BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Setelah berhasil diisolasi oleh Konstantin Novoselov dan Andre Geim pa-da tahun 2004, yang kemudian dikenal dengan "Scotch− tape method" (Tabertdan Nicol, 2012) yang berhasil mengantarkan mereka meraih penghargaan nobelpada tahun 2010, Graphene yang merupakan kristal atom karbon dua dimensiyang terdiri atas susunan atom karbon pada kisi hexagonal (Novoselov,2011),telah menarik banyak ilmuan untuk menelitinya. Hal ini disebabkan karenaadanya sifat-sifat unik pada material graphene yang dahulunya mustahil di-temukan dalam kajian fisika material, diantaranya Massless Dirac Fermions,Balistic Electron Transport Efek Hall Quantum, dan Chiral Tunneling(Netodkk, 2009). Graphene tersusun pada kisi kisi seperti sarang lebah Honeycomb

Lattice(Gambar 1.1)dimana kisi-kisinya terdiri dari dua atom A dan B per unitsel dan invarian terhadap rotasi 120o pada kisinya (Geim,2011).

Graphene tersusun atas atom-atom karbon dengan konfigurasi 1s22s22p2,dimana terdapat 4 elektron bebas pada orbital 2s dan orbital 2p. Pada orbi-tal p, kemudian bisa dipecah menjadi orbital px,py,dan pz (Tabert,2012). Padagraphene 2s, 2px dan 2py, orbital dari atom karbon berkombinasi (hybridize un-tuk membentuk tiga orbital baru yang disebut SP 2 yang menghasilkan ikatan σbonds). Orbital pz(satu elektron) tegak lurus pada bidang yang dibentuk atomkarbon orbital 2pz dari kombinasi atom-atom yang berbeda untuk membentukikatan π(valensi) dan ikatan π*(konduksi). Masing-masing pz menyumbangkansatu elektron. Ikatan π juga bertindak sebagai muatan pembawa pada sistem(Tabert,2012), dimana orbital π berpengaruh terhadap sifat elektronik dari gra-phene (Perez : 2009) dan hibridisasi dari SP 2 yang merupakan ciri simetrihexagonal pada Graphite, Graphene dan Carbon Nanotubes (CNTs) (Dasmukhdan Singh,2013).

Pada sudut-sudut Zona Brilloun (Brilloun Zone) yang berbentuk hek-sagonal, terdapat dua titik yang saling berhimpit antara pita konduksi dan pitavalensi yakni pada K dan K ′ yang disebut sebagai titik Dirac (Dirac Points).Struktur pita yang terletak dekat dengan salah satu titik Dirac ini memiliki

1

2

dispersi energi yang menyerupai dispersi energi partikel-partikel ultrarelativis-tik. Partikel-partikel ini dapat dideskripsikan dalam mekanika kuantum melaluipersamaan Dirac tak bermassa (Dirac Massless)(Castro Neto, 2009).

Pada lembaran graphene netral, ikatan valensi dan konduksi bertemupada fermi energi yang menyebabkan graphene menjadi semi-metal atau semi-konduktor dengan gap bernilai nol. Band-nya berbentuk lembah kerucut yangbersentuhan pada dua simetri tinggi yang ditandai dengan K dan K ′ pada ZonaBrilloun (ZB) dekat titik ini dengan variasi energi linear dengan jumlah momen-tum. (Peres,2009).

Gambar 1.1: Struktur Kisi Hexagonal Graphene (Novoselov,2011)

Selain layer tunggal (Monolayer) kajian terhadap graphene juga dila-kukan pada pada layer ganda (bilayer) atau banyak layer (multilayer) atauyang dikenal dengan istilah Few Layer Graphene (FLG). Salah satu modelgraphene layer ganda adalah graphene layer ganda dengan untiran Twisted

