bab 8 metode variasi

Bab VIII/ Metode Variasi /

BAB VIII

METODE VARIASI

8.1 Teorema Variasi

Problem sentral kimia kuantum sebenarnya adalah menentukan energi suatu

sistem yang pada dasarnya dapat dilakukan dengan cara menyelesaikan persamaan

Schrodinger. Untuk sistem sederhana seperti partikel dalam box, gerak harmonis satu

dimensi atau sistem atom hidrogen penyelesaian persamaan Schrodinger telah pernah kita

lakukan dan tidak membutuhkan kalkulasi yang terlalu rumit. Namun untuk sistem yang

terdiri atas banyak partikel seperti pada atom berelektron banyak atau pada molekul

penyelesaian persamaan Schrodinger untuk sistem tersebut tidak sederhana atau bahkan

merupakan sesuatu yang mustahil. Untuk itu pada bab ini kita akan mempelajari salah

satu metode aproksimasi (pendekatan) yaitu metode variasi. Metode variasi ini didasari

oleh teorema sebagai berikut:

Telah kita ketahui bahwa jika operator Hamilton adalah operator penentu

energi terendah E1 maka untuk sistem yang fungsi gelombangnya , berlaku:

dan untuk sembarang fungsi gelombang ternormalisasi yang berkelakuan baik dan

kondisi boundarynya sesuai dengan kondisi boundary maka berlakulah:

ternormalisasi (8-1)

dengan adalah fungsi gelombang partikel yang susungguhnya sedang adalah fungsi

gelombang aproksimasi atau fungsi variasi.

=====================================================

Pembuktian teorema (8-1):

Untuk membuktikan teorema tersebut, marilah kita perhatikan uraian berikut ini. Telah

kita ketahui bahwa suatu fungsi dapat diekspansi menjadi suatu kombinasi linear yang

suku-sukunya merupakan fungsi eigen. Untuk ini kita misalkan diekspansi ke dalam

fungsi eigen k sehingga:

= a k kk

(8-2)

150


dan karena adalah fungsi eigen maka padanya berlaku:

(8-3)

Substitusi (8-2) ke dalam ruas kiri (8-1) membuat ruas kiri ini menjadi:

Dengan menggunakan persamaan eigen (8-3), maka ruas kiri (8-1) menjadi::

karena aj ; ak dan Ek adalah bukan fungsi, maka mereka dapat dikeluarkan dari tanda

integral, sehingga:

= akjk

* a E j j kj

Perlu diingat bahwa kj berharga 1, jika k = j dan 0 jika k j sehingga ruas kiri (8-1)

menjadi:

akk

* a E k k ( kita juga boleh menyatakan: a jj

* a E j j

karena a a ak k k* 2 maka:

a E k k2

k (8-4)

Mengingat E1 adalah tingkat energi terendah, maka Ek pasta > E1 sehingga:

a E k k2

k > a E k 1

2

k atau:

> E1a k

2

k (8-5)

Karena adalah ternormalisasi maka * d 1 , dan jika ekspansi (8-2) dimasukkan ke

dalam kondisi normalisasi ini maka:

1 = * d a dkjk

k j * *

a j = akjk

* a j kj = ak2

k (8-6)

Jika ak2

k = 1, dimasukkan pada (8-5) maka diperoleh:

* ^H d > E1 ternormalisasi (8-7)

Dengan demikian (8-1) terbukti.

151


========================================================

Teorema dengan pernyataan seperti pada persamaan (8-1) adalah jika ternormalisasi.

Bagaimana jika tidak ternormalisasi ?. Fungsi yang tak ternormalisasi akan menjadi

ternormalisasi, jika dikalikan dengan suatu bilangan yaitu A yang disebut faktor

normalisasi, sehingga (8-1) menjadi:

(8-8)

Harga A dapat dihitung dari sifat fungsi ternormalisasi yaitu : jadi (8-2)

dapat ditulis:

(8-9)

Keberhasilan penggunaan metode variasi ini ditentukan oleh kemampuan memformulasi

berdasarkan data boundary condition.

