bab 8. metoda fleksibilitas

8/10/2019 Bab 8. Metoda Fleksibilitas

1/27

Analisa Struktur II (metode fleksibilitas) -1

8. Metoda Fleksibilitas

Tidak seperti pada metode kekakuan terutama untuk metode kekakuan langsung

(direct stiffness), pada metode fleksibilitas mencari nilai gaya terlebih dahulu

dengan mempertimbangkan compatibilitas (keseimbangan deformasi dengan

displacement) secara explicit dengan keseimbangan sebagai objek yang kedua.

Dalam metode kekakuan langsung, mempertimbangkan keseimbangan (gaya luar

terhadap gaya internal) sebagai objek pertama dengan kompabilitas sebagai objek

yang kedua secara implicit. Tetapi bagaimanapun juga kedua metode tersebut,

sama-sama memberikan hasil analis secara komplet dengan hasil keseimbangan

dan compabilitas yang sangat memuaskan.

Gambar 1.Struktur jembatan yang merupakan rangka batang sistem ruang

8.1. Metoda FleksibilitasSecara prinsip dasar metode fleksibilitas dapat di buat dalam persamaan sederhana

sebagai berikut, yang menghubungkan antara perpindahan (displacement), gaya

dan matrik fleksibilitas.

PS (8.1) S : matrik fleksibilitas struktur{P}: gaya

{}: displacement

Persamaan (8.1) dapat dipartisi menjadi :


2/27


II

I

IIIIIII

IIIII

II

I

P

P

SS

SS

,,

,, (8.2)

{P)I : akan berhubungan dengan gaya luar (applied force)

{P}II : komponen kelebihan gaya dalam (redundant force reaction)

Persamaan (8.2) dapat di ekspresikan dalam bentuk berikut,

IIIIIIIII PSPS ,,

IIIIIIIIIIII PSPS ,,

dalam kondisi ada kelebihan gaya dalam (redundant), perpindahan (displacement)

akan bernilai nol, maka persamaan di atas menjadi:

IIIIIIIIII PSPS ,,0 sehingga didapat reaksi kelebihan gaya dalam sebagai berikut:

IIIIIIIIII PSSP ,1

,

semua struktur dapat di analisa melalui aplikasi yang sistematis dengan

mempertimbangkan persamaan keseimbangan. Persamaan ini akan melibatkan

persamaan keseimbangan pada titik nodal (joint), yang dapat diekpresikan secara

sederhana dalam persamaan berikut ini,

FCP (8.3)

dimana,

1. {P}: Gaya yang melingkupi semua gaya yang bekerja pada system struktur

utama (gaya luar {P}Idan kelebihan gaya dalam (redundant, {P}II).

2. {Fij} : merupakan vector gaya dalam yang terdiri atas submatrik {F}ijdan

{F}ji.

3. [C] : matrik global statis.

Penyelesaian persamaan (8.3) akan diperoleh gaya dalam elemen,

PbPCF 1

[b] : merupakan matrik keseimbangan yang menghubungkan antara gaya elemen

batang dengan beban luar (applied force).

IIIIIIII

I

III PbPbP

PbbF

(8.4)

matrik S : matrik fleksibilitas struktur merupakan: bfbS uT


3/27


IIIuT

II

T

I bbf

b

bS

atau

IIu

T

IIIu

T

II

IIu

T

IIu

T

I

bfbbfb

bfbbfbS

IuT

III bfbS ,

IIuT

IIII bfbS ,

IuT

IIIII bfbS ,

IIuT

IIIIII bfbS ,

1. Rangka Batang bidang (truss2D)

1

3m

50kN 2

3m

80kN

3 4

4m 4m

1

X

2 Y

3 4

Pemilihan titik nodal

a. Gaya dan perpindahan (displacement) akibat beban luar

titik nodal 1

1

1

1

1

75,011

x

x

y

x

P

P

P

P

Py

PxP

0

011

y

x


4/27


titik nodal 2

80

5022

1

1

y

x

P

P

Py

PxP 222

y

x

y

x

titik nodal 3

3

3

3

3

75,033

x

x

y

x

P

P

P

P

Py

PxP

0

033

y

x

titik nodal 4

4

4

4

4

75,044

x

x

y

x

P

P

P

P

Py

PxP

0

044

y

x

b. gaya batang eleven dan perpindahan (displacement) (gaya dalam)

