = xab

+b (terbukti)

atau y = mx + b, persamaan garis lurus yang memotong sumbu y (0,b)

Sb. Y

Sb. X

g

Q(x,y)

P(a,b)

Q’ P’

y

b

a

x

Sb. Y

Sb. X

l

x

y B(0,b)

A(-a,0)

P(x,y)

14 | Geometri Analitik Datar dan Ruang

2.3. SYARAT 3 BUAH TITIK TERLETAK PADA SEBUAH GARIS LURUS

Sesuai dengan dalil bahwa grafik dari setiap fungsi linear adalah sebuah garis lurus.

Misalkan fungsi linear itu y = ax + b

Titik A, B dan C terletak pada grafik y =ax+b

A (x1, y1) terletak pada grafik y1 = ax1 + b

B (x2, y2) terletak pada grafik y2 = ax2 + b -

y1 - y2 = a(x1 –x2) .... (i)

A (x1, y1) terletak pada grafik y1 = ax1 + b

B (x2, y2) terletak pada grafik y3 = ax3 + b -

y1 – y3 = a(x1 –x3) ..... (ii)

31

21

31

21

xxaxxa

yyyy

iii

31

21

31

21

xxxx

yyyy

tg = tg

= titik A, B, C terletak pada satu garis lurus.

Sehingga pengertian dari (2.1.) sampai dengan (2.3.) dapatlah disimpulkan sebagai berikut ;

1. Persamaan garis lurus melalui pusat y = mx dimana m = tg dengan m merupakan koefisien arah /

gradien / bilangan arah / kemiringan / kecendrungan garis.

2. Persamaan umum garis dalam bentuk eksplisit y = mx + b dengan m = tg dan garis ini melalui titik

(0,b). tg adalah sudut perpotongan garis lurus dengan sumbu X positif.

3. Persamaan umum garis lurus dapat juga dinyatakan dalam bentuk implisit

ax + by + c = 0

bcaxy

cxbay , Sehingga m =

ba

tg = ba

0

A(x1,y1)

C(x3,y3)

B(x2,y2)

y1

x1

x2

y2 y3

x3

Sb. Y

Sb. X

Syarat Bahwa (x1,y1), (x2,y2) dan (x3,y3)

terletak pada sebuah garis lurus

''

''

ACCC

ABBB



Persamaan garis lurus dapat juga dinyatakan oleh : Jarak antara titik O dengan salah satu titik pada garis itu

dan sudut yang dibentuk oleh jarak itu dengan sumbu X positif

Perhatikan segitiga OBP

sin90sinbr

o

sincosbr

sin

cosbr

persamaan garis kutub atau

persamaan garis polar

2.4. PERSAMAAN GARIS MELAUI TITIK P(x1,y1), DENGAN GRADIEN m

Kita sudah tahu bahwa persamaan garis umum y = mx + n

Titik P(x1,y1) dilalui oleh garis y = mx + n ........ (i)

y1 = mx1 + n .......(ii)

y = mx + n

y1 = mx1 + n

y – y1 = m(x – x1)

Persamaan garis lurus melalui titik P(x1,y1) dengan gradien m

2.5. PERSAMAAN GARIS MELALUI DUA TITIK

Persamaan melalui titik A(x1,y1) dan B(x2,y2)

Persamaan garis lurus y = mx + n

Persamaan garis melalui A(x1,y1) y – y1 = m(x – x1) ...........................(i)

Titik B(x2,y2) terletak pada garis y – y1 = m(x – x1)

y2 – y1 = m(x2 – x1) ...............................(ii)

Sb. X

Sb. Y

P(x,y)

( + 90o) y

x AQ

BQ

0


12

1

12

1

xxmxxm

yyyy

iii

12

1

12

1

xxxx

yyyy

persamaan garis melalui dua titik

(y – y1) (x2 – x1) = (y2 – y1) (x – x1)

112

121 xx

xxyyyy

11 xxmyy

1

1

xxyym

2.6. PERSAMAAN GARIS MELALUI P(a,0) DAN Q(0,b)

Persamaan garis melalui titik P(a,0) dan Q(0,b)

