BAB 8DISTRIBUSI

SAMPLING

DISTRIBUSI SAMPLING

Pengantar

Dalam pokok bahasan ini akan diuraikan sejarah teori probabilitas, kekeliruan

sampling, dan macam-macam distribusi sampling

Untuk mempelajari pokok bahasan ini akan lebih mudah jika pembaca telah

mempunyai pemahaman tentang konsep populasi, sampel, dan probabilitas.

Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan pembaca dapat

memahami :

1. sejarah teori probabilitas.

2. parameter dan statistik.

3. kekeliruan sampling.

4. berbagai macam distribusi sampling dan kegunaannya.

5. pengertian estimasi

6. penggunaan galat baku statistik sebagai alat estimasi.

7. Cara melakukan estimasi parameter dengan statistik secara benar.

101

DISTRIBUSI SAMPLING

A. Sejarah Teori Probabilitas.

Dasar inti daripada statistika adalah teori probabilitas atau teori

kemungkinan yang merupakan bagian dari matematika murni. Oleh karenanya

sejarah statistika tidak terlepas dari sejarah munculnya teori probabilitas. Teori

probabilitas tersebut mula-mula muncul dan berkembang dari negara Perancis.

Pada pertengahan abad ke 17 di Perancis banyak permainan yang menggunakan

dadu, kartu, dan atau alat permainan lainnya yang kemudian berkembang dan

terkenal di masyarakat, mulai dari kalangan keluarga kaisar sampai kalangan

rakyat biasa. Dan kemudian berkembang menjadi permainan perjudian yang

menggunakan uang.

Pada pertengahan abad tersebut ada seorang kesatria yang menyukai

permainan tersebut yaitu Pangeran De Mere meminta kepada Blaise Pascal dan

Piere Fermat (ahli Matematika dan Filsafat) untuk memecahkan permainan

tersebut dengan cara perhitungan yang rasional. Dari kedua orang ahli tersebut

itulah lahir teori kemungkinan atau teori probabilitas.

Selanjutnya teori probabilitas ini mulai terkenal pada awal abad ke 18

dengan terbitnya dua buku yaitu : (1) Art Conjevtadi (seni perkiraan) yang ditulis

oleh James Bernouli dan diterbitkan pada tahun 1773 yang kemudian terkenal

dengan Teori Bernouli, (2) A Methods of the Calculating the probabilities of

event in the play (Cara menghitung kemungkinan kejadian dalam permainan)

yang ditulis oleh seorang rokhaniawan Perancis yang bernama Abraham De

Moivre. Buku ini sangat terkenal dan terbit sampai tiga kali yaitu pada tahun

1718, 1738, dan 1756. Buku tersebut juga menjadi dasar pengembangan teori-

teori selanjutnya, seperti Theori Analitiqui des Probabilities (Teori analisa

kemungkinan) yang ditulis Laplace pada tahun 1812. Dalam perkembangan

selanjutnya teori probabilitas yang didasari oleh matematika menjadi bagian

penting dalam Ilmu Statistika, khususnya statistika inferensial.

102

B. Tugas Statistika Inferensial.

Statistika inferensial atau statistika induktif adalah bagian statistika yang

membahas tentang syarat-syarat dan aturan-aturan bagaimana menarik

kesimpulan tentang sesuatu hal yang diselidiki dari sejumlah individu yang sangat

terbatas, dan kesimpulan tersebut akan diberlakukan kepada sejumlah individu

yang lebih besar jumlahnya. Sebagaimana diketahui bahwa penelitian pada

umumnya tidak menyelidiki individu sebanyak-banyaknya untuk mengambil

kesimpulan tentang suatu objek penelitian. Penelitian terhadap jumlah individu

yang besar, disamping tidak hemat, dalam banyak hal juga hampir-hampir tak

dapat dilaksanakan dan mubadzir. Karena itulah penelitian hanya meneliti

sebagian kecil dari keseluruhan individu. Sebagian kecil dari jumlah individu yang

langsung dikenai penelitian disebut sampel, sedang keseluruhan individu yang

seharusnya diteliti disebut populasi. Semua data atau semua bilangan yang

diperoleh dari populasi disebut parameter, sedang data yang diperoleh dari

sample disebut Statistik. Besarnya parameter tidak pernah diketahui, karena

peneliti hanya meneliti sampel. Sehingga peneliti hanya mengetahui data statistik,

dan dengan statistik itulah peneliti hendak mengambil kesimpulan-kesimpulan

yang akan diberlakukan kepada populasi. Kesimpulan-kesimpulan tersebut dapat

berupa estimasi, generalisasi ataupun prediksi.