Fungsi disebut fungsi variasi dan integral (8-1) atau integral (8-9) disebut

integral variasional. Untuk dapat memperoleh aproksimasi yang bagus terhadap energi

ground state E1 kita harus mencoba beberapa fungsi variasi yang memberikan hasil

terendah tetapi tidak lebih rendah dari E1 yang sesungguhnya (yaitu E1 yang diperoleh

melalui eksperimen). Salah satu cara untuk mengetahui bahwa fungsi variasi yang kita

pergunakan adalah salah, adalah jika fungsi variasi itu menghasilkan integral variasional

yang lebih rendah dari E1, manakala harga E1 sesungguhnya dari sistem itu telah

diketahui.

Marilah kita ambil 1 sebagai fungsi gelombang ground state yang sesungguhnya.

Dengan demikian:

(8-10)

Jika secara kebetulan, kita dapat membuat fungsi variasi yang sama dengan 1, maka

dengan menggunakan (8-10) ke dalam (8-1) kita akan melihat bahwa integral variasional

tepat sama dengan E1. Jadi fungsi gelombang ground state menghasilkan integral

variasional terendah untuk suatu sistem.

152


Dalam praktek, orang sering memasukkan beberapa parameter ke dalam fungsi

variasi dalam rangka memperoleh integral variasional yang semakin mendekati energi

ground state yang sesungguhnya.

Contoh:

Turunkan fungsi variasi jika fungsi eksaknya merupakan fungsi partikel dalam kotak

satu dimensi yang panjangnya l, dengan kondisi batas berharga 0 jika x = 0 dan x = l .

Aproksimasilah E1.

Jawab:

Fungsi harus mempunyai sifat-sifat tersebut. Bentuk paling sederhana untuk yang

memenuhi sifat-sifat tersebut adalah:

= x ( l x ) untuk 0 < x < l (8-11)

Karena tidak ada pernyataan bahwa ternormalisasi, maka kita tidak menggunakan (8-1)

tetapi (8-9) dengan operator Hamilton = ( 2 2/ m) d2/dx2 (Ingat energi potensial

partikel dalam kotak satu dimensi adalah 0 untuk di dalam kotak).

Pembilang ruas kiri (8-9) adalah:

= 2

2mx x

d

dxx x( ) ( )l l

l

2

20

dx= 2

2m( ) ( )l l

l x x x

d

dxx2

2

22

0

dx

= (8-12)

Penyebut ruas kiri (8-9) :

* d = x x2 2

0

( )ll

dx = .

Jika disubstitusikan pada (8-9) diperoleh:

> E1 (8-13

8.2 Fungsi Variasi Linear (Metode LCAO : Linear Combination Atomic Orbital)

153


Salah satu jenis fungsi variasi yang banyak aplikasinya dalam studi mengenai

atom dan molekul adalah fungsi variasi linear. Fungsi variasi linear adalah kombinasi

linear dari fungsi-fungsi f1 , f2 . . . . . fn yang saling independent :

= c1 f1 + c2 f2 + . . . . . . cn fn = a fj jj

n

1(8-14)

dengan adalah fungsi variasi dan koefisien cj adalah parameter yang akan ditentukan.

Fungsi fj harus memenuhi kondisi boundary sistem. Kita akan membuat batasan sendiri

yaitu bahwa adalah fungsi real, sehingga cj dan fj semuanya juga harus real.

Sekarang kita akan gunakan teorema variasi persamaan (8-9). Harga:

= d = (8-15)

Supaya praktis integral overlap ditulis Sjk sehingga:

= (8-16)

Perlu diingat bahwa untuk fungsi real berarti Sjk = .

Selanjutnya pembilang (8-9) menjadi:

= d =

Selanjutnya agar praktis ditulis Hjk sehingga:

= Hjk (8-17)

Jika ruas kiri persamaan (8-9) kita sebut W (jadi W > 1) maka:

W = = (8-18)

W = (8-19)

Selanjutnya W disebut integral variasional yang pada dasarnya adalah fungsi n buah

variabel bebas c1 , c2 , . . . . . . cn jadi:

154


W = W( c1 , c2 , . . . . cn )

Sekarang kita harus meminimalkan W agar W sedekat mungkin dengan E1. Kondisi yang

dibutuhkan untuk memperoleh W minimal terhadap variabel tertentu adalah turunan

parsial pertamanya terhadap variabel tertentu tersebut harus nol.