12

1

12

1

xxxx

yyyy

aax

by

000

aax

by

1ax

by

1by

ax

bx + ay = ab

persamaan garis

melalui P(a,0) dan

Q(0,b)

2.7. Persamaan Garis Hesse (Persamaan Garis Normal)

Tarik garis melalui titik O garis g OP

Karena OP g, disebut persamaan garis normal, Kita

misalkan n dan sudut yang dibentuk dengan sumbu X positif

=

Perhatikan segitiga OPB, siku-siku di P

Sb. X

Sb. Y

Q(0,b)

P(a,0)

0 )

B(0,b)

A(a,0)

P b

a

n

0



Maka

sin

sin nbbn

...................................(i)

Perhatikan OPA, siku-siku di P

coscos na

an

...........................................(ii)

Karena garis g memotong ABX di titik A(a,0) dan B(o,b),

maka persamaan garis g adalah 1by

ax

...................(iii)

(i) dan (ii) substitusikan ke (iii)

1sincos

ny

nx

x cos + y sin = n (n positif)

x cos + y sin - n = 0

Catatan :

1. Karena n positif (jarak titik O (0,0) ke garis g) maka suku ke-3 selalu negatif

2. Koefisien x = cos

Koefisien y = sin

mengingat kedua syarat di atas, maka setiap persamaan Ax + By + C = 0 dapat dirubah ke

persamaan normal Hesse

Contoh 5:

Rubahlah persamaan -3x – 4y + 10 = 0 ke dalam persamaan normal Hesse

Penyelesaian :

-3x – 4y + 10 = 0

3x + 4y - 10 = 0

0254

53

yx

x n

1sincos n

yn

x

cos2 + sin2 = 1

x (-1)

: 22 43 = 5


Cos 53

Cos 6,0

Cos = Cos 36,87o

= 36,87o

2.8. HUBUNGAN ANTAR GARIS (SIKAP 2 GARIS LURUS)

1. Garis yang Berpotongan

Garis l1 a1x + b1y + c1 = 0 ( dikalikan dengan b2)

Garis l2 a2x + b2y + c2 = 0 (dikalikan dengan b1)

a1b2x + b1b2y + b2c1 = 0

a2 b1x + b1b2y + b1c2 = 0 -

(a1b2 - a2 b1)x + (b2c1 - b1c2) = 0

x = 1221

1221

babacbcb

Garis l1 a1x + b1y + c1 = 0 (dikalikan dengan a2)

Garis l2 a2x + b2y + c2 = 0 (dikalikan dengan a1)

a1a2x + a2b1y + a2c1 = 0

a1a2x + a1b2y + a1c2 = 0 -

(a2b1 - a1b2)y + (a2c1 - a1c2) = 0

2112

2112

babacacay

Kemungkinan-kemungkinan :

a. Jika a1b2 - a2 b1 0, berarti harga x, setiap ada harga x pasti ada harga y.

(x,y) disebut titik perpotongan l1 dan l2.

Syarat : a1b2 - a2 b1 0

a1b2 a2 b1

2

1

2

1

bb

aa

Syarat 2 garis bepotongan

Sin = 54

Sin = 0,8

Sin = Sin 49,4o = 49,4o

x cos 36,87o + y sin 49,4o



b. Jika a1b2 - a2 b1 = 0, berarti 2

1

2

1

bb

aa

Tapi b2c1 - b1c2 02

1

2

1

cc

bb

sehingga 2

1

2

1

2

1

cc

bb

aa

Maka 00 x , ini berarti tidak ada harga (x,y) yang memenuhi

2. Garis yang Sejajar

Jika l1 dan l2 tidak berpotongan atau sejajar, berarti tidak ada titik potongnya

Syarat : a1b2 - a2 b1 = 0

b2c1 - b1c2 0

2

1

2

1

cc

bb

2

1

2

1

2

1

cc

bb

aa

Syarat garis sejajar

3. Garis Berhimpit

Syarat : a1b2 - a2 b1 = 0

2

1

2

1

bb

aa

b2c1 - b1c2 = 0

2

1

2

1

cc

bb

2

1

2

1

2

1

cc

bb

aa

Syarat garis berhimpit

2.9. SUDUT ANTARA DUA GARIS

Jika l1 y = m1x + b1

l2 y = m2x + b2

Sudut perpotongan =

tg 1 = m1

tg 2 = m2

1 = 2 +

= 21

y = m1x + b1

y = m2x + b2

1 2

Sb. Y

Sb. X


tg = tg 21

= 21

21

1

tgtgtgtg

atau tg =

21

21

1 mmmm

= arc. tg 21

21

1 mmmm

Kemungkinan-kemungkinannya ;

