MAKALAH

LOGIKA MATEMATIKA

Disusun Untuk Memenuhi Tugas Ujian Akhir Semester Mata Kuliah Bahasa

Indonesia

Pada Jurusan Tadris Matematika-C Semester II

Tahun Akademik 2012/2013

Dosen : Indrya Mulyaningsih, M.Pd.

Oleh :

Sri Maya Asih (14121520523)

FAKULTAS TARBIYAH

INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI (IAIN)

SYEKH NURJATI CIREBON

PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG

Aristoteles adalah ahli filsafat pertama yang menggembangkan logika pada jaman

Yunani kuno, sekitar tahun 400 SM, yang dikenal dengan istilah Logika Tradisional. Pada

pertengahan abad ke-18, G.W. Leibniz (1646-1716) adalah matematikawan pertama yang

mempelajari logika simbolik. Kemudian pertengahan abad ke-19 George Boole (1815-1864),

menulis buku “Law of Thought” yang menggembangkan logika simbolik sebagai sistem

matematika yang abstrak. Matematikawan lain yang berjasa dalam menggembangkan logika

simbolik, diantaranya adalah Leonhard Euler (1707-1783), John Venn (1834-1923), dan

Bertrand Russell (1872-1970).

Logika tradisional adalah logika yang telah dipelajari hanya sebagai bagian dari

metode filsafat. Sementara logita simbolik adalah logika yang dipelajari untuk membangun

keterampilan penalaran ilmiah.

Ilmu pengetahuan empirik bertolak dari empirik. Untuk menganalisis data empirik

diperlukan logika induktif. Dengan penalaran induktif, ilmu pengetahuan berusaha

menemukan sifat-sifat dan hukum-hukum alam empirik. Huku-hukum dan sifat-sofat itu

digunakan untuk memahami keadaan yang nyata.

Penerapan itu dikerjakan melalui pemikiran dedukatif. Pada akhirnya ilmu

pengetahuan empirik berusaha merumuskan hasilnya secara komutatif. Proses penalaran

sampai merumuskan hasil diperlukan logika yang sesuai, yaitu logika simbolik.

Dalam percakapan sehari-hari, kata logika berarti “menurut akal”. Ungkapan yang

sering didengar seperti: “Alasan yang dikemukakannya itu logis”. Sedangkai sebagai istilah,

logika berarti suatu metode atau teknik yang digunakan untuk meneliti ketetapan penalaran.

Ketetapan penalaran adalah kemampuan untuk menarik konklusi (kesimpulan) yang tepat

dari bukti-bukti yang ada.

B. RUMUSAN MASALAH

1. Siapa saja Tokoh yang mengembangkan logika matematika?

2. Apakah pernyataan itu?

3. Apa sajakah pernyataan majemuk itu?

4. Apa rumus Konvers, Invers, dan Kontraposisi?

5. Apakah Tautologi, Kontradiksi, dan Kontigensi itu?

6. Apa pengertian pernyataan berkuantor?

7. Apa pengertian Penarikan Kesimpulan?

8. Bagaimana aplikasi logika dalam jaringan listik?

C. TUJUAN MASALAH

1. Mengetahui tokoh yang mengembangkan logika matematika?

2. Mengetahui pengertian pernyataan?

3. Mengetahui macam-macam pernyataan majemuk?

4. Mengetahui rumus Konvers, Invers, dan Kontraposisi?.

5. Mengetahui pengertian dan konsep Tautologi, Kontradiksi, dan Kontigensi?

6. Mengetahui pengertian pernyataan berkuantor?

7. Mengetahui pengertian Penarikan Kesimpulan?

8. Mengetahui bagaimana aplikasi logika dalam jaringan listik?

PEMBAHASAN

LOGIKA MATEMATIKA

Aristoteles adalah ahli filsafat pertama yang menggembangkan logika pada jaman

Yunani kuno, sekitar tahun 400 SM, yang dikenal dengan istilah Logika Tradisional. Pada

pertengahan abad ke-18, G.W. Leibniz (1646-1716) adalah matematikawan pertama yang

mempelajari logika simbolik. Kemudian pertengahan abad ke-19 George Boole (1815-1864),

menulis buku “Law of Thought” yang menggembangkan logika simbolik sebagai sistem

matematika yang abstrak. Matematikawan lain yang berjasa dalam menggembangkan logika

simbolik, diantaranya adalah Leonhard Euler (1707-1783), John Venn (1834-1923), dan