(F1)ij, (1)ij i j (F1)ji=(F1)ij, (1)ij

Elemen 1-2, 12121212 xFxF Elemen 3-2, 32323232 xFxF Elemen 4-2, 42424242 xFxF

c. Pemilihan Redundant (kelebihan gaya dalam)

Redundant dipilih pada titik nodal 4 dan 2

1

2

3 4

80

5022

1

1

y

x

P

P

Py

PxPIP 222

y

x

y

xI

4

4

4

4

75,044

x

x

y

x

P

P

P

P

Py

PxPIIP

0

044

y

xII


5/27


d. Pembentukan Matrik

IIIIII PbPbF

Struktur utama dibebani oleh gaya IP dan IIP

(Fx)12

1

2(Fx)21=(Fx)12

(Px)2

(Fx)23=(Fx)32 (Py)2 (Fx)24=(Fx)42

2 2

3 4 (Fx)42

(Px)4(Fx)32

0,75(Px)4

Keseimbangan pada joint 2 dan 4 digambarkan dalam persamaan berikut

(berdasarkan gambar di atas)

(Px)2- 0,8 (Fx)12 - 0,8 (Fx)32 + 0,8 (Fx)42 = 0

(Py)2 - 0,6 (Fx)12 + 0,6(Fx)32 + 0,6(Fx)4 2= 0

(Px)4 - 0,8(Fx)4 2= 0

berdasarkan persamaan (8.3)

42

32

12

4

2

2

8,000

6,06,06,08,08,08,0

;

Fx

FxFx

Px

PyPx

FCP


6/27


penyelesaian untuk gaya batang akan diperoleh hasil sebagai berikut,

IIPIPIIbIbPbF

4

2

2

25,100

0833,0625,0

25,1833,0625,0

42

32

12

Px

Py

Px

Fx

Fx

Fx

e. Gaya batang fleksibilitas

ijj

iiij Ff

untuk rangka batang bidang (truss2D), diperoleh;

ij

ii

ij F

EA 11

elemen 1-2;

EAEAf

5211

elemen 3-2;

EAf

5233

elemen 4-2;

EA

f 52

44

500

050

0051

EAf u

f. submatrik struktur fleksibilitas

IuT

IIIII bfbs ,

21,591,31

00

833,0625,0

833,0625,0

500

050

0051

25,1025,1

00

833,0625,0

833,0625,0

25,1025,1,

EAEA

fsuIII


7/27


IIuT

IIIIII bfbs ,

g. Perhitungan nilai redundant

IIIIIIIIII PssP ,1,

kNEA

EAP II 16,14

80

5021,591,3.

1.

63,15

h. Gaya batang total

4

2

2

25,100

0833,0625,0

25,1833,0625,0

42

32

12

Px

Py

Px

Fx

Fx

Fx

IIIIII PbPbF

kNFx

Fx

Fx

70,17

89,97

69,17

16,14

25,1

0

25,1

80

50

00

833,0625,0

833,0625,0

42

32

12

17,69 kN

50kN

80 kN

97,89 kN 17,70 kN

63,151

25,1

0

25,1

500

050

0051

25,1025,1

25,1

025,1

25,1025,1,

EAEA

fs uIIII


8/27


2. Balok Lentur (Beam)

Gambar 2.Bending(lentur) pada balok beton (arch bridge)


9/27


100 kN E, IKonstan

5m 5m

a. Pemilihan titik nodal

Py Py Py

Mz Mz Mz

1 2 3

1

111

Mz

Py

Mz

PyP

0

011

z

y

kondisi terjepit

2

222

Mz

Py

Mz

PyP

2

222

z

y

z

y

kondisi bebas

3

333

Mz

Py

Mz

Py

P

3

033

zz

y

kondisi sendi-roll


(Mz)ij, (Fy)ij (Fy) (Mz)ji

i j

Elemen 1-2,

12

12

12

12

12

12

z

y

Mz

Fy

Mz

FyF

Elemen 3-2,

23

23

23

23

23

23

z

y

Mz

Fy

Mz

FyF

c. pemilihan kelebihan gaya dalam (redundant)

