bab 7 teorema mekanika kuantum

7/28/2019 Bab 7 Teorema Mekanika Kuantum

1/35

Bab VII/Teorema Mekanika Kuantum /

BAB VII

TEOREMA MEKANIKA KUANTUM

7.1 Pengantar

Persamaan Schrodinger untuk atom yang hanya mepunyai satu elektron dapat kita

selesaikan secara pasti, tetapi tidak demikian halnya untuk atom yang berelektron banyak

dan juga molekul, karena dalam kedua sistem yang terakhir terjadi repulsi antara satu

elektron dengan elektron lain. Untuk itu kita butuhkan metode lain untuk menyelesaikan

persamaan Schrodinger untuk atom berelektron banyak dan molekul. Ada dua metode

yang akan kita bicarakan pada Bab VIII dan Bab IX, yaitu metode variasi dan teori

perturbasi. Untuk dapat memahami kedua metode tersebut kita harus mengembangkan

lebih lanjut pemahaman kita terhadap mekanika kuantum, yang secara garis besar telah

kita pelajari. Jadi target bab ini adalah membahas secara lebih mendalam mengenai

teorema mekanika kuantum.

Sebelum mulai, marilah kita mengenal beberapa notasi integral yang akan

dipergunakan. Definit integral seluruh ruang atas operator sembarang yang terletak di

antara dua buahfungsi yaitufm danfn biasanya ditulis:

n*

A ffm d = nA ffm = ( )nA ffm = nm A (7-1)

Notasi (7-1) di atas diperkenalkan oleh Dirac, dan disebut notasi kurung. Bentuk integral

di atas juga sering ditulis:

n* A ffm d = Am n (7-2)

Notasi untuk integral seluruh ruang atas dua buahfungsifm danfn ditulis:

nm ff * d = nm ff = ( )nm ff = m n (7-3)

Karena [ ]** ff nm = nm ff * d, maka:

m n * = m n (7-4)

dan dalam kasus khusus yaitufm =fn maka (7-4) dapat ditulis : m m *= m m .

Hal-hal lain yang perlu diingat adalah:

1) nm ff * d = 1 jikafm =fn danfungsinya disebut ternormalisasi. (7-5)

nm ff * d = 0 jikafm fn danfungsinya disebut ortogonal (7-6)

114

d


2/35


Catatan:

nm ff * d juga boleh ditulis m n (Kronikle Delta) yang harganya = 0 jika fm

fn dan berharga 1 jikafm = fn

2) Jika : A = a dengan a bilangan konstan, maka disebutfungsi eigen sedang adisebut nilai eigen atau: jika adalah fungsi eigen terhadap operator A , maka

berlaku hubungan:

A = a dengan a adalah nilai eigen. (7-7)

7.2 Operator Hermit

Untuk memahami operator ini, kita harus mengingat kembali pengertian operator

linear dan pengertian nilai rata-rata. Operator linear adalah operator yang mewakilibesaran fisik, misal operator energi, operator energi kinetik, operator momentum angular

dan lain-lain. Selanjutnya telah kita ketahui pula bahwa jika A adalah operator linear

yang mewakili besaran fisik A, maka nilai rata-rata A dinyatakan dengan:

A = *A d (7-8)

dengan adalahfungsi keadaan sistem. Karena nilai rata-rata selalu merupakan bilangan

real, maka:

A = A *

atau:

*A d = ( ) *A d (7-9)

Persamaan (7-9) harus berlaku bagi setiapfungsi yang mewakili keadaan tertentu suatu

sistem atau persamaan (7-9) harus berlaku bagi setiap fungsi berkelakuan baik (well

behaved function). Operator linear yang memenuhi persamaan (7-9) itulah yang disebut

operator Hermit.

Beberapa buku teks menulis operator Hermit sebagai operator yang mengikuti persamaan:

gAf* d = *)A( fg d (7-10)

untukfungsi fdan g yang berkelakuan baik. Perlu dicatat secara khusus bahwa pada ruas

kiri persamaan (7-10), operator A bekerja padafungsi g sedang di ruas kanan, operator

115


3/35


bekerja pada fungsi f. Dalam kasus khusus yaitu jika f = g maka bentuk (7-10) akan

tereduksi menjadi bentuk (7-9).

Teorema yang berhubungan dengan Operator Hermit

Ada beberapa teorema penting sehubungan dengan operator Hermit, yaitu:

Teorema 1:Nilai eigen untuk operator Hermit pasti merupakan bilangan real.

Teorema 2: Dua buah function 1 dan 2 berhubungan dengan operator Hermit A dan

baik1 maupun 2 adalah fungsi eigen terhadap operator A dengan nilai

eigen yang berbeda, maka 1 dan 2 adalah ortogonal. Jika kedua fungsi

tersebut mempunyai nilai eigen yang sama atau degenerate (jadi tidak

ortogonal), maka selalu ada cara agar dijadikan ortogonal.

Pembuktian Teorema I:

Ada dua hal penting yang termuat dalam pernyataan teorema I yaitu bahwa

operator yang dipergunakan adalah operator Hermit jadi harus mengikuti (7-9) dan ada

pernyataan eigen value, ini berarti bahwafungsi yang dibicarakan adalahfungsi eigen, jadi

hubungan (7-7) berlaku. Untuk ini kita misalkan fungsinya adalah , dan karena A

adalah operator hermit, maka menurut (7-9):

*A d =

( ) *A d

atau:

*A d = **A d (7-11)

Menurut (7-7) :

A = a dengan a adalah nilai eigen untuk

**A = a* dengan a* adalah nilai eigen untuk

sehingga (7-11) dapat ditulis:

a * d = a* d*

Menurut (7-5) nilai *

d = d* = 1, jadi:

a = a*

Harga a = a* hanya mungkin jika a bilangan real.

116


4/35


Pembuktian Teorema II:

Karena 1 dan 2 adalahfungsi eigen terhadap operator misal operatorA , maka berlaku:

A 1 = a11 dan A 2 = a22 (7-12)

Karena A adalah operator Hermit terhadap 1 dan 2 maka menurut (7-10) berlaku:

2*1 A d = ( ) *12 A d

atau:

2*1 A d = *1*2 A d (7-13)

Substitusikan (7-12) ke dalam (7-13), menghasilkan:

a2 1 2*

d = a1* 2 1*

d

Menurut teorema I, harga a*

= a, jadi:a2 1 2

*d = a1 2 1* d (7-14)

Menurut (7-4), 1 2*

d = 2 1* d , jadi persamaan (7-14) boleh ditulis:

a2 1 2*

d = a1 1 2* d

atau:

a2 1 2*

d a1 1 2* d = 0

atau:(a2 a1 ) 1 2

*d = 0 (7-15)

Jika a1 tidak sama dengan a2 maka dari (7-15) tersebut (a2a1) tidak mungkin nol,

sehingga:

1 2*

d = 0 (7-16)

Karena 1 2*

d = 0, maka 1 dan 2 ortogonal.

Jadi terbukti, jika dua buah fungsi eigen mempunyai nilai eigen berbeda terhadap

operator tertentu, maka kedua fungsi tersebut ortogonal. Yang menjadi pertanyaan

sekarang adalah, mungkinkah dua buah fungsi eigen yang independen, mempunyai nilai

eigen yang sama ? Jawabnya adalah ya. Ini terjadi pada kasus degenerasi. Pada kasus ini,

beberapa fungsi eigen yang independen, mempunyai nilai eigen yang sama. Untuk dua

fungsi eigen yang degenerate atau yang nilai eigen-nya sama, maka kedua fungsi tersebut

117


5/35


tidak ortogonal. Dengan demikian, maka kita hanya boleh mengatakan bahwa duafungsi

eigen yang berhubungan dengan operator Hermit adalah ortogonal jika kedua fungsi eigen

itu tidak degenerate.

Apakah Degenerate itu ?

