8 teknik pengintegralan - handout

TEKNIK PENGINTEGRALAN

Departemen MatematikaFMIPA IPB

Bogor, 2012

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 21

Topik Bahasan

1 Pendahuluan

2 Manipulasi Integran

3 Integral Parsial

4 Dekomposisi Pecahan Parsial


Pendahuluan

Manfaat Teknik Pengintegralan

Teknik-teknik pengintegralan memungkinkan kita:

menaksir luasan berbagai bentuk bidang datar,

menghitung atau mencari formula volume berbagai bentuk geometris,

menghitung ketinggian roket t menit setelah diluncurkan,memprediksi ukuran populasi penduduk dunia pada suatu waktu,

memperlambat pertumbuhan serangga dengan menambahkanserangga jantan yang mandul,

dsb.


Pendahuluan

Teknik Integral


Pendahuluan

Ringkasan Formula Integral Taktentu

1.∫

xndx = xn+1/ (n+ 1) + C, n 6= −1

2.∫

sin x dx = − cos x+ C

3.∫

cos x dx = sin x+ C

4.∫

sec2 x dx = tan x+ C

5.∫

csc2 x dx = − cot x+ C

6.∫

sec x tan x dx = sec x+ C

7.∫

csc x cot x dx = − csc x+ C


Manipulasi Integran

Manipulasi Integran

Manipulasi aljabar terhadap integran seringkali diperlukan sebelumdapat menggunakan teknik integral tertentu.

Beberapa teknik manipulasi aljabar:

Melengkapi kuadratMenambahkan "0"Mengalikan "1"Substitusi merasionalkan


Manipulasi Integran

Contoh (Manipulasi Integran)

Tentukan integral berikut:

1 Melengkapi kuadrat:∫ 1

x2 + 2x+ 2dx

2 Menambah "0":∫ 1

1+ ex dx

3 Mengalikan "1":∫ 1

1− cos xdx

4 Substitusi merasionalkan:∫ 1

x−√

xdx


Manipulasi Integran

Substitusi Merasionalkan

Integran yang melibatkan bentuk akar

n√

ax+ b

seringkali dapat dibuat menjadi bentuk rasional dengan mengambilsubstitusi

u = n√

ax+ b, atau

un = ax+ b, sehingga

nun−1du = a dx (1)

Contoh

Tentukan∫ 9

4

1x−√

xdx


Manipulasi Integran

Soal (Manipulasi Integran)

Lakukan manipulasi aljabar terhadap integran untuk menentukan integralberikut:

1

∫ √1+ x1− x

dx, jawab: sin−1x−√

1− x2 + C

2

∫ 1

0

1x+ 3√

xdx, jawab: 1

2 ln 8

3

∫ 2x+ 1x2 + 2x+ 5

dx, jawab: ln(x2 + 2x+ 5

)− 1

2 tan−1 ( x+12

)+ C

4

∫ 1

1/2

1√2x− x2

dx, jawab: 16 π

5

∫ 1x10 − x

dx, jawab: 19 ln

∣∣1− 1x9

∣∣+ C


Integral Parsial

Integral ParsialKapan Integral Parsial Digunakan?

Pada dasarnya integral parsial merupakan teknik substitusi ganda.

Banyak digunakan pada pengintegralan yang melibatkan fungsitransenden (logaritma, eksponen, trigonometri beserta inversnya)

Fungsi transenden tertentu (tunggal, komposisi)Contoh:

∫ln x dx,

∫sin−1 x dx,

∫cos (ln x) dx

Perkalian beberapa jenis fungsi (umumnya perkalian dengan fungsitransenden)Contoh:

∫xex dx,

∫x2 sin x dx,

∫ex cos x dx


Integral Parsial

Teknik Pengintegralan Parsial

ddx[f (x) g (x)] = f (x) g′ (x) + g (x) f ′ (x)

∫f (x) g′ (x) dx+

∫g (x) f ′ (x) dx = f (x) g (x)

∫f (x) g′ (x) dx = f (x) g (x)−

∫g (x) f ′ (x) dx (2)

Ambil u = f (x)⇒ du = f ′ (x) dx, dv = g′ (x) dx⇒ v = g (x) .Akibatnya, (2) menjadi ∫

u dv = uv−∫

v du (3)


Integral Parsial

Penentuan u dan dv

∫u dv = u v−

∫v du

dv mudah diintegralkan (menjadi v),∫v du lebih mudah dibandingkan

∫u dv.


Integral Parsial

Contoh (Integral Parsial)

Tentukan:

1∫ 2

1 ln x dx (hanya ada 1 alternatif u, dv)Jawab:

∫ln x dx = x ln x− x+ C⇒

∫ 21 ln x dx = 2 ln 2− 1.

