bab 1 s.d bab 4x

1. PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA A. Pangkat Rasional

1) Pangkat negatif dan nol

Misalkan a ∈ R dan a ≠ 0, maka:

a) a–n = na

1atau an =

na−1

b) a0 = 1

2) Sifat–Sifat Pangkat

Jika a dan b bilangan real serta n, p, q bilangan bulat positif, maka berlaku:

a) ap × aq = ap+q

b) ap : aq = ap–q

c) ( )qpa = apq

d) ( )nba× = an×bn

e) ( )n

n

b

an

ba =

SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2013 IPS

Bentuk sederhana dari �� = ….

A. ��

B. ��

C. ��

D. ��

E. ��

Jawab : C

Untuk mengerjakannya cukup pindah tempat

pangkat kecil digabung dengan yang lebih besar

• Ingat : jika pindah tempat maka tanda akan

berubah

�� =

��

= ��

= �� ……………………………(C)

SIAP UN IPS 2014 Pangkat, Akar, dan Logaritma http://www.soalmatematik.com

Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN

2



A. −3�� B. −3�� C. �� D. 3�� E. ��

Jawab : E




berubah

�� =

��

= �6+6

= �12 …………………………..(E)

3. UN 2013 IPS

Bentuk sederhana dari �� ! = ….

A. ��

��!

B. ��

��!��

C. ��

��!��

D. ��

��!�

E. ��!��

Jawab : B




berubah

�� ! =

��·��!��

= ��

��!��

= ��

��!�� ………………………(B)

4. UN 2013 IPS


A. 2(�$)&

B. ��!

C. ��!�

D. ��!��

E. ��!��

Jawab : E




berubah

�� =

�·��

= ��

��

= ��!�� ……………………….(E)



3


Bentuk sederhana dari '(��)��(��) = ….

A. � *�+,-�

B. � *�,-�+

C. � *��,-�+

D. ��*�+,-�

E. ��*��,-�+

Jawab : B




berubah

'(��)��(��) =

'(��(�'· ))�

= (�� ) �

= (

)�� = � *�,-�+ ……………(B)

6. UN 2013 IPS

Bentuk sederhana dari �� = …

A. ��

B. ��

C. ��

D. ��

E. �!��

Jawab : D




berubah

�� =

��

= ��

= �� ……………………..(D)

7. UN 2013 IPS

Bentuk sederhana dari /�0��1

/��0��2�� = ….

A. 3��4�� B. 3�'4�� C. 3�'4� D. 3��4�� E. 3��4�

Jawab : A




berubah

/�0��1/��0��2�� =

/�/�0��0�2��2��

= 318+3412+4

= 321416………………..(A)



4


Bentuk sederhana dari ��! = ….

A. ��

B. ��

C. ��

D. ��(��)�

E. 4b4c2

Jawab : D




berubah

��! =

�· ��!��

= ��

��!��

= �� =

��(��)� ………………..(D)

9. UN 2012 IPS/A13

Bentuk sederhana dari

2

23

35

4

2

−

−

yx

yxadalah ….

A. 16

10

4x

y

B. 16

2

2x

y

C. 4

2

4x

y

D. 16

10

2x

y

E. 16

2

4x

y

Jawab : A




berubah

2

23

35

4

2

−

−

yx

yx=

2

53

23

22

2

⋅⋅⋅⋅⋅

xx

yy

=

2

53

23

2

+

+

x

y

=

2

8

5

2

x

y=

16

10

4x

y…………….(A)

10. UN 2012 IPS/C37


2

23

32

2

3

−

−

yx

yxadalah ….

A. 2

2

2

3

x

y

B. 2

2

2

3

y

x

C. 4

9x2 y2

D. 4

9 x 2− y2

E. 4

9x2 y 2−

Jawab : C

2

23

32

2

3

−

−

yx

yx

22332

2

3

⋅⋅⋅⇔ −− yyxx

22332

2

3

⋅⇔ −+− yx

2

2

3

⋅⇔ yx

4

9⇔ x2 y2 ……………….….………(C)



5

SOAL PENYELESAIAN 11. UN 2012 IPS/B25


1

2

431

2

3−

−

−−

ba

baadalah

….

A. 5

5

3

2

b

a

D.

