bab 3

BAB 1

BAB 3Ukuran Tendesi SentralUkuran tendensi sentral atau ukuran gejala pusat adalah suatu ukuran yang digunakan untuk mengetahui kumpulan data mengenai sampel atau populasi yang disajikan dalam tabel atau diagram, yang dapat mewakili sampel atau populasi.

Ada beberapa macam tendensi sentral, yaitu mean (rata-rata), modus, kuartil, desil dan persentil.

Bila ukuran itu diambil dari sampel disebut statistik dan jika ukuran itu diambil dari populasi disebut parameter.

A. Rata-Rata (Mean) (lambangnya M)Dalam kegiatan penelitian, rata-rata (mean) mempunyai kedudukan yang penting dibandingkan ukuran tendesi sentral lainnya. Hampir setiap kejadian penelitian ilmiah selalu menggunakan rata-rata (mean).

1. Pengertian Mean

Mean adalah jumlah keseluruhan angka dibagi dengan banyaknya angka.

Contoh : nilai tafsir dari 10 mahasiswa PBI sebagai berikut:

8 6 6 7 8 7 7 8 6 6

jumlah nilai tafsir tersebut adalah : 69

banyaknya nilai adalah 10

69jadi meannya adalah = = 6,9 10Jika mean dilambangkan dengan M, jumlah nilai dilambangkan dengan X dan N adalah banyaknya nilai maka rumus mencari mean adalah: X

M =

N

Rumus ini hanya dapat digunakan untuk mencari mean yang seluruh skornya berfrekuensi satu.

2. Cara Mencari Mean

a. Cara mencari mean untuk data tunggal sebagian atau seluruh skornya berfrekuensi lebih dari satu

fX

rumusnya : MX =

N

Contoh: Mencari rata-rata dari nilai bahasa Ingris siswa kelas I SLTP

Langkah 1 : Menyiapkan tabel kerja

Tabel III.1

Tabel Perhitungan Mencari Mean Nilai Bahasa Inggris Kelas I SLTPNilai (X)ffX

8

7

6

57

20

10

356

140

60

15

Jumlah40 = N271 = fX

Sehingga mean (rata-rata) dari nilai bahasa Inggris untuk siswa kelas I adalah:

fX 271

MX = = = 6,8

N 40

b. Cara mencari mean data kelompok

Cara mencari mean data kelompok ada dua, yaitu cara panjang dan cara pendek. Misalnya kita akan mencari mean (nilai rata-rata) hasil ujian Bahasa Inggris dari 250 orang mahasiswa suatu perguruan tinggi. Setelah data ditabulasikan nampak seperti ini:

Tabel III.2Nilai Ujian Bahasa Inggris

250 Mahasiswa suatu Perguruan Tinggi

Interval NilaiF

80 84

75 79

70 74

65 69

60 64

55 59

50 54

45 49

40 44

35 - 3911

24

30

48

55

31

19

17

10

5

Jumlah250 = fX

Sumber : data fiktif

Untuk mencari meannya dapat kita tempuh dengan dua cara:

1. dengan cara panjang

pertama adalah menyiapkan tabel kerja:



Interval NilaifXfX

80 84

75 79

70 74

65 69

60 64

55 59

50 54

45 49

40 44

35 - 3911

24

30

48

55

31

19

17

10

582

77

72

67

62

57

52

47

42

37 902

1.848

2.160

3.216

3.410

1.767

988

799 420 185

Jumlah250 = N15.695 = fX


- kolom 1 dan 2 dari distribusi tabel III.2- kolom 3 (X) adalah nilai tengah setiap intervalnya

misalnya pada baris pertama interval 80 84 nilai tengahnya adalah:

80 + 84 164

= = 82 demikian seterusnya

2 2

- kolom 4 (fX) adalah jumalah dari perkalian kolom 2 (f) dengan kolom 3 (X), misalnya pada baris pertama 11 x 82 = 902 dan seterusnya.Setelah itu jumlahkan kebawah sehingga diperoleh fX = 15.695

Dari tabel diatas kita peroleh :

fX = 15.695 N = 250

Kemudian masukan kedalam rumus:

fX 15.695

MX = = = 62,78

N 250

Jadi meannya adalah 62,78

2. dengan cara pendek

fX

rumusnya adalah: MX = M + i

N

Ket. : M = mean terkaan

i = interval

fX = jumlah hasil perkalian fXLangkah pertama yang harus kita lakukan adalah menyiapkan tabel perhitungan:



Interval NilaifXXfX

80 84

75 79

70 74

65 69

60 64

55 59

50 54

45 49

40 44

35 - 3911

24

30

48

55

31

19

17

10

582

77

72

67

62M

57

52

47

42

374

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-544

72

60

48

0

-31

-38

-51

-40

-25

Jumlah250 = N39 = fX


- kolom 1 dan kolom 2 dari tabel distribusi tabel III.2

- kolom 3 (X) : Nilai tengah masing-masing interval, lalu menentukan mean terkaan (M) dengan cara menerka salah satu nilai tengahnya (sebaiknya dipilih frekuensi yang tertinggi).

- kolom 4 (x) yang sebaris dengan mean terkaan M ditempat angka nol (0), selanjutnya secara berurutan keatas dibuat 1, 2, 3 dan 4. Sedangkan kebawah diabuat -1, -2, -3, -4 dan -5

- kolom 5 (fx) adalah jumlah perkalian dari f (kolom 2) dengan x (kolom 4) misalya pada baris pertama 11 x 4 = 44 demikian seterusnya. Selanjutnya dijumlahkan kebawah sehingga diperoleh fx = 39

dari tabel diatas diperoleh:

M = 62

i = 5

fx = 39

N = 250

Selanjutnya dimasukan kedalam rumus:

fX

MX = M + i

N

39 MX = 62 + 5 250 MX = 62,78

Untuk menyakinkan, hitunglah mean dari data diatas dengan mean terkaan (M) = 57 dan 67Peggunaan mean

1. Mean digunakan bila distribusi frekuensi bersifat normal (simetris)

2. Bila menganalisa data menghendaki tingkat kepercayaan yang maksimal

3. Mean juga digunakan untuk mencari standar deviasi, deviasi rata-rata, komparasi dan lain-lainB. Median (lambangnya Mdn, Me atau Mn)Median adalah suatu nilai yang membagi distribusi data kedalam dua bagian yang sama besar atau suatu nilai yang membagi 50% frekuensi bagian atas dan 50% frekuensi bagian bawah sehingga frekuensi yang terdapat diatas sama besar dengan frekuensi bagian bawah. Oleh karena itu median dari sejumlah skor tergantung pada frekuensinya bukan pada nilai-nilainya.

1. cara mencari median untuk data tunggal frekuensinya sama dengan 1

a. cara mencari median dengan N (banyak bilagannya) genapxf

8

7

6

5

4

3

1

1

1

1

1

1

b. cara mencari median dengan N (banyaknya bilangan) ganjil

xf

8

7

6

5

4

3

2

1

1

1

1

1

1

1

2. cara mencari median untuk data tunggal yang sebagian atau seluruh skornya berfrekuensi lebih dari satu

Misalnya mencari median nilai matematika dari 100 siswa SMA, setelah ditabulasikan tampak dalam tabel seperti dibawah ini:

Tabel III.5

Distribusi Frekuensi Nilai Matematika Siswa SMA

Nilaif

85

80

75

70

65

60

55

50

45

5

7

12

14

25

16

10

8

3

jumlah100 = N

Langkah pertama adalah menyiapkan tabel distribusi frekuensi kumulatif.Tabel III.6Distribusi Frekuensi Kumulatif

Nilai Matematika Siswa SMA

Nilaiffkafkb

85

80

75

70

65

60

55

50

45

5

7

12

14

25fi16

10

8

35122438fka637989971001009588766237fkb21113

jumlah100 = N

Untuk mencari media dengan menggunakan rumus: ( N) (fka)

Mdn = u -

fi ( N) (fkb)

Mdn = i +

fidimana:

i: batas bawah nyata yang mengandung median

u: batas atas nyata yang mengandung median

fka: frekuensi kumulatif diatas skor yang mengandung median

fkb: frekuensi kumulatif dibawah skor yang mengandung median

fi: frekuensi asli

N: jumlah frekuensi

Rumus I

Nilai (X)= 65

f= 25

fka= 38 (nilai diatas fka = 63)

U= 65 + 0,5 = 65,5

Sehingga:

( N) (fka)

Mdn = u -

fi (.50) (38)

Mdn = 65,5 -

25

= 65,5 0,48

= 65,02

Rumus II

Nilai (X)= 65

f= 25

fkb= 37 (nilai diatas fkb = 62)

i= 65 - 0,5 = 64,5

sehingga ( N) (fkb)

Mdn = i +

fi (.50) (37)

Mdn = 64,5 +

25

= 64,5 + 0,52

= 65,02 (hasilnya sama dengan rumus I)

3. Cara mencari median untuk data kelompok

Cara mencari median untuk data kelompok pada prinsipnya sama dengan mencari median nilai untuk data tunggal.