Bertrand Russell (1872-1970).1

Secara etimologis, logika berasal dari kata “logos” (Yunani) yang berarti kata,

ucapan, fikiran secara utuh, atau bisa juga mengandung makna ilmu pengetahuan. Dalam arti

luas logika adalah sebuah metode dan prinsip-prinsip yang memisahkan secara tegas antara

penalaran yang benar dan penalaran yang salah. (logika matematika komplememter hal.1)

Dapat disimpulkan bahwa logika adalah mempelajari benar atau tidaknya hasil atau

kesimpulannya.

Menurut Irving M.Copi pengertian logika adalah, “Ilmu yang mempelajari metode dan hukum-hukum yang digunakan untuk membedakan penalaran yang betul dan penalaran yang salah.” (Irving M. Copi, Iontruductions of Logic, Mac millan publishing New York, 1978).

Itu adalah pengertian logika yang sama dengan pengertian mantiq (arab) yang diungkapkan oleh George F Kneller. Mantig adalah “penyelidikan tentang dasar-dasar berpikir yang benar” (George F Kneller, Logic and langguage of Education, New York, 1996).

Dari pengertian logika atau definisi logika di atas, kita dapat menarik kesimpulan

bahwa logika dan berpikir adalah dua hal yang sangat berbeda.

1 B.K. Normandiri, METEMATIKA Jilid 1 Untuk SMA Kelas X (Jakarta: Erlangga, 2007), halaman 170.

Dimana berpikir adalah bagian dari logika, namun berpikir belum tentu berarti

berlogika.

A. Pernyataan

Dalam logika matematika ada dua jenis kalimat yang penting, yakni kalimat tertutup

(pernyataan) dan kalimat terbuka.

1. Pernyataan adalah suatu kalimat yang memiliki nilai kebenaraanya yang dapat

ditentukan baik nilai yang benar atau yang salah tetapi tidak kedua-duanya.2

Contoh:

a. Nilai x yang memenuhi 3x + 2 = 14

b. Tiga adalah bilangan prima terkecil.

c. Suku kelima barisan 1,3,5,..... adalah 11.

d. Hari ini adalah hari kamis.3

2. Kalimat terbuka adalah suatu kalimat yang memiliki nilai variabel atau peubah

yang nilai kebenarannya belum ditentukan.

a. Pulau x merupakan daerah pariwisata.

b. Kota p merupakan daerah wisata.4

Negasi (Ingkaran) dari pernyataan adalah suatu kalimat yang bertolak belakang

dengan suatu pernyataan ataupun dengan kalimat terbuka. Lambang “~” tidak benar, tidak,

bukan.

B. Pernyataan Majemuk

1. Disjungsi

Disjungsi merupakan pernyataan mejemuk dalam logika matematika yang

menggunakan kata hubung “atau” dan diberi notasi “V”. Jika p dan q adalah

pernyataan maka disjungsi p dan q adalah pernyataan majemuk “p atau q” dan diberi

notasi “p V q”.

Yang perlu diperhatikan bahwa kata “atau” itu tidak selalu sama artinya.

Perhatikan contoh proposisi berikut: “Rizki membeli buku atau pensil”.

2 Ibid., halaman 172.3 Suwah Sembiring, ahmad Zaelani, Cucuh Cunayah, Pelajaran Matematika Untuk SMA/MA Kelas X

Semester 1 dan 2 (Bandung: CV. Yrama Widya, 2009), halaman 248.4 Karseno, Buku Ajar Matematika (Solo: Star Idola, 2009), halaman 2.

Disjungsi tersebut dapat diartikan sebagai berikut.

a. Rizki tidak hanya membeli salah satu, akaan tetapi mungkin membeli

keduanya.Artinya, tidak hanya salah satu harus benar, akan tetapi

mungkin keduanya benar. Disjungsi seperti ini disebut disjungsi

inklusif, dengan dinotasikan p V q.

b. Rizki membeli buku dan tidak membeli pensil, atau Rizki tidak

membeli buku, tetapi membeli pensil. Artinya salah satu harus benar

disebut disjungsi eksklusif, dengan notasi p V q.

c. Disjungsi inklusif menyatakan komponen yang lain dapat benar dan

salah. Jadi p V q berarti p saja, q saja, atau p dan q benar.

d. Disjungsi eksklusif menyatakan komponen yang lain pasti salah. Jadi,

p V q ≡ (p V q) Ʌ (~p V ~q).