1 2 3

struktur utama

dipilih 3PyP II dan 03 yII (untuk gaya redundant)


10/27


dipilih

kN

Mz

Mz

Py

PI

0

0

100

3

2

2

dan

3

2

2

z

z

y

I

(untuk gaya luar)


IIIIII PbPbF

struktur utama dibebani dengan {P}Idan {P}II:

(Mz)32=-5(Fy)23 - (Mz)23

(Fy)12

(Py)2 (Fy)

23 (Py)

3

(Mz)2 (Mz)3

1 2 2 2 3 3

(Mz)12 (Fy)21=(Fy)12 (Mz)23 (Fy)32=(Fy)23

(Mz)21=-5(Fy)12 - (Mz)12

persamaan keseimbangan pada titik nodal 2dan 3sebagai berikut;

(Py)2-(Fy)12 + (Fy)23 =0

(Mz)2+ 5(Fy)12 + (Mz)12 - (Mz)23=0

(Py)3- (Fy)23=0(Mz)3+ 5(Fy)23+ (Mz)23= 0

persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk berikut,

23

12

3

3

2

2

0100

1500

1015

0101

Mz

Fy

Mz

Fy

Py

Mz

Mz

Py

FCP

P

II

I

IIP

IPIIbIbFbF

3

3

2

2

5100

1000

10115

1001

23

12

Mz

Py

Mz

Py

Mz

Fy

Mz

Fy

[b]I [b]II


11/27



ijj

iiij Ff

untuk kasus ini (balok yang mengalami momen lentur)

jj iMz

Fy

EIEI

EIEIi

2

232

23

elemen 1-2:

0,55,12

5,127,411211

EIf

elemen 2-3;

0,55,125,127,411322

EIf

0,55,1200

5,127,4100

000,55,12

005,127,41

1

EIf

u

f. submatrik struktur fleksibilitas

IuT

IIIII bfbs ,

505,372,1041

100

000

115

001

0,55,1200

5,127,4100

000,55,12

005,127,41

151101

100

000

115

001

51101,

EI

EI

fIIIs u

IIuT

IIIIII bfbs ,


12/27


5,3331

5

0

10

1

0,55,1200

5,127,4100

000,55,12

005,127,41

151101

5

0

10

1

51101,

EIEI

fs uIIII

g. Perhitungan nilai redundant

IIIIIIIIII PssP ,1

,

kNEI

EIP II 3,31

0

0

100

505,372,104.1

.4,333

h. gaya dalam elemen batang

IIIIII PbPbF

kNm

kN

kNmkN

Mz

Fy

MzFy

5,156

3,31

0,1877,68

3,31

5

1

101

0

0

100

100

000

115001

23

12

i. gambar SFD dan BMD

68,7kN 100 kN

156,5 kNm

187

+68,7kN

-31,3 kN

156,5kNm

-187,0 kNm


13/27


3. Portal Bidang (Frame 2D)

Gambar 3. Struktur frame ruang yang dapat dianalisa sebagai frame bidang

500 k-ft

100 k

2 3

W 21x68 30 ft

I=1800 in4

A=20 in2

150ft

a. pemilihan titik nodal

1

1

1

1

1

Mz

Py

Px

Mz

Py

Px

P

0

0

0

1

1

z

y

x

kondisi terjepit


14/27


2 3

1

Knm

kN

kN

Mz

Py

Px

Mz

Py

Px

P

500

0

100

2

2

2

2

2 ?

2

2

2

2

2

z

y

x

z

y

x

0

3

3

3

3

3

3

3 Py

Px

Mz

Py

Px

Mz

Py

Px

P

33

3 0

0

zz

y

x

kondisi sendi



(Fz)ij i j

elemen 1-2:

12

12

12

12

12

z

y

x

M

F

F

Mz

Fy

Fx

F

12

12

12

12

12

z

y

x

z

y

x

elemen 2-3:

23

23

23

32

23

z

y

x

M

F

F

Mz

Fy

Fx

F

23

23

23

23

23

z

y

x

z

y

x

c. pemilihan redundantredundant dipilih pada titik nodal 3

2 3

1

3

3

Py

PxP II

0

0

3

3

y

xII (redundant)