5

56

b

a

B. 5

5

2

3

b

a

E.

5

56

a

b

C. 5

5

6b

a

Jawab : D

1

2

431

2

3−

−

−−

ba

ba=

1

431

2

3

2

−−

−

ba

ba

= 23

4132

aa

bb

⋅⋅⋅⋅

= 23

1432+

+⋅⋅a

b

=5

56

a

b………………….(D)

12. UN 2012 IPS/D49


2

2

32

4

2−−

xy

yxadalah

….

A. xy

1

B. xy2

1

C. 102 yx

D. 24xy

E. 2

104

x

y

Jawab : E

2

2

32

4

2−−

xy

yx

2

32

2

2

4

⇔

−yx

xy

2

12

32

2

4

⋅⋅⇔

−xx

yy

2

12

322

⇔

−

+

x

y=

252

x

y

= 2

104

x

y

……….……(E)

13. UN IPS 2011 PAKET 12


1

19

55

32

2−

−

−

ba

baadalah

… a. (2ab)4 b. (2ab)2 c. 2ab d. (2ab)–1 e. (2ab)–4 Jawab : a

1

19

55

32

2−

−

−

ba

ba=

55

19

2

32−

−

ba

ba

= 2

32(a9 – 5)(b – 1 + 5)

= 24(a4)(b4) = (2ab)4 …………………….(a)



6

SOAL PENYELESAIAN 14. UN IPS 2011 PAKET 46


3

68

45

5

2−

−

−

yx

yxadalah

…

a. y

x

125

8 3 d.

6

9

8

125

y

x

b. 6

9

125

8

y

x e.

6

9

125

625

y

x

c. 9

6

625

16

x

y Jawab : d

3

68

45

5

2−

−

−

yx

yx=

3

45

68

2

5

−

−

yx

yx

=

3

64

58

2

5

+−

−

y

x

=

3

2

3

2

5

y

x

= 63

93

2

5

y

x=

6

9

8

125

y

x…………..(d)

15. UN IPS 2010 PAKET A

Bentuk sederhana dari 323

242

6

3−

−

yx

yx adalah …

a. 21 x2y

b. 181 x2y

c. 181 x6y

d. 241 x2y

e. 241 x6y

Jawab : d

323

242

6

3−

−

yx

yx =

323

242

)32(

3−

−

× yx

yx

= 3233

242

32

3−

−

× yx

yx

= 233

2324

32 −

−−

×yx

= 38

2

×yx

= 241 x2y ………………..(d)

16. UN IPS 2010 PAKET B


522)(

nm

nm

⋅⋅

−

− adalah

…

a. mn d. n

m2

b. n

m e. m2n

c. m

n

Jawab : a

45

522)(

nm

nm

⋅⋅

−

−=

45

54

nm

nm

⋅⋅

−

−

= m –4 × m5 × n5 × n –4

= m 5 – 4 × n5 – 4

= mn …………………………(a)

17. UN IPS 2009 PAKET A/B

Bentuk sederhana dari 233322 )12(:)6( −− aa adalah … a. 2 – 1 b. 2 c. 2a12 d. 26a12 e. 2–6a–12 Jawab : d

233322 )12(:)6( −− aa

⇔ 233322 ))62(()6( aa ⋅×−

⇔ 233366 )62()6( aa ⋅⋅×⋅−

⇔ 66666 626 aa ⋅⋅⋅⋅−

⇔ 66666 26 ++− ⋅⋅ a = 1262 a ……………(d)



7

SOAL PENYELESAIAN 18. UN IPS 2008 PAKET A/B

Jika a = 32 dan b = 27, maka nilai dari

31

51

ba + adalah …

a. 51

b. 61

c. 5 d. 6 e. 8 Jawab : c

• a = 32 = 25

• b = 27 = 33

• 31

51

ba + = ( ) ( )31

51

35 32 +

= 2 + 3

= 5 ……………………………(c)

19. UN 2012 BHS/A13 Jika a ≠ 0, dan b ≠ 0, maka bentuk

321

243

)2(

)8(

ba

ba−

A. 4 a8 b14 B. 4 a8 b2 C. 4 a9 b14 D. 8 a9 b14 E. 8 a9 b2

Jawab : E

321

243

)2(

)8(

ba

ba−

⇔633

862

2

8

ba

ba−

⇔8

88 ⋅(a6 · a3 · b8 · b–6)