Telah disinggung di atas bahwa jika dua atau lebihfungsi eigen yang independen

mempunyai nilai eigen sama, maka kasus seperti itu disebut degenerate. Untuk lebih

memahami masalah degenerate ini, marilah kita ingat kembali fungsi gelombang partikel

dalam kotak yang telah kita pelajari. Fungsi gelombang partikel dalam kotak 3 dimensi

dinyatakan sebagai:

= xyz dengan :

x = 2 21 2

LxnLx

x

/

sin x ; y = 22

1 2

Ly

n

Lyy

/

sin y dan y =

2 21 2

Ly

n

Ly

y

/

sin

y

jadi:

= 8 21 2

Lx Ly Lz

n

Lx

x

. .sin

/

x sin

2n

Ly

yy sin

2n

Ly

yy (7-17)

Jika operator Hermit, misal operator Hamilton dikenakan padafungsi gelombang tersebutmaka nilai eigennya adalah energi yang besarnya:

E = Ex + Ey + Ez

dengan :

Ex =h n

mL

x

x

2 2

28

; Ey =h n

mL

y

y

2 2

28

dan Ez =h n

mL

z

z

2 2

28

(7-18)

sehingga:

E = hm

n

L

n

L

n

L

x

x

y

y

z

z

2 2

2

2

2

2

28+ +

Jika kotaknya kubus dengan rusuk L:

E =h

m

n

L

x y z2 2 2 2

28

+ n + n

(7-19)

118


6/35


Jika kotaknya berbentuk kubus, maka menurut (7-19) harga nilai eigen E1-1-2 = E1-2-1 = E2-1-

1 =h

m L

2

28

6

meskipun eigen function-nya 1-1-2 1-2-1 2-1-1. Keadaan seperti itulah

contoh kasus degenerate. Untuk kasus degenerate tersebut, biasanya dikatakan bahwaderajad degenerasinya = 3, karena ada 3 fungsi gelombang berbeda yang nilai eigen-nya

sama yaitu 1-1-2; 1-2-1 dan 2-1-1. Sudah barang masih tak terhingga banyak kasus

degenerate untukfungsi gelombang partikel dalam kotak berbentuk kubus misal pasangan

1-1-3; 1-3-1 dan 3-1-1 dan masih banyak lagi.

Satu hal yang penting dari keadaan degenerate itu ialah, bahwa jikafungsi-fungsi

eigen yang degenerate itu dikombinasi linearkan, maka akan terbentukfungsi eigen yang

baru. Contoh:

Jika fungsi adalah kombinasi linear dari 1-1-2, 1-2-1 dan 2-1-1 yang dinyatakan dalam

bentuk:

= c11-1-2 + c21-2-1 + 2-1-1 (7-20)

Karena 1-1-2, 1-2-1 dan 2-1-1 adalah degenerate, maka pasti merupakan fungsi eigen

yang nilai eigennya sama dengan nilai eigenfungsi-fungsi penyusunnya.

Yang harus diingat adalah bahwa jika adalah kombinasi linear dari 1-1-2 dan 1-3-1 sehingga dapat ditulis:

= c11-1-2 + c21-3-1 (7-21)

maka bukan fungsi eigen karena nilai eigen 1-1-2 dan c21-3-1 pasti tidak sama.

Relasi (7-20) disebut degenerasi karenafungsi eigen penyusunnya degenerate sedang (7-

21) bukan degenerasi.

Jika kepada kita ditanyakan berapa energi pada (7-20) maka jawabnya adalah E

=h

m L

2

28

6

.

Ortogonalisasi

119


7/35


Misal kita mempunyai dua buah fungsi eigen yang degenerate, jadi nilai eigennya

sama maka menurut teorema 2 kedua fungsi tersebut tidak ortogonal. Pertanyaannya

adalah dapatkah kita membuatnya menjadi ortogonal ? Jawabnya adalah, dapat.

Sekarang kita akan menunjukkan bahwa dalam kasus degenerasi (yang fungsi-

fungsinya tidak ortogonal), dapat kita buat menjadi ortogonal. Kita misalkan kita

mempunyai operator Hermit A dan dua buahfungsi eigen independen yaitufungsi fdan

fungsi G yang mempunyai nilai eigen yang sama yaitu s, maka berarti:

Af = s f; A G = s G

Karena nilai eigen keduanya sama, maka fdan G pasti tidak ortogonal. Agar diperoleh dua

fungsi baru yang ortogonal, ditempuh langkah sebagai berikut:

Kita buatfungsi eigen baru yaitu g1 dan g2 yang merupakan kombinasi linearfdan

G sehingga membentuk misalnya:

g1 = f dan g2 = G + c f dengan c adalah konstanta.

Kita harus menentukan harga c tertentu agar g1 dan g2 ortogonal. Agar ortogonal harus

dipenuhi syarat:

2*1 gg d = 0 atau:

)c+(* fGf d= 0 atau :

Gf * d + ff*c d = 0 atau :

Gf * d + c ff* d = 0 atau :

Jadi agar g1 dan g2 ortogonal, maka harga c harus:

c =

*

*

ff

Gf

Sekarang kita telah mempunyai duafungsi ortogonal yaitu g1 dan g2 yaitu:

g1 = f dan g2 = G + c f dengan c = **

ff

Gf

Prosedur yang telah kita tempuh ini disebut Ortogonalisasi Schmidt.

7.3 Ekspansi Sembarang Fungsi Menjadi Kombinasi Linear Fungsi Eigen

120

d

d

d

d


8/35


Setelah kita membicarakan ortogonalitas fungsi eigen dari operator Hermit,

sekarang akan kita bicarakan sifat penting lain darifungsi tersebut; sifat ini mengijinkan

kita untuk mengubah bentuk sembarangfungsi F(x) menjadi kombinasi linearfungsi -fungsi

eigen. Jika kombinasi linear fungsi eigen itu adalah a11 + a22 + a33..... + ann, atau

agar lebih singkat kita tulis saja dengan bentuk an n1

~

, maka ekspansi fungsi yang

dimaksud adalah:

F(x) = an n1

~

(7-22)

dengan :

an = n xall x

*( )F dx (7-23)

Bagaimana mendapat (7-23) di atas ? Marilah kita ikuti langkah-langkah berikut:

Kedua ruas (7-22) kita kalikan dengan m* sehingga diperoleh:

m* F(x) = an nm *

~

1

(7-24)

Jika kedua ruas (7-24) diintegralkan maka diperoleh:

m* F(x) dx = an nm *~

1

dx (7-25)

Telah kita ketahui bahwa :

m* dxn = m n (7-26)

sehingga (7-25) dapat ditulis:

m* F(x) dx = an . m n1

~

(7-27)

Ruas kanan (7-27) adalah:

an . m n1

~

= a1. m 1 + a2 m 2 + ....a m m m + a m +1 m (m+1) +...

= a1. 0 + a2 0 + ....a m 1 + a m +1 . 0 +...

= am

121


9/35


Sehingga (7-27) dapat ditulis:

m* F(x) dx = am atau am = m* F(x) dx (7-28)

Jika indek m pada (7-28) diganti n maka persamaan (7-23) yang dicari diperoleh yaitu:

an = n xall x

*( )F dx

Contoh:

Diketahui: F(x) = x untuk 0 < x < a/2

F(x) = 1 x untuk a/2 < x < a

Ekspansilah F(x) ke dalam fungsi eigen untuk partikel dalam kotak satu dimensi yang

panjang kotaknya = a.