Langkah pertama adalah menyiapkan tabel distribusi frekuensi kumulatif



Interval Nilaiffkafkb

80 84

75 79

70 74

65 69

60 64

55 59

50 54

45 49

40 44

35 - 3911

24

30

48

55 fi

31

19

17

10

511

35

65

113 fka168

199

218

235

245

250250

239

215

185

137

82 fkb51

32

15

5

Jumlah250 = N


Ada dua rumus yang dapat digunakan: (.N fka)

Mdn = u - . i (rumus I)

fi ( .N fkb)

Mdn = I + . i (rumus II) fimencari:Penggunaan median

Median digunakan apabila:

1. kita tidak memiliki waktu yang cukup untuk menghitung mean (rata-rata)nya

2. kita ingin mencari kata-kata secara kasar

3. bila distribusi frekuensi bersifat a-simetris (tidak normal)

4. bila data tidak dianalisa secara lebih mendalam

C. Modus (lambangnya Mo)

Modus atau mode adalah skor atau nilai yang mempunyai frekuensi paling banyak.1. Cara mencari modus data tunggal

Cara mencari mode data tunggal sangat mudah yaitu dengan cara melihat atau memeriksa skor atau nilai yang mempunyai frekuensi yang paling banyak.

Misal kita mau mencari nilai matematika siswa SMU. Jika seandainya data itu belum disusun hendaknya data itu ditabukasikan dalam bentuk distribusi frekuensi, hal ini guna memudahkan.

Contoh: Tabel III.8Distribusi Frekuensi Nilai Matematika Siswa SMUNilaif

85

80

75

70

65

60

55

50

45

5

7

12

14

25

16

10

8

3

jumlah100 = N

Mode atau modus diatas adalah 65, yang berarti bahwa nilai terbanyak dalam pelajaran matematika di SMU adalah nilai 65 sebanyak 25 siswa.

2. Cara mencari modus data kelompok

Cara mencari mode atau modus data kelompok ada dua rumus yang dapat dipergunakan, yaitu:

Rumus I :

fa Mo = I + x i

fa + fb Rumus II :

fb Mo = u - x i

fa + fb

Keterangan:

Mo= Modus

I= batas bawah nyata yang mengandung modus

u= batas atas nyata yang mengandung modus

fa= frekuensi yang terletak diatas frekuensi yang mengandung modus

fb= frekuensi yang terletak dibawah frekuensi yang mengandung modusi= interval

Misal kita akan mencari modus nilai ujian Bahasa Inggris 250 mahasiswa suatu perguruan tinggi. Untuk itu siapkan tabel distribusi frekuensinyaContoh: Tabel III.9

Nilai Ujian Bahasa Inggris


Interval Nilaif

80 84

75 79

70 74

65 69

60 64

55 59

50 54

45 49

40 44

35 - 3911

24

30

48

55

31

19

17

10

5

Jumlah250 = N


Dari tabel diatas dapat kita ketahui:

fa= 48

fb= 31

I= 60 0,5 = 59,5

u= 64 + 0,5 = 64,5

i= 5

selanjutnya subsitusikan ke dalam rumus:

Rumus I :

fa

Mo = I + x i

fa + fb

48 Mo = 59,5+ x 5 48 + 31

Mo = 59,5 + ( 0,608 x 5 )

Mo = 62,54 Rumus II :

fb

Mo = u - x i

fa + fb

31 Mo = 64,5 - x 5

48 + 31

Mo = 64,5 ( 0,392 x 5 )

Mo = 62,54 ( hasilnya sama)Penggunaan ModusModus digunakan apabila ingin memperoleh ukuran rata-rata dalam waktu singkat dan meniadakan faktor ketelitian.3 bilangan

3 bilangan

3 bilangan

Median

Median

3 bilangan

F terbanyak

fa

f terbanyak

fb

bab 3

Documents