⇔ 8 a6+3 · b8 – 6 = 8 a9 b2 ……………………(E)

20. UN 2012 BHS/B25 Jika a ≠ 0 dan b ≠ 0, maka bentuk sederhana

dari 142

231

)3(

)2(−−

−

ba

ba adalah …

A. 12 a–4 b10 B. 12 a4 b–10 C.

32 a–4 b–8

D. 31 ab10

E. 43 a–4 b8

Jawab : A

142

231

)3(

)2(−−

−

ba

ba

⇔ )3()2( 42231 baba −−

⇔ 22a–2·b6·3· a–2

·b4

⇔ 4·3· a–2· a–2

· b6·b4

⇔ 12· a–2+ (–2)· b6+4

⇔ 12 a–4 b10………………..……………..(A)

21. UN 2012 BHS/C37


132

)2(

)4(−−−

−

qp

qpadalah

…

A. 114

1

qp

B. 11441 −qp

C. 11441 −− qp

D. p4q11 E. p–4q11 Jawab : A

241

132

)2(

)4(−−−

−

qp

qp

⇔ 32

241

4

)2(

qp

qp −−

⇔ 32

822

4

2

qp

qp −−

⇔ 8322

1

4

4

qqpp ⋅⋅⋅×

⇔ 8322

1++ ⋅ qp

= 114

1

qp…………………(A)



8

SOAL PENYELESAIAN 22. UN BHS 2011 PAKET 12

Bentuk sederhana dari ( )

( )33

2233

−

−−

pq

qpadalah …

a. 91 p5 q3

b. 9p5 q3 c. 3p3 q5 d. 9p3 q5

e. 91 p3 q5

Jawab : e

( )( )33

2233

−

−−

pq

qp=

93

4623−

−−

qp

qp

= 2

9436

3

+−− qp

= 91 p3 q5……………………..(e)

23. UN BHS 2010 PAKET A/B

Nilai dari 12

232 32

21

⋅⋅

= …

a. 1 b. 2 c. 22 d. 23 e. 24 Jawab : c

12

232 32

21

⋅⋅

= 2

3

23

232

⋅⋅⋅

= 2

4

2

2

= 24 – 2 = 22 ……………………….(c)


Nilai dari ( ) 2

213

2

21

27

36−

− adalah …

a. 136

b. 6

13

c. 3724

d. 3524

e. 56

Jawab : e

( ) 2

213

2

21

27

36−

−= ( ) 213

2

2)3(

)6(

32

21

−−−

=22 23

6

−

= 49

6

−

= 5

6 ……………………………(e)


Nilai dari ( ) ( ) 21

52

64243 − = ….

a. 827−

b. 89−

c. 89

d. 8

18

e. 827

Jawab : c

( ) ( ) 21

52

64243 − = 21

52

)64(

)243(=

( )( )2

1

52

28

381×

= ( )

8

3 52

5

= 8

32

= 89 ……………..(c)



9

SOAL PENYELESAIAN 26. UN BHS 2009 PAKET A/B

Nilai x yang memenuhi persamaan

2433 27115 =−x adalah …

a. 103

b. 51

c. 101

d. 101−

e. 103−

Jawab : c

2433 27115 =−x

⇔ 53

15 33

13 =−x

⇔ 25

333 315 ⋅= −−x

⇔ 212315 33

+−− =x

⇔ 21

33 15 −− =x

⇔ 2115 −=−x

⇔ 5x = 121 +− =

21

⇔ x = 52

1⋅ =

101 ……………………….(c)


Bentuk 3

21

−

−

c

badapat dinyatakan dengan

pangkat positif menjadi …

a. 2

2

c

ab d.

a

cb 32

b. 2

3

b

ac e.