TABEL KEBENARAN DISJUNGSI “V”

P q P V q

B B B

B S B

S B B

S S S

Jika pernyataan 1 dan 2 “S” salah maka nilainya “S’’ selain itu benar.

2. Konjungsi

Konjungsi adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataan yang menggunakan

kata hubung “dan” dan diberi notasi “ʌ”.

Jika p adalah suatu pernyataan dan q adalah pernyatan maka konjungsi dari kedua

pernyataan p dan q adalah pernyataan “p dan q” dan diberi notasi “p ʌ q”.5

TABEL KEBENARAN KONJUNGSI “ʌ”

P q P ʌ q

B B B

B S S

S B S

S S S

5 Ibid., halaman 5.

Jika pernyatan 1 dan 2 benar “B” maka nialinya “B” selain itu salah.

Contoh: tentukan nilai kebenaran suatu konjungsi berikut.

a. 15 adalah bilangan prima dan 2.187 habis dibagi 3 (S Ʌ B ≡ S).

b. 2 adalah bilangan prima dan -√529 adalah -23 (B Ʌ B ≡ B).

c. Solo terletak di Jawa Timur dan Ngawi terletak di Jawa Tengah (S Ʌ S

≡ S)

3. Implikasi

Implikasi adalah pernyataan majemuk dalam logika matematika yang

menggunakan kata bersyarat yaitu “jika.....maka.....”.

Diketahui p adalah pernyataan dan q adalah pernyataan. Pernyataan

majemuk yang dinyatakan dengan “jika p maka q” dan diberi notasi “p → q”

merupakan suatu implikasi.

TABEL KEBENARAN IMPLIKASI “→”

P q p → q

B B B

B S S

S B B

S S B

Jika pernyataan 1 benar “B” dan pernyataan 2 salah “S” maka nilainya salah

“S” selain itu benar “B”.

Semua implikasi pasti logis. Akan tetapi untuk menarik kesimpulan cukup

konsekuen benar apabila antisedennya benar, tanpa harus mengetahui apakah

hubungan konsekuen dengan antiseden itu bersifat logis, defisional, empirik. Oleh

karena itu dalam logika sifat hubungan antara konsekuen dan anteseden tidak

perlu dipertimbangkan.6

Contoh:

6 Karseno. loc.cit.

a. Implikasi logis jika suatu bilangan genap habis dibagi 2 maka 52 adalah

bilangan genap.

b. Implikasi defisional jika bangun PQRS adalah persegi panjang maka sisi-

sisi yang sehadap adalah sejajar dan sama panjang.

c. Apabila air didinginkan hingga membeku maka volumenya akan

mengembang.

Konsekuen ≡ “Volume akan mengembang” hanya dapat diketahui melalui

pengamatan empirik.7

4. Biimplikasi

Biimplikasi merupakan pernyataan majemuk yang berbentuk “p jika dan

hanya q” dan diberi notasi “p ↔ q”. Pernyataan ini juga di sebut implikasi dua

arah.

TABEL KEBENARAN BIIMPLIKASI “↔”

P q P ↔ q

B B B

B S S

S B S

S S B

Jika pernyataan 1 dan 2 benar “B” dan salah “S” maka nilainya benar “B”

selain itu salah “S”.

C. KONVERS, INVERS, dan KONTRAPOSISI

Suatu pernyataan implikasi dapat ditulis dalam bentuk “p → q” atau dalam bentuk “jika p maka q”. Dari pernyataan implikasi tersebut kita dapat membentuk tiga pernyataan implikasi lain yang berkaitan dengannya, yaitu:

Pernyataan asal : p → q (jika p maka q) Konvers : q → p (jika q maka p)Invers : ~p → ~q (jika tidak p maka tidak q)Kontraposisi : ~q → ~p (jika tidak q maka tidak p).8

konvers7 Ibid., halaman 6.8 Suwah Sembiring, ahmad Zaelani, Cucuh Cunayah, op. cit., halaman 266.

p → q q → p

invers kontraposisi invers

konvers

Contoh : jika

p : hari hujan

q : matahari bersinar

maka ~p : hari tidak hujan

~q : matahari tidak bersinar

Konversnya : jika matahari tidak bersinar maka hari hujan.

