Bab 7 Sampling∗

Tujuan Pembelajaran

Peserta mengenal fenomena sampling, serta menerapkanmodel sinyal dan sistem untuk memahami fenomena sam-pling

1. Peserta dapat merepresentasikan sinyal CT menggu-nakan sinyal DT melalui sampling.

2. Peserta memahami konsep aliasing serta cara menghin-darinya.

3. Peserta dapat memanfaatkan sampling untuk mempro-ses sinyal CT menggunakan sistem DT.

1 Pendahuluan

Pada kondisi tertentu, sebuah sinyal waktu kontinu dapatdirepresentasikan dan dibentuk dari nilai-nilainya yang di-ketahui, atau sampelnya, pada titik-titik yang berjarak sa-ma dalam waktu. Sifat ini diperoleh dari hasil dasar yangdisebut teorema sampling. Teorema ini sangatlah pentingdan berguna. Contoh penggunaannya adalah pada gambarbergerak, yang terdiri dari urutan frame individual, yangmewakili cuplikan berupa gambar tetap dari sebuah adeg-an yang berubah secara kontinu. Ketika sampel-sampel inidilihat dalam urutan dengan kecepatan yang cukup cepat,maka kita dapat melihat sebuah representasi yang akuratdari adegan kontinu yang sebenarnya.Teorema sampling memiliki peranan penting sebagai jem-

batan yang menghubungkan sinyal waktu kontinu dengansinyal waktu diskrit. Sinyal waktu kontinu dapat diben-tuk kembali dari sampel-sampelnya, sehingga memungkink-an untuk merepresentasikan sinyal waktu kontinu tersebutoleh sinyal waktu diskrit. Pengolahan sinyal waktu diskritlebih eksibel dan lebih baik dibandingkan pengolahan si-nyal waktu kontinu. Dengan perkembangan teknologi digi-tal, sistem waktu diskrit dapat dibuat dengan lebih murah,akurat, dan dapat diprogram, sehingga memberikan banyakkeuntungan. Konsep sampling merupakan konsep yang me-narik dan menjadi metoda untuk menggunakan sistem wak-tu diskrit untuk mengolah sinyal waktu kontinu.Tujuan dari bab ini adalah membekali peserta dengan

pengetahuan tentang sampling, serta menerapkannya un-tuk untuk memproses sinyal CT menggunakan sistem DT.Rencana belajar diperlihatkan pada Tabel 1.

2 Representasi Sinyal CT dengan DT

Secara umum. dengan tidak adanya kondisi atau informasitambahan, tidak kita dapatkan suatu sinyal dapat diten-tukan secara unik oleh suatu deretan sampel dengan jarak

∗©2012 Armein Z R Langi, STEI ITB. v 12.05 alpha

Tab. 1: Rencana BelajarSub Sesi Materi Tujuan

7.1 Representasi Sinyal CT denganDT

1 Sampling Impulse-Train 12 Sampling dengan Zero-Order

Hold1

3 Rekonstruksi sinyal darisampel-sampelnyamenggunakan interpolasi

1

4 Contoh Soal 17.2 Aliasing

1 Teorema Sampling 22 Undersampling 23 Contoh Soal 1 1, 24 Contoh Soal 2 1, 2

7.3 Pemrosesan Sinyal CT denganSistem DT

1 Konversi C/D, Konversi D/C 32 Hubungan Sistem Waktu

Diskrit Dengan Sistem WaktuKontinu

3

3 Diferensiator Digital 34 Delay Setengah Sampel 3

yang sama. Dapat diperoleh sejumlah sinyal berbeda yangkesemuanya memiliki nilai identik sampel-sampelnya yaitupada waktu kelipatan bulat T .

Akan tetapi jika sebuah sinyal band limited, atau denganperkataan lain transformasi Fouriernya sama dengan nol diluar pita frekuensi tertentu, dan jika sampel-sampelnya di-buat sedekat mungkin berkaitan dengan frekuensi yang ter-tinggi dari sinyal tersebut, maka sampel-sampel tersebutakan menampilkan bentuk yang menjadi ciri khusus darisinyal tersebut, sehingga kita dapat membentuk kembali si-nyal tersebut dengan sempurna.

