Bab 3 Fourier Series Untuk Sinyal Periodik∗

Tujuan Pembelajaran

Peserta dapat memahami representasi deret Fourier darisinyal periodik dan menggunakannya untuk analisis sistem.

1. Peserta dapat memahami model deret Fourier darisinyal periodik

(a) Peserta memahami konsep fungsi eigen dalambentuk sinyal eksponensial kompleks.

(b) Peserta dapat mende�nisikan deret Fourier danmenerapkannya untuk merepresentasikan sinyalperiodik CT dan DT

(c) Peserta memahami sinyal periodik sebagai kom-binasi linear dari ekponensial kompleks yang ter-hubung secara harmonik.

(d) Peserta mengetahui berbagai sifat deret Fourierdan menerapkannya untuk menentukan deretFourier suatu sinyal berdasarkan sifat-sifatnya.

(e) Peserta memahami konsep kandungan frekuensidari sinyal periodik

2. Peserta dapat menerapkan deret Fourier untuk menen-tukan respons sinyal periodik pada sistem LTI (DTmaupun CT)

(a) Peserta dapat menggunakan sistem LTI sebagai�lter

(b) Peserta mengenali contoh-contoh �lter yang diwu-judkan dengan LCCDE

1 Pendahuluan

Pada bab ini akan dibahas alternatif representasi sinyal per-iodik menggunakan sinyal kompleks eksponensial. Hasilrepresentasi ini dikenal sebagai deret Fourier waktu konti-nu dan deret Fourier waktu diskrit. Representasi ini dapatdigunakan untuk membentuk berbagai bentuk sinyal yangberguna.Karena sifat superposisi, respon dari sistem LTI terhadap

input yang terdiri dari kombinasi linear dari sinyal dasaradalah kombinasi linear yang sama dari respon individualterhadap setiap sinyal dasar tersebut. Respon sistem LTIterhadap sebuah sinyal kompleks eksponensial juga memi-liki bentuk yang sederhana, yang memberikan kita repre-sentasi sistem LTI yang mudah dan dengan cara yang lainuntuk melakukan analisa sistem dan menambah wawasanterhadap sifat deret Fourier.

∗©2012 Armein Z R Langi, STEI ITB. v 12.05 alpha

Tujuan dari bab ini adalah membekali peserta denganpengetahuan dan kemampuan untuk menghitung deret Fo-urier dari sinyal periodik. Rencana belajar diperlihatkanpada Tabel 1.

2 Eigenfunctions: Respon sistem LTI padasinyal kompleks eksponensial

2.1 Konsep eigenfunction dan eigenvalue

Mempelajari sistem LTI dengan mepresentasikan sinyal se-bagai kombinasi linear dari sinyal dasar memberikan banyakkemudahan. Sinyal dasar yang digunakan memiliki dua si-fat berikut:

1. Kumpulan sinyal dasar dapat digunakan untuk mem-bentuk kelas sinyal yang beragam dan berguna.

2. Respon dari sebuah sistem LTI dari setiap sinyal harusmemiliki struktur yang cukup sederhana untuk membe-rikan kepada kita, kemudahan representasi untuk res-pon sistem terhadap sinyal apapun yang dibentuk darikombinasi linear dari sinyal dasar.

Hasil analisis Fourier dengan dua sifat tersebut diberikandengan kumpulan sinyal kompleks eksponensial waktu kon-tinu dan waktu diskrit. Sinyal dalam bentuk estuntuk sinyalwaktu kontinu. Sinyal dalam bentuk znuntuk sinyal waktudiskrit. Dalam hal ini s dan z adalah bilangan kompleks.Pentingnya sinyal kompleks eksponensial dalam pemba-

hasan sistem LTI berasal dari fakt bahwa respon dari sebu-ah sistem LTI terhadap sinyal input kompleks eksponensialadalah sinyal kompleks eksponensial yang sama dengan ha-nya perubahan pada amplituda; yaitu,

waktu kontinu: e→ H(s)est, (1)

waktu diskrit: zn → H(z)zn, (2)

di mana faktor amplituda kompleks H(s) dan H(z) se-cara umum adalah fungsi dari variabel kompleks s atau z.Sebuah sinyal yang menyebabkan output dari sistem kon-stanta (biasanya bilangan kompleks) dari input disebut se-bagai fungsi eigen (eigenfunction) dari sistem, dan faktoramplituda disebut sebagai nilai eigen (eigenvalue) dari sis-tem.

2.2 Sinyal kompleks eksponensial adalaheigenfunction dari sistem LTI CT

Untuk menunjukkan bahwa sinyal kompleks eksponensialadalah eigenfunction dari sistem LTI waktu kontinu, li-hatlah sistem LTI waktu kontinu dengan respon impuls

1

2 Eigenfunctions: Respon sistem LTI pada sinyal kompleks eksponensial 2

Tab. 1: Rencana BelajarSub Sesi Materi Tujuan

3.1 Eigenfunctions: Respon sistemLTI pada sinyal komplekseksponensial

1 Konsep eigenfunction daneigenvalue

1.a

2 Sinyal kompleks eksponensialadalah eigenfunction dari sistemLTI CT

1.a

3 Sinyal kompleks eksponensialadalah eigenfunction dari sistemLTI DT

1.a

4 Kombinasi linear sinyalkompleks eksponensial

1.a

3.2 Representasi Deret Fourier padasinyal CT

1 Kombinasi linear dari sinyalkompleks eksponensialterhubung harmonik

1.b, c

2 Menentukan representasi deretFourier pada sinyal periodik CT

1.b,c, e

3 Kasus: Menghitung deretFourier dari sinyal kotak

1.b

4 Konnvergensi deret Fourier 1.b3.3 Sifat-Sifat Deret Fourier CT

1 Linearitas, Time Shifting, TimeReversal

1.d

2 Time Scaling, Multiplication,Konjugasi dan Simetri Konjugat

1.d

3 Relasi Parseval untuk SinyalPeriodik Waktu kontinu

1.d

4 Contoh Soal 1.d3.4 Deret Fourier untuk sinyal DT

dan sifat-sifatnya1 Kombinasi linear dari sinyal

kompleks eksponensialterhubung harmonik

1.b, c

2 Menentukan representasi deretFourier pada sinyal periodik DT

1.b,c, e

3 Sifat Deret Fourier DT 1.d4 Contoh Soal 1.d

3.5 Sistem LTI dan Filter1 Sistem LTI dan Respon

Frekuensi1.e,2a

2 Contoh Soal Sistem LTI 2.a3 Filter Frekuensi Shaping 2.a4 Filter Selektif Frekuensi 2.a

3.6 Contoh Filter CT dan DTLCCDE untuk sinyal periodik

1 Filter RC Lowpass CT 2.b2 Filter RC Highpass CT 2.b3 Filter DT rekursif orde 1 2.b4 Filter DT non-rekursif 2.b

h(t). Untuk input x(t), kita dapat menentukan outputdengan menggunakan integral konvolusi, sehingga denganx(t) = est

y(t) =

� +∞

−∞h(τ)x(t− τ)dτ =

� +∞

−∞h(τ)es(t−τ)dτ (3)

Dengan mengekspresikan es(t−τ)sebagai este−sτ , dan da-pat kita lihat estdapat dikeluarkan dari integral, maka per-samaan (3) akan menjadi

y(t) = est� +∞

−∞h(τ)e−sτdτ (4)

Asumsikan bahwa integral pada sisi kanan dari persama-an (4) konvergen, maka respon terhadap estmemiliki bentuk

y(t) = H(s)est (5)

dengan H(s)adalah konstanta kompleks yang nilainyabergantung pada s dan memiliki hubungan dengan responimpuls sistem, yaitu

H(s) =

� +∞

−∞h(τ)e−sτdτ (6)

Dari sini kita dapat melihat bahwa kompleks eksponensialadalah eigenfunction dari sistem LTI waktu kontinu. Kon-stanta H(s) untuk sebuah nilai spesi�k s adalah eigenvalueyang berasosiasi dengan eigenfunction est.