Inversnya : jika hari tidak hujan maka matahari tidak bersinar.

Kontraposisi : jika matahari tidak bersinar maka hari tidak hujan.9

TABEL KEBENARAN Ekuivalen

P Q ~p ~q p → q q→p ~p→~q ~q→~pB B S S B B B BB S S B S B B SS B B S B S S BS S B B B B B B

Ekuivalen10

D. TAUTOLOGI, KONTRADIKSI, dan KONTINGENSIAda beberapa pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar atau selalu

bernilai salah seperti yang terlihat pada tabel ini.11

P ~p p v ~p p Ʌ ~p

9 B.K. Normandiri, op. cit., halaman 200.10 Yayah S. Kusuma, Logika Matematika Elementer (Bandung: Tarsito, 1986), halaman 19.11 Suwah Sembiring, ahmad Zaelani, Cucuh Cunayah, op. cit., halaman 268.

~p → ~q ~q → ~p

B S B S

B S B S

S B B S

S B B S

Pernyataan majemuk yang semua bernilai benar disebut tautologi, dan yang

selalu bernilai salah disebut kontradiksi. Pernyataan majemuk yang bukan tautologi

atau kontradiksi disebut kontigensi.12

E. PERNYATAAN BERKUANTOR

Kuantor berarti pengukuran kuantitas atau jumlah. Kata yang merupakan kuantor

diantaranya semua, seluruh, setiap, tanpa kecuali, ada, beberapa, dan sebagainya. Kuantor

dapat digunakan untuk mengubah suatu kaliamt terbuka menjadi suatu petnyataan yang

disebut pernyataan berkuantor.13

Kuntor terbagi menjadi 2 bagian, yaitu kuantor khusus (kuantor eksistensial), dan

kuantor umum (kuantor universal).

1. KUANTOR KHUSUS

Kuantor khusus (kuantor eksistensial) artinya pengukur jumlah yang

menunjukan keberadaan. Contohnya ada, beberapa, terdapat, atau sekurang-

kurangnya satu. Kuantor khusus dilambangkan dengan Ǝ.

Jika p(x) adalah kalimat terbuka pada suatu himpunan semesta S. Maka

dengan penambahan kuantor khusus akan diperoleh pernyataan :

Dibaca ada x anggota S sehimgga berlaku p(x).

Pernyataan Ǝ X Є S, P(x) bernialai benar apabila ada atau terdapat

sekurang-kurangnya satu nilainya X Є S yang menyebabkan p(x) bernilai

benar, dalam hal lainnya Ǝ X Є S, P(x) bernilai salah.

Contoh:

a. Ada bilangan prima yang merupakan bilangan genap.12 Suwah Sembiring, ahmad Zaelani, Cucuh Cunayah, ibid., halaman 269.13 Ibid., Halaman 270.

Ǝ X Є S, P(x)

b. Beberapa binatang berkaki dua.

c. Terdapat bilangan bulat x yang jika dikalikan 2 hasilnya 15.

Jawab:

a. Karena ada bilangan prima yaitu 2 yang merupakan bilangan

genap, maka pernyataan “Ada bilangan prima yang merupakan

bilangan genap” bernilai benar.

b. Karena beberapa binatang seperti ayam, bebek, merpati berkaki

dua, maka pernyataan “Beberapa binatang berkaki dua” berniali

benar.

c. Karena tidak terdapat bilangan bulat x yang jika dikalikan 2

hasilnya 15, maka pernyataan “Terdapat bilangan bulat x yang

jika dikalikan 2 hasilnya 15” bernilai salah.14

2. KUANTOR UMUM (KUANTOR UNIVERSAL)

Kuantor “semua” merupakan suatu persyaratan yang menggambarkan

bahwa setiap objek atau masalah memenuhi syarat tertentu.