C. Kesalahan Sampling

Bila dari suatu populasi berukuran N diambil suatu sample berukuran n

kemudian kita hitung statistiknya, maka besar kemungkinannya harga-harga

statistik itu berbeda dari harga parameternya. Perbedaan harga antara statistik

dan parameternya inilah yang disebut kesalahan sampling. Besar kecilnya

kesalahan sampling ini tergantung kepada besar kecilnya kesalahan dalam

pengambilan sampel.

Kesalahan sampling merupakan kenyataan yang selalu dijumpai dalam

semua penyelidikan, karena itu tidak perlu disembunyikan melainkan harus

diperhitungkan sebagaimana adanya. Dengan menyadari adanya kesalahan

sampling ini maka peneliti harus menyadari pula bahwa kesimpulan penelitian

yang diperoleh dari sampel tidak akan 100% sama dengan keadaan populasi dari

103

mana sampel itu diambil. Dengan demikian harus menyadari adanya peluang

kesalahan dalam generalisasi.

D. Macam-macam Distribusi Sampling

Dari sebuah sampel dapat dihitung berbagai macam statistiknya,

seperti, rerata, modus, median, varian, simpangan baku, proporsi, dan lain

sebagainya. Dari sebuah populasi dapat diambil sampel berulang kali. Jika dari

setiap kali kita ambil sampel dihitung statistiknya, maka kita akan memperoleh

sekumpulan nilai-nilai statistik. Kumpulan nilai-nilai statistik yang sejenis dari

beberapa sampel yang kita ambil dari sebuah populasi secara berulang kali itu,

disebut distribusi sampling.

Distribusi sampling diberi nama sesuai dengan statistiknya, sehingga

kita bisa memperoleh berbagai macam distribusi sampling, seperti :

1. Distribusi sampling rerata.

2. Distribusi sampling proporsi

3. Distribusi sampling simpangan baku.

4. Distribusi sampling selisih rerata.

5. Distribusi sampling Chi kuadrat.

6. Distribusi sampling perbedaan varian, dll.

1. Distribusi Sampling Rerata.

Jika dari suatu populasi kita ambil sampel berulang kali, dan dari

setiap sampel kita hitung reratanya, akibat kesalahan sampling, maka kita

memperoleh rerata statistik yang berbeda antara sampel yang satu dan

lainnya. Jika semua rerata statistik itu kita himpun, kita peroleh distribusi

statistik rerata atau distribusi sampling rerata. Jika kemudian dari distribusi

sampling rerata itu kita hitung reratanya, maka rerata itu akan sama atau

sangat mendekati rerata parameternya.

Contoh :

Kita punya populasi berukuran N = 5 yang berupa skor : 1,2,3,4, dan

5. Jika daripadanya kita ambil sampel berukuran n = 2 secara random

104

tanpa pengembalian, maka kemungkinan banyaknya sampel yang dapat kita

peroleh adalah buah.

Sepuluh buah sampel tersebut adalah seperti pada tabel 8.1

Tabel 8.1 : 10 buah sampel yang mungkin terambil dan reratanya.

Sampel ke Anggota Rerata

1 (1.2) 1,5

2 (1,3) 2

3 (1,4) 2,5

4 (1,5) 3

5 (2,3) 2,5

6 (2,4) 3

7 (2,5) 3,5

8 (3,4) 3,5

9 (3,5) 4

10 (4,5) 4,5

Dari tabel 8.1 kita peroleh distribusi sampling rerata seperti table 8.2. Tabel

8.2 tersebut adalah distribusi rerata atau distribution of the means, maka

reratanya diberi simbol MM (mean of the means distribution) dan simpangan

bakunya disebut simpangan baku rerata atau standard kesalahan mean dan

disingkat SDM.

Tabel 8.2 Distribusi Rerata dari 10 sampelRerata f fX fX2

4,5 1 4,5 20,25

4 1 4 16

3,5 2 7 24,5

3 2 6 18

2,5 2 5 12,5

2 1 2 4

1,5 1 1,5 2,25

10 30 97,5

105

Jika dari distribusi rerata dihitung rerata dan simpangan bakunya, akan

diperoleh

dan

Jadi kalau dari tabel 1.2 kita hitung rerata dan simpangan bakunya,

diperoleh :

Jika dari populasinya kita hitung rerata dan simpangan bakunya, diperoleh :

Dari perhitungan di atas, jelas bahwa :

Jika populasi tak terbatas atau sampling dilakukan dengan penggantian,

maka faktor koreksi dapat diabaikan. Demikian juga jika sampling

hanya satu kali dengan n 5% dari N sehingga rumus SDM, menjadi :

106

[

dan

……….……… (rumus 8.1)

Tetapi jika perhitungan SDM itu dimaksudkan untuk keperluan estimasi, maka

akan lebih baik jika rumus 10.1 dikoreksi menjadi rumus 10.2

SDM ini merupakan ukuran variasi rerata sampel sekitar rerata populasi. Di

samping itu SDM juga mengukur besarnya perbedaan rerata yang diharapkan

dari sampel ke sampel.