32

1

cab

c. ab2c3

Jawab : d


pangkat negatifnya supaya menjadi pangkatnya

positif

3

21

−

−

c

ba

⇔ a

cb 32

…………………………..(d)



10

B. Bentuk Akar 1) Definisi bentuk Akar

Jika a bilangan real serta m, n bilangan bulat positif, maka berlaku:

a) n aa n =1

b) n maa nm

=

2) Operasi Aljabar Bentuk Akar

Untuk setiap a, b, dan c bilangan positif, maka berlaku hubungan:

a) a c + b c = (a + b) c

b) a c – b c = (a – b) c

c) ba × = ba×

d) ba + = ab)ba( 2++

e) ba − = ab)ba( 2−+

3) Merasionalkan penyebut

Untuk setiap pecahan yang penyebutnya mengandung bilangan irrasional (bilangan yang tidak

dapat di akar), dapat dirasionalkan penyebutnya dengan kaidah–kaidah sebagai berikut:

a) b

ba

b

b

ba

ba =×=

b) ba

bac

ba

ba

bac

bac

−

−−−

++=×=

2

)(

c) ba

bac

ba

ba

bac

bac

−−

−−

++=×= )(



11


Bentuk sederhana dari √242 − √200 − √50 − √8 = … A. 6√2 B. 6 C. –6 D. −6√2 E. –12 Jawab : D

√242 − √200 − √50 − √8

⇔ √121 ∙ 2 − √100 ∙ 2 − √25 ∙ 2 − √4 ∙ 2

⇔ 11√2 − 10√2 − 5√2 − 2√2

⇔ (11 − 10 − 5 − 2)√2

⇔ −6√2 …………………………..(D)

2. UN 2013 IPS Bentuk sederhana dari

√32 + √18 − √242 + √72 adalah …

A. −5√2 B. 5 C. 2√2 D. 4√2 E. 5√2 Jawab : C

√32 + √18 − √242 + √72

⇔ √16 ∙ 2 + √9 ∙ 2 − √121 ∙ 2 + √36 ∙ 2

⇔ 4√2 + 3√2 − 11√2 + 6√2

⇔ (4 + 3 − 11 + 6)√2

⇔ 2√2 ………………………………(C)

3. UN 2013 IPS Bentuk sederhana dari √72 − √242 − √18 + √32 adalah … A. −7√2 B. −6√2 C. −5√2 D. −4√2 E. −2√2 Jawab : D

√72 − √242 − √18 + √32

⇔ √36 ∙ 2 − √121 ∙ 2 − √9 ∙ 2 + √16 ∙ 2

⇔ 6√2 − 11√2 − 3√2 + 4√2

⇔ (6 − 11 − 3 + 4)√2

⇔ 4√2 ………………………………(D)

4. UN 2013 IPS Nilai dari √8 − √50 + 2√32 + √18 = … A. 18√2 B. 8√3 C. 8√2 D. 4√3 E. 4√2 Jawab : C

√8 − √50 + 2√32 + √18

⇔ √4 ∙ 2 − √25 ∙ 2 + 2√16 ∙ 2 + √9 ∙ 2

⇔ 2√2 − 5√2 + 2 ∙ 4√2 + 3√2

⇔ 2√2 − 5√2 + 8√2 + 3√2

⇔ (2 − 5 + 8 + 3)√2

⇔ 8√2 ……………………………..(C)

5. UN 2013 IPS Nilai dari √75 − √48 + √27 + 2√12 = …

A. 16√3 B. 10√3 C. 8√3 D. 4√3 E. 2√3 Jawab : C

√75 − √48 + √27 + 2√12

⇔ √25 ∙ 3 − √16 ∙ 3 + √9 ∙ 3 + 2√4 ∙ 3

⇔ 5√3 − 4√3 + 3√3 + 2 ∙ 2√3

⇔ 5√3 − 4√3 + 3√3 + 4√3

⇔ (5 − 4 + 3 + 4)√3

⇔ 8√3 …………………………………(C)



12



4√200 − 2√242 − 5√50 + 10√2 = …

A. 2√2

B. 3√2

C. 4√2

D. 5√2

E. 6√2

Jawab : B

4√200 − 2√242 − 5√50 + 10√2

⇔ 4√100 ∙ 2 − 2√121 ∙ 2 − 5√25 ∙ 2 + 10√2

⇔ 4 ∙ 10√2 − 2 ∙ 11√2 − 5 ∙ 5√2 + 10√2

⇔ 40√2 − 22√2 − 25√2 + 10√2

⇔ (40 − 22 − 25 + 10)√2

⇔ 3√2 ……………………………………(B)