Jawab:

Fungsi gelombang partikel dalam kotak satu dimensi dengan panjang kotak = a adalah:

n =2

1 2

a

n

a

/

sin

x (7-29)

Jadi bentuk ekspansinya menurut (7-22):

F(x) = an n1

~

= 21 2

1a

an

/ ~

sinn

ax

(7-30)

Menurut (7-23) :

an = n xall x

*( )F dx

=2

1 2

a

n

ax F x

/

( )sin

dx

= 21 2

a

n

ax F x

/

( )sin

dx

=2

1 2

0

2

ax .

a

/ /

sinn

ax dx

+

21

1 2

2a

a

a

/

/

( )x . sinn

ax dx

=( )2

2

3 2

2 2

a

n

n/

sin

(7-31)

Jadi:

122


10/35


a1 =( )2

3 2

2

a/

; a2 = 0 ; a3 =

( )2

3

3 2

2 2

a/

; a4 = 0 ; a5 =

( )2

5

3 2

2 2

a/

; a6 = 0 dan

seterusnya.

Kita masukkan (7-31) ke dalam (7-30), maka:

F(x) =2

1 2

1a

an

/ ~

sinn

ax

=( ) ( ) ( )2

3

3

5

51 2 3 2

2

3 2

2 2

3 2

2 2ax x x

+

/ ' ' '

2a

sina

2a

sina

2a

sina

. . . .

=( )2 3 51 2

3 2

2ax x x

+

/ '2a

1

1sin

a

1

3sin

a

1

5sin

a. . . .

2 2 2

=

4 3 5

2

a

x x x

1

1 sin a

1

3 sin a

1

5 sin a . . . .2 2 2 +

Pengertian Complete Set

Pada contoh ekspansi fungsi diatas, fungsi F(x) dapat diekspansi ke dalam bentuk

kombinasi linearfungsi gelombang partikel dalam kotak n dan dalam hal ini himpunan

fungsi disebut himpunan lengkap atau Complete Set. Apakah semua n dapat

digunakan untuk mengekspansifungsi F, jawabnya ternyata tidak, hanya himpunanfungsi

yang merupakan himpunan lengkap saja yang dapat digunakan untuk mengekspansifungsi

F. Selanjutnya mengenai himpunan lengkap, dibuat definisi sebagai berikut:

Himpunan fungsi dapat disebut sebagai Himpunan Lengkap jikahimpunanfungsi tersebut dapat digunakan untuk mengekspansi sembarangfungsi F menjadi kombinasi linear dengan mengikuti persamaan F(x) =

an n1

~

dengan an adalah tetapan sembarang.

Contoh himpunan fungsi gelombang yang bukan himpunan lengkap adalah himpunan

fungsi gelombang elektron atom hidrogen yang sudah pernah kita pelajari. Meskipun kita

tahu bahwa fungsi gelombang elektron atom hidrogen yaitu (n, l, m ) adalah fungsi r,,,

namun jika seandainya kita mempunyai sembarang fungsi F(r,,) maka fungsi tersebut

tidak dapat diekspansi menjadi kombinasi linear , karena seperti kita ketahui bahwa

hidrogen hanya berhubungan dengan energi diskrit saja padahal energi elektron bisa saja

123


11/35


kontinum, yaitu ketika elektron dalam proses lepas dari sistem atom menjelang terjadinya

ionisasi. Jadi n atom Hidrogen bukan merupakan himpunan lengkap sehingga tidak

mungkin kita mengekspansi F(r,,) menjadi himpunan linear(n, l, m). Fungsi gelombang

hidrogen baru disebut himpunan fungsi lengkap jika menyertakan himpunan fungsigelombang yang berkorelasi dengan energi kontinum yang biasanya ditulis (E, l, m). Jika

fungsi gelombang hidrogen sudah dinyatakan secara lengkap seperti itu makafungsi F(r,,)

dapat diekspan, yaitu menjadi kombinasi linearfungsi diskrit dan kombinasi linearfungsi

kontinum.

Teorema 3:

Jika g1, g2... adalah himpunan lengkap fungsi eigen dari operator A dan jika

fungsi Fjugafungsi eigen dari operatorA dengan nilai eigen k (jadi A F = k F) sedang F

diekspansi dalam bentukF = i

iiga , maka gi yang a i nya tidak nol mempunyai nilai

eigen k juga.

Jadi ekspansi terhadap F, hanya melibatkan fungsi-fungsi eigen yang mempunyai

nilai eigen yang sama dengannilai eigen F.

Selanjutnya sebagai rangkuman dari sub-bab 7.2 dan 7.3 dapat dinyatakan bahwa

Fungsi-fungsi eigen dari operator Hermite, membentuk himpunan lengkap ortonormaldan nilai eigennya adalah real.

7.4 Eigen Fungsi Dari Operator Commute

Jikafungsi secara simultan adalahfungsi eigen dari dua buah operator A dan

B dengan nilai eigen aj dan bj, maka pengukuran properti A menghasilkan aj dan

pengukuran B menghasilkan bj. Jadi kedua properti A dan B mempunyai nilai definit jika

merupakanfungsi eigen baik terhadap A maupun B .

Pada bab V sub bab 5.1 kita telah menyatakan bahwa suatu fungsi adalah eigen

terhadap A dan B jika kedua operator tersebut commute atau:

A = ai dan B = bi Jika : (7-32)

[ A ,B ] = 0 (7-33)

124


12/35


Sekarang pernyataan pada bab V tersebut akan kita buktikan. Yang harus kita buktikan

adalah:

[ A ,B ] = 0

Kita tahu:

[ A ,B ] = A B B A (7-34)

Jika dioperasikan pada i :

[ A ,B ]i = A B iB A i

= A (B i ) B ( A i )

= Abi B ai i

= biA aiB i

= bi ai aibii

[ A ,B ] = bi ai aibi = 0 (terbukti) (7-35)

Pembuktian di atas adalah pembuktian untuk teorema 4 yang bunyinya

Teorema 4: Jika Operator linearA dan B mempunyai himpunanfungsi eigen yang

sama maka A dan B adalah commute.

Perlu diingat A dan B yang dimaksud oleh teorema 4 hanya A dan B yang

masing-masing merupakan operator linear. Jika A dan B bukan operator linear makakeduanya bisa tidak commute meskipun seandainya keduanya mempunyai fungsi eigen

yang sama. Sebagai contoh (,) yang kita bahas di bab V, adalah fungsi eigen dari

operator xL dan operator yL tetapi kedua operator tersebut non commute.

Teorema 5 : Jika operator Hermite A dan B adalah commute, maka kita dapat memilih

himpunan lengkapfungsi eigen untuk kedua operator itu.

Pembuktiannya adalah sebagai berikut:

Anggap sajafungsi g i adalahfungsi eigen dari operator A dengan nilai eigen a i

maka kita dapat menulis:

A gi = ai gi (7-36)

Jika operatorB dioperasikan pada kedua ruas (7-36) di atas, maka:

B ( A gi ) =B (ai gi ) (7-37)

125


13/35


Karena A dan B commute dan karena B linear maka:

A (B g i) = ai (B g i) (7-38)

Persamaan (7-38) di atas menyatakan bahwa fungsi B g i adalah fungsi eigen terhadap

operator A dengan nilai eigen a i, persis sama dengan fungsi g i yang juga fungsi eigen

terhadap operator A dengan nilai eigen a i. Marilah kita untuk sementara menganggap

bahwa nilai eigen dari operator A tersebut non degenerate, hingga untuk sembarang

harga nilai eigen a i yang diberikan berasal dari satu dan hanya satu fungsi eigen yang

linearly independent. Jika ini benar, maka kedua fungsi eigen g i dan B g i yang

mempunyai nilai eigen sama yaitu a i harus linearly dependent, yaitu,fungsi yang satu harus

merupakan kelipatan sederhana dari yang lain,

B g i = ki g i (7-39)

dengan ki adalah konstan. Persamaan (7-39) itu menyatakan bahwafungsi g i merupakan

fungsi eigen dari operatorB sebagaimana yang hendak kita buktikan.