2.3 Sinyal kompleks eksponensial adalaheigenfunction dari sistem LTI DT

Dengan cara yang sama kita dapat melihat bahwa barisankompleks eksponensial adalah eigenfunction dari sistem LTIwaktu kontinus. Lihatlah sistem LTI waktu diskrit denganrespon impuls h[n]. Untuk input x[n] = zn,

y[n] =

+∞∑k=−∞

h[k]x[n− k] =+∞∑

k=−∞

h[k]zn−k (7)

Dengan mengekspresikan zn−ksebagai znz−k, dan dapatkita lihat zndapat dikeluarkan dari integral, maka persama-an (7) akan menjadi

y[n] = zn+∞∑

k=−∞

h[k]z−k (8)

Asumsikan bahwa penjumlahan pada sisi kanan dari per-samaan (8) konvergen, maka respon terhadap znmemilikibentuk

y[n] = H(z)zn (9)

dengan H(s)adalah konstanta kompleks yang nilainyabergantung pada s dan memiliki hubungan dengan responimpuls sistem, yaitu

H(z) =

+∞∑k=−∞

h[k]z−k (10)

3 Representasi Deret Fourier pada sinyal CT 3

Dari sini kita dapat melihat bahwa kompleks eksponensialadalah eigenfunction dari sistem LTI waktu diskrit. Kon-stanta H(z) untuk sebuah nilai spesi�k z adalah eigenvalueyang berasosiasi dengan eigenfunction zn.

2.4 Kombinasi linear sinyal komplekseksponensial

Untuk analisis sistem LTI, kegunaan dari dekomposisi si-nyal umum ke dalam eigenfunction dapat dari sebuah con-toh. Misalkan x(t) berkorespondensi kepada kombinasi li-near dari tiga buah sinyal kompleks eksponensial, yaitu,

x(t) = a1es1t + a2e

s2t + a3es3t (11)

Dari sifat eigenfunction, respon masing-masing kompo-nen adalah

aes1t → a1H(s1)es1t,

a2es2t → a2H(s2)e

s2t,

a3es3t → a3H(s3)e

s3t,

dan dari sifat superposisi, respon terhadap input x(t)adalah penjumlahan dari respon masing-masing komponen,sehingga

y(t) = a1H(s1)es1t + a2H(s2)e

s2t + a3H(s3)es3t (12)

Secara umum, pada waktu kontinu, persamaan (5), de-ngan sifat superposisi, mengimplikasikan bahwa representa-si sinyal sebagai kombinasi linear dari sinyal kompleks eks-ponensial memberikan kemudahan untuk memperoleh eksp-resi dari respon dari sebuah sistem LTI. Secara spesi�k, bi-la input terhadap seubah sistem LTI waktu kontinu direp-resentasikan sebagai kombinasi linear dari sinyal komplekseksponensial, yaitu, jika

x(t) =∑k

akeskt, (13)

maka akan diperoleh output

y(t) =∑k

akH(sk)eskt. (14)

Dengan analogi yang sama, jika input terhadap sistemLTI waktu diskrit direpresentasikan sebagai kombinasi line-ar dari sinyal eksponensial yaitu, jika

x[n] =∑k

akznk , (15)

maka akan diperoleh output

y[n] =∑k

akH(zk)znk . (16)

Dengan perkataan lain, untuk waktu kontinu dan waktudiskrit, jika input terhadap sebuah sistem LTI direpresenta-sikan dengan kombinasi linear dari sinyal kompleks ekspo-nensial, maka output juga dapat direpresentasikan sebagaikombinasi linear dari sinyal kompleks eksponensial yang sa-ma. Setiap koe�sien pada representasi dari output diperolehdengan perkalian koe�sien ak dari input dan eigenvalue darisistem H(sk) atau H(zk) yang berasosiasi dengan eigenfun-ction eskt atau znk .

3 Representasi Deret Fourier pada sinyal CT

3.1 Kombinasi linear dari sinyal komplekseksponensial terhubung harmonik

Sebuah sinyal dikatakan periodik jika, untuk terdapat nilaipositif T ,

x(t) = x(t+ T ) untuk semua t (17)

Periode fundamental dari x(t) adalah nilai positif mini-mum tidak nol dari T sehingga persamaan (17) dipenuhi,dan nilai ω0 = 2π/T dide�nisikan sebagai frekuensi funda-mental dari sinyal x(t).Kita telah mempelajari dua sinyal dasar periodik, sinyal

sinusoidal

x(t) = cosω0t (18)

dan sinyal periodik kompleks eksponensial

x(t) = ejω0t. (19)

Kedua sinyal ini periodik dengan frekuensi fundamentalω0 dan periode fundamental T = 2π/ω0. Terdapat kumpul-an sinyal kompleks eksponensial yang terhubung harmonikdengan sinyal pada persamaan (19) yaitu

φk(t) = ejkω0t = ejk(2π/T )t, k = 0,±1,±2, . . . . (20)

Tiap sinyal ini memiliki sebuah frekuensi fundamentalyang merupakan kelipatan dari ω0, dan oleh sebab itu,masing-masing periodik dengan periode T (walaupun untuk|k| > 2, periode fundamental dari φk(t) adalah pecahan da-ri T ). Maka, seubah kombinasi linear dari sinyal komplekseksponensial yang terhubung harmonik dengan bentuk

x(t) =

+∞∑k=−∞

akejkω0t =

+∞∑k=−∞

akejk(2π/T )t (21)

juga periodik dengan periode T . Pada persamaan (21)term untuk k = 0 adalah sebuah konstanta. Term untukk = +1 dan k = −1, keduanya memiliki frekuensi funda-mental ω0 dan secara kolektif dide�nisikan sebagai kompo-nen fundamental atau komponen harmonik pertama. Duaterm untuk k = +2 dan k = −2, adalah periodik dengansetengah periode fundamental (atau ekuivalen, mempunyaifrekuensi dua kali lebih besar) dari komponen fundamen-tal dan dide�nisikan sebagai komponen harmonik kedua.Secara umum, komponen untuk k = +N dan k = −N di-de�nisikan sebagai komponen harmonik ke-N.Representasi dari sinyal periodik dengan bentuk pada

persamaan (21) dide�nisikan sebagai representasi deret Fo-urier.Misalkan sebuah sinyal periodik x(t), dengan frekuensi

fundamental 2π, diekspresikan dengan bentuk

x(t) =

+3∑k=−3

akejk2πt, (22)

dengan

3 Representasi Deret Fourier pada sinyal CT 4

a0 = 1

a1 = a−1 = 14

a2 = a−2 = 12

a3 = a−3 = 13

dengan menulis ulang persamaan (22) dan mengumpulk-an setiap dari komponen harmonik yang memiliki frekuensifundamental yang sama, kita akan memperoleh

x(t) = 1 + 14 (e

j2πt + e−j2πt) + 12 (e

j4πt + e−j4πt) (23)

+ 13 (e

j6πt + e−j6πt).

