5 teknik pengintegralan - handout

TEKNIK PENGINTEGRALAN

Departemen MatematikaFMIPA IPB

Bogor, 2015

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 1 / 21

Topik Bahasan

1 Pendahuluan

2 Manipulasi Integran

3 Integral Parsial

4 Dekomposisi Pecahan Parsial


Pendahuluan

Manfaat Teknik Pengintegralan

Teknik-teknik pengintegralan memungkinkan kita:

menaksir luasan berbagai bentuk bidang datar,

menghitung atau mencari formula volume berbagai bentuk geometris,

menghitung ketinggian roket t menit setelah diluncurkan,memprediksi ukuran populasi penduduk dunia pada suatu waktu,

memperlambat pertumbuhan serangga dengan menambahkanserangga jantan yang mandul,

dsb.


Pendahuluan

Teknik Integral


Pendahuluan

Ringkasan Formula Integral Taktentu

1.

xndx =xn+1

n+ 1+ C, n 6= 1

2.

sin x dx = cos x+ C

3.

cos x dx = sin x+ C

4.

sec2 x dx = tan x+ C

5.

csc2 x dx = cot x+ C

6.

sec x tan x dx = sec x+ C

7.

csc x cot x dx = csc x+ C


Manipulasi Integran

Manipulasi Integran

Manipulasi aljabar terhadap integran seringkali diperlukan sebelumdapat menggunakan teknik integral tertentu.

Beberapa teknik manipulasi aljabar:

Melengkapi kuadratMenambahkan "0"Mengalikan "1"Substitusi merasionalkan


Manipulasi Integran

Contoh (Manipulasi Integran)

Tentukan integral berikut:

1 Melengkapi kuadrat: 1

x2 + 2x+ 2dx SOLUSI

2 Menambah "0": 1

1+ exdx SOLUSI

3 Mengalikan "1": 1

1 cos xdxSOLUSI

4 Substitusi merasionalkan: 1

x

xdx H


Manipulasi Integran

Substitusi Merasionalkan

Integran yang melibatkan bentuk akar

n

ax+ b

seringkali dapat dibuat menjadi bentuk rasional dengan mengambilsubstitusi

u = n

ax+ b, atau

un = ax+ b, sehingga

nun1du = a dx (1)

Contoh

Tentukan 9

4

1x

xdx SOLUSI


Manipulasi Integran

Soal (Manipulasi Integran)

Lakukan manipulasi aljabar terhadap integran untuk menentukan integralberikut:

1

1+ x1 xdx, jawab: sin

1x

1 x2 + C

2

10

1x+ 3

xdx, jawab: 12 ln 8

3

2x+ 1x2 + 2x+ 5

dx, jawab: ln(x2 + 2x+ 5

) 12 tan1

( x+12

)+ C

4

11/2

12x x2

dx, jawab: 16

5

1x10 xdx, jawab:

19 ln

1 1x9 + C(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 10 / 21

Integral Parsial

Integral ParsialKapan Integral Parsial Digunakan?

Pada dasarnya integral parsial merupakan teknik substitusi ganda.

Banyak digunakan pada pengintegralan yang melibatkan fungsitransenden (logaritma, eksponensial, trigonometri beserta inversnya)

Fungsi transenden tertentu (tunggal, komposisi)Contoh:

ln x dx,

sin1 x dx,

cos (ln x) dx

Perkalian beberapa jenis fungsi (umumnya perkalian dengan fungsitransenden)Contoh:

xex dx,

x2 sin x dx,

ex cos x dx


Integral Parsial

Teknik Pengintegralan Parsial

ddx[f (x) g (x)] = f (x) g (x) + g (x) f (x)

f (x) g (x) dx+

g (x) f (x) dx = f (x) g (x)

f (x) g (x) dx = f (x) g (x)

g (x) f (x) dx (2)

Ambil u = f (x) du = f (x) dx, dv = g (x) dx v = g (x) .Akibatnya, (2) menjadi

u dv = uv

v du (3)


Integral Parsial

Penentuan u dan dv

u dv = u v

v du

dv mudah diintegralkan (menjadi v),v du lebih mudah dibandingkan

u dv.