Bilayer Graphene (TBG). Model ini sebenarnya berasal dari model tumpuk-an AA (AA Stack) atau tumpukan AB (AB Stack) pada graphene layer gan-da tetapi diantara lembaran adanya sudut rotasi (θ)(Morel dan Pacheo, 2013).Model TBG ini cukup menarik untuk dikaji karena menghasilkan sifat sifat fi-sis yang tidak ditemukan pada model graphene monolayer seperti pola superstruktur(superstructure) yang dikenal dengan pola moire (Moire Pattern),Low − Energy SVH (Singularitas V an Hove), massless, Dirac fermionsdan renormalisasi kecepatan fermi(Raza,2012). Selain itu model TBG juga dija-dikan gagasan untuk merekayasa graphene murni menjadi superkonduktor yaknidengan cara mendekatkan nilai SVH dengan aras-Fermi. SVH atau juga dikenal

3

dengan titik kritis (Critical Point) pada ZB, merupakan nilai singularitas DOSpada kristal zat padat. Singularitas ini terjadi berkaitan dengan distribusi elek-tron pada level states energi. Informasi nilai SVH dapat diamati dari nilai rapatkeadaan, sehingga nilai rapat keadaan menarik untuk dikaji. Rapat Keadaanatau Density Of State (DOS) merupakan gambaran tentang keadaan(States)pada tiap level energi (Yuan dkk, 2010). Tabert dalam publikasinya mendefe-nisikan dengan "gambaran tentang keadaan (States)yang bebas ditempati elek-tron". Dengan kata lain dari informasi nilai DOS,bisa diperoleh informasi nilaielektron di setiap states pada tiap level energi. Nilai SVH bisa diprediksi pa-da grafik energi dispersi yakni pada saat nilai gradien garis bernilai minimum.Pada grafik tiga dimensi nilai SVH ini bisa diprediski dari posisi saddle Point,yakni pada titik pertemuan pada saat nilai valensi dan konduksi bernilai mini-mum dan bernilai maksimum yang dalam graphene netral berada pada titik M.Dari Informasi DOS juga bisa diperoleh informasi tentang kecepatan fermi vfdimana nilainya bisa diperoleh dari nilai gradien (m) pada pola linearitas yangdibentuk pada energi rendah (Low − Energy) yang terdapat pada grafik DOS.Perubahan kecepatan fermi vf pada tiap variasi sudut untiran akibat perubahangradien (m) yang dibentuk dari pola linear pada nilai DOS bisa diperoleh infor-masi perubahan kecepatan fermi atau disebut Renormalisasi Kecepatan Fermi(vf ).

Kajian terhadap nilai DOS sendiri juga telah banyak dilakukan baik seca-ra analitik maupun numerik. Castro Neto, dkk(2009) misalnya menghitung nilaiDOS secara analitik pada graphene monolayer dengan memvariasikan parameterlompatan atom (Hopping Parameter) t dan t′ dimana nilai t merupakan nilailompatan untuk atom terdekat dan t′ adalah nilai lompatan atom terdekat selan-jutnya. Pada perhitungan tersebut diperoleh nilai SVH yang berada pada nilai±1eV (Neto dkk,2009). Nilai DOS yang sama juga didapatkan oleh Yuan, dkk(2010) dengan menggunakan pengembangan metode numerik dari model TDSE(Time − Dependent Schrodinger Equation). Selain monolayer, Tabert(2012)juga Menghitung nilai DOS secara analitik untuk model Graphene Bilayer, ba-ik untuk tumpukan AA maupun tumpukan AB. Sedangkan perhitungan DOSuntuk nilai TBG juga dilakukan oleh Li dkk (2009) secara eksperimen menggu-nakan STM dan STS untuk melihat nilai SVH pada nilai DOS yang diperoleh.Hasil inilah yang menjadi acuan bagi Manaf (2014) untuk menghitung nilai DOSsecara analitik dengan sudut untiran θ = 1, 16o,θ = 1, 79o,dan θ = 3, 48o. Ma-

4

naf(2014) mengkaji nilai DOS untuk TBG secara analitik, untuk melihat variasinilai SVH dan jaraknya terhadap aras-Fermi terhadap variasi nilai sudut untir-an θ (Sudut untiran/rotasi antar layer graphene). Li dkk, dalam publikasinya(2009) melakukan pengamatan nilai energi rendah SVH pada nilai DOS seca-ra eksperimen. Pengukuran menggunakan Scanning Tunnelling Spectroscopy(STS) ini dilakukan menggunakan graphene TBG. Mereka menemukan bahwaposisi dari singularitas dapat diatur dengan memvariasikan sudut relatif padasudut diantara layer (Morell dkk, 2010).