Dengan menggunakan relasi Euler, kita dapat menuliskanx(t) dalam bentuk

x(t) = 1 +1

2cos 2πt+ cos 4πt+

2

3cos 6πt. (24)

Persamaan (24) adalah contoh dari bentuk alternatif da-ri deret Fourier untuk sinyal periodik real. Secara spesi�k,misalkan x(t) adalah bernilai real dan dapat direpresenta-sikan dalam bentuk persamaan (21). Karena x∗(t) = x(t),maka kita memperoleh

x(t) =

+∞∑k=−∞

a∗ke−jkω0t.

Dengan mengganti k dengan −k pada penjumlahan, kitamendapatkan

x(t) =

+∞∑k=−∞

a∗−kejkω0t,

maka bila dibandingkan dengan persamaan (21), makaharuslah ak = a∗−k, atau ekivalen juga dengan

a∗k = a−k. (25)

Kita lihat bahwa pada contoh sebelumnya adalah kasusdi mana ak adalah bernilai real dan ak = a−k.Untuk menurunkan bentuk alternatif dari deret Fourier,

kita harus menyusun penjumlahan dalam persamaan (21)menjadi

x(t) = a0 +

∞∑k=1

[ake

jkω0t + a−ke−jkω0t

]dengan mengganti a−k dengan a∗k dari persamaan (25)

maka kita memperoleh

x(t) = a0 +

∞∑k=1

[ake

jkω0t + a∗ke−jkω0t

].

Karena dua term di dalam penjumlahan adalah pasangankompleks konjugat, maka kita peroleh

x(t) = a0 +

∞∑k=1

2Re{ake

jkω0t}. (26)

Jika ak dinyatakan dalam bentuk polar sebagai

ak = Akejθk ,

maka persamaan (26) menjadi

x(t) = a0 + 2

∞∑k=1

Re{Ake

j(kω0t+θk)}.

Dapat juga ditulis menjadi

x(t) = a0 + 2

∞∑k=1

Ak cos(kω0t+ θk). (27)

Persamaan (27) adalah satu bentuk dasar yang ditemuiuntuk deret Fourier untuk sinyal real periodik waktu konti-nu. Bentuk lain diperoleh dengan menulis akdalam bentukrectangular sebagai

ak = Bk + jCk,

dengan nilai Bkdan Ck keduanya bernilai real. Denganekspresi ini maka persamaan (26) akan mempunyai bentuk

x(t) = a0 + 2

∞∑k=1

[Bk cos kω0t− Ck sin kω0t] . (28)

Maka untuk fungsi periodik real, deret Fourier dalamterm kompleks eksponensial seperti ditunjukkan pada per-samaan (21), secara matematik ekuivalen dengan dua ben-tuk baik pada persamaan (27) dan (28) dengan menggu-nakan fungsi trigonometri. Namun bentuk persamaan (21)memberikan kemudahan untuk analisa kita, maka kita akanlebih sering menggunakannya.

3.2 Menentukan representasi deret Fourierpada sinyal periodik CT

Asumsikan bahwa sebuah sinyal periodik dapat direpresen-tasikan dengan deret dari persamaan

x(t) =

+∞∑k=−∞

akejkω0t =

+∞∑k=−∞

akejk(2π/T )t, (29)

kita memerlukan sebuah prosedur untuk menentukan ko-e�sien ak. Mengalikan kedua sisi dari persamaan (29) de-ngan e−jnω0t, kita memperoleh

x(t)e−jnω0t =

+∞∑k=−∞

akejkω0te−jnω0t.

Dengan melakukan integrasi kedua sisi dari 0 sampai T =2π/ω0, kita mempunyai

� T

0

x(t)e−jnω0tdt =

� T

0

+∞∑k=−∞

akejkω0te−jnω0tdt.

Dalam hal ini, T adalah periode fundamental dari x(t),dan konsekuensinya, kita melakukan integrasi pada rentangsatu periode. Dengan menukar urutan integrasi dan pen-jumlahan menghasilkan

3 Representasi Deret Fourier pada sinyal CT 5

� T

0

x(t)e−jnω0tdt =

+∞∑k=−∞

ak

[� T

0

ej(k−n)ω0tdt

]. (30)

Hasil evaluasi dari integrasi dengan kurung siku denganformula Euler dapat diperoleh,

� T0ej(k−n)ω0tdt =

� T0cos(k − n)ω0tdt (31)

+j� T0sin(k − n)ω0tdt.

Untuk k 6= n, cos(k−n)ω0t dan sin(k−n)ω0t adalah sinyalsinusoidal periodik dengan periode fundamental (T/|k−n|).Oleh karena itu, pada persamaan (31), kita melakukan in-tegrasi pada sebuah interval (dengan panjang T ). Karenaintegrasi dapat dipandang sebagai menghitung luas totaldi bawah fungsi pada rentang integrasi, kita dapat meli-hat bahwa untuk k 6= n, kedua integrasi pada sisi kananpersamaan (31) bernilai nol. Untuk k = n, bagian yang di-integrasikan bernilai 1, sehingga hasil integrasi bernilai T .Sehingga kita peroleh

� T

0

ej(k−n)ω0tdt =

{T, k = n

0, k 6= n,

sehingga, bagian sisi kanan dari persamaan (30) menjadiTan. Sehingga,

an =1

T

� T

0

x(t)e−jnω0tdt, (32)

yang memberikan persamaan untuk menentukan koe�si-en. Lebih jauh lagi, ketika melakukan evaluasi pada persa-maan (31), kita hanya menggunakan fakta rentang integrasipada interval dengan panjang T . Oleh sebab itu kita akanmemperoleh hasil yang sama jika kita melakukan integrasipada interval dengan panjang T . Maka kita peroleh

an =1

T

�T

x(t)e−jnω0tdt. (33)

Jika x(t) memiliki representasi deret Fourier [yaitu dapatdiekspresikan sebagai kombinasi linear dari sinyal komplekseksponensial yang terhubung secara harmonik dalam ben-tuk persamaan (29)], maka koe�sien dapat ditentukan olehpersamaan (33). Pasangan dari persamaan ini, mende�ni-sikan deret Fourier dari sinyal periodik waktu kontinu:

x(t) =

+∞∑k=−∞

akejkω0t =

+∞∑k=−∞

akejk(2π/T )t (34)

ak =1

T

�T

x(t)e−jkω0tdt =1

T

�T

x(t)e−jk(2π/T )tdt. (35)

Persamaan (34) dide�nisikan sebagai persamaan sintesisdan persamaan (35) dide�nisikan sebagai persamaan ana-lisis. Kumpulan koe�sien {ak} biasanya disebut koe�sienderet Fourier atau koe�sien spektral dari x(t). Koe�sienkompleks ini mengukur porsi dari sinyal x(t) pada setiapharmonik komponen fundamental. Koe�sien a0 adalah ni-lai DC atau komponen konstan dari x(t) yang ditentukanoleh persamaan (35) dengan k = 0, yaitu

a0 =1

T

�T

x(t)dt, (36)

yaitu nilai rata-rata dari x(t) pada satu periode.