15/27


0

500

0

100

3

2

2

2

Mz

Mz

Py

Px

IP

3

2

2

2

z

z

y

x

I

(gaya luar)


IIIIII PbPbF

struktur utama dibebani dengan {P}Idan {P}II:

Persamaan di titik nodal 2 dan 3 dapat diekspresikan seperti berikut;

(Px)2(Fy)12+ (Fx)23=0

(Py)2+(Fx)12+ (Fy)23=0

(Mz)2+ 30(Fy)12+ (Mz)12 - (Mz)23 =0

(Px)3- (Fx)23=0

(Py)3 - (Fy)23=0

(Mz)3+ 50(Fy)23+ (Mz)23= 0

(Fy)32= (Fy)23(Mz)32= -50(Fy)23(Mz)23

(Fx)32= (Fx)23

(Py)2 (Fy)23 (Py)3

(Mz)2 (Fx)23 2 50 3 (Mz)3

(Px)2

2 (Mz)23 3

(Fx)21=(Fx)12

(Mz)21= -30(Fy)12 - (Mz)122 (Fy)21=(Fy)12

301

(Fy)12 (Mz)12

(Fx)12

dalam bentuk yang terpartisi, persamaan di atas menjadi berikut;


16/27


23

12

010000

001000

1500000

1001300

010001

001010

3

3

3

2

2

2

Mz

Fy

Fx

Mz

Fy

Fx

Py

Px

Mz

Mz

Py

Px

PCIIP

IP

dalam bentuk partisi persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk berikut,

IIP

IPIIbIbFbF

3

3

3

2

2

2

5001000

100000

010000

503011030

010001

100010

23

12

Py

Px

Mz

Mz

Py

Px

Mz

Fy

Fx

Mz

Fy

Fx

[b]I [b]II


ijj

iiij Ff

ijij Mz

Fy

Fx

EIEI

EIEI

EA

z

y

x

20

230

00

2

23

5012500000

1250416670000

005,31000

000304500

00045090000

000009,18

13

22

2

11

EIfu

fufu


17/27


f. struktur fleksibilitas

IuT

IIIII bfbs ,

275015009,1822500

450450090001,

EIIIIs

IIuT

IIIIII bfbs ,

11668622500

2250090321,

EIs IIII

g. Penentuan redundant

IIIIIIIIII PssP ,1

,

kNm

kNm

EI

EIP II

0,3

2,82

0

500

0

100

275015009,1822500

450450090001

11668622500

22500116686

10.5476 8

h. gaya dalam elemen batang

IIIIII

PbPbF

kNm

kN

kN

kNm

kN

kN

Mz

Fy

Fx

Mz

Fy

Fx

0,150

0,3

2,82

0,184

8,17

0,3

3

2,82

500

10

01

5030

01

10

0

500

0

100

1000

0000

0000

11030

0001

0010

23

12


18/27


150 ft k3,0 k

100 k 82,2k

500ft k 2 82,2 k 3 3,0k

17,8 k

184 ft k 1 3,0 k

8.2. Struktur dengan kelebihan gaya dalam internal

(internal redundant strucutures)

Untuk struktur yang terdapat gaya dalam internal, maka struktur [P]II yang

merupakan gaya redundant serta [P]I yang merupakan gaya luar, maka vektor

gaya dalam {F} harus dipartisi menjadi dua gaya yaitu; {F}II yang berisi gaya

redundant di ujung batang dan {F}Iyang berisi gaya dalam untuk struktur utama.

Persamaan fleksibilitas untuk struktur utama diekspresikan sebagai berikut;

II

I

IIIIIII

IIII

II

I

F

P

SS

SIS

,,

,,

...(8.5)

{}I: berisi dispalcement yang bernilai nol (free displacement structure)

{P}I: berisi gaya yang berhubungan dengan nilai displacementdi atas

{}II: displacementyang bernilai nol (0)

dari persamaan (8.5) diperoleh persamaan yang lain sebagai berikut;

IIIIIIIIII PSSF ,1

,

IIIIIIIIIII PSSS 1,,, persamaan keseimbangan pada struktur utama menjadi:

IIIIIII PbPbF

IuIT

III bfbS ,

IIuIT

IIII bfbS ,


19/27


IuIT

IIIII bfbS ,

uIIIIuIT

IIIIII fbfbS ,

[f ]uI dan [f ]uII merupakan matrik kekakuan yang tidak terakit (unassembled

stiffnes matrix)