Distribusi sampling adalah distribusi hipotetik karena pada prakteknya kita

tidak pernah mengambil sampel berulang kali, dalam satu penelitian kita

hanya mengambil sampel satu kali. Oleh karena itu dalam perhitungan galat

baku rerata digunakan pendekatan statistik sampel.

Contoh 1.

Dari sampel berukuran n = 50 yang diambil secara acak diperoleh simpangan

baku (SD) = 10, maka galat baku reratanya (SDM) adalah :

Contoh 2

Dari suatu sampel acak berukuran n = 30 diperoleh data mengenai kebiasaan

belajar mahasiswa seperti tabel 8.3

Tabel 8.3 Sekor kebiasaan belajar 30 mahasiswaINTERVAL f X fX fX2

33 – 35 1 34 34 1156

30 – 32 3 31 93 2883

27 – 29 6 28 168 4704

24 - 26 10 25 250 6250

21 – 23 5 22 110 2420

18 – 20 4 19 76 1444

15 - 17 1 16 16 256

107

………………. (rumus 8.2)

30 - 747 19113

Dari data tabel 8.3 jika dihitung SDM diperoleh :

a.

Perlatihan 8.1

1. Jika dari 600 murid SMP diambil sampel acak berukuran n = 70 diperoleh

simpangan baku (SD) = 15.

Tentikanlah berapa galat baku reratanya (SDM)!

2. Dari sampel acak berukuran n = 60 diperoleh data mengenai kecemasan belajar

mahasiswa seperti tabel 8.4

Tabel 8.4 Sekor kebiasaan belajar 30 mahasiswa

INTERVAL f

33 – 35 2

30 – 32 6

27 – 29 12

24 - 26 20

21 – 23 10

18 – 20 8

15 - 17 2

60

Tentukanlah berapa rerata dan galat baku

reratanya !

108

2. Distribusi Proporsi

Distribusi proporsi hampir sama dengan distribusi rerata. Misal dari

sebuah populasi berukuran N yang di dalamnya terdapat peristiwa A

sebanyak Y diantara N. Maka didapat parameter proporsi peristiwa A sebesar

p = Y/N. Jika dari proporsi diambil sampel acak berukuran n berulang kali,

maka kita akan mempunyai distribusi proporsi. Bila kita hitung reratanya,

diberi symbol Mp dan simpangan bakunya disebut kekeliruan baku proporsi,

diberi simbol SDp

Jika proporsi ini dinyatakan dalam persentase maka distribusinya disebut

distribusi persentase. Kekeliruan bakunya disebut galat baku persentase atau

kekeliruan baku persentase atau standard kesalahan persentase disingkat SD

%

............... rumus 8.3

p = persentase parametricq = 100 – pn = jumlah subjek dalam sampel

kekeliruan baku proporsi atau kekeliruan baku persentase sebagaimana

kekeliruan baku rerata, dapat untuk melakukan estimasi parameternya

maupun untuk menguji hipotesis.

Untuk dapat diberlakukan sifat-sifat distribusi normal baku, maka proporsi

statistik yang diperoleh perlu ditransformasikan ke dalam nilai baku.

………………(rumus 8.4 )

109

PS – PP

Z = ----------- SD%

Contoh 1 :

Data UAS Statistik Fakultas Psikologi Universitas ABC tahun

1999/2000 menunjukkan bahwa 75% mahasiswa lulus. Jika diambil sampel

50 orang secara acak, berapakah peluang dari 50 mahasiswa tersebut akan

ada paling sedikit 40 orang yang lulus ?

Jawab :

Ps = 40/50 = 0,8

Pp = 75% = 0,75

Jadi peluang paling sedikit 40 orang lulus adalah 50% - 29,39% = 20,61%

Perlatihan 8.2

1. Dalam suatu laporan dinyatakan bahwa perbandingan lulusan murid-murid

Sekolah Dasar Negeri dan Swasta adalah 6 : 4, Dapatkah kita membenarkan

laporan tersebut, jika dalam penyelidikan kita terhadap random sampel 400

murid-murid SD Negeri dan Swasta perbandingannya ternyata 7 : 4 ?