Integral Parsial

Contoh (Integral Parsial)

Tentukan:

1

xex dx (perlu pemilihan u, dv yang tepat)2

x sin x dx3

x2ex dxSOLUSI

4

ex cos x dx

5 2

1 ln x dx (hanya ada 1 alternatif u, dv)SOLUSI


Integral Parsial

Soal (Integral Parsial)

Hitung integral (1 3)1

sin1 x dx, jawab: x sin1 x+

1 x2 + C2

e

xdx, ambil u =

x, lalu gunakan integral parsial3 Carilah kesalahan dalam pembuktian berikut, bahwa 0 = 1."Pada

(1/t) dt ambil u = 1/t dan dv = dt sehingga

du = 1/t2dt, v = t. Akibatnya,(1/t) dt = 1+

(1/t) dt atau

0 = 1." SOLUSI

4 Andaikan Gn = n(n+ 1) (n+ 2) (n+ n), perlihatkan bahwa

limn (Gn/n) = 4/e. Petunjuk: Tinjau ln (Gn/n) , kenali sebagaisuatu jumlah Riemann, dan gunakan hasil Contoh 1. SOLUSI


Dekomposisi Pecahan Parsial


Masalah: pengintegralan fungsi rasional (nisbah dua fungsipolinomial) sejati:

r (x) dx = p (x)

q (x)dx

dengan derajat (pangkat tertinggi) p (x) < derajat q (x) .Bila derajat p (x) derajat q (x), lakukan pembagian sehinggadiperoleh sisa berupa fungsi rasional sejati.

Metode pengintegralan: Dekomposisi Pecahan Parsial dengan caramenguraikan (dekomposisi) fungsi pecahan rasional sejati r (x)menjadi jumlah fungsi-fungsi rasional sejati yang sederhana.



Metode Dekomposisi Pecahan Parsial

p (x)q (x)

dx

Kasus 1: q (x) berupa hasil kali faktor linear yang berbeda,q (x) = (a1x+ b1) (a2x+ b2) . . . (akx+ bk),

p (x)q (x)

dx = A1(a1x+ b1)

dx+ A2(a2x+ b2)

dx+ + Ak(akx+ bk)

dx

Contoh dxx2 4 =

dx(x 2) (x+ 2) =

Ax 2dx+

Bx+ 2

dx

SOLUSI



p (x)q (x)

dx

Kasus 2: q (x) berisi hasil kali faktor linear yang berulang,q (x) = (ax+ b)r,

p (x)q (x)

dx = A1

ax+ bdx+

A2(ax+ b)2

dx+ + Ar(ax+ b)r

dx

Contoh 5x2 + 3x 2(x+ 2) x2

dx = A

x+ 2dx+

Bx

dx+ C

x2dx

SOLUSI



p (x)q (x)

dx

Kasus 3: q (x) berisi faktor kuadratik yang tak teruraikan,q (x) = ax2 + bx+ c dengan b2 4ac < 0,

p (x)q (x)

dx = Ax+ B

ax2 + bx+ cdx

Contoh 2x+ 4(x2 + 1) (x 1)2

dx = Ax+ B

x2 + 1dx+

Cx 1dx+

D(x 1)2 dx

Jawab koefisien: A = 2, B = 1, C = 2, D = 1.



Soal (Integral Terkait Dekomposisi Pecahan Parsial)

Hitung integral berikut

1

3x2 + 3x

dx,

2

x2 + x 1x (x 1)2

dx,

3

x4x4 1dx,

4

169

x

x 4dx,

5

cos xsin2 x+ sin x

dx

6

1ex ex dx.



Tentang Slide

Penyusun: N. K. Kutha Ardana (Dosen Dep. Matematika FMIPAIPB)

Versi: 2015 (sejak 2009)

Media Presentasi: LATEX - BEAMER (PDFLATEX)


PendahuluanManipulasi IntegranIntegral ParsialDekomposisi Pecahan Parsial

5 teknik pengintegralan - handout

Documents