3.3 Kasus: Menghitung deret Fourier darisinyal kotak

Sinyal kotak periodik, seperti terlihat pada gambar dan di-de�nisikan pada satu periode sebagai

x(t) =

{1, |t| < T1

0, T1 < |t| < T/2. (37)

Sinyal ini periodik dengan periode fundamental T danfrekuensi fundamental ω0 = 2π/T .

t

x(t)

... ...

−2T −T −T2

0 T

2

T 2T−T1 T1

1

Untuk menentukan koe�sien deret Fourier untuk x(t), ki-ta menggunakan persamaan (35). Karena x(t) simetris padat = 0, maka akan lebih mudah memilih −T/2 ≤ t < T/2sebagai interval dari integrasi, walaupun setiap interval de-ngan panjang T sama-sama valid dan menghasilkan ha-sil yang sama. Dengan menggunakan batas integrasi inidan menggunakan persamaan (37), kita memperoleh untukk = 0,

a0 =1

T

� T1

−T1

dt =2T1T. (38)

Seperti telah disebutkan sebelumnya, a0 diinterpretasik-an sebagai nilai rata-rata dari x(t). Untuk k 6= 0, kitamemperoleh

ak =1

T

� T1

−T1

e−jkω0tdt = − 1

jkω0Te−jkω0t

∣∣∣∣T1

−T1

,

e^{j\omega n}yang dapat ditulis sebagai

ak =2

kω0T

[ejkω0T1 − e−jkω0T1

2j

]. (39)

Perhatikan bahwa term dalam kurung siku adalahsin kω0T1, kita dapat menuliskan koe�sien ak sebagai

ak =2 sin (kω0T1)

kω0T=

sin (kω0T1)

kπ, k 6= 0. (40)

3.4 Konvergensi deret Fourier

Pada contoh sebelumnya dapat dilihat walaupun x(t) dis-kontinu tetapi tiap-tiap komponen harmoniknya kontinu.Walaupun faktanya Fourier menyatakan setiap sinyal per-iodik dapat direpresentasikan dengan deret Fourier. Wa-laupun hal ini tidak sepenuhnya tepat, akan tetapi benar

3 Representasi Deret Fourier pada sinyal CT 6

bahwa deret Fourier dapat digunakan untuk merepresenta-sikan sejumlah besar kelas dari sinyal periodik, termasuksinyal kotak dan sinyal-sinyal periodik lainnya.Kita akan melihat masalah aproksimasi (pendekatan) si-

nyal periodik x(t) dengan kombinasi linear dari jumlah ter-batas sinyal komplek eksponensial terhubung harmonik de-ngan bentuk,

xN (t) =

N∑k=−N

akejkω0t. (41)

Kita de�nisikan error aproksimasi dengan eN (t), yaitu

eN (t) = x(t)− xN (t) = x(t)−N∑

k=−N

akejkω0t. (42)

Untuk menentukan seberapa baik sebuah aproksimasi, ki-ta perlu menentukan ukuran kuantitatif dari ukuran erroraproksimasi. Kriteria yang akan digunakan adalah energidari error pada satu periode:

EN =

�T

|eN (t)|2 dt. (43)

Dapat dibuktikan bahwa pilihan untuk koe�sien dalampersamaan (41) untuk meminimalkan energi dari error ada-lah

ak =1

T

�T

x(t)e−jkω0tdt. (44)

Kita dapat persamaan (44) adalah indentik dengan ekps-resi yang digunakan untuk menentukan koe�sien deret Fou-rier. Maka jika x(t)memiliki representasi deret Fourier, ma-ka aproksimasi terbaik dengan hanya menggunakan jumlahterbatas dari kombinasi linear sinyal kompleks eksponensi-al terhubung harmonik dapat diperoleh dengan memotongderet Fourier dengan jumlah term yang diinginkan. KetikaN bertambah, maka jumlah term akan bertambah dan ENakan berkurang. Pada faktanya jika x(t) memiliki represen-tasi deret Fourier maka limit dari EN ketika N →∞ adalahnol.Bagaimana menentukan sebuah sinyal x(t) memiliki rep-

resentasi deret Fourier? Tentu saja untuk semua sinyal, ki-ta dapat mendapatkan kumpulan koe�sien Fourier denganmenggunakan persamaan (35). Bagaimanapun, pada be-berapa kasus integral pada persamaan (35) dapat menjadidivergen; yaitu ketika diperoleh beberapa nilai akadalah takterbatas (in�nite). Lebih lagi, walau semua koe�sien yangdiperoleh dari persamaan (35) adalah terbatas (�nite), ke-tika koe�sien ini disubtitusikan ke persamaan sintesis (34),hasilnya dapat saja tidak konvergen kepada sinyal asli x(t).Beruntungnya, tidak terdapat kesulitan konvergensi un-

tuk sejumlah kelas dari sinyal periodik. Contohnya, setiapsinyal periodik kontinu memiliki representasi deret Fourierdengan energi EN untuk error aproksimasi menuju nol ke-tika N menuju ∞. Ini juga berlaku untuk banyak sinyaldiskontinu. Karena dirasakan berguna untuk memasukkansinyal diskontinu seperti sinyal kotak, menjadi bermanfaatuntuk menyelidiki isu konvergensi dengan lebih detil.Salah satu kelas sinyal periodik yang dapat direpresen-

tasikan dengan deret Fourier adalah sinyal yang memiliki

energi terbatas pada interval satu periode, yaitu sinyal de-ngan

�T

|x(t)|2 dt <∞. (45)

Ketika kondisi ini dipenuhi, maka dapat dijamin bahwakoe�sien ak yang diperoleh dari persamaan (35) adalah ter-batas. Lebih jauh lagi, misalkan xN (t) adalah aproksimasix(t) yang diperoleh dengan menggunakan koe�sien ini un-tuk |k| ≤ N :

xN (t) =

+N∑k=−N

akejkω0t. (46)

Maka dijamin bahwa energi EN pada error aproksimasi,seperti yang dide�nisikan pada persamaan (43), konvergenke 0 ketika kita menambah banyak term. Jika kita mende-�nisikan

e(t) = x(t)−+∞∑

k=−∞

akejkω0t. (47)

maka

�T

|e(t)|2 dt = 0. (48)

Tetapi persamaan (48) tidak mengimplikasikan bahwa si-nyal x(t) dan representasi deret Fourier

+∞∑k=−∞

akejkω0t. (49)

adalah sama pada setiap nilai t. Persamaan (48) hanyamenyatakan bahwa tidak terdapat perbedaan energi padakeduanya.Lebih lagi, sebuah alternatif kumpulan kondisi yang di-

buat oleh Dirichlet yang berlaku untuk semua sinyal yangakan banyak digunakan, menjamin bahwa x(t) akan samadengan representasi deret Fourier, kecuali pada nilai t ter-isolasi yang menyebabkan x(t) diskontinu. Pada nilai ini,deret tak terbatas dari persamaan (49) konvergen pada ni-lai rata-rata dari nilai pada setiap sisi pada diskontinu.Kondisi Dirichlet antara lain:

Kondisi 1

Pada satu periode manapun, x(t) harus absolutely integra-ble, yaitu

�T

|x(t)|dt <∞. (50)

Hal ini akan menjamin bahwa setiap koe�sien dari ak ak-an terbatas karena

|ak| ≤1

T

�T

∣∣x(t)e−jkω0t∣∣ dt = 1

T

�T

|x(t)|dt. (51)

Kondisi 2

Pada interval waktu terbatas manapun, x(t) memiliki va-riasi terbatas; yaitu, hanya memiliki sejumlah berhinggamaxima dan minima pada satu periode sinyal manapun.