7. UN 2013 IPS Nilai dari √300 − √75 + 2√48 − 7√3 adalah … A. 5√3 B. 6√3 C. 12√3 D. 16√3 E. 18√3 Jawab : B

√300 − √75 + 2√48 − 7√3

⇔ √100 ∙ 3 − √25 ∙ 3 + 2√16 ∙ 3 − 7√3

⇔ 10√3 − 5√3 + 2 ∙ 4√3 − 7√3

⇔ 10√3 − 5√3 + 8√3 − 7√3

⇔ (10 − 5 + 8 − 7)√3

⇔ 6√3 ……………………………………(B)

8. UN 2013 IPS Nilai dari 3√32 − 6√8 + 4√50 + √2 = … A. 8√2 B. 16√2 C. 21√2 D. 3√10 E. √74 Jawab : C

3√32 − 6√8 + 4√50 + √2 ⇔ 3√16 ∙ 2 − 6√4 ∙ 2 + 4√25 ∙ 2 + √2 ⇔ 3 ∙ 4√2 − 6 ∙ 2√2 + 4 ∙ 5√2 + √2

⇔ 12√2 − 12√2 + 20√2 + √2 ⇔ 21√2 ……………………………(C)

9. UN 2012 IPS/B25


35

−+

adalah ….

A. 1524−

B. 154−

C. 154+

D. 1524+

E. 1528+ Jawab : C

35

35

−+

………………………….. rumus 3c

Sekawan ( 35 − ) adalah ( 35 + ) sehingga

35

35

−+

=

35

)35)(35(

−++

= 2

151535 +++

= 2

1528 += 154+ ……..….. (C)



13

SOAL PENYELESAIAN 10. UN 2012 IPS/C37

Dengan merasionalkan penyebut, bentuk

rasional dari 56

56

−+

adalah ….

A. 11+ 30

B. 11+ 2 30

C. 1+ 30

D. 1+2 30

E. 2 30 Jawab : B

56

56

−+


56

56

−+

=

56

)56)(56(

−++

= 1

30256 ++

= 11+ 2 30 ……..…………... (B)

11. UN 2012 IPS/D49


26

−+

adalah ….

A. 32

11+

B. 32

1 +

C. 32

12 +

D. 32+

E. 321+ Jawab : D

26

26

−+


26

26

−+

=

26

)26)(26(

−++

= 4

12226 ++=

4

3428 ⋅+

= 4

3228 ⋅+

= 32+ ……………………..(D)

12. UN 2012 IPS/E52


515

−+

adalah ….

A. 320+

B. 3102 +

C. 3101+

D. 32 +

E. 31+ Jawab : D

515

515

−+


515

515

−+

=

515

)515)(515(

−++

= 10

752515 ++=

10

325220 ⋅+

= 10

31020+= 32 + ………….(D)

13. UN IPS 2011 PAKET 12

Hasil dari )2436)(2735( −+ = …

a. 22 – 24 3

b. 34 – 22 3

c. 22 + 34 6

d. 34 + 22 6

e. 146 + 22 6

Jawab : d

)2436)(2735( −+

⇔ )2436(27)2436(35 −+−

⇔ 228642620330 ⋅−+−⋅

⇔ 90 – 56 + 22 6

⇔ 34 + 22 6 ……………………………(d)



14

SOAL PENYELESAIAN 14. UN IPS 2011 PAKET 46

Hasil dari )2365)(2463( −+ = …

a. 66 – 46 3

b. 66 – 22 3

c. 66 + 22 3

d. 66 + 46 3

e. 114 + 22 3

Jawab : c

)2365)(2463( −+

⇔ )2365(24)2365(63 −+−

⇔ 2121220129615 ⋅−+−⋅

⇔ 90 – 24 + 11 12

⇔ 66 + 11⋅2 3 = 66 + 22 3 ……………(c)


Hasil dari 3212210850 ++− adalah …

a. 7 2 – 2 3

b. 13 2 – 14 3

c. 9 2 – 4 3

d. 9 2 – 2 3

e. 13 2 – 2 3 Jawab : d

3212210850 ++−

⇔ 216342336225 ×+×+×−×

⇔ 5 2 – 6 3 + 2×2 3 + 4 2

⇔ 5 2 + 4 2 + 4 3 – 6 3

⇔ 9 2 – 2 3 ……………………….(d)


Hasil dari )62)(622( +− = …

a. )21(2 −

b. )22(2 −

c. )13(2 −

d. )13(3 −

e. )132(4 + Jawab : c

)62)(622( +−

⇔ )62(6)62(22 +−+

⇔ 61212222 −−+⋅

⇔ 4 – 6 + 12

⇔ –2 + 2 3 = 2 3 – 2

= )13(2 − ……………………(c)


Hasil dari 32

5 adalah …

a. 35 3 d.