= 0 c = 1, 2, 3 . . . . . . . . n (8-20)

Selanjutnya (8-19) didiferensialparsialkan terhadap ci untuk mendapatkan n buah

persamaan:

c c Sj k jkk

n

j

n

. W

c i + W . c c Sj k jk

k

n

j

n

= c c Hj k jkk

n

j

n

i = 1, 2, 3 . . . . n (8-21)

Suku pertama ruas kiri (8-21) hilang karena ∂W/∂ci = 0, jadi:

W . c c Sj k jkk

n

j

n

= c c Hj k jkk

n

j

n

i = 1, 2, 3 . . . . n (8-22)

Karena ci adalah variabel-variabel bebas satu terhadap yang lain maka:

0 jika i j

= 1 jika i = j sehingga kalau begitu = ij

Selanjutnya marilah kita evaluasi c c Sj k jkk

n

j

n

.

c c Sj k jkk

n

j

n

=

= +

= c Sk jk ijk

n

j

n + c Sj jk ik

k

n

j

n (8-23)

Jika suku pertama ruas kanan (8-23) kita kembangkan j-nya mulai 1sampai n (k tidak

dikembangkan) maka ketika j = i harga ij = 1 sedang untuk harga i yang lain ij = 0

sehingga:

c Sk jk ijk

n

j

n = c Sk ik

k

n

(8-24)

155


Analog dengan itu jika suku kedua ruas kanan (8-23) kita kembangkan j-nya mulai

1sampai n (k tidak dikembangkan) maka ketika j = i harga ik = 1 sedang untuk harga i

yang lain ik = 0 sehingga:

c Sj jk ikk

n

j

n = c Sj ji

j

n

(8-25)

Dengan memasukkan (8-24) dan (8-25) ke dalam (8-23) maka (8-23) menjadi:

c c Sj k jkk

n

j

n

= c Sk ikk

n

+ c Sj jij

n

(8-26)

Pada hakekatnya c Sk ikk

n

= c Sj jij

n

karena baik j maupun k mulai 1 sampai dengan n.

Dengan demikian maka (8-26) dapat ditulis:

c c Sj k jkk

n

j

n

= 2 c Sk ikk

n

(8-27)

Jika Sjk diganti Hjk maka:

c c Hj k jkk

n

j

n

= 2 c Hk ikk

n

(8-28)

Substitusi (8-27) dan (8-28) ke dalam (8-22) menghasilkan:

2W c Sk ikk

n

= 2 c Hk ikk

n

atau:

c Hk ikk

n

W c Sk ikk

n

= 0

atau:

( )H S Wik ik kk

n c = 0 (8-29)

Persamaan (8-29) tersebut adalah himpunan yang terdiri atas n buah persamaan simultan,

linear, homogen dinyatakan dalam n buah variabel tak diketahui yaitu c1 , c2 . . . . . cn.

Untuk n = 2, persamaan (8-29) adalah:

(H11 – S11W)c1 + (H12 – S12W)c2 = 0

156


(H21 – S21W)c1 + (H22 – S22W)c2 = 0

Secara umum, untuk n fungsi, persamaan (8-29) menjadi:

(H11 – S11W)c1 + (H12 – S12W)c2 . . . . . .+ (H1n – S1nW)cn = 0

(H21 – S21W)c1 + (H22 – S22W)c2 . . . . . + (H2n – S2nW)cn = 0 (8-30)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(Hn1 – Sn1W)c1 + (Hn2 – Sn2W)c2 . . . . . + (Hnn – SnnW)cn = 0

Penyelesaian (8-30) harus non trivial, artinya c1 sampai dengan cn ≠ 0, untuk itu

determinan koefisiennya harus nol, jadi det.(Hij SijW) = 0 atau:

= 0 (8-31)

Untuk n = 2, maka (8-31) menjadi:

(8-32)