Kuantor universal dilambangkan dengan ∀x dibaca “untuk semua x

atau untuk setiap x berlaku...”.15

Contoh kuantor umum diantaranya untuk semua, untuk setiap, untuk

tiap-tiap, seluruh, atau tanpa kecuali.

Jika P(x) adalah kalimat terbuka pada suatu himpunan semesta S, maka

dengan menambahkan kuantor umum akan diperoleh pernyataan:

Dibaca untuk semua x anggota S berlaku P (x).16

penambahan kuantor didepan kalimat terbuka juga akan mengubahnya

menjadi pernyataan (benar atau salah). (∀x) P(x) disebut pernyataan

berkuantor universal.17

Contoh: Tentukan nilai kebenaran dari:

14 Suwah Sembiring, ahmad Zaelani, Cucuh Cunayah, ibid., halaman 271.15 B.K. Normandiri, op. cit., halaman 178.16 Op. cit., halaman 272.17 B.K. Normandiri, op. cit., halaman 178.

∀X Є S, P(x)

a. ∀ x Є R, x + 2= 5

b. ∀ x Є R, x2 ≥ 0

Jawab:

a. Karena ada x Є R, misalnya x = 4 sehingga x + 2 = 5 bernilai

salah, maka pernyataan ∀ x Є R, x + 2= 5 bernilai salah.

b. Karena tidak ada x Є R yang menyebabkan x2 ≥ 0 bernilai salah,

maka pernyataan ∀ x Є R, x2 ≥ 0 Bernilai benar.

3. INGKARAN SUATU PERNYATAAN BERKUANTOR

a. Ingkaran Kuantor Universal

Misalkan ada pernyataan:

P : Semua bilangan prima adalah ganjil.

Jika kita dapat menemukan paling sedikit 1 bilangan prima

yang tidak ganjil,maka pernyataan p di atas salah.

Dengan demikian, ingkaran dari semua x bersifat A, adalah

“ada (paling sedikit satu) x tidak bersifat A”.

Jadi ingkaran dari berkuantor universal adalah kuantor eksistensial.

Secara simbolik dapat ditulis:18

Contoh:

Tentukan ingkaran dari pernyataan berikut:

18 B.K. Normandiri, loc. cit.

~ [(∀ x) P(x) =( Ǝ x) [~P (x)]]

1) Semua bilangan positif lebih dari 0.

Jawab:

1) Jika P(x) = bilangan positif, maka pernyataan “semua

bilangan positif lebih dari 0” dapat dinyatakan dengan

lambang: (∀ x bilangan positif) . p(x) > 0. Jadi

ingkaran dari (∀ x¿ . p(x) > 0 adalah: ~[(∀ x¿ . p(x) >

0] ≡ ( Ǝ x) . ~[P (x) > 0]] ( Ǝ x) . p(x) ≤ 0.

Tentang nilai kebenaran:

1) (∀ x Є bilangan positif).P(x) > 0 ..........(bernilai benar).

2) (Ǝ x Є bilangan positif ). P(x) ≤ 0.......(bernilai salah).

b. Ingkaran Kuantor Eksistensial

Karena ingkaran kuantor universal adalah kuantor

eksistensial, maka kuantor eksistensial adalah kuantor universal.

Sebagai contoh, pernyataan: “ada siswa kelas X yang tidak

masuk sekolah” dapat dipatahkan (diingkari) dengan pernyataan

“ada siswa kelas X yang masuk sekolah”.19

Secara simbolik dapat ditulis

Contoh:

1. Tentikan ingkaran dari tiap pernyataan berikut.

2. Sebagian bilangan ganjil habis dibagi 3.

3. Ada hewan berkaki empat yang bertanduk.

Jawab:

19 B.K. Normandiri, ibid., halaman 180.

~[ (Ǝ x) P(x)] = (∀ x) [~p(x)]

1. Ingkaran dari “sebagian bilangan ganjil habis dibagi 3”

adalah: semua bilangan ganjil tidak bisa dibagi 3.

2. Ingkaran dari “Ada hewan berkaki empat yang

bertanduk” adalah Semua hewan berkaki empat tidak

bertanduk.20

F. Penarikan Kesimpulan

Pada umumnya penarikan kesimpulan suatu argumen dimulai dari ditentukkannya

himpunan pernyataan tunggal atau pernytaan majemuk yang saling berelasi, dan telah

diketahui kebenarannya, kemudian dapat diturunkan suatu pernyataan tunggal atau

pernyataan majemuk.