Jadi, jika A dan B commute dan fungsi g i adalah fungsi eigen terhadap A

maka g i juga merupakan fungsi eigen dari B (Jadi Teorema 5 adalah kebalikan dari

Teorema 4)

Teorema 6: Jika g i dan gj adalah fungsi eigen dari operator Hermite A dengan nilai

eigen berbeda (misal A g i = a i g i dan A gj = ajgj dengan a i aj), dan jika

B adalah operator linear yang commute terhadap A , maka:

< gjB g i > = 0 atau rsj Bg ig d = 0 (7-40)

dengan s-r adalah seluruh ruang. Pembuktiannya adalah sebagai berikut:

Karena A dan B commute, makafungsi eigen terhadap A adalah juga fungsi

eigen terhadap B , meski dengan nilai eigen berbeda. Jadi gi juga fungsi eigen terhadap

B , yang jika nilai eigennya dimisalkan ki maka:

B gi = ki gi (7-41)dengan demikian (7-40) boleh ditulis:

rs

iij gkg d = rs

iji ggk = ik . 0 = 0 (terbukti)

126


14/35


7.5 Paritas

Ada operator mekanika kuantum yang tidak dikenal dalam mekanika klasik,

contohnya adalah operator paritas. Marilah kita ingat kembali bahwa dalam osilator

harmonis, kita mengenal adanyafungsi genap dan ganjil. Akan kita lihat bagaimana sifat ini

dikaitkan dengan operator paritas.

Operator paritas, dapat dilihat dari efeknya apabila ia bekerja pada

sembarang fungsi. Operator ini akan mengubah tanda semua koordinat Cartessius,

sehingga kita boleh mendefinisikan:

f( x, y, z ) = f(x, y, z)

Contohnya: ( x2 2 x. e2y + 3 z3 ) = { (x)22 (-x). e2y + 3 (z)3 }

= x2 + 2 x e2y 3z3

Jika seandainya g i adalahfungsi eigen dari operator paritas dengan nilai eigen a i

maka kita dapat menulis:

g i = a i g i (7-42)

Sifat paling penting dari operator ini adalah kuadratnya:

2 f( x, y, z ) = f( x, y, z ) = f(x, y, z) = f( x, y, z )

Karena fnyafungsi sembarang maka 2 adalah operator satuan (unit Operator), jadi:

2 = 1 (7-43)

Sekarang, bagaimana jika kita gunakan 2 untuk (7-42) ? Hasilnya adalah:

2 g i = g i = a i g i = a i g i = 2ia g i (7-44)

Karena adalah unit operator, maka (7-44) menjadi:

g i =2i

a g i (7-45)

atau:

127


15/35


ai = + 1 (7-46)

Karena ai adalah nilai eigen untuk 2 , maka nilai eigen untuk 2 adalah 1 dan 1.

Perlu dicatat bahwa hal ini berlaku untuk semua operator yang kuadratnya merupakan

operator satuan.

Bagaimana fungsi eigen dari operator Paritas ? Kita lihat kembali persamaan (7-42)

g i = a i g i

Karena nilai eigen operator ini + 1, maka persamaan di atas dapat ditulis:

g i = + 1 g i (7-47)

Jika gi adalah g(x, y, z), maka:

g (x, y, z) = + 1 g(x, y, z ) atau (7-48)

g (x, y, z) = + 1 g(x, y, z ) (7-49)

Jika nilai eigennya +1, maka:

g (x, y, z) = g(x, y, z ) (7-50)

jadi gfungsi genap. Jika nilai eigen = 1, maka:

g ( x , y , z ) = g ( x , y , z ) (7-51)

jadi g adalahfungsi ganjil.. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa:

fungsi eigen dari operator paritas adalah semua

fungsi well behaved yang mungkin baik genap

maupun ganjil.

Bagaimana jika Operator Paritas Commute dengan operator Hamilton ?

Manakala operator paritas commute dengan operator Hamilton maka semuafungsi

yang eigen terhadap operator Hamilton pasti eigen juga dengan operator paritas. Kita

ambil saja himpunanfungsi i adalahfungsi eigen terhadap operatorH. Kemudian, jika

operator paritas dan Hamilton commute, kita boleh menulis:

128


16/35


[ ,H] = 0 (7-52)

dan juga boleh menyatakan bahwa i adalahfungsi eigen bagi operator paritas tidak peduli

fungsi tersebut ganjil atau genap. Untuk sistem partikel tunggal,

[H, ] = [ ( Vxm2 2

22

+

), ] = [

xm22

22

, ] + [ V, ]

= m2

2 [ x

2

2

, ] + [ V, ] (7-53)

Harga [ x2

2

, ] adalah 0, ini dengan mudah dapat dibuktikan sebagai berikut:

[ x2

2

, ] F(x) =

x2

2

F(x)

x 2

2

F(x)

=x

2

2

F(x) ( )x

( )x

F(x)

=x2

2

F(x)

x2

2

F(x) = 0

Dengan demikian (7-53) dapat ditulis:

[H, ] = [ V, ] (7-54)

Sekarang kita evaluasi ruas kanan (7-54):[ V(x), ] F(x) = V(x) F(x) V(x)F(x)

= V(x) F(x) V(x)F(x) (7-55)

Nilai (7-55) ditentukan olehfungsi energi potensial. Jikafungsi energi potensial adalah

fungsi genap, maka V(x) = V(x), maka (7-55) menjadi:

[ V(x), ] = 0 sehingga (7-54) menjadi:

[H, ] = 0 (7-56)

Ini berarti:

129


17/35


Teorema 7: Jika fungsi V adalah fungsi genap, maka H dan adalah commute,

sehingga kita dapat memilih sembarang fungsi gelombang stasioner baik genap

maupun ganjil sebagaifungsi eigen dari kedua operator tersebut.

Fungsi genap atau ganjil yang merupakanfungsi eigen bagi kedua operator Hamilton dan

paritas itu disebutfungsi definit paritas.

Jika semua energi levelnya adalah non degenerate ( umumnya memang benar untuk

sistem partikel tunggal) berarti hanya ada satu fungsi gelombang independen yang

berhubungan dengan masing-masing energi level. Jadi untuk kasus non degenerate, maka

fungsi gelombang stasioner yang fungsi energi potensialnya fungsi genap adalah definit

paritas. Sebagai contoh fungsi gelombang osilator harmonis adalah definit paritas karena

fungsi energi potensialnya kx2 (fungsi energi potensial genap).Jika energi level degenerate, itu berarti tidak cuma satu fungsi gelombang

independen yang memiliki energi nilai eigen tersebut. Dengan demikian kita mempunyai

banyak sekali pilihan fungsi gelombang sebagai akibat dari kombinasi linear dari fungsi-

fungsi degenerasi itu.

7.6 Pengukuran Dan Keadaan Superposisi

Mekanika kuantum dapat dipandang sebagai suatu cara untuk menghitung

probabilitas dari berbagai kemungkinan hasil pengukuran. Sebagai contoh, jika kita

mempunyai fungsi (x,t) maka probabilitas hasil pengukuran posisi partikel pada saat t

berada antara x dan x + dx dinyatakan oleh (x,t)2 dx

Sekarang kita akan memperhatikan pengukuran properti secara umum, misal

besaran A. Untuk ini yang dipertanyakan adalah bagaimana menggunakan untuk

menghitung probabilitas masing-masing hasil pengukuran A yang mungkin. Kita akan

mengupas informasi apa saja yang dikandung oleh yang merupakan jantungnyamekanika kuantum. Subyek pembahasan kita adalah sistem n partikel dan menggunakan q

sebagai simbol dari koordinat 3n. Telah kita postulatkan bahwa hanya nilai eigen a i dari

operator lah yang merupakan kemungkinan hasil pengukuran besaran A.

