BAB 4

DERET

PENGERTIAN DERET Deret ialah rangkaian bilangan yang tersusun

secara teratur dan memenuhi kaidah-kaidah tertentu. Bilangan-bilangan yang merupakan unsur dan pembentuk sebuah deret dinamakan suku.

Dilihat dari jumlah suku yang membentuknya, deret digolongkan atas

:

1) Deret berhingga adalah deret yang jumlah suku-sukunya tertentu.

2) Deret tak-berhingga adalah deret yang suku-sukunya tidak terbatas.

DARI SEGI POLA PERUBAHAN BILANGANDERET DIBEDAKAN MENJADI TIGA:

1. Deret Hitung2. Deret Ukur3. Deret Harmoni

4.1 DERET HITUNG Deret hitung adalah deret yang perubahan

suku-sukunya berdasarkan penjumplahan terhadap sebuah bilangan tertentu.

Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret hitung ini dinamakan pembeda, yang tak lain merupakan selisih antara nilai-nilai dua suku yang berurutan. Contoh:

1. 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 (pembeda = 3)2. 100, 95, 90, 85, 80, 75, 70 (pembeda = 4)

4.1.1 SUKU KE-N DARI DERET HITUNG Besarnya nilai suku tertentu (ke-n) dari sebuah deret

hitung dapat melalui sebuah rumus : contoh: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 S₁ S₂ S₃ S₄ S₅ S₆ S₇ S₈ S₁ = 3 = a S₂ = 6 = a + b = a + (2 – 1)b a : sukupertama

atauS₁ S₃ = 9 = a + 2b = a + (3 – 1)b b : pembeda S₄ = 12= a + 3b = a + (4 – 1)b n : index suku S₅ = 15 = a + 4b = a + (5 – 1)b S₆ = 18 = a + 5b = a + (6 – 1)b S₇ = 21 = a + 6b = a + (7 – 1)b S₈ = 24 = a + 7b = a + (8 – 1)b

Sn = a + (n - 1)b

CONTOH SOAL Carilah nilai suku ke-13 dan ke-20 dari

deret hitung diatas:

Diket : S₁ = 3 b = 3 Jawab: S₁₃ = a + (n – 1)b = 3 + (13 – 1)3 =

39 S₂₀ = a + (n – 1)b = 3 + (20 – 1)3 =

60

4.1.2 JUMLAH N SUKU

Jumlah sebuah deret hitung sampai dengan suku tertentu tak lain adalah jumlah nilai suku-sukunya, sejak suku pertama (Si, atau a) sampai dengan suku ke-n (Sn) yang bersangkutan.

• Jn = si = s1 + s2 + ……. + sn

• J4 = si = s1 + s2 + s3 + s4

• J4 = si = s1 + s2 + s3 + s4+ s5

• J4 = si = s1 + s2 + s3 + s4+ s5 + s6

DENGAN DEMIKIAN, UNTUK MENGHITUNG JUMLAH SEBUAH DERET HITUNG SAMPAI DENGAN SUKU TENTU N, TERDAPAT EMPAT BENTUK RUMRUS YANG BISA DIGUNAKAN:

Jn = +(n -Sn) Jn = na + +(n - 1)b Jn = {(2a + (n - 1)b}

BERDASARKAN RUMUS S N = A + (N – 7)B SEBELUMNYA, MAKA SEBELUMNYA,MAKA MASING-MASING S I DAPAT DI URAIKAN. MAKA J4 DAN J5 DALAM ILUSTRASI DI ATAS AKAN MENJADI MASING- MASING SEBAGAI BERIKUT : • J4 = a + (a + b) + (a + 2b) + (a +

3b) + (a + 4b) = 4a + 6b• J5 = a + (a + b) + (a + 2b) + (a +

3b) + (a + 4b) = 5a + 10b

MASING- MASING JI DAPAT PULA DITULIS ULANG DALAM BENTUK SEBAGAI BERIKUT :

J4 = 4a + 6b =4a + +(4 - 1)b J5 = 5a + 10b =5a + +(5 - 1)b Jadi dapat disimpulkan :

Jn = na + +(n - 1)b atau Jn = {(2a + (n - 1)b}

4.2 DERET UKUR Deret ukur adalah deret yang

perubahan suku-sukunya berdasarkan perkaliaan terhadap suatu bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku sebuah deret ukur dinamakan pengganda, yakni merupakan hasil bagi nilai suatu suku terhadap nilai suku didepannya.