Himpunan pernyataan tunggal atau pernyataan majemuk yang ditentukan (diketahui)

disebut premis.

Pernyatan tunggal atau pernyataan majemuk yang diturunkan dari premis-premis

disebut kesimpulan (konklusi). Kumpulan satu atau lebih lebih premis yang sudah dibuktikan

kebenarannya dan satu konklusi yang diturunkan dari premis-premis disebut argumen.

Suatu argumen dikatakan sah (valid) jika dapat dibuktikan bahwa argumen itu

merupakan suatu tautologi untuk semua nilai kebenaran premis-premisnya. Metode yang

sederhana untuk membuktikan suatu argumen sah (valid) adalah dengan bantuan tabel

kebenaran.21

Rujukan yang paling mendasar dalam penarikan kesimpulan adalah definisi.Hanya

saja definisi ini pemakaiannya sering kurang praktis sehingga dari definisi ini diturunkan

rumus atau dalil, diantaranya: Modus Ponens, Modus Tollens, dan Silogisme.

1. Modus Ponens

Dimulai dari sebuah contoh:

a. Jika pintu lalu lintas kereta api ditutup, maka lalu lintas akan

terhenti.

b. Pintu lalu lintas ditutup.

20 B.K. Normandiri, ibid., halaman 180.21 Karseno, op. cit., halaman 11.

Jadi, kesimpulannya terdapat kemacetan lalu lintas.22 23Bentuk dari argumen Modus Ponens adalah:

Premis 1 : p → q

Premis 2 : p

Konklusi : q

Contoh lain:

a. Premis 1 : jika suatu bilangan kelipatan 4, maka bilangan itu genap.

Premis 2 : 20 kelipatan 4.

Konklusi : 20 bilangan genap.24

b. Premis 1 : jika x bilangan prima maka x mempunyai dua faktor.

Premis 2 :7 adalah bilangan prima.

Konklusi : 7 mempunyai dua faktor.

c. Premis 1 : Jika f (x) =f(-x) untuk semua x Є R, maka f(x) fungsi genap.

Premis 2 : cos x = cos (-x) untuk semua x Є R.

Konklusi : cos x fungsi genap.25

2. Modus Tollens

Bentuk dari argumen Modus Tollens adalah:

Premis 1 : p → q (suatu pernyataan yang benar)

Premis 2 : ~q (suatu pernyataan yang benar)

Konklusi : ~p (suatu pernyataan yang benar)

Contoh :

a. Premis 1 : Jika hari hujan, maka saya memakai jas hujan.

Premis 2 : Saya tidak memakai jas hujan.

Konklusi : Hari tidak hujan.26

b. Premis 1 : Jika x merupakan bilangan prima, maka x mempunyai dua

faktor.

22Yayah S. Kusuma, op. cit., halaman 47.23 Marthen Kanginan, Siap UN Matematika SMA/MA (Jakarta: Erlangga, 2009), halaman 124 B.K. Normandiri, op. cit., halaman 203.25 Suwah Sembiring, ahmad Zaelani, Cucuh Cunayah, op cit., halaman 276.26 Op. cit.., halaman 204.

Premis 2 : 4 tidak mempunyai dua faktor.

Konklusi : 4 bukan bilangan prima.

c. Premis 1 : Jika suatu segitiga sama sisi, maka segitiga tersebut sama kaki.

Premis 2 : Segitiga ABC tidak sama kaki

Konklusi : 4 bukan bilangan prima.27

3. Silogisme

Premis 1 : p → q (benar)

Premis 2 : q → r (benar)

konklusi : p → r (benar)

Contoh :

a. Premis 1 : Jika saya belajar maka saya naik kelas.

Premis 2 : Jika saya naik kelas maka saya diajak ayah ke Bali.

Kesimpulan: Jika saya belajar maka saya diajak ayah ke Bali.

b. Premis 1 :Jika musim hujan, maka Fulan sakit asma.

Premis 2 : Jika Fulan sakit asma, maka ia tidak sekolah.

Kesimpulan : Jika musim hujan, maka ia tidak sekolah.

c. Premis 1 : Semua bilangan genap adalah habis dibagi 2.