95 3

b. 3 e. 125 3

c. 65 3 Jawab : c

32

5=

3

3

32

5 ×

= 32

35

×

= 65 3 …………………………….(c)

18. UN 2012 BHS/A13 Bentuk sederhana dari

2 18– 8 + 2 adalah …

A. 3 2 D. 4 3 + 2

B. 4 3 – 2 E. 17 2

C. 5 2 Jawab : C

2 18– 8 + 2 = 2 29⋅ – 24 ⋅ + 2

= 2·3 2 – 2 2 + 2

= 6 2 – 2 2 + 2

= (6 – 2 + 1) 2

= 5 2 …………………(C)



15

SOAL PENYELESAIAN 19. UN 2012 BHS/A13


4

+adalah …

A. 3 + 5

B. 3 – 5

C. 5 – 3

D. 5 + 4

E. 4 + 5 Jawab : B

53

4

+

Sekawan (3 + 5 ) adalah (3 – 5 ) sehingga

53

4

+=

53

)53(42 −−

= 59

)53(4

−−

= 4

)53(4 −= 3 – 5 ……………..(B)

20. UN 2012 BHS/B25


6

+adalah …

A. )54(32 +

B. )54(116 +

C. )54(116 −

D. )54(116 +−

E. )54(32 +−

Jawab : B

54

6

+


54

6

+=

54

)54(62 −−

= 516

)54(6

−−

= 11

)54(6 −

= )54(116 − ………………………..(B)

21. UN 2012 BHS/C37


4

+adalah …

A. 6 – 4 7

B. 6 – 2 7

C. 4 7

D. 6 + 2 7

E. 8 7 Jawab : B

73

4

+


73

4

+=

73

)73(42 −−

= 79

)73(4

−−

= 2

)73(4 −= 2(3 – 7 )

= 6 – 2 7 …………..(B)

22. UN BHS 2011 PAKET 12

Hasil dari 756482273 +− = …

a. 12 3

b. 14 3

c. 28 3

d. 30 3

e. 31 3 Jawab : e

756482273 +−

⇔ 32563162393 ×+×−×

⇔ 3×3 3 – 2×4 3 + 6×5 3

⇔ 9 3 – 8 3 + 30 3

⇔ 31 3 …………………………………(e)



16

SOAL PENYELESAIAN 23. UN BHS 2010 PAKET B

Hasil dari 1275 − = …

a. 3

b. 2 3

c. 3 3

d. 4 3

e. 5 3 Jawab : c

1275− = 34325 ×−×

= 5 3 – 2 3

= 3 3 …………………….(c)

24. UN BHS 2010 PAKET A

Hasil dari 1825083 +− = …

a. 7 2

b. 13 2

c. 14 2

d. 20 2

e. 23 2 Jawab : a

1825083 +−

⇔ 292225243 ×+×−×

⇔ 3×2 2 – 5 2 + 2×3 2

⇔ 6 2 – 5 2 + 6 2

⇔ 7 2 …………………………………(a)



7

+ adalah …

a. 21 + 7 2

b. 21 + 2

c. 21 – 7 2

d. 3 + 2

e. 3 – 2 Jawab : e

23

7

+=

)23(

)23(

23

7

−−×

+

= 29

)23(7

−−

= 7

)23(7 −…………………….(e)


Bentuk sederhana 73

2

− adalah …

a. 6 + 2 7

b. 6 – 2 7

c. 3 + 7

d. 3 – 7

e. –3 – 7 Jawab : c

73

2

− =

)73(

)73(

73

2

++×

−

= 79

)73(2

−+

= 2

)73(2 +

= 3 + 7 ………………………….(c)