Perhitungan untuk menghitung nilai DOS pada skripsi ini berdasarkannilai DOS yang telah diteliti sebelumnya dengan sudut untiran θ = 1, 16o,θ =

1, 79o,dan θ = 3, 48o (Manaf, 2014). Pada umumnya rapat keadaan dihitungsecara numerik menggunakan persamaan N(E) = Nf

∑k δ(E − E(k)), yakni

ketika posisi E = E(k) dimana nilai selisihnya sama dengan nol. Nf meru-pakan faktor degenerasi kemudian nilai-nilai N(E) dikelompokan berdasarkannilai-nilai yang memiliki nilai-nilai yang hampir sama, misal nilai akar-akar yangdiperoleh adalah 1.85, 1.9, 2, 2,1 dan 2.15. Nilai-nilai ini dikelompokan kedalamnilai 2 sehingga berjumlah lima untuk menjadi jumlah nilai rapat keadaan padalevel energi (E) tersebut. Dari metode yang digunakan akan terlihat bahwa nilaiyang dihasilkan akan memilki nilai ralat yang cukup besar dikarenakan nilai-nilaiyang ada dianggap sama dengan nilai yang terdekat sehingga memiliki selisihberdasarkan nilai rentang pengelompokan nilai-nilai tersebut, misal untuk ka-sus diatas nilai dua berkisar antara nilai 1,8-2,15 sahingga nilai ralat memilikirentang sebesar ±0, 35. Atas dasar inilah untuk tinjauan pada skripsi ini di-gunakan metode yang lebih akurat yakni mengimplementasikan nilai ε = E(k)

tetapi dengan pendekatan nilai yang mendekati nilai yang sebenarnya. Nilaitersebut dapat direpresentasikan dengan nilai akar-akar dari persamaan energidispersi dikurangi dengan nilai level energi E. Salah satu metode yang bisadigunakan adalah metode Newton-Raphson(NR). Penggunaan metode pencari-an nilai akar, Newton-Raphson. dikarenakan untuk menghitung nilai akar-akarpada netode NR hanya membutuhkan satu nilai tebakan awal, sehingga nilaitebakan awal bisa dibuat pada rentang nilai tertentu karena setiap nilai akandianggap sebagai nilai tebakan awal. Selain karena yang akan menjadi nilai ra-pat keadaan adalah jumlah dari nilai-nilai yang ada, misal seperti contoh diatasuntuk nilai N(k) pada level energi (E) yakni 1,85, 1,9, 2, 2,1 dan 2,15 sehingganilainya berjumlah lima untuk nilai N(k)=2. Pada persamaan energi dispersi ti-

5

dak semua nilai tebakan awal akan memiliki nilai akar-akar sehingga setiap nilaiakar-akar yang ada akan didefenisikan sebagai nilai 1 jika memilki nilai akar danbernilai 0 jika tidak memilki nilai akar. Penjumlahan nilai akar yang telah dide-fenisikan inilah yang kemudian dijumlahkan pada tiap level energi yang menjadinilai rapat keadaan. Karena perhitungan nilai rapat keadaan berdasarkan ener-gi dispersi pada dengan dua variabel x dan y selain penjumlahan berdasarkannilai level energi misal variabel y, nilai-nilai rapat keadaan yang diperoleh jugadijumlahkan pada pada variabel y sehingga jika divisualisasikan akan berupapenjumlahan slices. sejauh ini penulis belum menemukan metode perhitung-an rapat-keadaan mengimplementasikan metode NR. Oleh karena itulah penulistertarik untuk mencoba mengkaji metode ini.