2.1 Sampling Impulse Train

Untuk mengembangkan teorema sampling, kita memerluk-an cara yang mudah untuk merepresentasikan sampling da-ri sinyal waktu kontinu pada interval tertentu. Cara yangdapat digunakan untuk melakukan hal ini adalah denganmenggunakan rentetan impuls (impulse train) yang dika-likan dengan sinyal waktu kontinu x(t) yang akan dicarisampelnya. Mekanisme ini dikenal dengan nama samplingimpulse train, seperti ditunjukkan pada gambar. Sinyal per-iodik impuls train p(t) disebut sebagai fungsi sampling, per-iode T sebagai periode sampling, dan frekuensi fundamentalp(t), ωs = 2π/T , sebagai frekuensi sampling.

1

2 Representasi Sinyal CT dengan DT 2

x(t)

p(t)

× xp(t)

t0

x(t)

t0

p(t)T

t0

xp(t)x(0)

T−TDalam domain waktu,

xp(t) = x(t)p(t),

dengan

p(t) =

+∞∑n=−∞

δ(t− nT ).

Perkalian x(t) dengan suatu unit impuls akan mendapatk-an sampel sinyal pada titik di mana impuls tersebut berada,yaitu pada x(t)δ(t − t0) = x(t0)δ(t − t0). Akan dihasilkanxp(t) dalam bentuk impuls train dengan amplituda impulsyang sama dengan sampel x(t) pada interval T , yaitu

xp(t) =

+∞∑n=−∞

x(nT )δ(t− nT ),

Dari sifat multiplikasi diketahui

Xp(jω) =1

2π

∫ +∞

−∞X(jθ)P (j(ω − θ))dθ.

Dan kita mengetahui bahwa

P (jω) =2π

T

+∞∑k=−∞

δ(ω − kωs).

Karena konvolusi dengan suatu impuls sama denganmenggeser sinyal, yaitu X(jω) ∗ δ(ω− ω0) = X(j(ω− ω0)),

Xp(jω) =1

T

+∞∑k=−∞

X(j(ω − kωs)). (1)

ω

X(jω)

1

−ωM ωM

ω

P (jω)

−3ωs −2ωs −ωs 0 ωs 2ωs 3ωs

2πT

ω

Xp(jω)

−2ωs −ωs 0 ωs 2ωs

1T

−ωM ωM

(ωs − ωM )

ω

Xp(jω)

−2ωs −ωs 0 ωs 2ωs

1T

(ωs − ωM )

Xp(jω) adalah fungsi periodik dari ω yang terdiri darisuperposisi dari X(jω) yang tergeser, dengan skala 1/T ,seperti dapat dilihat pada gambar. Pada gambar dapat di-lihat untuk kasus pertama ωM < (ωs−ωM ) atau ωs > 2ωM ,sehingga tidak terjadi overlap antara X(jω) yang tergeser.Pada kasus kedua ωs < 2ωM akan terjadi overlap. Padakasus pertama maka x(t) akan dapat dibentuk kembali per-sis dari xp(t). Namun untuk kasus kedua, kita tidak dapatmemperoleh x(t) dari xp(t).

Kita dapat memperoleh x(t) dari xp(t) dengan mele-watkan xp(t) pada lter low pass ideal sehingga kita bisamemperoleh sinyal output xr(t) yang memiliki spektrumXr(jω) = X(jω). Pada prakteknya digunakan lter lowpass non ideal yang akan mengakibatkan ketidakcocokanantara x(t) dengan xr(t).

2.2 Sampling dengan Zero-Order Hold

Sampling dengan rentetan impuls pada kenyataannya re-latif tidak dapat direalisasikan. Pulsa-pulsa sempit danamplituda yang besar yang mendekati bentuk impuls, su-lit dibangkitkan dan ditransmisikan, sehingga lebih mudahmembangkitkan sinyal yang telah disampling dengan zero-order hold. Sistem ini membuat sampel dari x(t) dalamsatu level sinyal tertentu dan menahannya hingga level si-nyal berubah pada sampel berikutnya, seperti dapat dilihatpada gambar. Rekonstruksi x(t) dari output zero-order ho-ld dengan pemlteran low pass. Namun pada kasus ini,lter yang dibutuhkan tidak lagi harus memiliki penguat-an konstan pada passband. Sinyal x(t) diproses oleh sistemsampling impulse train menghasilkan sinyal xp(t). Sinyalxp(t) diproses dengan sistem zero order hold dengan responimpuls ho(t) menghasilkan keluaran x0(t).