Dengan menggunakan g i sebagaifungsi eigen dari , maka kita boleh menulis:

130


18/35


g i ( q ) = a i g i ( q ) (7-57)

Telah kita postulatkan pada sub bab 7.3 bahwa fungsi eigen dari sembarang operator

Hermite yang mewakili besaran fisik teramati, membentuk himpunan lengkap. Karena g i

adalah himpunan lengkap kita dapat mengekspansifungsi dalam suatu deret yang suku-

sukunya adalah g i jadi:

(q,t) = i

qiigc )( (7-58a)

Agar dapat menggambarkan bahwa adalahfungsi waktu, maka koefisien ci harus

merupakanfungsi waktu sehingga (7-58a) lebih baik ditulis:

(q,t) = i

qitigc )()( (7-58b)

Karena 2 adalah rapat peluang (probability density) maka:

* d = 1 (7-59)

Substitusi (7-58a) ke dalam (7-59) menghasilkan:

i i

itiiti gcgc )(**

)( d = i j

jtjitigcgc

)(**

)( d = 1 (7-60)

Karena pengintegralan hanya terhadap koordinat, maka:j i

titj cc )(*

)( )q(i*jgg d = 1 (7-61)

Jika i = j, maka:i i

)t(i*

)t(i cc = 1 atau:

2

i

ic = 1 (7-62)

Kita akan menguji signifikansi (7-62) secara singkat:

Ingat bahwa jika fungsi ternormalisasi, maka nilai rata besaran A adalah:

< A > = * d

Dengan menggunakan (7-58), maka:

< A > = j i

jtj gc**

)( )q(i)t(i gc d = j i

)t(i*

)t(j cc ij gAg * d

atau:

< A > = j i

)t(i*

)t(j cc ij gag i* d =

j i)t(i

*)t(j cc a i ij gg

* d

131


19/35


< A > =2

i

ic a i (7-63)

Bagaimana menginterpretasi (7-63) ? Perlu diketahui, bahwa nilai eigen suatu operator

adalah kemungkinan dari bilangan-bilangan yang diperoleh jika kita melakukan

pengukuran terhadap besaran yang diwakili oleh operator tersebut. Dalam sembarang

pengukuran terhadap besaran A, kita akan memperoleh salah satu harga a i. Kemudian

marilah kita ingat kembali teori mengenai rata-rata yang kita pelajari dalam matematika.

Jika kita mempunyai n buah data X dengan rincian X 1 sebanyak n1, X2 sebanyak n2 dan

seterusnya maka, rata-rata X adalah :

< X > =n

.Xn...........XnXn ii2211 + = 11 X

n

n+ 2

2 Xn

n..... i

i Xn

n

= P1 X1 + P2 X2...... Pi Xi Jadi:

< X > = i

ii XP (7-64)

Sekarang jika dari pengukuran terhadap besaran A diperoleh nilai-nilai eigen a1, a2... ai

maka rata-rata A adalah:

< A > = i

ii aP (7-65)

dengan Pi adalah probabilitas mendapatkan nilai a i pada pengukuran besaran A. Jika hanya

ada sebuah fungsi eigen independen untuk setiap nilai eigen (non degenerate) makabanyaknya eigen fungsi sama dengan banyaknya nilai eigen. Selanjutnya dengan

membandingkan (7-65) terhadap (7-63) maka dapat dipastikan bahwa

c i2 = Pi (7-66)

yaitu probabilitas memperoleh harga a i ketika dilakukan pengukuran terhadap besaran A.

Teorema 8: Jika a i adalah nilai eigen non degenerate dari operator dan g i adalahfungsi

eigen ternormalisasi ( g i = a i g i ) maka, manakala besaran A diukur dalamsistem mekanika kuantum yang fungsi statenya pada waktu diadakan

pengukuran adalah , probabilitas mendapatkan hasil a i adalah c i2, dengan

ci adalah koefisien g i pada ekspansi = i c i g i. Jika nilai eigen a i

132


20/35


degenerate, probabilitas mendapatkan a i pada saat A diukur adalah jumlah

dari c i2fungsi-fungsi eigen yang nilai eigennya a i .

Kapankah hasil pengukuran besaran A dapat diprediksi secara tepat ?. Kita dapat

melakukan itu jika semua koefisien pada ekspansi = i c i g i adalah nol kecuali satukoefisien saja yaitu misalnya c k. Untuk kasus ini maka (7-66) menjadi ck2 = Pk = 1.

Artinya peluang untuk mendapatkan nilai eigen seharga a k = 1, artinya, nilai eigennya

pasti ak.

Kemudian, untuk selanjutnya kita dapat memandang ekspansi deret = i c i g i

sebagai ekspresi bentuk umumfungsi yang merupakan superposisi darifungsi eigen g i

dari operator . Masing-masingfungsi eigen g i berhubungan dengan nilai eigen a i milik

besaran A.

Selanjutnya bagaimana cara menghitung koefisien ci sehingga pada akhirnya kita

dapat menghitung ci2 ? Caranya kita kalikan = i c i g i dengan g*j kemudian

integralkan ke seluruh ruang, sehingga diperoleh:

g*j d = g*ji c i g i d = i c ig*j g i.d = c i ig*j g id

Jika ortonormal:

g*j d = c i

atau:

c i = . g *j d = < g*j > (7-67)

Kuantitas < g*j > disebut amplitudo probabilitas. Selanjutnya probabilitas

mendapatkan nilai eigen non degenerate a i pada pengukuran A adalah [lihat (7-66)]:

Pi = c i2 = . g *j d2 = < g*j >2 (7-68)

Jadi jika kita mengetahui state sistem sebagaimana ditentukan oleh fungsi maka kita

dapat menggunakan (7-68) untuk memprediksi probabilitas dari berbagai kemungkinan

hasil pengukuran besaran A.

Teorema 9: Jika besaran B diukur dalam sistem mekanika kuantum yangfungsi statenya

pada saat pengukuran adalah , maka probabilitas dari pengamatan nilai

133


21/35


eigen aj dari operator adalah 2, dengan gj adalah fungsi eigen

ternormalisasi yang mempunyai nilai eigen aj.

Integral = g*jd akan mempunyai nilai absolut substansial jika fungsi

ternormalisasi gj dan berada pada daerah yang saling berdekatan dan dengan demikian

harganya di daerah tertentu dalam ruangan hampir sama. Jika tidak demikian maka bisa

terjadi gj terlalu besar sedang terlalu kecil (atau sebaliknya) sehingga hasil kali

gj. selalu terlalu kecil. Akibatnya absolut kuadratnya juga terlalu kecil sehingga

probabilitas untuk mendapatkan nilai eigen ai juga sangat kecil.

Contoh: Dilakukan pengukuran terhadap Lz elektron atom hidrogen yangfungsinya pada

saat diadakan pengukuran adalah fungsi 2px. Tentukan hasil-hasil pengukuranyang mungkin dan tentukan pula probabilitas masing-masing hasil pengukuran.

Jawab: a) 2px adalah kombinasi linear dari 2p(+1) dan 2p(1). Jadi harga Lz yang mungkin

adalah dan karena Lz adalah m .

b) Untuk menentukan probabilitas masing-masing, kita ekspansi 2px atas fungsi-fungsi

penyusunnya:

2px = 21/22p(+1) + 21/22p(1). Persamaan diatas adalah bentuk ekspansi 2px atas

2p(+1) dan 2p(1) dengan koefisien c1 = c2 = 21/2. Menurut teorema 8,

probabilitasnya adalah:

P1 = 21/22 = = P2

P1 adalah probabilitas mendapatkan Lz = sedang P2 adalah probabilitas

mendapatkan Lz =

Contoh: Akan dilakukan pengukuran terhadap energi (E) bagi partikel dalam box yang

panjangnya a dan pada saat pengukuran dilakukan partikel berada pada keadaannon stasioner = 301/2a5/2x (ax) untuk 0 < x < a. Tentukan hasil-hasil

pengukuran yang mungkin dan tentukan pula probabilitas masing-masing hasil

pengukuran

Jawab: Untuk partikel dalam box:

134


22/35


E = n2h2 /(8ma2)dengan n = 1, 2, 3,..... dan non degenerate (karena 1 dimensi)

sedangfungsi eigennya adalah n = (2/a)1/2 sin (n/a) x. Untuk menghitung probabilitasnya

maka kita ekspansi saat itu atas n, jadi:

= n cnnMenurut (7-67)

c i = . g *j d

jadi:

cn = . n d = 301/2a5/2 (2/a)1/2{x (ax)}sin (n/a) x dx

=33

2/1

n

240

[ 1 (1)n ] (Buktikan) (7-69)

Pn = cn2 = 66n240

[ 1 (1)n ]2.