1.2 Batasan Masalah

Batasan masalah dalam penelitian ini adalah: Material Graphene layerganda (Bilayer Graphene) ditinjau secara puntiran TBG dimana sudut untirandivariasi sebesar 1, 16o 1, 79o dan 3, 84o. Penelitian ini dilakukan dengan mela-kukan perhitungan secara numerik untuk membandingkannya dengan hasil yangdidapatkan secara analitik maupun eksperimen dari acuan nilai yang telah ada.Nilai yang dihitung ialah Rapat keadaan atau Density of State (DOS) menggu-nakan metode Newton-Raphson (NR) dan menganalisa nilai SVH,renormalisasidari kecepatan fermi vf , dan faktor lompatan energi (tθ) yang didapatkan darinilai DOS untuk variasi sudut untiran (θ).

1.3 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah :

1. Memahami struktur elektronik dari Sistem TBG.

2. Membuat program perhitungan menggunakan metode Newton Raphson(NR) untuk menghitung nilai DOS pada graphene layer tunggal dan gra-phene layer ganda.

3. Menghitung dan membandingkan dengan nilai DOS dan SVH pada per-hitungan yang diperoleh menggunakan metode Newton-Raphson denganhasil yang telah diperoleh sebelumnya baik analitik maupun eksperimen

6

serta mengkaji nilai renormalisasi kecepatan fermi vf dan parameter faktorenergi lompatan (tθ) pada TBG.

1.4 Tinjauan Pustaka

Kajian terhadap terhadap nilai DOS dari graphene juga telah banyakdikaji, baik secara teoretik maupun numerik, Castro Neto, dkk (2009) dalampublikasinnya melakukan kajian analitik untuk nilai DOS pada Monolayer Gra-phene dimana diperoleh nilai persamaan DOS per unit sel:

ρ(E) =2Acπ

|E|v2f

(1.1)

Ac adalah area unit sel dengan nilai Ac = 3√

3a2/2. Nilai DOS tersebutmerupakan nilai graphene yang berbeda dari nilai DOS pada Carbon Nanotubes(Neto dkk,2009).

Yuan, dkk (2010), menghitung nilai DOS secara numerik dengan algori-tma yang merupakan pengembangan dari model TDSE untuk menemukan distri-busi nilai eigen (Eigen V alue) dalam area matriks yang sangat luas. Ide utamayang digunakan ialah superposisi acak dari semua basis states sebagai inisialstate |ϕ(0)〉 =

∑i ai|i〉, dimana |i〉 merupakan basis states dan ai merupakan bi-

langan kompleks. Solusi numerik dari TDSE (Time Dependent SchrodingerEquation) menggunakan persamaan alghoritma Chebyshev polynomial yangberdasarkan pada representasi dari polinomial dari operator U(t) = eitH .

Dari gambar (1.2) dan (1.3) yang merupakan hasil dari perhitungan DOSsecara analitik pada graphene monolayer, diperoleh nilai DOS terhadap variasinilai Energi dispersi (E(~k))/Nilai harap (t). Hasil dengan pola yang sama,dengan faktor SVH berkisar pada rentang pada rentang nilai ±1eV, Tabert(2012) dalam publikasinya menghitung nilai DOS untuk graphene layer gandauntuk tumpukan AA dan tumpukan AB. Berdasarkan nilai persamaan DOS(Tabert,2012):

N(ε) =2γ

π (~υf )2

[∣∣∣∣ εγ − 1

∣∣∣∣+

∣∣∣∣ εγ + 1

∣∣∣∣] . (1.2)

Gambar (1.3(atas)) dan (1.4(a)) memperlihatkan perbedaan nilai DOSantara lembaran tumpukan AA dan tumpukan AB. Untuk nilai DOS padaAA stack (gambar 1.5)ada dua variasi nilai yakni tanpa nilai assymmetri gap

7

Gambar 1.2: Rapat muatan (DOS) yang dihitung dari energi dispersi Denganvariasi nilai t’=0 (atas) dan t’=0.2 (bawah)(t merupakan parameter lompat-an atom terdekat dan t’ parameter lompatan atom terdekat selanjutnya(Netodkk,2009)

(∆=0)dan dengan assymetri gap (∆=1,5γ) untuk nilai rapat muatan pada tum-pukan AB dan rapat spin ganda untuk tumpukan AA pada units 2γ/π(~vf )2.