a. Untuk = 90o tg 90o = 21

21

1 mmmm

=

21211

mmmm

211 mm = 0

21mm = -1

b. Untuk = 0o tg 0o = 0

21

21

1 mmmm

= 0

21 mm = 0

21 mm Syarat garis sejajar

2.10. JARAK DARI TITIK O (0,0) KE GARIS Ax + By + C = 0

Diketahui : l ax + by + c = 0

Ditanya : Jarak titik O ke garis l ax + by + c = 0

Penyelesaian:

ax + by + c = 0

0222222

bacy

babx

baa

Karena 12

22

2

22

ba

b

ba

a

22: ba

d

0 Sb. X

Sb. Y

l ax + by + c =



Maka 22 ba

cd

22 ba

cd

jarak titik ke garis

2.11. Jarak Antara Dua Garis Sejajar

Diketahui : l1 a1x + b1y + c1 = 0

l2 a2x + b2y + c2 = 0

Ditanya : jarak l1 dan l2

Penyelesaian:

22

11

bacd

22

22

ba

cd

d = d2 – d1

22

12

ba

ccd

Jarak antara dua garis sejajar

2.12. JARAK DARI TITIK P(x1,y1) KE GARIS Ax + By + C = 0

Ambil garis l1 y = mx + b melalui titik P(x1,y1)

Ditanya : jarak titik P(x1,y1) ke garis

l2 ax + by + c = 0

Penyelesaian:

l1 y = mx + b

m l1 = m Koefisien garis l2

l2 ax + by + c = 0

m l2 = ba

d d2

d1

l1 l2

Sb. X

Sb. Y

0

d )

x1

y1

P(x1,y1)

l1 l2

Q(x,y)

Sb. X

Sb. Y


Persamaan garis l1 // l2 dengan koefisien m

y – y1 = m2 (x – x1)

y – y1 = ba

(x – x1)

b (y – y1) = - a (x – x1)

by – by1 = - ax + ax1

ax + by – (ax1– by1) = 0, ini berarti c1 = - (ax1+ by1)

karena l1 // l2 22

21

ba

ccd

22

211

ba

cbyaxd

Jarak dari titik ke garis

2.13. SYARAT 3 GARIS MELALUI SEBUAH TITIK YANG SAMA

l1 a1x + b1y + c1 = 0

l2 a2x + b2y + c2 = 0

l3 a3x + b3y + c3 = 0

Jika l1 memotong l2 di titik P, maka akan diperoleh koordinat titik

P

1221

1221

babacbcb ,

1221

1221

babacaca

l3 melalui titik P

a3

1221

1221

babacbcb + b3

1221

1221

babacaca

+ c3 = 0

a3 1221 cbcb + b3 1221 caca + c3 1221 baba = 0

a3 21cb - a3 12cb + a2 b3c1 - a1b3c2 + 21ba c3 - 12ba c3 = 0

21ba c3 + a2 b3c1 + a3 21cb - a1b3c 2- 12ba c3 - a3 12cb = 0

Catatan : Untuk mudah diingat

x ( 1221 baba )

(+)

(-)



2.14. BERKAS GARIS

Berkas suatu garis adalah garis-garis yang melalui sebuah titik yang sama (satu titik tetap) sedangkan

arahnya berlainan.