2∫

x2ex dx (perlu pemilihan u, dv yang tepat)Jawab: ex (x2 − 2x+ 2

)+ C


Integral Parsial

Soal (Integral Parsial)

Hitung integral (1− 3)

1∫

sin−1 x dx, jawab: x sin−1 x+√

1− x2 + C2∫

ex cos x dx, jawab: 12 ex (cos x+ sin x) + C)

3∫

e√

xdx, ambil u =√

x, lalu gunakan integral parsial4 Carilah kesalahan dalam pembuktian berikut, bahwa 0 = 1."Pada

∫(1/t) dt ambil u = 1/t dan dv = dt sehingga

du = −1/t2dt, v = t. Akibatnya,∫(1/t) dt = 1+

∫(1/t) dt atau

0 = 1."5 Andaikan Gn =

n√(n+ 1) (n+ 2) · · · (n+ n), perlihatkan bahwa

limn→∞ (Gn/n) = 4/e. Petunjuk: Tinjau ln (Gn/n) , kenali sebagaisuatu jumlah Riemann, dan gunakan hasil Contoh 1.


Dekomposisi Pecahan Parsial


Masalah: pengintegralan fungsi rasional (nisbah dua fungsipolinom) sejati: ∫

r (x) dx =∫ p (x)

q (x)dx

dengan derajat (pangkat tertinggi) p (x) < derajat q (x) .Bila derajat p (x) ≥ derajat q (x), lakukan pembagian sehinggadiperoleh sisa berupa fungsi rasional sejati.

Metode pengintegralan: Dekomposisi Pecahan Parsial dengan caramenguraikan (dekomposisi) fungsi pecahan rasional sejati r (x)menjadi jumlah fungsi-fungsi rasional sejati yang sederhana.



Metode Dekomposisi Pecahan Parsial

∫ p (x)q (x)

dx

Kasus 1: q (x) berupa hasil kali faktor linear yang berbeda,q (x) = (a1x+ b1) (a2x+ b2) . . . (akx+ bk),

∫ p (x)q (x)

dx =∫ A1

(a1x+ b1)dx+

∫ A2

(a2x+ b2)dx+ · · ·+

∫ Ak

(akx+ bk)dx

Contoh∫ dxx2 − 4

=∫ dx(x− 2) (x+ 2)

=∫ A

x− 2dx+

∫ Bx+ 2

dx



∫ p (x)q (x)

dx

Kasus 2: q (x) berisi hasil kali faktor linear yang berulang,q (x) = (ax+ b)r,

∫ p (x)q (x)

dx =∫ A1

ax+ bdx+

∫ A2

(ax+ b)2dx+ · · ·+

∫ Ar

(ax+ b)rdx

Contoh∫ 5x2 + 3x− 2(x+ 2) x2 dx =

∫ Ax+ 2

dx+∫ B

xdx+

∫ Cx2 dx



∫ p (x)q (x)

dx

Kasus 3: q (x) berisi faktor kuadratik yang tak teruraikan,q (x) = ax2 + bx+ c dengan b2 − 4ac < 0,

∫ p (x)q (x)

dx =∫ Ax+ B

ax2 + bx+ cdx

Contoh∫ −2x+ 4

(x2 + 1) (x− 1)2dx =

∫ Ax+ Bx2 + 1

dx+∫ C

x− 1dx+

∫ D(x− 1)2

dx

Jawab koefisien: A = 2, B = 1, C = −2, D = 1.



Soal (Integral Terkait Dekomposisi Pecahan Parsial)

Hitung integral berikut

1

∫ 3x2 + 3x

dx, jawab: ln∣∣ x

x+3

∣∣+ C

2

∫ x2 + x− 1

x (x− 1)2dx, jawab: − ln x+ 2 ln (x− 1)− 1

x−1 + C

3

∫ x4

x4 − 1dx, jawab: x+ 1

4 ln∣∣ x−1

x+1

∣∣− 12 tan−1 x+ C

4

∫ 16

9

√x

x− 4dx, jawab: 2+ ln 25

9

5

∫ cos xsin2 x+ sin x

dx, jawab: ln∣∣ sin x

sin x+1

∣∣+ C

6

∫ 1ex − e−x dx, jawab: 1

2 ln(|ex−1|ex+1

)+ C



Tentang Slide

Penyusun: N. K. Kutha Ardana (Dosen Dep. Matematika FMIPAIPB)

Versi: 2012 (sejak 2009)

Media Presentasi: LATEX - BEAMER (PDFLATEX)


8 teknik pengintegralan - handout

Documents