Li dkk (2009), juga mengkaji nilai DOS secara eksperimen dengan meng-gunakan STM (scanning tunneling microscopy) dan dan STS (scanniing tunnelingspectroscopy) yang didasarkan pada pola moire′ (moire′ pattern), menemukannilai DOS untuk sudut untiran θ = 1, 79o (Gambar 1.9) (Li dkk,2009).

Gambar (1.4 c) memperlihatkan pola SVH untuk TBG yang memilikikemiripan dengan energi pada kondisi saddle point (Pola Pelana Kuda) untukθ = 1, 79o,dan t⊥ = 0, 24 eV (Guohong Li dkk,2009).

Manaf (2014) dalam publikasinya juga menghitung nilai DOS pada TBGsecara analitik berdasarkan nilai eksperimen yang telah dikaji sebelumnya (Lidkk,2009) dengan menggunakan persamaan :

D(E) =1

16απ3N [ln|

βα2 + E2f

βα2 + E2|]. (1.3)

Gambar (1.4 ) menunjukan nilai DOS dari graphene layer untiran untukvariasi 3 sudut yakni1, 16o,1, 79o,dan 3, 48o. dari ketiga tersebut memperlihatkan

8

Gambar 1.3: (atas)Dos untuk graphene monolayer mengguanakan metode me-tode numerik pengembangan dari model TDSE (Yuan, 2010)(bawah)(a)Rapatmuatan (DOS) Graphene layer tunggal(b)DOS Graphene layer Ganda tumpuk-an AA (b.1)Tanpa Symmetri dan (b.2)Dengan Symmetri(Tabert,2012)

grafik DOS pola yang sama. Perbedaannya terdapat pada nilai SVH (Menjadipuncak pada grafik) yang berbeda pada masing masing grafik. Semakin besarsudut untirannya maka besar nilai SVH bergeser ke nilai yang lebih besar yaknidari Dirac Point. Nilai DOS yang di plot pada sumbu-y pada grafik yangdiperoleh juga memperlihatkan nilai yang lebih besar untuk nilai untiran yanglebih besar.

Dari hasil kajian pustaka yang telah dilakukan menunjukan bahwa perhi-tungan nilai DOS menggunakan Metode NR khususnya untuk perhitungan nilaiDOS graphene monolayer maupun graphene TBG, belum pernah ada sebelum-nya sehingga penulis tertarik untuk mencoba melakukan perhitungan nilai DOSmenggunakan metode NR ini.

9

Gambar 1.4: (a)DOS Graphene layer ganda tumpukan AB (Tabert,2012)(b)DOS pada TBG dengan sudut untiran θ = 1, 79o, t⊥ = 0, 24 eV(Lidkk,2009)(bawah)DOS untuk variasi nilai sudut puntiran pada bilayer graphene1, 16o,1, 79o,dan 3, 48o (Manaf,2014)

10

1.5 Metode Penelitian

Metode penelitian yang digunakan dalam skripsi adalah studi/kajian li-teratur dan perhitungan secara numerik menggunakan program Matlab.Secaraumum tahap tahapnya adalah :

1. Mempelajari Struktur elektronik dari sistem graphene baik Monolayer,Bilayer, dan TBG sampai dengan persamaan energi dispersi.

2. Membuat program perhitungan untuk menentukan nilai DOS pada graphe-ne dan TBG untuk variasi θ 1, 16o,1, 79o,dan 3, 48o menggunakan metodeNewton-Raphson.