4 Sifat-Sifat Deret Fourier CT 7

Kondisi 3

Pada interval waktu terbatas manapun, hanya terdapat se-jumlah berhingga jumlah diskontinuitas.

4 Sifat-Sifat Deret Fourier CT

Kita akan mende�nisikan sebuah notasi singkat untukmengindikasikan relasi antara sebuah sinyal periodik de-ngan koe�sien deret Fouriernya, yaitu

x(t)FS←−→ ak

4.1 Linearitas, Time Shifting, Time Reversal

Linearitas

Misalkan x(t) dan y(t) merupakan dua buah sinyal periodikdengan periode T dan memiliki koe�sien deret Fourier akdan bk, yaitu

x(t)FS←−→ ak,

y(t)FS←−→ bk.

Karena x(t) dan y(t) memiliki periode yang sama yaituT , maka dengan mudah disimpulkan bahwa setiap kombi-nasi linear dari dua sinyal tersebut juga periodik denganperiode T . Lebih jauh lagi, koe�sien deret Fourier ck darikombinasi linear x(t) dan y(t), z(t) = Ax(t) +By(t), dibe-rikan oleh kombinasi linear yang sama dari koe�sien deretFourier untuk x(t) dan y(t).

z(t) = Ax(t) +By(t)FS←−→ ck = Aak +Bbk. (52)

Sifat linearitas ini juga dengan mudah diperluas kepadakombinasi linear dari sejumlah lain sinyal dengan periodeT .

Time Shifting

Ketika pergeseran waktu (time shift) dilakukan pada si-nyal periodik x(t), periode T dari sinyal akan tetap sa-ma. Koe�sien deret Fourier bk yang dihasilkan dari sinyaly(t) = x(t− t0) dapat diekspresikan sebagai

|bk =1

T

�T

x(t− t0)e−jkω0tdt. (53)

Subtitusi τ = t − t0 pada integral, variabel τ juga me-miliki rentang pada interval dengan durasi T , sehingga kitamemperoleh

1

T

�T

x(τ)e−jkω0(τ+t0)dτ = e−jkω0t01

T

�T

x(τ)e−jkω0τdτ

(54)

e−jkω0t0ak = e−jk(2π/T )t0ak,

di mana ak adalah koe�sien Fourier dari sinyal x(t), Yaitujika

x(t)FS←−→ ak,

maka

x(t− t0)FS←−→ e−jkω0t0ak.

Konsekuensi dari sifat ini adalah, ketika sinyal periodikmengalami pergeseran waktu, maka magnitude dari koe�si-en deret Fourier tidak berubah.

Time Reversal

Periode T dari sinyal periodik x(t) juga tidak berubah ke-tika sinyal mengalami time reversal. Untuk menentukankoe�sien deret Fourier dari y(t) = −x(t), kita akan melihatpengaruh dari time reversal pada persamaan sintesis (34):

x(−t) =+∞∑

k=−∞

ake−jk2πt/T

Buat subtitusi k = −m, kita memperoleh

y(t) = x(−t) =+∞∑

m=−∞a−me

jm2πt/T

Kita dapat melihat sisi kanan dari persamaan ini memilikibentuk sintesis deret Fourier untuk x(−t), di mana koe�sienbk adalah

bk = a−k.

Jadi jika

x(t)FS←−→ ak,

maka

x(−t) FS←−→ a−k.

4.2 Time Scaling, Multiplication, Konjugasidan Simetri Konjugat

Time Scaling

Time scaling adalah operasi perubahan periode dari sinyal.Jika x(t) periodik dengan periode T dan frekuensi funda-mental ω0 = 2π/T , maka x(αt) dengan α adalah sebuahbilangan real positif adalah periodik dengan periode T/αdan frekuensi fundamental αω0. Karena operasi time sca-ling beroperasi langsung pada setiap komponen harmonikdari x(t), maka dapat disimpulkan bahwa koe�sien deretFourier untuk tiap-tiap komponen adalah tetap sama. Jikax(t) memiliki representasi deret Fourier, maka

x(αt) =

+∞∑k=−∞

akejk(αω0)t

adalah representasi deret Fourier dari x(αt).

5 Deret Fourier untuk sinyal DT dan sifat-sifatnya 8

Multiplication

Misalkan x(t) dan y(t) merupakan dua buah sinyal periodikdengan periode T dan memiliki koe�sien deret Fourier akdan bk, yaitu

x(t)FS←−→ ak,

y(t)FS←−→ bk.

Karena hasil perkalian x(t)y(t) juga periodik dengan per-iode T , kita dapat melakukan ekspansi dalam sebuah deretFourier dengan koe�sien deret Fourier hk dengan

x(t)y(t)FS←−→ hk =

+∞∑l=−∞

albk−l (55)

Konjugasi dan Simetri Konjugat

Mengambil kompleks konjugat dari sinyal periodik x(t)mempunyai imbas kompleks konjugasi dan time reversal pa-da koe�sien deret Fourier yang diperoleh. Yaitu jika

x(t)FS←−→ ak,

maka

x∗(t)FS←−→ a∗−k.

Beberapa konsekuensi menarik dapat diperoleh dari sifatini untuk x(t) real, yaitu ketika x(t) = x∗(t). Pada kasusini diperoleh koe�sien deret Fourier akan konjugat simetris,

a−k = a∗k.

Jika x(t) bernilai real maka a0 juga bernilai real dan

|ak| = |a−k|.

Jika x(t) bernilai real dan fungsi genap maka ak = a∗k.Jika x(t) bernilai real dan fungsi ganjil maka koe�sien de-

ret Fourier merupakan bilangan imajiner murni dan ganjil.

4.3 Relasi Parseval untuk Sinyal PeriodikWaktu kontinu

Relasi Parseval untuk sinyal periodik waktu kontinu adalah

1

T

�T

|x(t)|2dt =+∞∑

k=−∞

|ak|2,

di mana ak adalah koe�sien deret Fourier dari x(t) danT adalah periodenya.Juga berlaku,

1

T

�T

∣∣akejkω0t∣∣2 dt = 1

T

�T

|ak|2dt = |ak|2,

|ak|2 adalah daya rata-rata pada komponen harmonik ke-k dari x(t). Jadi yang hendak dikatakan oleh relasi Parsevaladalah total daya rata-rata dari sinyal periodik adalah samadengan jumlah dari daya rata-rata dari komponen harmo-niknya.

4.4 Contoh Soal

Misalkan kita diberikan beberapa fakta tentang sinyal x(t):

1. x(t) adalah sinyal real.

2. x(t) adalah periodik dengan T = 4, dan memiliki koe-�sien deret Fourier ak.

3. ak = 0 untuk |k| > 1.

4. Sinyal dengan koe�sien Fourier bk = e−jπk/2a−k adalahsinyal genap.

5. 14

�4|x(t)|2dt = 1/2.