17


Bentuk sederhana 53

4527

−−

adalah …

a. 1

b. 7 c. 3

d. 14 e. 5 Jawab : c

53

4527

−−

= 53

5939

−⋅−⋅

= 53

5333

−−

= 53

)53(3

−−

= 3 …………..…………... (c)


Hasil dari 75502782 −++− = …

a. 3 3

b. 3 3 – 2

c. 2 3

d. 3 – 6

e. 4 2 – 2 3 Jawab : e

75502782 −++−

⇔ 32522539242 ×−×+×+×−

⇔ 2 – 2 2 + 3 3 + 5 2 – 5 3

⇔ 2 – 2 2 + 5 2 + 3 3 – 5 3

⇔ 4 2 – 2 3 ………………………..(e)



4 adalah …

a. 51 5 d. 15

4 5

b. 151 5 e. 15

4 15

c. 152 5 Jawab : d

53

4=

5

5

53

4 ×

= 53

54

×

= 154 5 ………………………….(d)



18

C. Logaritma a) Pengertian logaritma

Logaritma merupakan invers (kebalikan) dari perpangkatan. Misalkan a adalah bilangan positif

(a > 0) dan g adalah bilangan positif yang tidak sama dengan 1 (g > 0, g ≠ 1), maka: glog a = x jika hanya jika gx = a

atau bisa di tulis :

(1) untuk glog a = x ⇒ a = gx

(2) untuk gx = a ⇒ x = glog a

b) sifat–sifat logaritma sebagai berikut:

(1) glog g = 1

(2) glog (a × b) = glog a + glog b

(3) glog ( )ba = glog a – glog b

(4) glog an = n × glog a

(5) glog a = glog

alogp

p

(6) glog a = glog

1a

(7) glog a × alog b = glog b

(8) mg alogn

= nm glog a

(9) ag alogg=

SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2013 IPS Nilai dari 5log 25 + 5log 3 – 5log 15 = … A. 5 B. 3 C. 2 D. 1 E. 0 Jawab : D

5log 25 + 5log 3 – 5log 15

⇔ 5log �&∙��&

= 5log &∙&∙�&∙�

= 5log 5

= 1 ……………………………..(D)

2. UN 2013 IPS Nilai dari 3log 5 – 3log 15 + 3log 9 = … A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 E. 9 Jawab : A

3log 5 – 3log 15 + 3log 9

⇔ 3log &∙'�&

= 3log &∙�∙�&∙�

= 3log 3

= 1 ……………………………..(A)



19


Nilai dari 2log 6 + 2log 8 – 2log 12 = … A. 2 B. 1 C. –1 D. –2 E. –3 Jawab : A

2log 6 + 2log 8 – 2log 12

⇔ 2log �∙��

= 2log �∙�∙ ∙� ∙�

= 2log 4 = 2log 22

= 2· 2log 2 = 2………..………..(A)

4. UN 2013 IPS Nilai dari 2log 4 + 2log 12 – 2log 6 = … A. –2 B. 2 C. 3 D. 4 E. 6 Jawab : C

2log 4 + 2log 12 – 2log 6

⇔ 2log ∙��

= 2log ∙�∙��

= 2log 8 = 2log 23

= 3· 2log 2 = 3………..………..(C)

5. UN 2013 IPS Nilai dari 2log 8 – 2log 18 + 2log 36 = … A. 12 B. 6 C. 4 D. 2 E.1 Jawab : C

2log 8 – 2log 18 + 2log 36

⇔ 2log �∙��

= 2log �∙�∙��

= 2log 16 = 2log 24

= 4· 2log 2 = 4………..………..(C)

6. UN 2013 IPS Nilai dari 2log 12 – 2log 24 + 2log 16 = … A. –3 B. –2 C. –1 D. 2 E. 3 Jawab : E

2log 12 – 2log 24 + 2log 16

⇔ 2log ��∙��

= 2log ��∙�∙��∙�

= 2log 8 = 2log 23

= 3· 2log 2 = 3………..………..(E)

7. UN 2013 IPS Nilai dari 3log 54 + 3log 2 – 3log 4 – 3log 9 = … A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 E. 6 Jawab : A

3log 54 + 3log 2 – 3log 4 – 3log 9

⇔ 3log & ∙� ∙'

= 3log �∙'∙�∙�'∙

= 3log 3

= 1………..………….……..(A)