Penyelesaian determinan (8-31) akan menghasilkan sebuah persamaan aljabar berderajat

n dalam W yang tidak diketahui. Persamaan itu mempunyai n akar yaitu W1 sampai Wn

yang jika ditata mulai yang nilainya terendah, urutannya adalah:

W1 < W2 < W3 <. . . . < Wn (8-33)

Jika kita menandai state sistem sesuai dengan urutan kenaikan energinya, maka kita

peroleh:

E1 < E2 < . . . . . . < En < En+1 < . . . . . (8-34)

Kita tahu dari (8-9) bahwa:

E1 <

157


Karena disebut W, pada W terdiri atas W1 , W2 . dst, maka kita dapat

menuliskan:

E1 < W1 ; E2 < W2 ; . . . . . . . En < Wn (8-35)

dengan E1 adalah energi terendah sesungguhnya dari state (1), E2 adalah energi terendah

sesungguhnya dari state (2) dan seterusnya.

Dari uraian di atas maka kita tahu bahwa dengan metode variasi linear kita dapat

memperkirakan E1 sampai En dengan menggunakan W1 sampai dengan Wn. Apa bedanya

dengan teorema variasi pada pasal 8-1 ? Teorema variasi hanya dapat memperkirakan E1

saja.

Untuk mendapatkan aproksimasi energi yang akurat, maka kombinasi linear yang

dibuat tentu jangan hanya tiga atau empat suku saja, tetapi dapat ratusan, ribuan atau

bahkan jutaan suku kombinasi linear. Untuk itu, dukungan komputer sangat esensial

untuk melakukan kalkulasi numeriknya. Cara paling efisien untuk menyelesaikan (8-31)

(yang biasa disebut persamaan sekular) adalah dengan metode matrik.

Untuk memperoleh aproksimasi terhadap fungsi gelombang ground state-nya, kita

gunakan W1 untuk disubstitusikan pada (8-30), sehingga kita dapat memperoleh c1(1) ; c2

(1)

; c3(1) ; . . . . cn

(1) . Superskrip (1) digunakan untuk menandai bahwa koefisien c1 sampai

dengan cn tersebut berhubungan dengan W1. Setelah harga c diperoleh maka kita

masukkan ke dalam fungsi aproksimasi:

1 = (8-36)

Penggunaan W yang lebih tinggi (W2 , W3 dst) akan menghasilkan aproksimasi fungsi

gelombang tereksitasinya yaitu 2 3 dan seterusnya.

Contoh :

Gunakan fungsi x (a – x) untuk 0 < x < a, untuk menyusun fungsi variasi linear untuk

partikel dalam box satu dimensi. Tentukan pula energi dan fungsi gelombang state

pertama sampai state ke empat.

158


Jawab:

= fk

Kita gunakan f1 = x ( a x) . Karena kita harus ingin mengaproksimasi sampai dengan n =

4 maka kita harus memilih f1 sampai dengan f4 yang harga memenuhi 0 < x < a . Tak

terhingga banyaknya f1 sampai dengan f4 yang dapat kita buat maka kita harus memilih

yang peng-integralnya sederhana. Untuk f2 kita pilih x2 (a – x)2 . Karena telah kita pilih

fungsi genap untuk f1 dan f2 maka kita harus memilih fungsi ganjil untuk f3 dan f4 agar

pada pengintegralan banyak yang hilang. kita ambil untuk f3 adalah x ( a – x ) ( ½ a – x )

dan f4 nya adalah x2( a – x )2( ½ a – x ), jadi:

f1 = x ( a x) ;

f2 = x2 (a – x)2 ;

f3 = x ( a – x ) ( ½ a – x ) ;

f4 = x2( a – x )2( ½ a – x )

Karena f1 dan f2 genap sedang f3 dan f4 ganjil, maka:

S13 = S31 = 0 ; S14 = S41 = 0 ; S23 = S32 = 0 ; S24 = S42 = 0 (8-38)

H13 = H31 = 0 ; H14 = H41 = 0 ; H23 = H32 = 0 ; H24 = H42 = 0 (8-39)

Persamaan sekularnya adalah:

= 0

atau:

= 0 (8-40)

atau:

x = 0 (8-40a)