Contoh :1. 5, 10, 20, 40, 80, 160 ( pengganda = 2 )2. 16, 8, 4, 2, 1, 0,5 ( pengganda = 0,5)

4.2.1 SUKU KE- N DARI DU Untuk membentuk rumus perhitungan suku tertentu

dari sebuah deret ukur, perhatikan contoh dibawah : Contoh:1. 5, 10, 20, 40, 80, 160

S₁ = 5 = a =ap S₂ = 10 = ap = ap2-1

S₃ = 20 = app =ap2 = ap3-1

S₄ = 40 = appp =ap3 = ap4-1

S₅ = 80 = apppp = ap4 = ap5-1

S₆ = 160 = appppp= ap5 = ap6-1

a = suku pertama p = pengganda n = indeks suku

sn = apn-1

Berdasarkan rumus diatas, nilai suku ke-10 dari deret ukur dalam contoh 1 dan 2 diatas masing-masing adalah:

Contoh :1. 5, 10, 20, 40, 80, 160 ( pengganda = 2 )2. 16, 8, 4, 2, 1, 0,5 ( pengganda = 0,5) Penyelesain soal :

• S 10 = (5)(2) 10-1 = (5)(2)9 =(5)(512) = 2560

• S 10 = (16)(0,5) 10-1 = (16)(0,5)9 =(16)(1,953125 x10-3) = 0,03125

4.2.2 JUMLAH N SUKU Seperti dalam halnya deret hitung,

jumlah sebuah deret ukur sampai dengan suku tertentu adalah jumlah nilai suku-sukunya sejak suku pertama samapi dengan suku ke -n yang bersangkutan.

• Jn = si = s1 + s2 + s3 + s4 + …………. +s4

Rumus jumlah deret ukur sampai dengan suku ke- n :Jn = atau Jn =

Dalam hal Ι p Ι < 1, penggunaan rumus yang disebelah kiri akan lebih memepermudah perhitungan. Di lain pihak jika l p l > 1, perhitungan akan menjadi lebih mudah dengan menggunakan rumus yang sebelah kanan.

4.3 PENERAPAN EKONOMI Di bidang bisnis dan ekonomi, teori atau

prinsip-prinsip deret sering diterapkan dalam kasus-kasus yang menyangkut perkembangan dan pertumbuhan. Apabila suetu perkembangan atau pertumbuhan suatu gejala tertentu berpola serperti perubahan nilai-nilai suku sebuah deret,baik deret hitung maupun deret ukur, maka teori deret yang bersngkutan penad (relevant) diterapkan untuk menganalisisnya.

4.3.1 MODEL PERKEMBANGAN USAHA Jika perkembangan variabel-variabel

tertentu dalam kegiatan usaha misalnya produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja, atau penanaman modal- berpola seperti deret hitung, maka prinsip-prinsip deret hitung dapat digunakan untuk menganalisis perkembangan varibel tersebut.

4.3.2 MODEL BUNGA MAJEMUK

Model bunga majemuk merupakan penerapan deret ukur dalam kasus simpan pinjam dan kasus investas. Dengan model ini dapat dihitung, misalnya besarnya pengembalian kredit di masa datang berdasarkan tingkat bunganya atau sebaliknya.

RUMUS JUMLAH DIMASA DATANG DARI SUATU JUMLAH SEKARANG ADALAH:

P : jumlah sekarang I : tingkat bunga per-tahun n : jumlah tahun

Fn = P(1 + i)

n

Apabila bunga diperhitungkan dibayar lebih dari satu kali (misalnya m kali, masing-masing i/m pertermin)dalam setahun, maka jumlah di masa mendatang menjadi:

Fn = P(1 +

m : frekuensi pembayaran bunga dalam setahun

4.3.3 MODEL PERTUMBUHAN PENDUDUK Penerapan deret ukur yang paling

konvensional di bidang ekonomi adalah dalam hal penaksiran jumlah penduduk. Sebagaimana pernah dinyatakan oleh Malthus, penduduk dunia tumbuh mengikuti pola deret ukur, secara matematik, hal tersebut dapat dirumrskan sebagai :

P1 : jumlah pada tahun pertama (basis)

Pt : jumlah pada tahun ke-t r : persentasi pertumbuhan per tahun t : indeks waktu (tahun)

P t = P1Rt-1

Di mana R = 1+r