2. Jika dari observasi terhadap random sampel berukuran n = 40 diperoleh

perbandingan antara pria dan wanita adalah 3 : 7. Dapatkah kita menerima

pernyataan yang menyatakan bahwa pria berbanding wanita dalam

populasinya adalah 1 : 3 ?

110

3. Distribusi Selisih Rerata.

Misalnya : Dari dua buah populasi siswa pria dan siswa wanita, kita

ambil sampel masing-masing lima kali. Jika tiap sampel dihitung reratanya,

maka kita punya 5 pasang nilai rerata.

Jika masing-masing pasangan nilai rerata dihitung selisihnya, maka

kita mempunyai sebuah himpunan yang terdiri dari 5 buah selisih nilai rerata.

Himpunan inilah yang disebut distribusi selisih rerata atau distribusi

perbedaan mean

Jika dari diastribusi tersebut dihitung reratanya, maka :

M1-2 = M1 – M2

M1-2 = Rerata dari distribusi selisih rerataM1 = Rerata populasi 1M2 = Rerata populasi 2

Simpangan baku (SD) dari distribusi selisih rerata disebut galat baku selisih

rerata atau standadrd kesalahan perbedaan mean dan disingkat SDbM, dan

dihitung dengan rumus :

a. Sampel independen (sampel besar)

SDM1 = Galat baku rerata kelompok 1SDM2 = Galat baku rerata kelompok 2

b. Sampel independen (sampel kecil)

Rumus 10.5 berlaku juga untuk sampel kecil dengan syarat :

1. Data berdistribusi normal.

2. Kedua kelompok mempunyai varian yang sama.

Jika kedua kelompok variannya berbeda, berlaku rumus 10.6

111

SDbM = SDM12 + SDM2

2 ………………… rumus 8.5

…… rumus 8.6

x12 = Jumlah kuadrat deviasi skor kelompok 1

x22 = Jumlah kuadrat deviasi skor kelompok 2

c. Sampel berpasangan

SDM1 = Galat baku rerata kelompok 1SDM2 = Galatbaku rerata kelompok 2r1,2 = Korlasi antara kelompok 1 dan kelompok 2

Distribusi selisih rerata tersebut adalah distribusi hipotitik karena pada

kenyataannya kita tidak pernah menyelidiki pasangan sampel berulang

kali.

Distribusi rerata diasumsikan merupakan distribusi normal, dan dengan

asumsi tersebut kita dapat menentukan probabilitas perbedaan dua buah

kelompok data.

Perlatihan 8.3

1. Dari sampel random yang terdiri dari 50 siswa laki-laki dan 50 siswa

perempuan diperoleh data bahwa simpangan baku mengenai kecemasan

untuk sukses masing-masing adalah 5 dan 7.

Tentukanlah berapa galat baku selisih reratanya ?

2. Simpangan baku dari hasil tes motivasi belajar terhadap 35 siswa laki-laki dan

35 siswa perempuan masing-masing adalah 15 dan 13.

Tentukanlah berapa galat baku selisih reratanya ?

112

SDbM = (SDM12 + SDM2

2) . 2r1,2 (SDM1) (SDM2) … rumus 8.7

3. Data hasil penelitian mengenai pengetahuan tentang gizi pada mahasiswa

laiki-laki dan perempuan tersaji pada tabel 8.5

Tabel 8.5. Sekor Pengetahuan Tentang Gizi Skor Laki-laki Perempuan

f f

5

4

3

2

1

2

5

10

15

8

4

8

16

10

2

40 40

Hitunglah galat baku selisih reratanya !

4. Hasil pengukuran religiusitas terhadap mahasiswa jurusan ilmu-ilmu eksata

dan mahasiswa jurusan ilmu-ilmu sosial tersaji pada tabel 8.6

Tabel 8.6. Sekor Religiusitas Mahasiswa Skor Eksata Sosial

f f

30-34

25-29

20-24

15-19

10-14

2

5

10

15

8

4

8

16

10

2

40 40

Hitunglah galat baku selisih reratanya !

5. Hasil pengukuran berat badan terhadap 10 wanita sebelum (X1) dan sesudah

(X2) mengikuti senam penurunan berat badan disajikan dalam tabel 8.7

113

Tabel 8.7. Berat badan 10 orang wanita sebelum Dan sesudah menjalani senam

Subjek X1 X2

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

65

60

65

70

75

55

60

60

65

75

60

55

55

65

70

50

55

50

60

70

Hitunglah galat baku selisish reratanya!

114