Jadi:

159

(8-37)


= 0 dan (8-41)

= 0 (8-42)

Untuk mengevaluasi W dari (8-41) dan (8-42) kita tentukan dulu masing-masing harga H

dan S:

H11 = < f1 f1 > = x(a – x) [x(a – x)] dx =

S11 = < f1f1 > = [x(a – x)]2 dx =

analog dengan itu kita peroleh:

H12 = H21 = x(a – x) [x2(a – x)2] dx = a5/30m

H22 = a7/105m ; H33 = a5/40m ; H34 = H43 = a7/280m

S12 = S21 = a7/140 ; S22 = a9/630 ; S33 = a7/840 ; S44 = a11/27720

S34 = S43 = a9/5040

Selanjutnya (8-41) menjadi:

= 0 (8-43)

Baris pertama dikalikan dengan 420m/a3 , baris kedua dikalikan dengan 1260m/a5 , maka

(8-43) menjadi:

= 0 (8-44)

Jadi:

m2a4 W2 56 ma2 W + 252 = 0

sehingga (8-41) menghasilkan 2 harga W yaitu:

W = 0,1250018 /ma2 dan 1,293495 /ma2

Dengan cara yang sama, (8-42) juga menghasilkan 2 macam harga W yaitu:

160


W = 0,5002930 /ma2 dan W = 2,5393425 /ma2

Jika memperhatikan urutan harga W yang diperoleh, maka (8-41) menghasilkan W1 dan

W3 jadi (8-41) pasti berkorelasi dengan fungsi gelombang variasi 1 dan 3, sementara

itu juga dapat kita lihat bahwa (8-41) berhubungan dengan f1 dan f2, jadi 1 dan 3 pasti

merupakan kombinasi linear dari f1 dan f2 dan kita boleh menyatakannya dengan:

1 = f1 + f 2 3 = f 1 + f 2 (8-45)

Sementara itu, harga W yang diperoleh dari (8-42) adalah urutan ke 2 dan ke empat jadi

(8-42) menghasilkan W2 dan W4 yang pasti berkorelasi dengan fungsi gelombang variasi

2 dan 4. Tampak pula bahwa (8-42) berhubungan dengan f3 dan f4, jadi 2 dan 4 pasti

merupakan kombinasi linear dari f3 dan f4 dan kita boleh menyatakannya dengan:

2 = f 3 + f 4 4 = f3 + f 4 (8-46)

Catatan:

1) indek koefisien c menunjukkan fungsi f yang bersangkutan sedang superscripnya

menunjukkan energi W nya.

2) fungsi 1 adalah fungsi variasi yang berenergi W1 dan seterusnya.

Selanjutnya kita akan mengaproksimasi harga koefisien c dalam rangka menentukan

fungsi variasi. Persamaan sekular (8-41) yang berkorelasi dengan f1 dan f2 berasal dari

kombinasi persamaan:

(8-47)

Karena (8-47) berasal dari (8-41) maka harga W yang berhubungan adalah W1 dan W3 .

Untuk W = W1 maka: (8-47) menjadi:

(8-48)


(8-49)

161


Jika semua harga H, S dan W yang dibutuhkan dimasukkan maka , dapat

diperoleh dari (8-48) dan dari (8-49) kita dapat memperoleh harga dan sehingga

1 = f1 + f2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (dapat ditentukan)


Harga c untuk 2 dan 4 diperoleh dengan cara yang sama tetapi bertolak dari (8-42).

Persamaan sekular (8-42) yang berkorelasi dengan f3 dan f4 berasal dari kombinasi

persamaan:

(8-50)

Karena (8-50) berasal dari (8-42) maka harga W yang berhubungan adalah W2 dan W4 .


(8-51)


(8-52)

Jika semua harga H, S dan W yang dibutuhkan dimasukkan maka , dapat

diperoleh dari (8-51) dan dari (8-52) kita dapat memperoleh harga dan sehingga



8.3 Matrik, Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Matrik diperkenalkan oleh ahli hukum dan matematisi Arthur Cayley untuk

mencari jalan pintas dalam menangani kombinasi fungsi linear dan transformasi linear

dari sebuah himpunan variabel menjadi himpunan yang lain.