2 Representasi Sinyal CT dengan DT 3

t0

x(t)

t0

xp(t)x(0)

T−T

t

h0(t)

1

T

t0

x0(t)

Untuk membentuk kembali x(t) dari x0(t), sinyal x0(t)diproses menggunakan sistem LTI dengan respon impulshr(t) dan respon frekuensi Hr(jω) sehingga dapat diperolehluaran r(t) = x(t).

Bila diinginkan r(t) = x(t), maka harus berlaku kombina-si kaskade dari h0(t) dan hr(t) adalah lter low pass idealyang sama dengan bagian sebelumnya pada sampling im-puls train. Sekali lagi pda prakteknya hal ini tidak dapatdirealisasikan.

2.3 Rekonstruksi sinyal darisampel-sampelnya menggunakaninterpolasi

Interpolasi adalah proses pencocokan sinyal kontinu kepadakumpulan nilai sampel-sampelnya. Salah satu interpolasipaling sederhana adalah zero-order hold yang telah dibahassebelumnya. Bentuk interpolasi lain yang berguna adalahinterpolasi linear, yang dilakukan dengan menghubungkansampel-sampel yang ada dengan garis lurus seperti dapatdilihat pada gambar. Pada formula interpolasi yang lebihrumit, titik sampel dihubungkan oleh fungsi matematik de-ngan polinom dengan orde yang lebih tinggi.

t0

x0(t)

Untuk sinyal bandlimited, jika titik-titik sampling cukupberdekatan, maka sinyal dapat dibentuk dengan tepat, de-ngan menggunakan lter low pass. Interpretasi dari rekon-struksi x(t) sebagai proses interpolasi akan nampak apabilakita memandang efek dari lter low pass ideal pada domainwaktu.

Untuk lter low pass ideal yang harus digunakan padasampling impuls train, memiliki respon impuls,

h(t) =ωcT sin(ωct)

πωct,

Sehingga

xr(t) =

+∞∑n=−∞

x(nT )ωcT

π

sin(ωc(t− nT ))

ωc(t− nT ). (2)

Interpolasi menggunakan respon impuls dari lter idealseperti ditunjukkan pada persamaan (2) sering disebut se-bagai interpolasi band-limited. Rekonstruksi dapat dilihatpada gambar.

t0

x(t)

t0

xp(t)x(0)

T−T

t0

xr(t)

2.4 Contoh Soal

Kasus: Kita memiliki sebuah sinyal kontinu

x(t) = cos 200πt+ 3 cos 400πt

Bila kita melakukan sampling pada sinyal ini dengan fre-kuensi sampling 800 Hz. Tentukanlah hasil sampling xp(t).Tentukan juga hasil sinyal hasil rekonstruksinya xr(t).

T =1

800

x(nT ) = cos200πn

800+ 3 cos

400πn

800

x(nT ) = cosπn

4+ 3 cos

πn

2

xp(t) =

+∞∑n=−∞

[cos

πn

4+ 3 cos

πn

2

]δ(t− n

800

)

xr(t) = x(nT )|n= tT

xr(t) = cos800πt

4+ 3 cos

800πt

2

xr(t) = cos 200πt+ 3 cos 400πt

3 Aliasing 4

3 Aliasing

3.1 Teorema Sampling

Dari hasil pada bagian 2.1. kita mendapatkan TeoremaSampling sebagai berikut.Jika x(t) merupakan sinyal bandlimited (pita terbatas)

di mana X(jω) = 0 untuk |ω| > ωM . Maka x(t) di-tentukan oleh sampling yang dinyatakan dengan x(nT ),n = 0,±1,±2, ..., jika

ωs > 2ωM

dengan

ωs =2π

T.

