bab 6 pengintegralan numerik

Diktat MA3072 Metode Numerik 1

6 Pengintegralan Numerik

Dalam permasalahan menghitung integral tentu (integral dengan batas)

∫ b

a

f(x) dx (1)

umumnya ada tiga bentuk integran (fungsi yang dintegralkan, f(x)) yang biasa ditemui,yaitu:

a. Fungsi kontinu sederhana, misalnya polinom, eksponen, atau trigonometri.

b. Fungsi kontinu yang rumit di mana anti turunannya sukar/mustahil dicari. Mis-alnya f(x) = x3

et−1.

c. Fungsi yang hanya diketahui nilainya pada beberapa titik simpul saja. Fungsiseperti ini biasanya ditemui dari tabel (seperti tabel logaritma) atau dari hasilpercobaaan.

Masalah (a.) dapat diselesaikan secara analitik dan diperoleh hasil eksak. Metode numerikumumnya diterapkan pada masalah (b.) dan (c.) dan hasilnya berupa hampiran terhadapnilai integral tentu tersebut.

Latihan: Ilustrasikan masalah (b) dan (c) secara grafik.

Metode numerik untuk menghitung hampiran (1) ada bermacam-macam. Metode pertamayang akan dipelajari adalah metode yang didasarkan pada rumus-rumus Newton-Cotes.

Perhatikan interval pengintegralan [a, b]. Interval ini dipartisikan menjadi:

a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b

Pada rumus-rumus Newton Cotes, panjang tiap segmen pada partisi tersebut, yaitu xi−xi−1,dibuat sama lebar. Selanjutnya, integral (1) dihampiri dengan:

∫ b

a

f(x) dx ≈n∑

i=0

wif(xi) = w0f(x0) + w1f(x1) + · · ·+ wnf(xn)

teknik ini dinamakan teknik quadrature. Titik-titik x0, x1, · · · , xn disebut titik-titik simpulquadrature dan w0, w1, · · · , wn disebut bobot. Permasalahannya adalah menentukan nilaibobot tersebut agar hampiran integral tersebut baik.

Rumus-rumus Newton Cotes yang akan kita pelajari adalah metode Trapesium, metodeSimpson 1

3, metode Simpson 3

8dan metode Boole.

Untuk dipakai di ITB Warsoma Djohan / MA-ITB 2009


x1 2 3 4

0

1

2

3Metode Trapesium

h := b− a. Sebut xj := a + jh, fj := f(xj).∫ b

a

f(x) dx ≈∫ b

a

p1(x) dx

p1(x) : polinom Lagrange derajat ≤ 1 yangmenginterpolasi (x0, f0) dan (x1, f1). Setelahdilakukan pengintegralan diperoleh:∫ b

a

f(x) dx ≈ h

2(f0 + f1) buktikan !

x1 2 3 4

0

1

2

3

Metode Simpson 13

h := b−a2

. Sebut xj := a + jh, fj := f(xj).∫ b

a

f(x) dx ≈∫ b

a

p2(x) dx

p2(x) : polinom Lagrange derajat ≤ 2yang menginterpolasi (x0, f0), (x1, f1), dan(x2, f2). Setelah dilakukan pengintegralandiperoleh:∫ b

a

f(x) dx ≈ h

3(f0 + 4f1 + f2)

x1 2 3 4

0

1

2

3

Metode Simpson 38

∫ b

a

f(x) dx ≈ 3h

8(f0 + 3f1 + 3f2 + f3)

x1 2 3 4

0

1

2

3

Metode Boole∫ b

a

f(x) dx ≈ 2h

45(7f0 + 32f1 + 12f2 + 32f3 + 7f4)



Metode Trapesium Komposit

x1 2 3 4

0

1

2

3

Partisikan interval [a, b] atas n bagian. h := b−an

. Sebut xj := a + jh, fj := f(xj).∫ b

a

f(x) dx ≈ h

2(f0 + 2f1 + 2f2 + · · ·+ 2fn−1 + fn) Buktikan!

Galat metode Trapesium: E = − (b−a)3

12n2 f ′′(c) dengan c diantara a dan b.

Metode Simpson 13 Komposit

x1 2 3 4

0

1

2

3

Partisikan interval [a, b] atas n bagian (n genap). h := b−an

. Sebut xj := a+jh, fj := f(xj).∫ b

a

f(x) dx ≈ h

3(f0 + 4f1 + 2f2 + 4f3 + 2f4 + · · ·+ 2fn−2 + 4fn−1 + fn) Buktikan!

Galat metode Simpson 13: E = − (b−a)5

180n4 f (4)(c) dengan c diantara a dan b.