Premis 2 : 20 adalah bilangan genap.

Kesimpulan : 20 habis dibagi 2.28

G. Aplikasi Logika dalam Jaringan Listrik

Pada jaringan listrik ada 2 macam hubungan pokok, yaitu: Hubungan seri, dan

Hubungan parallel. Untuk hubungan seri, jika digambarkan seperti berikut:

p q

Stop kontak didefinisikan dengan p,q,r,.. jika tombol buka, sebut B (terbuka), dan jika

tertutup maka ditulis dengan (tertutup).29

27 Suwah Sembiring, ahmad Zaelani, Cucuh Cunayah, op. cit., halaman 277.28 B.K. Normandiri, op. cit., halaman 204.29 Yayah S. Kusumah, op. cit., halaman 22.

Pada hubungan seri di atas, arus listrik dinyatakan dengan tanda panah. Jika tombol p

ditutup, demikian pula q, maka mengalirlah arus listrik. Namun jika salah satu atau keduanya

dibuka, maka arus listrik jelas tidak mengalir.

Dengan didefinisikan b terbuka dan t tertutup, didapatkan penyusunan tabel hubungan

seri seperti berikut:30

P Q ARUS

T T Ada

T B Tidak ada

B T Tidak ada

B B Tidak ada

Jika diperhatikan, ternyata tabel ini sama dengan tabel yang sudah dibuat sebelumnya.

Yaitu “Konjungsi”. Bila t diganti B dan b diganti S, sedangkan “ada arus” diartikan sebagai

B, dan “tidak ada arus” diartikan sebagai S.

Maka kelihatan sekali bahwa persamaan antara kedua tabel tersebut.31

TABEL KONJUNGSI

P Q P Ʌ q

B B B

B S S

S B S

S S S

Untuk hubungan parallel, dapat digambarkan sebagai berikut:

P

q

30 Yayah S. Kusumah, ibid., halaman 22.31 Ibid., halaman 23.

Ada tidaknya arus yang mengalir, dapat dilihat lewat diagram diatas. Jika salah satu

dari kedua tombol p dan q atau sekaligus kedua-duanya tertutup, maka mengalirlah arus.

Arus tidak mengalir hanya jika p dan q semuanya terbuka. Dengan demikian dapat dibuat

tabel hubungan parallel seperti yang dibawah ini:

P Q ARUS

T T Ada

T B Ada

B T Ada

B B Tidak ada

Tabel ini sama dengan tabel disjungsi.32

32 Yayah S. Kusumah, loc. cit.

PENUTUP

A. KESIMPULAN

Pernyataan adalah suatu kalimat yang memiliki nilai kebenaraanya yang dapat

ditentukan baik nilai yang benar atau yang salah tetapi tidak kedua-duanya.

Kalimat terbuka adalah suatu kalimat yang memiliki nilai variabel atau peubah yang

nilai kebenarannya belum ditentukan.

Negasi (Ingkaran) dari pernyataan adalah suatu kalimat yang bertolak belakang

dengan suatu pernyataan ataupun dengan kalimat terbuka. Lambang “~” tidak benar, tidak,

bukan.

Disjungsi merupakan pernyataan mejemuk dalam logika matematika yang

menggunakan kata hubung “atau” dan diberi notasi “V”. Jika p dan q adalah pernyataan maka

disjungsi p dan q adalah pernyataan majemuk “p atau q” dan diberi notasi “p V q”.

Konjungsi adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataan yang menggunakan kata

hubung “dan” dan diberi notasi “Ʌ”. Jika p adalah suatu pernyataan dan q adalah pernyatan

maka konjungsi dari kedua pernyataan p dan q adalah pernyataan “p dan q” dan diberi notasi

“p Ʌ q”.

Implikasi adalah pernyataan majemuk dalam logika matematika yang menggunakan

kata bersyarat yaitu “jika.....maka.....”.

Biimplikasi merupakan pernyataan majemuk yang berbentuk “p jika dan hanya q”

dan diberi notasi “p ↔ q”. Pernyataan ini juga di sebut implikasi dua arah.