5 Deret Fourier untuk sinyal DT dansifat-sifatnya

5.1 Kombinasi linear dari sinyal komplekseksponensial terhubung harmonik

Sinyal waktu diskrit x[n] adalah periodik dengan periode Njika

x[n] = x[n+N ]. (56)

Periode fundamental adalah bilangan bulat N positifyang terkecil di mana persamaan (56) berlaku, dan ω0 =2π/N adalah frekuensi fundamental. Sinyal kompleks eks-ponensial ej(2π/N)n adalah periodik dengan periode N , ma-ka sekumpulan sinyal kompleks eksponensial periodik waktudiskrit dengan periode N diberikan oleh

φk[n] = ejkω0n = ejk(2π/N)n, k = 0,±1,±2, ... (57)

Semua sinyal ini mempunyai frekuensi-frekuensi funda-mental yang merupakan kelipatan dari 2π/N dan dengandemikian terhubung secara harmonik. Dalam hal ini ha-nya terdapat sekumpulan N buah sinyal berbeda. Hal inimerupakan konsekuensi dari fakta bahwa sinyal komplekseksponensial waktu diskrit yang memiliki perbedaan freku-ensi sebesar kelipatan dari 2π adalah identik. Dari fakta inikita memperoleh kombinasi linear dari sinyal kompleks eks-ponensial terhubung harmonik untuk sinyal waktu diskritadalah

x[n] =∑k=〈N〉

akφk[n] =∑k=〈N〉

akejkω0n =

∑k=〈N〉

akejk(2π/N)n.

(58)Umumnya kita menggunakan nilai k = 0, 1, ..., N − 1.

Persamaan (58) dide�nisikan sebagai deret Fourier waktudiskrit dan koe�sien-koe�sien ak sebagai koe�sien-koe�sienderet Fourier-nya.

5.2 Menentukan representasi deret Fourierpada sinyal periodik DT

Misalkan kepada kita diberikan sinyal x[n] yang periodikdengan periode fundamental N . Kita ingin menentukanapakah terdapat representasi x[n] dalam bentuk persama-an (58), dan jika ada kita ingin mendapatkan koe�sien ak.

5 Deret Fourier untuk sinyal DT dan sifat-sifatnya 9

Kita dapat memperolehnya dengan mencari solusi dari se-kumpulan persamaan linear. Bila kita melakukan evaluasaidari persamaan (58) untuk N buah nilai n yang berurutandalam satu periode x[n], kita memperoleh

x[0] =∑k=〈N〉

ak

x[1] =∑k=〈N〉

akej2πk/N (59)

...

x[N − 1] =∑k=〈N〉

akej2πk(N−1)/N

Persamaan (59) merepresentasikan N buah persamaanlinear untuk N buah koe�sien ak. Dapat dilihat kumpulanpersamaan ini bersifat bebas linear dan dapat diselesaikanuntuk memperoleh koe�sen ak. Dapat diperoleh

ar =1

N

∑n=〈N〉

x[n]e−jr(2π/N)n

Kita memiliki pasangan persamaan deret Fourier waktudiskrit sebagai berikut:

x[n] =∑

akejkω0n =

∑k=〈N〉

akejk(2π/N)n, (60)

ak =1

N

∑n=〈N〉

x[n]e−jkω0n =1

N

∑n=〈N〉

x[n]e−jk(2π/N)n.

(61)Persamaan (60) merupakan persamaan sintesis dan per-

samaan (61) merupakan persamaan analisis. Seperti padawaktu kontinu, koe�sien deret Fourier waktu diskrit ak ju-ga sering disebut sebagai koe�sien spektral dari x[n]. Halpenting yang harus diperhatikan adalah hanya terdapat Nbuah term pada representasi deret Fourier waktu diskrit.

5.3 Sifat Deret Fourier DT

Terdapat kemiripan yang kuat antara sifat-sifat deret Fo-urier waktu diskrit dengan sifat-sifat deret Fourier waktukontinu. Akan digunakan notasi singkat untuk mengindika-sikan relasi antara sebuah sinyal periodik dengan koe�sienderet Fourier dengan

x[n]FS←−→ ak.

Linearitas

Jika

x[n]FS←−→ ak,

y[n]FS←−→ bk,

maka

Ax[n] +By[n]FS←−→ Aak +Bbk.

Time Shifting

jika

x[n]FS←−→ ak,

maka

x[n− n0]FS←−→ e−jk(2π/N)n0ak.

Frequency Shifting

jika

x[n]FS←−→ ak,

maka

ejM(2π/N)nx[n]FS←−→ ak−M .

Time Reversal

Jika

x[n]FS←−→ ak,

maka

x[−n] FS←−→ a−k.

Multiplikasi

Jika

x[n]FS←−→ ak,

y[n]FS←−→ bk,

maka

x[n]y[n]FS←−→ dk =

∑l=〈N〉

albk−l.

Diferensiasi Pertama

Jika

x[n]FS←−→ ak,

maka

x[n]− x[n− 1]FS←−→ (1− e−jk(2π/N))ak.

Relasi Parseval untuk Sinyal Periodik Waktu Diskrit

Relasi Parseval diberikan oleh persamaan

1

N

∑n=〈N〉

|x[n]|2 =∑n=〈N〉

|ak|2 . (62)

Persamaan ruas kiri dari relasi Parseval adalah daya rata-rata dari satu periode sinyal periodik x[n]. |ak|2adalah dayarata-rata dari harmonik ke-k dari komponen x[n]. Jadi se-kali lagi, relasi Parseval menyatakan bahwa daya rata-ratadari sinyal periodik adalah sama dengan jumlah dari dayarata-rata dari semua komponen harmoniknya. Pada wak-tu diskrit, tentu saja hanya terdapat N buah komponenharmonik yang berbeda.

6 Sistem LTI dan Filter 10

5.4 Contoh Soal

Misalkan kita diberikan beberapa fakta tentang sinyal x[n]:

1. x[n] adalah periodik dengan N = 6.

2.∑5n=0 x[n] = 2.

3.∑7n=2(−1)nx[n] = 1.

4. x[n] memiliki daya minimum per periode di antara se-kumpulan sinyal yang memenuhi tiga kondisi sebelum-nya.