Contoh-Contoh:

1. Gunakan metode Trapesium untuk mengaproksimasi1∫0

e−xdx memakai n=6, dan ten-

tukan batas galatnya.

2. Terapkan metode Simpson thd.1∫0

e−xdx dengan galat ≤ 0,0001

Latihan:

Turunkan ”metode Simpson 38

komposit” dan ”metode Boole komposit” menggunakan nsubinterval. Adakah persyaratan nilai n untuk masing-masing metode tersebut.



Metode Trapesium Rekursif

0x

1x0

h

h0 :=b− a

20T0 :=

h0

2(f0 + f1)

0x

2x

1x1

h

h1 :=b− a

21T1 :=

T0

2+ h1f1 buktikan !

0x

2x

1x

3x

4x2

h

h2 :=b− a

22T2 :=

T1

2+ h2 (f1 + f3) buktikan !

0x 1

2kx-

1kh

-

0x

2kxk

h

hk :=b− a

2kTk :=

Tk−1

2+ hk (f1 + f3 + f5 + · · ·+ f2k−1)

Proses perhitungan di atas dihentikan bila

∣∣∣∣Tk − Tk−1

Tk

∣∣∣∣ ≤ eps. Proses hitungan ini tidak

dijamin konvergen sehingga dalam algoritmanya kita harus membatasi banyaknya iterasi.

Bahas algoritma metode Trapesium Rekursif !

Latihan: Hampirilah

∫ 4

0

ex dx memakai metode Trapesium Rekursif dgn eps = 10−5.



Metode Simpson Rekursif

Perhatikan perhitungan

∫ b

a

f(x) dx menggunakan metode trapesium dengan 2k−1 dan 2k

subinterval. Lebar masing-masing subinterval adalah hk−1 =b− a

2k−1dan hk =

b− a

2k

0x

2kx1k

h-

2x

4x

2mx

12

kx-

Hampiran integral dengan menggunakan 2k−1 interval:

Tk−1 =hk−1

2(f0 + 2f2 + 2f4 + · · ·+ 2f2m + · · ·+ 2f2k−1 + f2k)

Tk−1 = hk (f0 + 2f2 + 2f4 + · · ·+ 2f2m + · · ·+ 2f2k−1 + f2k) (2)

0x

2kxk

h1

x

2x

3x

4x

2 1mx

-

2mx

2 1mx

+

Metode Trapesium menggunakan 2k interval:

Tk =hk

2(f0 + 2f1 + 2f2 + 2f3 · · ·+ 2f2m−1 + 2f2m + 2f2m+1 + · · ·+ 2f2k−1 + f2k)

4Tk = 2hk (f0 + 2f1 + 2f2 + 2f3 · · ·+ 2f2m−1 + 2f2m + 2f2m+1 + · · ·+ 2f2k−1 + f2k) (3)

Persamaan (3) - Pwersamaan (2) :

4TK − Tk−1 = hk (f0 + 4f1 + 2f2 + 4f3 + · · ·+ 4f2m−1 + 2f2m + 4f2m+1 + · · ·+ 4f2k−1 + f2k)

4TK − Tk−1

3=

hk

3(f0 + 4f1 + 2f2 + 4f3 + · · ·+ 4f2m−1 + 2f2m + 4f2m+1 + · · ·+ 4f2k−1 + f2k)

Ekspresi pada ruas kanan adalah hampiran Simpson terhadap

∫ b

a

f(x) dx dengan memakai

2k subinterval, disimbolkan Sk.

Sk :=4TK − Tk−1

3rumus metode Simpson rekursif

Latihan: Tuliskan algoritma metode Simpson rekursif dengan batas galat eps dan maksi-mum iterasi 2n.



Metode Romberg

Dari bahasan sebelumnya terlihat bahwa untuk meningkatkan keakuratan hampiran integralada dua hal yang dapat dilakukan:

• Memperhalus partisi [a, b], dengan cara memperbanyak subinterval yang digunakan

• Mempertinggi derajat polinom yang dipakai menghampiri f(x).(metode Trapesium → Simpson → Boole → polinom derajat lebih tinggi)

Pada metode Romberg, kedua prosedur di atas dilakukan secara simultan. Pada setiaplangkah iterasi, dilakukan penghalusan partisi [a, b] sekaligus peningkatan derajat polinomhampiran terhadap f(x). Secara analitik proses ini akan menghasilkan kekonvergenan yangsangat cepat (bukti dapat dibaca pada buku-buku Numerical Analysis).

Misalkan Tj, Sj, danBj masing-masing merupakan aproksimasi terhadap

∫ b

a

f(x) dx memakai

metode Trapesium, Simpson, dan Boole dengan 2j interval.

Sebut hj =b− a

2jdan xi := a + i hj, i = 0, 1, · · · , n = 2j.