Konvers : q → p (jika q maka p)

Invers : ~p → ~q (jika tidak p maka tidak q)

Kontraposisi : ~q → ~p (jika tidak q maka tidak p)

Pernyataan majemuk yang semua bernilai benar disebut tautologi, dan yang selalu

bernilai salah disebut kontradiksi. Pernyataan majemuk yang bukan tautologi atau

kontradiksi disebut kontigensi.

Kuantor berarti pengukuran kuantitas atau jumlah. Kata yang merupakan kuantor

diantaranya semua, seluruh, setiap, tanpa kecuali, ada, beberapa, dan sebagainya. Kuantor

dapat digunakan untuk mengubah suatu kaliamt terbuka menjadi suatu peRnyataan yang

disebut pernyataan berkuantor.

Kuantor khusus (kuantor eksistensial) artinya pengukur jumlah yang menunjukan

keberadaan. Contohnya ada, beberapa, terdapat, atau sekurang-kurangnya satu. Kuantor

khusus dilambangkan dengan Ǝ. RUMUS Ǝ X Є S, P(x)

Kuantor Umum (Kuantor Universal) Kuantor “semua” merupakan suatu

persyaratan yang menggambarkan bahwa setiap objek atau masalah memenuhi syarat

tertentu. RUMUS ∀X Є S, P(x).

RUMUS Ingkaran Kuantor Universal ~ [(∀ x) P(x) =( Ǝ x) [~P (x)]]

RUMUS Ingkaran Kuantor Eksistensial ~[ (Ǝ x) P(x)] = (∀ x) [~p(x)]

Penarikan kesimpulan Pada umumnya penarikan kesimpulan suatu argumen dimulai

dari ditentukkannya himpunan pernyataan tunggal atau pernytaan majemuk yang saling

berelasi, dan telah diketahui kebenarannya, kemudian dapat diturunkan suatu pernyataan

tunggal atau pernyataan majemuk.

1. Modus Ponens

Premis 1 : p → q (suatu pernyataan yang benar)

Premis 2 : p (suatu pernyataan yang benar)

Konklusi : q (suatu pernyataan yang benar)

2. Modus Tollens

Premis 1 : p → q (suatu pernyataan yang benar)

Premis 2 : ~q (suatu pernyataan yang benar)

Konklusi : ~p (suatu pernyataan yang benar)

3. Silogisme

Premis 1 : p → q (benar)

Premis 2 : q → r (benar)

konklusi : p → r (benar)

Aplikasi logika dalam jaringan listrik Pada jaringan listrik ada 2 macam hubungan

pokok, yaitu: Hubungan seri, Hubungan parallel. Hubungan seri berhubungan dengan

konjungsi, dan hubungan parallel dengan disjungsi.

B. Saran

Demikian yang dapat penulis sampaikan mengenai materi Logika Matematika yang

menjadi pokok bahasan dalam makalah ini, tentunya masih banyak kekurangan dan

kelemahannya, kerena terbatasnya pengetahuan dan kurangnya rujukan atau referensi yang

ada hubungannya dengan judul makalah ini.

Penulis banyak berharap para pembaca yang budiman memberikan kritik dan saran

yang membangun kepada penulis demi sempurnanya makalah ini dan dan penulisan makalah

di kesempatan-kesempatan berikutnya. Semoga makalah ini berguna bagi penulis pada

khususnya juga para pembaca yang budiman pada umumnya.

DAFTAR PUSTAKA

Handoyo 04 Desember 2012. “Pengertian Logika Menurut Para Ahli” (online)

(http://id.shvoong.com/social-sciences/education/2339597-pengertian-logika-

menurut-para-ahli/#ixzz2UpJi4200, diunduh 31 Mei 2013 pukul 20:43 WIB).

Kanginan Marthen. Siap UN Matematika

SMA/MA.Jakarta: Erlangga.

Karseno. 2010. Buku Ajar Matematika

Solo: Putra Kertonan.

Kusuma S. Yaya. 1986. Logika Matematika Elementer.

Bandung: Tarsito.

Noormandiri, B.K. 2006. Matematika Jilid 1 Untuk SMA Kelas 1.

Jakarta: Erlangga.

Sembiring Suwah, Zaelani Ahmad, dan Cunayah Cucun. 2009.Pelajaran

Matematika Untuk SMA/MA Kelas X semester 1 dan 2.

Bandung: CV.TRAMA WIDYA.