Anggap saja kita mempunyai n buah persamaan linear dengan n buah variabel,

yaitu:

162


a11x1 + a12x2 . . . . . . . . . . a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 . . . . . . . . . . a2nxn = b2

a31x1 + a32x2 . . . . . . . . . . a3nxn = b3 (8-53)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

an1x1 + an2x2 . . . . . . . . . . annxn = bn

Dalam bahasa matrik himpunan (8-53) tersebut dapat ditulis:

(8-54)

A x= b (8-55)

dengan A adalah matrik koefisien sedang x dan b adalah matrik kolom. Kesamaan antara

(8-53) dan (8-54) dapat dengan mudah dibuktikan melalui perkalian matrik A dengan x.

Matrik A merupakan matrik bujur sangkar, sehingga determinannya dapat ditentukan,

Jika det.A 0 maka A disebut nonsingular. Jika A1 adalah invers dari A, maka antara

keduanya berlaku hubungan:

AA1 = A1A = 1 (8-56)

Jika matrik A nonsingular, maka seandainya (8-55) dikalikan dengan A1 diperoleh A1

(Ax) = A1b. Karena perkalian matrik bersifat asosiatif, maka A1 (Ax) = (A1A) x = x

sehingga:

x = A1b (8-57)

Persamaan (8-57) merupakan solusi dari himpunan (8-53)

Metode variasi linear merupakan metode yang hampir selalu dipergunakan untuk

memperoleh aproksimasi fungsi gelombang molekul dan matrik menawarkan cara yang

paling efisien untuk mencari penyelesaian terhadap persamaan-persamaan dalam metode

variasi.

163


Jika fungsi f1 , f2 . . . . fn dalam fungsi variasi linear = ck fk adalah

ortonormal, maka S1j = ij = sehingga persamaan (8-30) dapat

ditulis:

H11c1 + H12c2 . . . . . . + H1ncn = Wc1

H21c1 + H22c2 . . . . . . + H2ncn = Wc2

H31c1 + H32c2 . . . . . . + H3ncn = Wc3 (8-58)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hn1c1 + Hn2c2 . . . . . . + Hnncn = Wcn

dan dalam bahasa matrik (3-6) dapat ditulis:

(8-59)

B c = Wc (8-60)

dengan H adalah matrik bujur sangkar yang elemen matriknya Hij = < fiĤfj > dan c

adalah vektor kolom dari koefisien c1 , c2 , . . .cn. Dalam (8-60) H adalah matrik yang

diketahui, c dan W belum diketahui dan akan dicari penyelesaiannya.

Jika kita mempunyai relasi:

A c = c (8-61)

dengan A adalah matrik bujur sangkar dan c adalah vektor kolom yang paling tidak ada

satu elemennya yang tidak nol, dan adalah skalar, maka c disebut vektor eigen dari

matrik A dan L disebut nilai eigen dari matrik A.

Komparasi antara (8-60) dan (8-61) menunjukkan bahwa sebenarnya penyelesaian

problema variasi linear dengan Sij = ij adalah problema penentuan nilai eigen dan vektor

eigen dari matrik H yang nilai eigennya adalah W dan vektor eigennya adalah c.

164


Catatan:Jika c adalah vektor eigen dari matrik A, maka jelas bahwa k c pasti juga vektor

eigen dari A (sudah tentu jika k konstan). Jika k dipilih sedemikian rupa sehingga:

= 1 (8-62)

maka vektor kolom c disebut ternormalisasi.Dua buah vektor kolom b dab c yang masing-masing mempunyai n elemen disebut ortogonal jika :

= 0 (8-63)

Sekarang marilah kita perhatikan persamaan eigen (8-60) yang mempunyai n nilai eigen

yaitu W1, W2 . . . . Wn dan mempunyai n vektor eigen yaitu c1 , c2 . . . . . . cn sedemikian

rupa sehingga:

Hc( i ) = Wic( i ) i = 1, 2, 3, . . . . . . n (8-64)

dengan c( i ) adalah vektor kolom matrik H yang elemen-elemennya adalah , . . . .