Gambar 4. Rangka bantang sistem ruang dengan internal dan eksternal redundant

4. Rangka batang bidang (truss 2D, in ternal r edundant)

10 kN

10 kN 2 3

4,5m

1 4

6m


20/27


a. Pemilihan titik nodal

{P}2; {}2 {P}2; {}2

2 3

1 4

{P}1; {}1 {P}4; {}4

gaya batang eleven dan perpindahan (displacement) (gaya dalam)

(F1)ij, (1)ij i j (F1)ji=(F1)ij, (1)ij

b. Pemilihan redundant

2 3

1 4

dipilih {Fx}II= {Fx)42; {}II=0

34

23

14

13

12

x

x

x

x

x

I

F

F

F

F

F

F

0

10

0

0

10

4

3

3

2

2

x

y

x

y

x

I

P

P

P

P

P

P ,

4

3

3

2

2

x

y

x

y

x

I


21/27


c. Pembentukan Matrik

IIIIIII PbPbF

Struktur utama dibebani oleh {P}Idan {F}II;

(Py)2 (Py)3

(Px)2 2 (Fx)23 (Fx)32 3 (Px)3

(Fx)42 (Fx)13

(Fx)12

(Fx)34

(Fx)34

(Fx)42

1 (Fx)14 4 (Px)4

Persamaan keseimbangan pada titik nodal 2, 3 dan 4 berdasarkan derajatkebebasan kinematisnya sebagai berikut;

(Px)2+ 0,8 (Fx)42+ (Fx)23= 0

(Py)2+ 0,6 (Fx)42+ (Fx)12 = 0

(Px)3- (Fx)23 - 0,8(Fx)13= 0

(Py)3+ 0,6(Fx)13+ (Fx)34= 0

(Px)4- 0,8(Fx)42- (Fx)14= 0

34

23

14

13

12

424

2

3

422

422

00100

1006,00

0108,00

00001

01000

)(8,0)(

)(

)(

)(6,0)(

)(8,0)(

Fx

Fx

Fx

Fx

Fx

FxPx

Py

Px

FxPy

FxPx

FCP

penyelesaian persamaan di atas untuk elemen gaya batang dalam {F}, diperoleh;


22/27


424

2

3

422

422

34

23

14

13

12

)(8,0)(

)(

)(

)(6,0)(

)(8,0)(

0175,0075,0

00001

10000

0025,1025,1

00010

FxPx

Py

Px

FxPy

FxPx

Fx

Fx

Fx

Fx

Fx

jika matrik di atas di expand menjadi dua matrik diperoleh;

42

4

3

3

2

2

34

23

14

13

12

6,0

8,0

8,0

0,1

6,0

)(

)(

)(

)(

)(

0175,0075,0

00001

10000

0025,1025,1

00010

Fx

Px

Py

Px

Py

Px

Fx

Fx

Fx

Fx

Fx

d. Gaya batang fleksibilitas

ijj

iiij Ff

untuk rangka batang bidang (truss2D), diperoleh;

ij

ii

ij F

EA 11

elemen 1-2;

EAEAf

5,4211

elemen 1-3;

EAf

5,7211

elemen 1-4;

EAf

0,6211

elemen 2-3;

EAf

0,62221

elemen 3-4;

EAf

5,4233

5,4

0,6

0,6

5,7

5,4

1

EAf uI


23/27


elemen 4-2;