3. Menganalisa nilai DOS yang telah diperoleh yakni perbandingan nilaiDOS tiap untiran, posisi SVH/sudut kritis, renormalisasi kecepatan fer-mi (Fermy V elocity,vf ) akibat variasi sudut untiran dan faktor energilompatan (to) untuk TBG.

Nilai DOS yang dihitung pada model graphene monolayer dan modelTBG. Model graphene monolayer bertujuan untuk melihat apakah program per-hitungan yang dibuat hasilnya sama dengan nilai perhitungan DOS pada modelgraphene monolayer yang telah ada sebelumnya. Kemudian jika hasilnya sesu-ai modal perhitungan tersebut digunakan untuk perhitungan DOS pada modelgraphene TBG dengan variasi variasi θ 116o,1, 79o,dan 3, 48o.

Alur perhitungan persamaan energi dispersi untuk menghasilkan nilaiDOS menggunakan metode Newton Raphson berdasarkan persamaan energi dis-persi dijelaskan pada bagan alir pada gambar (1.5).

Sedangkan bagan alir penelitian dan bagan algoritma perhitungan DOSdari persamaan energi dispersi menggunakan metode NR dengan parameter-parameter numerik yang ada, dijelaskan pada gambar (1.6) dan gambar (1.7)

11

Gambar 1.5: Bagan alir penggunaan metode Newton Raphson untuk menghi-tung DOS berdasarkan persamaan energi dispersi E(~k)

Gambar 1.6: Diagram alir penelitian

12

Mulai

Energi dispersi E(k), E’(k)

Parameter, E, Ky, Kx,n

)(xE

E)E(x - = xx

i

iii

' 1

Iterasi > n Iterasi < n

)(xE

E)E(x - x x

i

iii

' 1

)(xE

E)E(x - = xx

i

iii

' 1

Xi+1 = 0 Xi+1 = 1

i

ni

iyiy x = x 11

i

ni

iy

i

ni

ixix x =x )( 11

Selesai

Gambar 1.7 Algoritma menghitung DOS menggunakan metode Newton-Raphson

13

Perhitungan secara numerik menggunakan metode Newton Raphson (NR)berdasarkan energi dispersi. Persamaan ini dimasukan kedalam program per-hitungan dengan berbagai variasi parameter numerik yang telah dibuat meng-gunakan program Matlab dengan spesifikasi komputer yang digunakan yakniOS processor intel(R) Core(TM)i3-3217U CPU @1.8 GHz RAM 4 GB 64 BitOperating.

Sedangkan untuk nilai turunan dari energi dispersi (E ′(x)) yang dipakaipada persamaan NR dihitung secara numerik menggunakan fungsi diff(E(x),Ky)yang telah tersedia pada program Matlab (Lampiran A 1.2).

1.6 Sistematika Penulisan

Skripsi ini terdiri dari beberapa bab dan masing-masing terdiri dari bebe-rapa sub-bab dengan merinci pokok-pokok permasalahan sehingga penulisannyadapat dilakukan secara sistematis.

1. Bab I. Pendahuluan berisi uraian latar belakang masalah, batasan ma-salah, tujuan penulisan, tinjauan pustaka, metode penelitian, sistematikapenelitian dan keaslian skripsi.

2. Bab II.Landasan Teori ; berisi tentang konsep -konsep dasar dari beberapasifat graphene meliputi, Sifat Geometri, Nilai Halmitonan, Energi disper-si,dan Density Of State (DOS) SVH dan Renormalisasi Kecepatan Fermi(vf ) untuk lembaran tunggal (Monolayer) graphene,lembaran ganda (Bila-yer) dan lembaran ganda dengan untiran atau Twisted Bilayer Graphene(TBG).

3. Bab III.Hasil dan Pembahasan; berisi hasil dari peritungan numerik sertapembahasan tentang hasil perhitungan numerik dan perbandingan dengannilai yang telah diteliti sebelumnya baik secara teoritik maupun eksperi-men.

4. Bab IV.Kesimpulan dan saran.