Maka dengan sampling-sampling x(nT ) yang berupa im-puls train dengan amplituda yang merupakan urutan sam-plingnya, akan dapat dilakukan rekonstruksi x(t). Impulstrain ini kemudian diproses oleh lter low pass ideal denganpenguatan T dan frekuensi cut o lebih besar dari ωM danlebih kecil dari ωs − ωM . Keluaran sinyal ini akan persissama dengan x(t).Frekuensi 2ωM sesuai dengan teorema sampling, yaitu

frekuensi sampling harus melebihi dari 2ωM , sering dirujuksebagai Nyquist Rate.

3.2 Undersampling

Pada bagian-bagian sebelumnya, diasumsikan bahwa fre-kuensi sampling adalah cukup tinggi sehingga kondisi da-ri teorema sampling terpenuhi. Ketika ωs < 2ωM , makaspektrum dari x(t) yaitu X(jω) tidak sama persis denganXp(jω) sehingga tidak dapat diperoleh kembali dari xp(t)dengan menggunakan pemlteran low pass. Efek ini, yaituterm-term pada persamaan (1) mengalami overlap, hal inidisebut dengan terjadinya aliasing.Jelas pada kasus ini hasil sinyal rekonstruksi xr(t) tidak

akan sama lagi dengan x(t). Ketika aliasing terjadi, freku-ensi asli ω0 akan mengambil identitas frekuensi yang lebihrendah (ωs−ω0). Untuk ωs/2 < ω0 < ωs, ketika ω0 bertam-bah secara relatif terhadap ωs, frekuensi output (ωs − ω0)berkurang. Ketika ωs = ω0, sebagai contoh hasil sinyal re-konstruksi adalah konstanta. Hal ini konsisten dengan faktabahwa ketika sampling dilakukan setiap siklus, setiap sam-pel adalah semua sama dan akan identik sinyal konstantayang diperoleh dengan sampling (ω0 = 0).

3.3 Contoh Soal 1

Kasus: Kita memiliki sebuah sinyal kontinu

x(t) = cos 200πt+ 3 cos 400πt

Bila kita melakukan sampling pada sinyal ini dengan fre-kuensi sampling 300 Hz. Tentukanlah hasil sampling xp(t).Tentukan juga hasil sinyal hasil rekonstruksinya xr(t).

T =1

300

x(nT ) = cos200πn

300+ 3 cos

400πn

300

x(nT ) = cos2πn

3+ 3 cos

4πn

3

x(nT ) = cos2πn

3+ 3 cos 1

1

3πn

x(nT ) = cos2πn

3+ 3 cos

((2− 2

3)πn

)

x(nT ) = cos2πn

3+ 3 cos

(2πn− 2

3πn

)Perhatikan bahwa n adalah bilangan bulat sehingga kita

dapat memperoleh

x(nT ) = cos2πn

3+ 3 cos

(−2

3πn

)= cos

2πn

3+ 3 cos

2πn

3

x(nT ) = 4 cos2πn

3

xp(t) =

+∞∑n=−∞

4 cos

(2πn

3

)δ(t− n

300

)xr(t) = x(nT )|n= t

T

xr(t) = 4 cos2πn.300

3

xr(t) = 4 cos 200πt

Dari kasus ini kita melihat sinyal cosinus 100 Hz direkon-struksi dengan sempurna, namun terjadi aliasing untuk si-nyal cosinus 200 Hz, sehingga sinyal ini mengambil identitaspada frekuensi yang lebih rendah yaitu 100 Hz. Aliasing ter-jadi karena digunakan frekuensi sampling 300 Hz yang tidakmemenuhi teorema sampling. Untuk menghindari aliasingpada kasus ini kita harus menggunakan frekuensi samplinglebih besar dari 400 Hz.

3.4 Contoh Soal 2

Kasus: Kita memiliki sebuah sinyal kontinu

x(t) = sin 200πt

Bila kita melakukan sampling pada sinyal ini dengan fre-kuensi sampling 200 Hz. Tentukanlah hasil sampling xp(t).Tentukan juga hasil sinyal hasil rekonstruksinya xr(t).