EAEAff uII

5,7244

e. Submatrik struktur fleksibilitas

IuIT

IIIII bfbS ,

8,48,44,117,22,161

0175,0075,0

00001

10000

0025,1025,1

00010

6,08,08,016,0,

EA

fSuIIII

uIIIIuI

T

IIIIII fbfbS ,

92,251

5,71

42,181

6,0

8,0

8,0

0

6,0

6,08,08,016,0,

EAEAEA

ffS uIIuIIIII

f. Penentuan nilai redundant

IIIIIIIIII PSSF ,1

,

kN

EA

EAF

II 10,8

0

10

0

0

10

8,48,44,117,22,161

92,25

g. Gaya batang elemen

IIIIIII PbPbF


24/27


kN

Fx

Fx

Fx

Fx

Fx

64,12

52,3

48,6

40,4

86,4

10,8

6,0

8,0

8,0

0,1

6,0

0

10

0

0

10

0175,0075,0

00001

10000

0025,1025,1

00010

34

23

14

13

12

10

10 2 3,52 3

4,408,10

4,86 12,64

10

6,48 4

7,5 17,5

8.3. Pembebanan yang terjadi antara titik nodal.

Secara prinsip, metode penyelesaiannya sama seperti pada langah-langkah yangdiuraikan sebelumnya. Beban tersebut harus diekivalenkan ke titik-titik nodal di

sebelahnya dan nilai gaya dalam akhir harus dikurangkan terhadap nilai yang

diekivalenkan. Secara sederhana persamaan untuk gaya batang diberikan sebagai

berikut.

fIIIIII FPbPbF {F}fmerupakan gayafixed end elemen

sji

F2 s

jiF6

EI

loading

P Pa

P

a b

l

3

12

2 a

EI

Pa

EI

Pa

2

2

wl2

2wl

w

l EI

wl

8

4

EI

wl

6

3


25/27


2wl

3

2

wl

w

l

312

2 a

EI

Pa

312

2 a

EI

Pa

wa2

2wa

w

a l-a

3

12

2 a

EI

Pa

3

12

2 a

EI

Pa

0 Ma b

M

3

12

2a

EI

Pa

3

12

2a

EI

Pa

Internal Redundant

contoh soal

50k 2,4 k/ft

30k-ft

EI tetap

10 20 30

pemilihan titik nodal

1

1

11 Mz

Py

Mz

Py

P

0

0

11 z

y

kondisi terjepit

2

222

Mz

Py

Mz

PyP

2

222

z

y

z

y

kondisi bebas

3

333

Mz

Py

Mz

PyP

3

033

zz

y

kondisi sendi-roll


26/27



(Fz)ij i j

Elemen 1-2,

12

12

12

12

12

12

z

y

Mz

Fy

Mz

FyF

Elemen 3-2,

23

23

23

23

23

23

z

y

Mz

Fy

Mz

FyF

Batang yang dibebani (displacementujung dan reaksi gaya batang ujung)

1 2

1220)(

EIEI

667,41

30

1020

2

50102

1220

EIEI

000.243

8

30.4,2 4

2320

EIEI

x 500.2

2

1050 2

1260

EIEI

x 800.10

6

304,2 3

2360

50212 sF 72304,2

322 xF

s

5001050216

xF s

080.12

304,2 2

326 x

F s

dalam bentuk vektor matrik, persamaan di atas ditulis sebagai berikut.

500.2

667.411120

EI

800.10

000.2431230

EI

500

5021

sF

800.1

7232

sF

gaya struktur ekuivalen

k

s

ji

T

ji

e

j FP


27/27

500

50

500

50

10

0121212

sTeFP

800.1

72

800.1

72

10

0132323

sTeFP

c. pemilihan kelebihan gaya dalam (redundant)

1 2 3

struktur utama

dipilih 3PyP II dan 03 yII (untuk gaya redundant)

dipilih

kN

Mz

Mz

Py

P I

0

0

100

3

2

2

dan

3

2

2

z

z

y

I

(untuk gaya luar)

8.4. Tegangan yang disebabkan oleh hal lain.

a. Kesalahan fabrikasi.Hal ini dapat terjadi pada elemen baja akibat ukuran yng tidak akurat dimana

elemen batang (yang kependekan atau kepanjangan) akan menyebabkan

timbulnya tegangan.

b. Perubahan temperatur

h

Th

T

Tavg

s

s

s

ijs

2

2

6

2

1

Daftar Pustaka:Gere., JM., Weaver., W., 1965., Analysis of F ramed Strucutr es, Hal 3., Van

Nostrand, Princeton, New Jersey.

Mc GuireW., Gallager, R.H., 1979., Matric Structural Analysis., Bab 6-7.,

Wiley., New York.

West, Hary H., 1989., Analysis of Stuctures (An I ntegration of Classical and

Modern Methods)., Edisi ke-2., John Wiley & Son., Singapura.

bab 8. metoda fleksibilitas

Documents