6 Sistem LTI dan Filter

6.1 Sistem LTI dan Respon Frekuensi

Kita telah melihat bahwa representasi deret Fourier dapatdigunakan untuk membentuk setiap sinyal periodik waktudiskrit dan semua sinyal periodik waktu kontinu yang pen-ting. Kita juga telah melihat respon sistem LTI kepadakombinasi linear dari sinyal kompleks eksponensial mem-berikan bentuk yang sederhana. Contohnya untuk waktukontinu, jika x(t) = est adalah input kepada sistem LTIwaktu kontinu, maka menghasilkan output y(t) = H(s)est,dengan

H(s) =

� +∞

−∞h(τ)e−sτdτ, (63)

dengan h(t) adalah respon impuls dari sistem LTI.Demikian juga sdengan sistem waktu diskrit, jika x[n] =

zn adalah input kepada sistem LTI waktu diskrit, makamenghasilkan output y[n] = H(z)zn, dengan

H(z) =

+∞∑k=−∞

h[k]z−k, (64)

dengan h[n] adalah respon impuls dari sistem LTI.H(s) dan H(z) dide�nisikan sebagai fungsi sistem dari

sistem yang bersesuaian, dengan s dan z adalah bilangankompleks umum. Untuk sinyal dan sistem waktu kontinu,kita akan melihat kasus khusus untuk Re{s} = 0, sehinggas = jω, sehingga est adalah dalam bentuk ejωt. Ini ada-lah input kompleks eksponensial pada frekuensi ω. Fungsisistem adalah dalam bentuk s = jω, H(jω) dilihat seba-gai fungsi dari ω dide�nisikan sebagai respon frekuensi darisistem dan dituliskan dengan

H(jω) =

� +∞

−∞h(t)e−jωtdt. (65)

Dengan cara yang sama untuk sinyal dan sistem waktudiskrit, kita akan melihat kasus khusus untuk nilai z de-ngan |z| = 1, sehingga z = ejω, sehingga zn adalah dalambentuk ejωn. Ini adalah input kompleks eksponensial padafrekuensi ω. Fungsi sistem adalah dalam bentuk z = ejω,H(ejω) dilihat sebagai fungsi dari ω dide�nisikan sebagairespon frekuensi dari sistem dan dituliskan dengan

H(ejω) =

+∞∑n=−∞

h[n]e−jωn. (66)

Respon sebuah sistem LTI terhadap sinyal kompleks eks-ponensial dengan bentuk ejωt (untuk waktu kontinu) atauejωn (untuk waktu diskrit) adalah sangat sederhana untukmengekspresikan respon frekuensi dari sistem. Lebih jauhlagi karena berlaku sifat superposisi dari sistem LTI, makakita dapat mendapatkan respon sistem LTI dengan kombi-nasi linear dari sinyal kompleks eksponensial.Untuk kasus waktu kontinu, misalkan x(t) adalah sinyal

periodik dengan representasi deret Fourier diberikan oleh

x(t) =

+∞∑k=−∞

akejkω0t. (67)

Misalkan kita menggunakan sinyal ini sebagai input da-ri sistem LTI dengan respon impuls h(t). Karena setiapsinyal kompleks eksponensial pada persamaan (67) adalaheigenfunction dari sistem, maka output dari sistem adalah

y(t) =

+∞∑k=−∞

akH (jkω0) ejkω0t. (68)

Maka output y(t) juga adalah periodik dengan frekuensifundamental yang sama seperti x(t). Lebih lagi, jika {ak}adalah kumpulan koe�sien deret Fourier untuk input x(t),maka {akH (jkω0)} adalah kumpulan koe�sien deret Fou-rier untuk output y(t). Jadi, impak dari sistem LTI waktukontinu adalah melakukan modi�kasi secara individual se-tiap dari koe�sien Fourier dari input melalui multiplikasidengan nilai dari respon frekuensi pada frekuensi yang ber-sesuaian.Untuk kasus waktu diskrit, misalkan x[n] adalah sinyal

periodik dengan representasi deret Fourier diberikan oleh

x[n] =∑k=〈N〉

akejk(2π/N)n. (69)

Misalkan kita menggunakan sinyal ini sebagai input da-ri sistem LTI dengan respon impuls h[n]. Karena setiapsinyal kompleks eksponensial pada persamaan (69) adalaheigenfunction dari sistem, maka output dari sistem adalah

y[n] =∑k=〈N〉

akH(ejk(2π/N)

)ejk(2π/N)n. (70)

Maka output y[n] juga adalah periodik dengan frekuensifundamental yang sama seperti x[n]. Lebih lagi, jika {ak}adalah kumpulan koe�sien deret Fourier untuk input x[t],maka {akH

(ejk(2π/N)

)} adalah kumpulan koe�sien deret

Fourier untuk output y[t]. Jadi, impak dari sistem LTIwaktu diskrit adalah melakukan modi�kasi secara indivi-dual setiap dari koe�sien Fourier dari input melalui mul-tiplikasi dengan nilai dari respon frekuensi pada frekuensiyang bersesuaian.

6.2 Contoh Soal Sistem LTI

Misalkan sebuah sinyal

x(t) =

+3∑k=−3

akejk2πt,

dengan

7 Contoh Filter CT dan DT LCCDE untuk sinyal periodik 11

a0 = 1

a1 = a−1 = 14

a2 = a−2 = 12

a3 = a−3 = 13

adalah input kepada sistem LTI dengan respon impuls

h(t) = e−tu(t).

Untuk menghitung koe�sien deret Fourier dari sinyal ou-tput y(t), maka kita harus menghitung respon frekuensi:

H(jω) =

� ∞0

e−τe−jωτdτ

H(jω) =1

1 + jω. (71)

dengan menggunakan persamaan (68) dan persamaan(71), dengan fakta ω0 = 2π, maka kita memperoleh

y(t) =

+3∑k=−3

bkejk2πt,

dengan bk = akH (jk2π), sehingga

b0 = 1

b1 =1

4

(1

1 + j2π

), b−1 =

1

4

(1

1− j2π

),

b2 =1

2

(1

1 + j4π

), b−2 =

1

2

(1

1− j4π

),

b3 =1

3

(1

1 + j6π

), b−3 =

1

3

(1

1− j6π

).

6.3 Filter Frekuensi Shaping

Sistem LTI yang dapat mengubah bentuk dari spektrum se-ringkali dide�nisikan sebagai �lter frekuensi shaping. Satuaplikasi dari �lter frekuensi shaping adalah seing ditemukanpada sistem audio. Contohnya pada sistem ini, �lter LTImemungkinkan pengguna untuk melakukan modi�kasi darijumlah relatif dari energi frekuensi rendah (bass) dan energifrekuensi tinggi (treble).Kelas lain dari �lter frekuensi shaping sering ditemui di

mana output dari sistem adalah turunan dari input, yaituy(t) = d x(t)/dt. Dengan x(t) dalam bentuk x(t) = ejωt,akan diperoleh y(t) = jωejωt, sehingga diperoleh responfrekuensi adalah

H(jω) = jω. (72)

Dari respon frekuensi �lter diferensiator ini, maka sinyalkompleks eksponensial ejωt akan mendapatkan penguatanlebih besar untuk nilai ω yang lebih besar. Filter ini digu-nakan untuk memperkuat variasi yang cepat atau transisidari sinyal. Salah satu kegunaan dari �lter diferensiator iniadalah sering digunakan untuk memperbaiki edge dalam pe-ngolahan gambar.

6.4 Filter Selektif Frekuensi

Filter selektif frekuensi adalah sebuah kelas �lter yang dibu-at dengan tujuan secara akurat atau mendekati melewatkanbeberapa band frekuensi dan meredam band lainnya. Peng-gunaan dari �lter selektif frekuensi muncul pada beberapasituasi, contohnya jika derau pada sebuah rekaman audioberada pada band frekuensi yang lebih tinggi dibandingkandengan musik atau suara pada rekaman, maka derau dapatdihilangkan dengan �lter selektif frekuensi.

Filter low pass adalah �lter yang melewatkan frekuensirendah dan melakukan peredaman pada frekuensi yang le-bih tinggi. Filter high pass adalah �lter yang melewatkanfrekuensi tinggi dan melakukan peredaman pada frekuensirendah. Filter band pass adalah �lter yang melewatkan se-buah band frekuensi dan melakukan peredaman pada freku-ensi yang lebih tinggi dan lebih rendah dari band frekuensitersebut. Frekuensi cut o� adalah yang mende�nisikan ba-tasan frekuensi yang dilewatkan (frekuensi pass band) danfrekuensi yang diredam (frekuensi stop band).