Catatan: Jika anda akan membuktikan (7-69) yang perlu dicatat adalah bahwa cos n =

(1)n

7.7 Postulat-Postulat Mekanika Kuantum

Sepanjang perjalanan kita dalam mempelajari mekanika kuantum, kita telah

mengenal postulat-postulat mekanika kuantum. Sekarang ini, kita akan merangkumnya:

Postulat I. Keadaan (state) sistem dideskripsi oleh fungsi yang merupakan fungsi

koordinat dan waktu. Fungsi ini disebutfungsi keadaan ataufungsi gelombang

yang memuat semua informasi mengenai sistem. Selanjutnya juga

dipostulatkan bahwa harus bernilai tunggal, continous, ternormalisasi dan

quadratically integrable.

Postulat II. Setiap besaran fisik teramati, berhubungan dengan operator Hermite linear.

Untuk menurunkan operator ini, tulislah ekspresinya secara mekanika klasik

dalam koordinat Cartessius, dan hubungkanlah dengan komponen momentum

linearnya, kemudian gantilah setiap koordinat x dengan x dan setiap

komponen px denganx

i

135


23/35


Postulat III.Nilai yang mungkin, yang dapat diperoleh dari besaran fisik A hanyalah nilai

eigen a i dalam persamaan g i = a i g i dengan adalah operator yang

berhubungan besaran fisik A dan g i adalahfungsi eigen yang well behaved.

Postulat IV. Jika adalah operator Hermite linear yang mewakili besaran fisik teramati

tertentu, makafungsi g i dari operator membentuk himpunan lengkap.

Catatan:

Postulat IV di atas lebih bersifat sebagai postulat matematik artinya kurang bersifat

postulat fisik, karena tidak ada pembuktian matematik sama sekali terhadap postulat ini.

Karena tidak ada pembuktian matematik terhadap kelengkapan himpunan, maka kita harus

berasumsi terhadap kelengkapannya. Postulat IV mengijinkan kita untuk mengekspansi

fungsi gelombang untuk sembarang keadaan sebagai superposisi dari fungsi-fungsi eigen

ortonormal dari sembarang operator mekanika kuantum. Ekspansinya adalah dalam

bentuk:

= i c i g i (7-70)

Postulat V. Jika (q,t) adalahfungsi ternormalisasi yang mewakili suatu sistem pada saat

t, maka nilai rata-rata besaran fisik A pada saat t, adalah:

< A > = * d (7-71)

Postulat VI. Keadaan bergantung waktu dalam sistem mekanika kuantum dinyatakan

dengan menggunakan persamaan Schrodinger bergantung waktu:

ti

= H (7-

72)

dengan H adalah operator Hamilton (Energi) sistem itu

7.8 Pengukuran dan Interpretasi Mekanika Kuantum

Dalam mekanika kuantum perubahan suatu sistem terjadi melalui dua macam cara.

Yang pertama perubahan yang terjadi secara berangsur-angsur dari waktu ke waktu

136


24/35


(reversibel). Perubahan jenis ini ditunjukkan oleh persamaan Schrodinger bergantung

waktu (7-72). Cara kedua adalah perubahan yang terjadi secara spontan (irreversibel),

diskontinyu (tidak terus menerus) dan probabilitas kejadiannya sangat fluktuatif dan

ditentukan oleh sistem itu sendiri. Jenis perubahan spontan ini tidak dapat diprediksi secara

pasti karena hasil pengukurannya juga tidak dapat diprediksi secara pasti; hanya

probabilitas kejadiannya saja yang dapat diprediksi. Perubahan spontan dalam

disebabkan oleh pengukuran yang disebut reduksi fungsi gelombang. Pengukuran

terhadap besaran A yang menghasilkan a k berakibat mengubah fungsi menjadi gk yaitu

fungsi eigen operator yang nilai eigennya a k. Untuk lebih jelasnya adalah sebagai

berikut: Misal kita melakukan dua kali pengukuran terhadap Lz elektron dalam atom

hidrogen. Pada pengukuran pertama dihasilkan Lz = 2 . Pada saat ini fungsi

gelombangnya tentu fungsi gelombang dengan m = 2, sehingga secara umum fungsi

gelombangnya adalah ( n, , 2) dengan > 2 dan n > +1. Selanjutnya misal pada

pengukuran kedua diperoleh Lz = . Pada pengukuran kedua ini, hasil pengukuran

pasti berasal darifungsi gelombang hidrogen yang m = 1, sehinggafungsi gelombangnya

adalah (n, ,1) dengan > 1 dan n > +1. Jadi tampak adanya perubahan fungsi

gelombang secara mendadak akibat adalah pengulangan pengukuran. Inilah penjelasan dari

reduksi fungsi gelombang.

Hal penting lain yang perlu mendapat perhatian mengenai pengukuran adalah

bahwa dalam mekanika kuantum, pengukuran merupakan sesuatu yang sangat

kontroversial. Bagaimana dan kegiatan apa yang terjadi dalam kaitannya dengan reduksi

pada saat terjadi pengukuran sungguh sesuatu yang sangat-sangat tidak jelas. Ada

fisikawan yang berpendapat reduksi merupakan postulat tambahan bagi mekanika

kuantum, sementara fisikawan lain menyatakan bahwa reduksi merupakan teorema yangditurunkan dari postulat lain. Para ahli saling berbeda pendapat mengenai reduksi ini

(L.E Balentine, 2004). Balentine mendukung interpretasi ansemble statistika pada

mekanika kuantum, yang dikemukakan oleh Einstein, yang menyatakan bahwa fungsi

gelombang tidak mendeskripsi keadaan sistem tunggal (sebagaimana dalam interpretasi

137


25/35


ortodok) tetapi memberikan deskripsi statistikal terhadap sekelompok sistem (dalam

jumlah besar/ ansemble); dengan interpretasi seperti ini maka silang pendapat mengenai

reduksifungsi gelombang tidak terjadi.

"Bagi sebagian besar fisikawan, problema untuk mendapatkan teori mekanika

kuantum yang berhubungan dengan pengukuran masih merupakan suatu persoalan yang

belum ada penyelesaiannya. Adanya perbedaan pendapat.... ketidakpastian dalam

pengukuran kuantum... dan lain-lain.... semua itu merefleksikan adanya ketaksepahaman

dalam meng-interpretasi mekanika kuantum secara global " (M. Jammer, 2003)

Sifat probabilistik dalam mekanika kuantum telah membuat para fisikawan

bingung, termasuk di antaranya Einstein, de Broglie dan Schrodinger. Sampai-sampai

mereka menyatakan bahwa mekanika kuantum belum memberikan deskripsi yang

memuaskan bagi realitas fisik. Selanjutnya, hukum probabilistik mekanika kuantum, secara

sederhana dapat dipandang sebagai refleksi dari hukum deterministik yang beroperasi pada

level sub mekanika kuantum dan yang melibatkan variabel tersembunyi (hidden variables).