Jika g1 (P) = 0 dan g2 (P) = 0

Maka diperoleh persamaan

1 g1 + 2 g2 = 0

g1 + 1

2

g2 = 0

Misalkan 1

2

= (sebarang konstanta)

Maka diperoleh : g1 + g2 = 0 persamaan berkas garis-garis

Contoh 6:

1. Tentukan persamaan garis yang melalui titik asal dan melalui titik potong garis-garis

x + y – 4 = 0 dan 2x – 3y + 6 = 0

Penyelesaian:

Berkas garis : g1 + g2 = 0

(2x – 3y + 6) + (x + y – 4) = 0 .................(i)

Karena garis yang diminta itu melalui O (0,0) maka ;

0400060302

64

211 ................(ii)

Subs. (ii) (i)

Persamaan garis yang dimaksud adalah

(2x – 3y + 6) + 211 (x + y – 4) = 0

0211

213 yx , atau xy

212

: 1 p

g1

g2

Titik tetap


2. Tentukan persamaan garis yaqng melalui titik potong garis-garis 3x – 4y + 5 = 0 dan

5x + y = 7 serta sejajar dengan garis y = x + 5 !

Penyelesaian :

g1 + g2 = 0

(3x – 4y + 5) + (5x + y – 7) = 0

(3 + 5 )x + (4 - )y + (5 - 7 ) = 0

4

754

53 xy ..........................(i)

m1 =

453

Gradien graris y = x + 5, yaitu m2 = 1

Syarat dua garis sejajar, m1 = m2

453

= 1 =61

..............................(ii)

Subs. (ii) (i)

persamaan garis yang dimaksud adalah (3x – 4y + 5) + 61 (5x + y – 7) = 0

x – y + 1 = 0

3. Diketahui l1 x – y + 2 = 0, l2 2x - y – 1 = 0 dan l3 x – 3y + 2 = 0

Tentukanlah persamaan garis yang melalui titik potong l1 dan l2 serta tegak lurus l3 !

Penyelesaian :

l4 l1 + l2 = 0

(x – y + 2) + (x - y – 1) = 0

(1+2 )x – (1+ )y + (2 - ) = 0

y =

12

121 x

ml4 =

121

, ml3 = 31

Syarat : l3 l4 m3m4 = - 1

131

121

= 54

Persamaan garis yang

dimaksud y = - 3x + 14



2.15. LATIHAN II :

1. Diketahui ABC dengan A(1,1), B(5,4) dan C(3,6)

a. Hitunglah luas ABC !

b. Hitunglah garis-garis tinggi dari titik A, B, dan C !

2. Tentukan persamaan :

a. Garis melalui titik (-4,0) dan (0,-3) !

b. Garis yang memotong sumbu x negatif 5 cm (titik A) dan memotong sumbu Y positif di titik B

hingga OB = 5 cm!

c. Garis melalui titik (-4,0) dan memotong sumbu Y positif 5 cm!

3. Tentukan persamaan garis lurus melalui titik (3,2), garis tersebut memotong kedua sumbu koordinat

sedemikian hingga membentuk sustu segitiga denagn luas 12 satuan luas!

4. Suatu garis memotong sumbu X dan sumbu Y, titik P(2,3) terletak di tengah dari segmen garis yang

menghubungkan kedua titik potong di atas. Tentukanlah persamaan garis lurus tersebut !

5. Tentukan persamaan garis yang melalui A(1,3) dan

a. Bersudut 135o dengan garis 2x + 3y + 1 = 0 !

b. Tegak lurus pada garis 2x + 3y + 1 = 0 !

c. Sejajar dengan garis 2x + 3y + 1 = 0 !

6. Tentukan Jarak ;

a. Titik A(2,1) ke garis 2y = x – 4 !

b. Titik asal ke garis x + 2y 2 = 5 !

7. Sebuah garis melalui titik A(4,0) dan memotong sumbu Y positif di titik B, sedemikian hingga AB = 5cm;

a. Tentukanlah persamaan garis itu dengan rumus segmen garis !

b. Dari persamaan yang didapat itu, tentukanlah persamaan normalnya !

8. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (3,4) dan titik positif garis-garis y = x dan 3x + 5y = 15 !

9. Tentukan persamaan garis yang melalui titik potong garis-garis : 2x – 3y + 6 = 0 dan

3x – 2y = 0 serta tegak lurus pada garis 4x – 3y = 12 !

10. Dari segitiga ABC dengan titik sudutnya A(3,0), B(6,2), dan C(2,4). Tentukanlah :

a. Panjang garis-garis tingginya !

b. Tentukanlah persamaan garis-garis bagi sudut-sudut segitiga itu!

bab ii fungsi linier

Documents