Filter selektif frekuensi ideal adalah �lter yang secaraakurat melewatkan sinyal kompleks eksponensial tanpa dis-torsi pada pass band dan meredam secara lengkap sinyalpada stop band. Filter ideal berguna untuk mendeskripsik-an kon�gurasi sistem ideal untuk berbagai aplikasi, namun�lter ini tidak dapat direalisasikan sehingga kita hanya bisamelakukan aproksimasi (pendekatan) dari �lter ideal ini.

7 Contoh Filter CT dan DT LCCDE untuksinyal periodik

7.1 Filter RC Lowpass CT

Rangkaian elektrik banyak digunakan untuk mengimple-mentasikan operasi pem�lteran waktu kontinu. Satu contohpaling sederhana adalah rangkaian seri RC order satu se-perti diperlihatkan pada gambar,di mana sumber teganganvs(t) adalah input dari sistem. Rangkaian ini dapat di-gunakan untuk menghasilkan baik operasi �lter low passmaupun �lter high pass, bergantung pada apa yang kitaambil sebagai sinyal output. Misalkan kita mengambil te-gangan kapasitor vc(t) sebagai output. Tegangan outputini berhubungan dengan tegangan input melalui persamaandiferensial linear dengan koe�sien konstan

RCdvc(t)

dt+ vc(t) = vs(t). (73)

+− vs(t)

+ −vr(t)

+

−

vc(t)

Asumsikan sistem relaks, sistem dengan persamaan (73)adalah sistem LTI. Untuk menentukan respon frekuensiH(jω), dengan de�nisi, dengan tegangan input vs(t) = ejωt,

7 Contoh Filter CT dan DT LCCDE untuk sinyal periodik 12

kita akan memiliki tegangan output vc(t) = H(jω)ejωt. Jikakita mensubsitusikannya, kita akan memperoleh

RCd

dt

[H(jω)ejωt

]+H(jω)ejωt = ejωt. (74)

Maka akan diperoleh

H(jω) =1

1 +RCjω. (75)

Besar dari respon frekuensi H(jω) diperlihatkan padagambar di bawah. Perhatikan untuk frekuensi-frekuensi didekat ω = 0 maka |H(jω)| ≈ 1, sedangkan untuk harga ωyang lebih besar (positif atau negatif), maka |H(jω)| agaklebih kecil dan kenyataannya tetap berkurang selama |ω|bertambah. Dengan demikian, �lter RC yang sederhana ini(dengan vc(t) sebagai output) merupakan �lter low pass nonideal.

ω

|H(ω)|

−1/RC 1/RC

1

0

ω

∠H(ω)

−1/RC1/RC

π/2

−π/2

π/4

−π/4

Tanggapan impuls dari sistem yang digambarkan olehpersamaan (73) adalah

h(t) =1

RCe−t/RCu(t), (76)

dan respon terhadap sinyal step adalah

s(t) =[1− e−t/RC

]u(t), (77)

dengan digambarkan pada gambar berikut (dengan τ =RC).

t

h(t)

1τ

1τe

τ

t

s(t)

1

1− 1e

τ

7.2 Filter RC Highpass CT

Sebagai rangkaian alternatif dalam memilih tegangan kapa-sitor sebagai output dalam rangkaian RC, kita dapat memi-lih tegangan resistor. Dalam kasus ini persamaan diferensialyang menghubungkan input dengan output adalah

RCdvr(t)

dt+ vr(t) = RC

dvs(t)

dt. (78)

Asumsikan sistem relaks, sistem dengan persamaan (78)adalah sistem LTI. Untuk menentukan respon frekuensiG(jω), dengan de�nisi, dengan tegangan input vs(t) = ejωt,kita akan memiliki tegangan output vr(t) = G(jω)ejωt. Jikakita mensubsitusikannya, kita akan memperoleh

RCdG(jω)ejωt

dt+G(jω)ejωt = RC

dejωt

dt. (79)

Maka akan diperoleh

G(jω) =jωRC

1 + ωRC. (80)

Besar dari respon frekuensi G(jω) diperlihatkan padagambar di bawah.

ω

|H(ω)|

−1/RC 1/RC

1

0

ω

∠H(ω)

−1/RC1/RC

π/2

−π/2

π/4

−π/4

Tanggapan step dari �lter high pass adalah

s(t) = e−t/RCu(t), (81)

dengan digambarkan pada gambar berikut (dengan τ =RC).

7 Contoh Filter CT dan DT LCCDE untuk sinyal periodik 13

t

s(t)

1

1e

τ = RC

7.3 Filter DT rekursif orde 1

Filter waktu diskrit orde 1 adalah sistem LTI yang digam-barkan dengan persamaan di�erence orde satu

y[n]− ay[n− 1] = x[n] (82)

Dari sifat fungsi eigen sinyal kompleks eksponensial, kitamengetahui jika x[n] = ejωn, maka y[n] = H(ejω)ejωn, de-ngan H(ejω) adalah respon frekuensi dari sistem. Subtitusike persamaan (82), maka kita memperoleh

H(ejω)ejωn − aH(ejω)ejω(n−1) = ejωn, (83)

atau

[1− ae−jω]H(ejω)ejωn = ejωn, (84)

sehingga diperoleh

H(ejω) =1

1− ae−jω(85)

Kita melihat bahwa, untuk a bernilai positif, persama-an di�erence berlaku seperti �lter low pass dengan atenuasiminimal pada frekuensi rendah di dekat ω = 0 dan atenuasibertambah ketika kita menambah ω menuju ω = π. Untuk abernilai negatif, persamaan di�erence berlaku seperti �lterhigh pass melewatkan frekuensi rendah di dekat ω = π danmeredam frekuensi rendah, sedangkan untuk setiap bilang-an positif a < 1, sistem mendekati �lter low pass. Untuksetiap bilangan negatif a > −1, sistem mendekati �lter hi-gh pass, di mana |a| mengendalikan ukuran dari passband�lter, passband melebar ketika |a| bertambah.

7.4 Filter DT non-rekursif

Bentuk umum dari �lter waktu diskrit non rekursif (�lterFinite Impulse Response) adalah

y[n] =

M∑k=−N

bkx[n− k]. (86)

Output y[n] adalah nilai rata-rata terbobot dari (N+M+1) buah x[n] dari x[n−M ] sampai x[n+N ], dengan bobotdiberikan oleh koe�sien bk. Sistem dengan bentuk ini dapatdigunakan untuk berbagai macam kebutuhan pem�lteran,termasuk �lter selektif frekuensi.

Satu jenis �lter yang sering digunakan adalah �lter mo-ving average, di mana output y[n] untuk setiap n, anggapn0 merupakan nilai rata-rata dari harga x[n] di sekitar n0.

Pustaka

[OCW] MIT Opencourseware,http://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-003-signals-and-systems-spring-2010/

[OpWi97] A. V. Oppenheim and A. S. Willsky (with SHamid Nawab), Signals & Systems (Second Edi-tion), Prentice-Hall International, 1997. ISBN0-13-651175-9