Sebuah analogi bagi kasus ini diberikan oleh fisikawan Bohm, yaitu kasus gerak Brown

partikel debu di udara. Partikel-partikel bergerak di bawah kondisi fluktuasi random,

sehingga posisi dan geraknya tidak dapat ditentukan secara pasti oleh posisi dan

kecepatannya. Secara analogis pula, gerak elektron dapat ditentukan oleh variabel

tersembunyi yang ada dalam level sub mekanika kuantum. Interpretasi ortodok (sering

disebut interpretasi Copenhagen) yang dikembangkan oleh Heissenberg dan Bohr,

menafikan adanya variabel tersembunyi dan menyatakan bahwa hukum mekanika kuantum

memberikan deskripsi lengkap bagi realitas fisik.

Pada tahun 1964 J.S. Bell membuktikan bahwa dalam eksperimen tertentu yang

melibatkan dua partikel yang terpisah jauh, yang pada awalnya berada pada daerah yang

sama dalam ruangan, orang harus membuat beberapa kemungkinan teori variabel

tersembunyi untuk memprediksi adanya perbedaan dengan yang dilakukan oleh mekanika

kuantum. Dalam teori lokal, dua partikel yang sangat berjauhan akan saling independen.

Hasil beberapa eksperimen sesuai dengan prediksi mekanika kuantum, dan hal ini

memperkuat keyakinan mekanika kuantum untuk melawan teori variabel tersembunyi

lokal.

138


26/35


Selanjutnya analisis yang dilakukan oleh Bell dan kawan-kawan menunjukkan

bahwa hasil eksperimen ini beserta prediksinya terhadap mekanika kuantum adalah tidak

kompatibel dengan pandangan dunia mengenai realisme dan lokalitas. Realisme (juga

disebut obyektivitas) adalah doktrin yang menyatakan bahwa realitas eksternal itu eksis

dan sifat-sifat definitnya adalah independen terhadap benar tidaknya realitas yang kita

amati. Sedang lokalitas adalah ke-instan-an aksi pada jarak yang memungkinkan sebuah

sistem berpengaruh terhadap yang lain ketika sistem itu harus melintas dengan kecepatan

yang tidak melebihi kecepatan cahaya.

Teori kuantum memprediksi dan eksperimen mengkorfirmasi bahwa manakala

pengukuran dilakukan pada dua partikel yang pada mulanya berinteraksi dan kemudian

dipisahkan oleh jarak yang tak terbatas maka hasil pengukuran terhadap partikel yang satu

dipengaruhi oleh pengukuran partikel yang lain dan juga dipengaruhi oleh sifat kedua

partikel yang diukur. Hal ini membuat adanya pendapat bahwa mekanika kuantum adalah

magic (D. Greenberger, 2004).

Meskipun prediksi-prediksi eksperimen mekanika kuantum tidak arguabel, trtapi

ternyata interpretasi konseptualnya masih saja menjadi topik debat yang hangat dan

menarik bagi para ahli, bahkan sampai saat ini.

7.9 Matrik dan Mekanika Kuantum

Aljabar Matrik merupakan peralatan yang sangat penting dalam kalkulasi mekanika

kuantum modern. Matrik juga menjadi salah satu cara dalam memformulasikan beberapa

teori mekanika kuantum. Sub bab ini akan mereview ingatan kita tentang matrik dan

hubungannya dengan mekanika kuantum.

Matrik adalah penataan bilangan-bilangan dalam baris dan kolom. Bilangan-

bilangan yang menyusun matrik disebut elemen matrik. Seandainya matrik A terdiri atas m

baris dan n kolom, dan seandainya aij ( i = 1, 2, 3,...... m sedang j = 1, 2, 3,.....n) adalah

pernyataan untuk elemen baris i kolom j, maka:

A =

mv

n2

n1

2m

22

12

1m

21

11

a

.....

a

a

.....

.....

.....

.....

a

.....

a

a

a

.....

a

a

139


27/35


A disebut matrik m x n. Jangan bingung antara matrik dengan determinan, Matrik tidak

harus bujur sangkar dan tidak sama dengan sebuah bilangan tunggal. Jika sebuah matrik

hanya terdiri atas sebuah baris saja, maka matrik itu disebut matrik baris atau matrik

vektor. Sedang jika sebuah matrik hanya terdiri atas sebuah kolom saja, maka matrik itu

disebut matrik kolom.

Dua buah matrikA dan B adalah sama jika jumlah baris dan kolomnya sama serta

elemen-elemen yang seletak nilainya sama.

Dua buah matrik dapat dijumlahkan jika kedua matrik itu berdimensi sama.

Penjumlahan dilakukan dengan menggabungkan elemen yang seletak. Jika matrik C = A +

B maka elemen cij = aij+bij dengan i = 1, 2, 3.... m dan j = 1, 2, 3,.... n atau:

Jika C = A + B maka cij = aij + bij (7-73)

Jika sebuah matrik dikalikan dengan sebuah bilangan k yang konstan maka dihasilkan

matrik baru yang elemen-elemen adalah k kali elemen matrik semula, jadi:

C = kA maka cij = kaij (7-74)

Jika Am x n sedang Bn x p, maka perkalian matrik C = A x B adalah matrik

berdimensi m x p

Sebagai contoh:

A = 12/14301 B =

106

2

35

0

82

1

Jika C = A x B, maka dimensi matrik C adalah 2 x 3, yaitu:

C =

34

25

23

2

116

0

1

Perkalian antar matrik bersifat non commutatif, artinya AB dan BA tidak harus sama.

bahkan untuk contoh kita di atas BA tak terdefinisi.

Matrik yang jumlah baris dan kolomnya sama disebut matrik square atau matrik

bujur sangkar. Matrik bujur sangkar disebut matrik diagonal jika selain elemen diagonal

utama, nilai elemen lain adalah nol. Dan matrik diagonal yang elemen diagonal utamanya

1, disebut matrik satuan. Contoh matrik satuan orde 3:

140


28/35


100

010

001

Hubungan matrik dengan Mekanika kuantum

Pada sub bab 7.1, kita telah menjumpai bentukfi* fj d yang juga boleh ditulis . Bentuk integral tersebut dalam bahasa matrik adalah elemen ij dari matrik A,

oleh karena itu ia juga boleh ditulis Aij. Jadi jika kita mempunyai matrikA berikut:

A =

.....

.....

.....

.....

.....

.....

A

A

.....

.....

A

A

22

12

21

11

maka elemen-elemen:A11 = ; A12 = < f1*f2>

A21 = < f2* f1> ; A22 = < f2* f2> dan seterusnya

Matrik tersebut di atas disebut matrik representatif dari operator linear dengan basis

{fi}. Karena pada umumnya { fi } terdiri atasfungsi-fungsi yang banyaknya tak terhingga

maka matrik orderA adalah tak terhingga.

Jika C = + G maka integral sebagai elemen matrikC adalah:

Cij = < fi*C fj> = < fi* + G fj> = fi* (+G ) fj d =

= fi* fj d + fi* G fj d = ij + Gij (7-75)

Jadi:

Jika C = + G maka Cij = Aij + Gij (7-76)

Dengan menggunakan logika dari (7-73) maka Cij = Aij + Gij pasti berasal dari

penjumlahan matrikC = A + B, sehingga:

Jika C = + G maka C = A + G (7-77)

dengan C, A dan G adalah matrik representatif dari operator linear C , dan G .