. Selanjutnya marilah kita buat matrik C yang elemen-elemennya adalah vektor eigen

matrik H, dan kita buat matrik W yang merupakan matrik diagonal yang elemen

diagonalnya nilai eigen matrik H. Jadi:

C = W = (8-65)

Ternyata Himpunan persamaan nilai eigen (8-64) dapat ditulis:

HC = CW (8-66)

Jika masing-masing ruas (8-66) kita kalikan C1 maka diperoleh:

C1HC = W (8-67)

Beberapa Istilah Matrik:

1. Matrik Simetrik

Matrik bujur sangkar B adalah Matrik Simetrik jika elemen bij = bji. Contoh:

B =

2. Matrik Hermitian

165


Matrik bujur sangkar D adalah matrik Hermitian jika elemen d ij = d*ij . Contoh:

D =

3. Matrik ortogonal

Matrik ortogonal adalah matrik yang transposenya = inversnya

4. Unitary Matrix

Matrik yang inversnya sama dengan konjugate transposenya atau U1 = U†

Orang dapat membuktikan bahwa dua vektor eigen dari matrik Hermitian H yang

berhubungan dengan nilai eigen yang berbeda adalah ortogonal (Levine, 1998) Untuk

vektor eigen dari H yang nilai eigennya sama, orang dapat membuat kombinasi linear di

antara mereka untuk mendapatkan vektor eigen yang ortogonal bagi H. Lebih lanjut,

vektor eigen yang tak ternormalisasi dapat dikalikan dengan suatu bilangan konstan agar

menjadi vektor eigen ternormalisasi. Dengan demikian, vektor eigen dari matrik

Hermitian dapat dipilih dan dijadikan ortonormal. Jika vektor eigen yang dipilih adalah

ortonormal, maka vektor eigen matrik C dalam (8-65) unitary matrix, sehingga C1 = C†,

sehingga (8-67) menjadi:

C† HC = W jika Ĥ Hermitian (8-68)

Dengan C† adalah transpose dari konjugate-nya C.

Jika Ĥ real dan simetrik maka berlaku hubungan:

C HC = W jika Ĥ real dan simetrik (8-69)

Berikut ini adalah beberapa istilah dan notasi matrik:

Nama Matrik Notasi Cara mendapatkannya

Transpose A Mengubah semua baris matrik a menjadi kolom

kompleks konjugasi dari A A* Mengganti semua elemen matrik A dengan kompleks konjugasinya

Konjugasi transpose atau Konjugasi Hermit

A

(A dagger)

(A*) ; Dicari konjugasi A, lalu di transpose.

Adjoint A atau adjugasi A ^Semua elemen A diganti dengan kofaktornya kemudian ditranspose

166


adj A atau A

Inversi AA1 Bagilah semua elemen dari adj. A

dengan det.A

Contoh:

Tentukan nilai eigen dari matrik Hermitian: .

Jawab: Persamaan karakteristik jika nilai eigennya dimisalkan menurut (8-61) adalah :

det ( aij - ij ) = 0. Jadi:

= 0

2 4 = 0 1 = 4 dan 2 = 1

Untuk 1 = 4, himpunan persamaan simultan (8-58) H dan W berturut-turut diganti

dengan A dan adalah:

(3 1) + 2 i = 0

2i 1 = 0

atau:

+ 2 i = 0

2i = 0

sehingga:

= 2 i

Normalisasinya menghasilkan:

1 = + = 4 + = 5

= ; = ;

= 2 i =

Dengan cara yang sama untuk 2 = 1, diperoleh:

= ;

167


Matrik vektor eigen ternormalisasinnya adalah:

;

Soal Bab 8

1. Gunakan fungsi variasi = ecr untuk atom hidrogen; pilihlah parameter c untuk

meminimalkan integral variasi dan hitunglah % error integral variasional terhadap

energi ground state hidrogen yang sesungguhnya .

2. Jika fungsi variasi ternormalisasi = untuk 0 diaplikasikan pada

sister partikel dalam box, kita akan mendapatkan bahwa integral variasionalnya sama

dengan nol, dan ini berarti lebih kecil dari pada energi ground state yang

sesungguhnya. Bagaimana dengan hal ini ?