T =1

200

x(nT ) = sin200πn

200

x(nT ) = sinπn

Karena n adalah bilangan bulat maka hasil sampling se-lalu pada titik bernilai 0, sehingga kita peroleh

x(nT ) = 0

sehingga

4 Pemrosesan Sinyal CT dengan Sistem DT 5

xp(t) = 0

xr(t) = 0

Pada kasus ini kita memiliki sinyal dengan frekuensi 100Hz, dan menggunakan frekuensi sampling tepat pada 200Hz. Pada kasus ini frekuensi sampling yang digunakan tidakmemenuhi teorema sampling karena seharusnya digunakanfrekuensi sampling lebih besar dari 200 Hz. Pada kasus inidiperoleh hasil sinyal rekonstruksi bernilai nol.

4 Pemrosesan Sinyal CT dengan Sistem DT

Pada kebanyakan aplikasi, terdapat keuntungan yang sig-nikan yang ditawarkan dengan pengolahan sinyal waktukontinu dengan melakukan konversi ke sinyal waktu diskrit,lalu dilakukan pengolahan sinyal waktu diskrit, lalu sinyalhasilnya dikonversi kembali menjadi sinyal waktu kontinu.

xc(t) C/D Hd

(ejΩ)

D/C yc(t)

4.1 Konversi C/D, Konversi D/C

Melalui proses sampling periodik dengan frekuensi samplingkonsisten dengan kondisi dari teorema sampling, sinyal kon-tinu xc(t) dapat direpresentasikan dengan tepat oleh baris-an xc(nT ). Sinyal waktu diskrit xd[n] berhubungan denganxc(nT ) dengan persamaan

xd[n] = xc(nT )

Transformasi dari xc(t) menjadi xd[n] didenisikan seba-gai konversi waktu kontinu ke waktu diskrit atau dising-kat konversi C/D. Kebalikan operasi ini didenisikan seba-gai konversi waktu diskrit ke waktu kontinu atau disingkatkonversi D/C. Operasi konversi D/C melakukan interpola-si antara nilai-nilai sampel sebagai input. Operasi konversiD/C menghasilkan sinyal kontinu yc(t) yang berhubungandengan sinyal waktu diskrit yd[n] dengan persamaan

yd[n] = yc(nT )

Pada sistem komputer digital sinyal waktu diskrit direp-resentasikan dalam bentuk digital, perangkat yang digunak-an untuk mengimplementasikan konversi C/D disebut kon-verter analog ke digital (ADC), dan perangkat yang digu-nakan untuk mengimplementasikan konversi D/C disebutkonverter digital ke analog (DAC). Pada konversi denganADC nilai-nilai sampel hanya dipetakan oleh sejumlah ter-batas nilai yang mungkin. Terdapat resolusi ADC misalnya8 bit, 12 bit, 16 bit, atau 32 bit. Untuk resolusi 8 bit terda-pat 256 nilai yang mungkin untuk nilai sampel pada sinyaldigital.Proses konversi C/D terdiri dari proses pencuplikan peri-

odik menjadi rentetan impuls (impulse train) yang kemudi-an diubah menjadi sebuah deret (sequence) waktu diskrit.Proses konversi D/C merupakan proses kebalikannya yai-

tu deret waktu diskrit diubah menjadi rentetan impuls yangkemudian dilewatkan lter low pass sehingga menghasilkansinyal waktu kontinu.

4.2 Hubungan Sistem Waktu DiskritDengan Sistem Waktu Kontinu

Pada pemrosesan sinyal waktu kontinu dengan sistem waktudiskrit dalam domain frekuensi berlaku,

Yc(jω) = Xc(jω)Hd(ejωt).

Untuk input bandlimited, sehingga teorema sampling ter-penuhi maka keseluruhan konverter C/D, sistem LTI waktudiskrit, konverter D/C seperti dapat dilihat pada gambarsebelumnya adalah ekivalen dengan sistem LTI waktu kon-tinu dengan respon frekuensiHc(jω) yang mempunyai relasidengan respon frekuensi Hd(e

jΩ) yaitu

Hc(jω) =

Hd(e

jωT ), |ω| < ωs/2

0, |ω| > ωs/2(3)

Respon frekuensi untuk sistem waktu kontinu ini adalahsatu perioda dari respon frekuensi sistem waktu diskrit de-ngan perubahan skala linear pada sumbu frekuensi.Sinyal digital didenisikan sebagai fungsi dari variabel

independen bilangan bulat dan nilai-nilainya diambil darikumpulan terbatas nilai yang mungkin. Kegunaan dari si-nyal ini adalah dapat diproses dengan mudah oleh komputerdigital.