Hal yang sama, yaitu :

jika C = k maka Cij = k Aij (7-78)

Selanjutnya jika: = C G maka:

Aij = fi* fj d = fi*C G fj d (7-79)

141


29/35


Fungsi G fj dapat diekspansi ke dalam suku-suku himpunan fungsi ortonormal {fk}

menurut persamaan :

G fj = kck fk dengan ck = fk G fj d jadi:

G fj = k fk G fj d. fk= k< fkG fj> fk = k Gkj fk (7-80)dan Aij menjadi:

` Aij = fi*C G fj d = fi*CkGkj fkd = k fi*Cfk d Gkj

= kCij Gij (7-81)

Jadi:

Jika = C G maka Aij = kCij Gij (7-82)

Persamaan Aij = kCij Gij adalah aturan perkalian matrikA = C. G, jadi:

Jika = C G maka A = C. G (7-83)

Selanjutnya kombinasi (7-79) dengan (7-82) menghasilkan aturan penjumlahan yang

sangat bermanfaat, yaitu:

k Cij Gij = fi*C G fj d atau:

k < fi*C fj> < fi* G fj> = < fi*C G fj> (7-84)

Selanjutnya berangkat dari Aij = < fi* fj> kita dapat memperoleh:

Aij = < fi* fj> = Aij = fi* fj dJika nilai eigen dari fj terhadap adalah aj maka:

Aij = fi* aj fj d = aj fi* fj d = aj < fi* fj> (7-85)

Satu hal yang sangat mendasar dari hubungan antara matrik dengan operator mekanika

kuantum adalah jika kita memahami matrik representatif A berarti kita juga mengenal

operator

7. 10 Fungsi Eigen Untuk Operator Posisi

Kita telah menurunkan fungsi eigen untuk operator momentum linear dan

momentum angular. Pertanyaan kita sekarang adalah, bagaimana fungsi eigen untuk

operator posisi ?

142


30/35


Operator posisi ditulis x yang operasinya adalah x kali atau

x = x.

Jikafungsi eigen posisi kita misalkan g(x) dan nilai eigennya a, maka:

x g(x) = a g(x) atau:

x g(x) = a g(x) atau (7-86)

(x a) g(x) = 0 (7-87)

Dari (7-87) dapat disimpulkan bahwa :

untuk x = a g(x) 0 (7-88)

untuk x a g(x) = 0 (7-89)

Kesimpulan di atas membawa kita kepada pemikiran mengenai sifat g (x), yaitu bahwa

seandainya fungsi state = g(x), dan jika dilakukan pengukuran terhadap x, maka

kemungkinan hasilnya adalah a, dan itu hanya benar jika probabilitas nya 2 adalah nol

untuk x a agar memenuhi (7-89).Sebelum membahas lebih lanjut mengenai fungsi g(x), akan diperkenalkan fungsi

Heaviside step H(x) yang definisinya (gambar 7-1)

Gambar 7.1: Fungsi Heaviside step

Dari gambar itu tampak bahwa:

H(x) = 1 untuk x > 0

H(x) = untuk x = 0 (7-90)

H(x) = 0 untuk x < 0

Selanjutnya akan diperkenalkanfungsi Delta Dirac (x) yang merupakan turunan darifungsi

Heaviside step.

143

1/2

1

H(x)

x


31/35


(x) = d H(x) / dx (7-91)

Dari (7-90) dan (7-91) diperoleh:

(x) = 0 untuk x 0 (7-92)

Karena pada x = 0 terjadi lompatan mendadak pada harga H(x), maka turunan takterhingga, jadi:

(x) = ~ untuk x = 0 (7-93)

Sekarang kita perhatikan (7-90). Jika x diganti x a, maka (7-90) akan menjadi lebih

umum, yaitu dalam bentuk:

H(x a) = 1 untuk (x a) > 0

H(x a) = untuk (x - a) = 0 (7-94)

H(x a) = 0 untuk (x a )< 0

atau:

H(x a) = 1 untuk x > a

H(x a) = untuk x = a (7-95)

H(x a) = 0 untuk x < a

Dengan demikian maka:

(xa) = 0 untuk x a ; (xa) = ~ untuk x = a (7-96)Sekarang perhatikan integral berikut:

~

~f(x)(x-a) dx

Evaluasi terhadap integral tersebut menggunakan metode parsial U dV = UV V dU

dengan U = f(x) sedang dV = (x-a) dx sehingga dU = f'(x) dx dan mengacu (7-91), maka V =

H(xa)

Jadi:

~

~f(x)(x-a) dx =

~

~a)-(x)( H

xf

~

~H(xa) f'(x) dx

144


32/35


~

~f(x)(x-a) dx = f(~)

~

~H(xa) f'(x) dx (7-97)

Karena H(x-a) hilang kalau x < a maka (7-97) menjadi:

~

~f(x)(x-a) dx = f(~)

~

a

H(xa) f'(x) dx (7-97)

Suku ~

a

H(xa) f'(x) dx pada (7-97) adalah V dU jadi (7-97) menjadi:

~

~f(x)(x-a) dx = f(a) (7-98)

Jika kita bandingkan (7-98) dengan persamaan j Cjij = Ci kita dapat melihat bahwa peran

fungsi delta Dirac dalam integral sama dengan peran Kronecker delta dalam jumlah atau

sigma.

Jadi dapat dipastikan:

~

~

(x-a) dx = 1 (7-99)

Sifat (7-96) darifungsi delta Dirac sama dengan sifat (7-88) dan (7-89), dari fungsi eigen

posisi g(x). Dengan demikian secara tentatif dapat dinyatakan bahwafungsi eigen posisi

adalah:

g(x) = (x-a) (7-100)

===000===

145


33/35


Soal-soal Bab 7

1. Apakah sama dengan ?

2. Apakah suatu operator Hermite dapat ditunjukkan oleh persamaan = * ?

3. Diketahui operator dan G adalah Hermitian dan c adalah bilangan konstan real.

a) buktikan bahwa c adalah Hermitian

b) Buktikan

bahwa +G adalah Hermitian

4. Dengan menggunakan fi = A sin nx dan fj = A' sin mx, buktikan bahwa operator d2/dx2

adalah operator Hermitian.

5. Mana di antara operator-operator berikut yang dapat menjadi operator mekanika

kuantum?

a) ( )1/2 b) d/dx c) d2/dx2 d) i(d/dx)

6. Tentukan nilai integral-integral dari sistem atom hidrogen berikut:

146


34/35


a) < 2 1 1 3 1 1 > b) < 31 0 G 3 1 0 > c) < 31 1 C 3 1 1 >

adalah operator Lz, G adalah operator momentum angular L2 dan C adalah

operator Hamilton.

7. Jika F(x) = x (a x ) untuk 0 < x < adalahfungsi gelombang partikel dalam box dan

n = (2/a)1/2sin(n/a) x adalah himpunan lengkap fungsi gelombang dalam box,

tentukan:

a) ekspansi F(x) = n ann

b) E1, E2 dan E3

c) probabilitas mendapatkan E1, E2 dan E3

8. Jika adalah operator paritas, tentukan N jika n bilangan ganjil positif ?

Bagaimana pula jika n genap positif ? (Note: Terapkan pada sembarang f(x, y, z)

9. Diketahui adalah operator paritas dan i(x) adalah fungsi gelombang osilator

harmonik ternormalisasi. Didefinisikan bahwa elemen matrik ij adalah:

ij =

i*i

d

buktikan bahwa elemen matrik ij = 0 untuk i j dan ij =+ 1

10. Jika adalah operator linear dimana n = 1. Tentukan nilai eigen dari .

11. Buktikan bahwa operator paritas adalah linear. Buktikan pula bahwa operator paritas

adalah hermitian. (Pembuktian cukup dalam satu dimensi)

12. Karena operator adalah Hermitian, maka duafungsi eigen terhadap yang

mempunyai nilai eigen berbeda pasti ortogonal. Buktikan !

147


35/35


13. Dengan menggunakan operator L2, sebuah fungsi gelombang mempunyai nilai eigen

6 . Jika diadakan pengukuran terhadap Lz, tentukan harga-harga yang mungkin

dan probabilitasnya masing-masing.

14. Tentukan:

a)

~

~(x) dx b)

1

~(x) dx c)

1

1

(x) dx

15. ) Tentukan:

a)

~

~f(x)(x-5) dx Jika f(x) = x2 b)

~

0

f(x)(x-6) dx jika f(x) = x2 + 5

16. Untuk matrik:

A =

3

1

0

2

B =

4

1

4

1

Tentukan:

a) AB b) BA c) A + B d) 3A e) A + 4B

===000===

148

bab 7 teorema mekanika kuantum

Documents