3. Untuk partikel dalam box tiga dimensi yang sisi-sisinya a, b dan c, tulislah fungsi

variasi yang merupakan perluasan dari fungsi satu dimensi = x yang

digunakan pada sub bab 8.1. Gunakan integral (8-12) dan persamaan yang

menyertainya untuk mengevaluasi integral variasional pada kasus tiga dimensi.

Tentukan % error-nya.

4. (a) Diketahui sebuah sistem partikel tunggal satu dimensi dengan energi potensial:

V = b untuk ¼ x ¾ dan V = 0 untuk 0 x ¼ dan ¾ x .

dan di luar itu V = (b konstan). Gunakan fungsi variasi 1 =

untuk untuk meng-estimasi energi ground state untuk b = dan

bandingkan hasilnya dengan energi ground state yang sesungguhnya yaitu E =

5,750345 . Untuk menghemat waktu dalam mengevaluasi integral, perlu

diingat bahwa <1 1> = <1 1> + <1 1> , dan jelaskan mengapa <1

1> persis sama dengan energi ground state partikel dalam box yaitu .

(b) Untuk sistem dan kasus yang sama gunakan fungsi variasi = x .

5. Sebuah partikel berada dalam box sperik yang radiusnya b, energi potensialnya V = 0

dan untuk 0 r b dan V = untuk r > b. Gunakan fungsi variasi = b r untuk 0

r b dan = 0 untuk r > b untuk mengestimasi energi ground statenya dan

bandingkan dengan nilai yang sesungguhnya yaitu .

168


6. Sebuah osilator satu dimensi mempunyai V = cx2 dengan c konstan. Rancanglah fungsi

variasi dengan sebuah parameter untuk sistem itu, dan tentukan nilai optimum untuk

parameter itu untuk meminimalkan integral variasional, dan estimasilah energi ground

state.

7. Untuk partikel dalam box yang panjangnya , gunakan fungsi variasi =

untuk 0 r . Kita akan membutuhkan integral berikut:

dimana fungsi gamma mengikuti relasi (z + 1) = z(z). Adanya fungsi gamma

tersebut, tidak perlu membuat anda risau, karena fungsi gamma tersebut akan hilang

sendiri.

(a) Buktikan bahwa integral variasionalnya adalah

(b) Tentukan nilai optimum dari k dan tentukan pula % error terhadap energi ground

state untuk nilai k ini.

8. Gunakan fungsi variasi = pada osilator harmonik satu dimensi. Pilihlah

harga a untuk meminimalkan integral variasional dan tentukan % errornya. Beberapa

bentuk integral yang dibutuhkan adalah:

;

;

9. Pada tahun 1971, melalui sebuah karya ilmiah dipublikasikan bahwa aplikasi fungsi

variasi ternormalisasi N. untuk atom hidrogen dengan meminimalkan

parameter b dan c menghasilkan energi 0,7 % di atas energi ground state yang

sesungguhnya. Tanpa melakukan kalkulasi apapun berikan penjelasan bahwa

pernyataan itu pasti salah.

10. Untuk atom hidrogen ground state, gunakan fungsi variasi Gauss = .

Tentukan nilai optimum c dan % error energinya.

11. Dengan metode Gauss, selesaikan kombinasi persamaan linear berikut:

169


X1 X2 + 4 X3 + 2 X4 = 16

X1 X3 + 4 X4 =

X1 + X2 + X3 X4 = 8

4 X1 + 6 X2 + 2 X3 + X4 = 3

12. Tentukan A* , A dan A dari:

13. a) Tentukan nilai eigen dan vektor eigen ternormalisasi dari:

b) Apakah matrik A real dan simetrik ?

c) Apakah matrik A Hermitian ?

d) apakah matrik vektor eigen C ortogonal

e) buktikan bahwa C1AC adalah matrik diagonal yang elemennya nilai eigen.

14. Tentukan nilai eigen dan vektor eigen ternormalisasi dari matrik

===000===

170

bab 8 metode variasi

Documents