4.3 Diferensiator Digital

Respon frekuensi dari lter diferensial waktu kontinu adalah

Hc(jω) = jω.

Untuk bandlimited diferensiator dengan frekuensi cut oωc memiliki respon frekuensi

Hc(jω) =

jω, |ω| < ωc

0, |ω| > ωc.

Dengan menggunakan persamaan (3) dengan frekuensisampling ωs = 2ωc, kita mendapatkan fungsi transfer darisistem waktu diskrit yang berhubungan dengan diferensia-tor ini adalah

Hd(ejΩ) = j

(Ω

T

), |Ω| < π

Magnitude dari respon frekuensi diferensiator bandlimi-ted waktu kontinu:

ω

|Hc(jω)|

−ωc ωc

ωc

Fasa dari respon frekuensi diferensiator bandlimited wak-tu kontinu:

ω

6 Hc(jω)

−ωcωc

π2

−π2

4 Pemrosesan Sinyal CT dengan Sistem DT 6

Magnitude dari respon frekuensi diferensiator bandlimi-ted waktu diskrit:

ω

|Hd(ejΩ)|

−π π−2π 2π

ωc

Fasa dari respon frekuensi diferensiator bandlimited wak-tu diskrit:

ω

6 Hd(ejΩ)

−π π−2π 2π

π2

−π2

4.4 Delay Setengah Sampel

Kita akan melihat implementasi dari pergeseran waktu (de-lay) dari sinyal waktu kontinu dengan menggunakan sistemwaktu diskrit. Maka hubungan input dan output dari kese-luruhan sistem adalah

yc = xc(t−∆)

dengan input xc(t) adalah bandlimited dan frekuensisampling adalah cukup tinggi untuk menghindari terjadi-nya aliasing dan ∆ menyatakan waktu delay. Dari sifattime shifting kita mendapatkan

Yc(jω) = e−jω∆Xc(jω).

Dengan menggunakan persamaan (3) sistem waktu konti-nu yang ekivalen haruslah bandlimited. Sehingga kita mem-peroleh

Hc(jω) =

e−jω∆, |ω| < ωc

0, lainnya.

Dengan ωc adalah frekuensi cut o dari sistem waktu kon-tinu. Hc(jω) akan melakukan time shift untuk sinyal ban-dlimited dan meredam semua sinyal dengan frekuensi lebihbesar dari ωc. Dengan frekuensi sampling ωsdiambil denganωs = 2ωc, maka respon frekuensi sistem waktu diskrit yangberhubungan adalah

Hd(ejΩ) = e−jΩ∆/T , |Ω| < π, (4)

Untuk ∆T bilangan bulat, maka yd[n] adalah replika dari

xd[n] yang terdelay, yaitu

yd[n] = xd

[n− ∆

T

].

Untuk ∆T bukan bilangan bulat, tidak memiliki arti kare-

na sequence hanya didenisikan pada index bernilai bilang-an bulat. Sinyal xc(t) dan xd[n] terhubung melalui sam-pling dan interpolasi bandlimited, demikian juga denganyc(t) dan yd[n]. Dengan Hd(e

jΩ) seperti pada persamaan(4), yd[n] adalah sama dengan sampel dari versi tergeser da-ri interpolasi bandlimited dari sequence xd[n]. Untuk kasus∆T = 1/2, sering didenisikan sebagai half-sample delay.

Magnitude dari respon frekuensi delay waktu kontinu:

ω

|Hc(jω)|

−ωc ωc

1

Fasa dari respon frekuensi delay waktu kontinu:

ω

6 Hc(jω)

−ωc ωc

slope ∆

Magnitude dari respon frekuensi delay waktu diskrit:

ω

|Hd(ejΩ)|

−π π

1

Fasa dari respon frekuensi delay waktu diskrit:

ω

6 Hd(ejΩ)

−π π

π∆T

−π∆T

Pustaka

[OCW] MIT Opencourseware,http://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-003-signals-and-systems-spring-2010/

[OpWi97] A. V. Oppenheim and A. S. Willsky (with SHamid Nawab), Signals & Systems (Second Edi-tion), Prentice-Hall International, 1997. ISBN0-13-651175-9