Rumus rekursif untuk metode-metode tersebut dan akurasinya adalah sebagai berikut:

Tj :=Tj−1

2+ hj

n2∑

i=1

f(x2i−1) O(h2)

Sj :=4Tj − Tj−1

3O(h4)

Bj :=42Sj − Sj−1

15O(h6)

Diagram berikut memperlihatkan iterasi untuk menghitung masing-masing metode tersebut.

T0

T1 S1

T2 S2 B2

T3 S3 B3

T4 S4 B4

Pada diagram di atas, makin ke bawah berarti jumlah subinterval yang digunakan makinbanyak, sedangkan makin ke kanan, derajat polinom yang digunakan makin tinggi.



Untuk kemudahan algoritma, penulisan akan menggunakan matriks sebagai berikut:

R0,0

R1,0 R1,1

R2,0 R2,1 R2,2

R3,0 R3,1 R3,2 R3,3

R4,0 R4,1 R4,2 R4,3 R4,4

R5,0 R5,1 R5,2 R5,3 R5,4 R5,5

Pada notasi ini Rj,k mempunyai makna perhitungan metode tersebut menggunakan 2j in-terval dan memakai polinom derajat 2k. Proses kekonvergenan akan maksimal bila kitamenelusuri perhitungan pada arah diagonal, yaitu R1,1, R2,2, R3,3, · · ·.

Berikut disajikan rumus iterasi perhitungannya:

R0,0 :=b− a

2(f(a) + f(b)) metode Trapesium 1 interval

Rj,0 :=Rj−1,0

2+ hj

n2∑

i=1

f(x2i−1) metode Trapesium 2j interval

Rj,k :=4kRj,k−1 −Rj−1,k−1

4k − 1k = 1, 2, · · · , j

Proses perhitungan ini disebut Metode Romberg

Kriteria penghentian iterasi : |Rj,j −Rj − 1, j − 1

Rj,j

| < ε



Contoh: Hampirilah

∫ 4

0

ex dx memakai metode Romberg sampai R2,2.

(Solusi eksaknya 53,5981500331442390781102612029).

Pada masalah ini, f(x) = ex, a = 0, dan b = 4.

Menghitung R0,0

n = 20 = 1, h := b−an

= 4−01

= 4. x0 = 0, x1 = 4

R0,0 := h2(f(x0) + f(x1)) = 4

2(e0 + e4) = 2 (1 + 54, 5982) = 111, 1963.

Menghitung R1,0

n = 21 = 2, h := b−an

= 4−02

= 2. x0 = 0, x1 = 2, x2 = 4

R1,0 := R0,0

2+ hf(x1) = 111.1963

2+ 2e2 = 70, 3763

Menghitung R1,1

R1,1 := 41·R1,0−R0,0

41−1= 4·70,3763−111,1963

3= 56, 7696

Menghitung R2,0

n = 22 = 4, h := b−an

= 4−04

= 1. xi = 0, 1, 2, 3, 4

R2,0 := R1,0

2+ h (f(x1) + f(x3)) = 70,3763

2+ 1 (e1 + e3) = 57, 9919

Menghitung R2,1

R2,1 := 41·R2,0−R1,0

41−1= 4·57,9919−70,3763

3= 53, 8638

Menghitung R2,2

R2,2 := 42·R2,1−R1,1

42−1= 16·53,8638−56,7696

15= 53, 6701



Algoritma Metode Romberg

Masukan : f(x) fungsi yang diintegralkana, b batas integrasieps batas galatMaks Iter batas maksimum iterasi

Keluaran : Rmbrg hasil aproksimasi dengan metode Romberg

Langkah-Langkah :

1. R0,0 :=h

2(f(a) + f(b))

2. j := 1

3. n := 2j

4. h :=b− a

n

5. s := 0, x := a

6. Untuk i := 1, 2, · · · , n

2Menghitung

n/2∑i=1

f(x2i−1)

x := x + (2 ∗ i− 1)h

s := s + f(x)

7. Rj,0 :=Rj−1,0

2+ hs metode Trapesium n interval

8. Untuk k := 1, 2, · · · , j

Rj,k :=4kRj,k−1 −Rj−1,k−1

4k − 1

9. galat :=

∣∣∣∣Rj,j −Rj−1,j−1

Rj,j

∣∣∣∣

10. Jika galat ≤ eps maka Rmbrg := Rj,j. Stop.

11. j := j + 1

12. Jika j ≤ Maks Iter ulangi langkah 3

13. ”Proses belum konvergen”, Stop.

Latihan: Lakukan modifikasi pada algoritma di atas supaya perhitungan menjadi lebihefisien dan tidak ada operasi pemangkatan.


bab 6 pengintegralan numerik

Documents