STIFFNESS AND FLEXIBILITY

ANALISA STRUKTUR DENGAN METODE MATRIKS

PRINSIP KEKAKUAN & FLEKSIBILITAS

• KEKAKUAN atau “STIFFNESS” adalah

aksi yang diperlukan untuk menghasilkan

“unit displacemen”

• FLEKSIBILITAS atau “FLEXIBILITY”

adalah displacemen yang dihasilkan oleh

“unit gaya”

kg/cm ; kN/mm ; ton/m' ; a.lpanjang

gayasatuan

cm/kg ; mm/kN ; m/ton ; a.l gaya

panjangsatuan

1

k

k = kekakuan

f

1

f = fleksibilitas

D

F

D = displacemen

F = gaya / action

Contoh sederhana ;

F = k D

D = f F

kfatau

fk

1

1

Hubungan Deformasi dengan Internal Forces

DEFORMASI AKSIAL

Dimana : A = luas tampang ; E = modulus elastis bahan

L = panjang elemen

EA

N

E

AN

E

x

X

dxEA

Ndxd xx ..

L

O

xL NEA

Ldx

EA

Nd .

EA = axial rigidity

Hubungan Deformasi dengan Internal Forces

DEFORMASI LENTUR

z

xI

yM .

Z

x

xEI

yM

E

.

dxEI

M

y

dxd

Z

x ..

L

O Z

dxEI

Md .

EIz=flexural rigidity

Hubungan Deformasi dengan Internal Forces

DEFORMASI GESER

G

bI

QV

z .

.

Shearing Strain ;

AG

dxVfd

.

..Displacemen relatif ; Shear Stress ;

VGA

Lfdx

GA

Vfd

L

O

S ..

..

rigidityshearingf

GA f = shape factor

Hubungan Deformasi dengan Internal Forces

DEFORMASI PUNTIR

JG

rT

G .

.

JG

RT

G

maks

maks.

.

dxJG

Tdx

Rd maks

.

J

rT .

J

RT.max

J = momen inersia polar konstanta torsi

G.J = torsional rigidity

TGJ

Ldx

JG

Td

L

O

..

.

KONSTANTA TORSI PENAMPANG

A1

D1D2

STRUKTUR BALOK MENERIMA BEBAN TERPUSAT A1 DAN MOMEN LENTUR A2 PADA UJUNG KANTILEVER SEPERTI TERGAMBAR

HITUNG MATRIKS KEKAKUAN [K] DAN MATRIKS FLEKSIBILITAS [F] DARI STRUKTUR TERSEBUT ????

EXAMPLE

E,I,L S21=

S11=L

3

12EI

L2

-6EI

1

1

S22=L

4EI

S12=L

2

-6EI

F11=

F21=

L

3EI

L

2EI

2

E,I,L

F12=L

2EI

F21=L

EI

1E,I,L

1

2

2

1

3

123

AEI

LA

EI

LD

21

2

22

AEI

LA

EI

LD

2

1

2

23

2

1

2

23A

A

EI

L

EI

LEI

L

EI

L

D

D

AFD

22131

612D

L

EID

L

EIA

2122

46D

L

EID

L

EIA

2

1

2

23

2

1

46

612

D

D

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

A

A

DSA

EI

L

EI

LEI

L

EI

L

2

232

23

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

46

612

2

23 SF

)43(

)22()34(

66LL

LL SF

SF

10

01

SEHINGGA DAPAT DIBUKTIKAN BAHWA ;

ATAU ; 1 SF 1

FS

322211

333D

L

EID

L

EID

L

EIF

3323122

333D

L

EID

L

EID

L

EIF

3323123

333D

L

EID

L

EID

L

EIF

3

2

1

111

111

11

3

2

1

22

22

13

D

D

D

L

EI

F

F

F

LLL

LLL

LL

EXAMPLE

Prinsip superposisi kekakuan ;

DKF

Bagaimana jika memakai Prinsip superposisi fleksibilitas ????........home work

EQUIVALENT JOINT LOADS

Pada metode matriks, pengaruh beban luar yang bekerja pada batang (atau “member loads”) dapat diekivalensikan dengan beban pada node/joint yang mempunyai pengaruh sama seperti beban aslinya.

Konsep tersebut dikenal sebagai “equivalent joint loads”

FORMULASI ANALISA STRUKTUR DENGAN METODE MATRIKS

Metode yang dikenal s/d sekarang ;

1) Metode Kekakuan (Metode Displacemen)

2) Metode Fleksibilitas (Metode Gaya)

Metode Kekakuan ; displacemen sebagai un-known value (variabel yang tidak diketahui) dan dicari terlebih dahulu.

Metode Fleksibilitas ; gaya sebagai un-known value dan dicari terlebih dahulu.

Metode Kekakuan Langsung

Metode yang cocok dan banyak digunakan dalam analisis struktur berbasis program komputer (SAP2000/STAAD-PRO/ANSYS)

Asumsi-asumsi dasar ;

1) Bahan struktur berperilaku “linear-elastic”

2) Displacemen struktur relatif kecil dibanding dimensi

/geometrik struktur

3) Interaksi pengaruh gaya aksial dan lentur diabaikan

4) Elemen/batang struktur bersifat “prismatis & homogen”

PROSEDUR ANALISIS

1. Semua kekakuan elemen dievaluasi sesuai dengan hubungan antara “gaya” dan “ deformation” (dalam koordinat LOKAL).

2. Matriks kekakuan elemen ditransformasikan ke koordinat GLOBAL.

3. Matriks kekakuan elemen-elemen struktur (dalam koordinat global) digabungkan menjadi matriks kekakuan seluruh struktur (dengan mempertimbangkan kompatibilitas).

4. Berdasarkan pembebanan yang ada, disusun vektor/matriks gaya.

5. Kondisi batas pada perletakan diperhitungkan, dan dilakukan “static condensation” untuk memperoleh matriks kekakuan struktur ter-reduksi.

6. Matriks kekakuan struktur yang ter-reduksi tersebut memberikan persamaan kesetimbangan struktur, yang solusinya akan menghasilkan “displacement” setiap node/joint. Kemudian gaya-gaya (reaksi perletakan) dapat diperoleh kemudian.

7. Kemudian gaya-gaya dalam dapat dihitung untuk setiap elemen.

PROSEDUR ANALISIS

Aplikasi Metode Kekakuan Langsung

STRUKTUR RANGKA BIDANG

STRUKTUR RANGKA RUANG

STRUKTUR PORTAL BIDANG

STRUKTUR PORTAL RUANG

STRUKTUR GRID

322211

333D

L

EID

L

EID

L

EIF

3323122

333D

L

EID

L

EID

L

EIF

3323123

333D

L

EID

L

EID

L

EIF

3

2

1

111

111

11

3

2

1

22

22

13

D

D

D

L

EI

F

F

F

LLL

LLL

LL

EXAMPLE

Prinsip superposisi kekakuan ;

DKF

Bagaimana jika memakai Prinsip superposisi fleksibilitas ????........home work