20


Nilai dari y

yy1

logloglog3 2222 +−⋅ =

… A. 1 B. 0 C. y D. –1 E. –y Jawab : B

yyy

1logloglog3 2222 +−⋅

⇔ 12222 logloglog3 −+−⋅ yyy

⇔ yyy log1log2log3 222 ⋅−⋅−⋅ ⇔ ylog)123( 2−− = 0 × 2log y

= 0 ………………….(B)

9. UN 2012 IPS/C37 Jika 3log 2 = p, maka 8log 81 adalah …. A. 4p B. 3p

C. p3

4

D. 3

4p

E. 4+3p Jawab : D

8log 81 = 42 3log3

= 3log3

4 2

= p

1

3

4 ⋅

= p3

4……………………(D)

10. UN 2012 IPS/D49 Diketahui 2log 3 = p Nilai dari 9log 16 adalah ….

A. p

2

D.

3

p

B. 2

p

E. p

4

3

C. p

3

Jawab : A

9log 16 = 43 2log2

= 2log2

4 3

= p

12⋅

= p

2………………..….(A)

11. UN 2012 IPS/E52 Diketahui 3log 4 = .p Nilai dari 16log 81 sama dengan ….

A.p

2

D.

4

p

B. p

4

E.

2

p

C. p

6

Jawab : A

16log 81 = 44 3log2

= 3log2

4 4

= p

12⋅

= p

2…………………..(A)



21


Diketahui 3log 2 = p. Nilai dari 8log 12 sama dengan ….

A. 3

2+p

D.

p

p

3

12 +

B. 3

21 p+

E.

p

p

3

2+

C. p

p

21

3

+ Jawab : D

8log 12 = 8log 4 ⋅ 3 = 8log 4 + 8log 3

= 22 2log3

+ 3log32

= 2log2

32 ⋅ + 3log2

31 ⋅

= 32 +

p1

31 ⋅

=p

p

3

12 + ………………(D)

13. UN IPS 2011 PAKET 12 Nilai dari 9log 25 ⋅ 5log 2 – 3log 54 = … a. –3 b. –1 c. 0 d. 2 e. 3

Jawab : a

9log 25 ⋅ 5log 2 – 3log 54

⇔ 33523 32log2log5log2

⋅−⋅

⇔ )3log2log(2log5log 3335322 +−⋅

⇔ 3log 2 – 3log 2 – 3 = –3 ……………. ……(a)

14. UN IPS 2010 PAKET B Nilai dari

( )258125 25loglog4log5log2

1

××× = …

a. 24 b. 12 c. 8 d. –4 e. –12 Jawab : a

( )258125 25loglog4log5log2

1

×××

⇔ ( )22532252 5log2log2log5log1

××× −−

⇔ 2521

2 2)3(2log5log ×−××−

⇔ – 2 × 2log 2 × (–12) ⇔ – 2 × 1 × (–12) = 24 ……………………(a)

15. UN IPS 2010 PAKET A

Nilai dari 6log

39log38log + = …

a. 1 b. 2 c. 3 d. 6 e. 36

Jawab : c

6log

39log38log +

⇔ 6log

)3938log( × =

6log

)398log( ××

= 6log

)32log( 33 ×

= 6log

)32log( 3×

= 6log

6log3 = 3 ……….(c)



22


Diketahui 2log 3 = m dan 2log 5 = n. Nilai 2log 90 adalah … a. 2m + 2n b. 1 + 2m + n c. 1 + m2 + n d. 2 + 2m + n e. 2 + m2 + n Jawab : b

2log 90 = 2log (9 ⋅ 2 ⋅ 5)

= 2log (32 ⋅ 2 ⋅ 5)

= 2log 32 + 2log 2 + 2log 5

= 2 2log 3 + 2log 2 + 2log 5

= 2m +1 + n ……………………….(b)


Nilai dari 9log8loglog 322515 ×+ adalah

… a. 2 b. 4 c. 7 d. 8 e. 11 Jawab : b

9log8loglog 322515 ×+

⇔ 233225 3log2log5log ×+−

⇔ – 2 + 3 × 2 = 6 – 2

= 4 ………..………………(b)

18. UN 2012 BHS/A13 Bentuk sederhana dari 3log 81 + 3log 9 – 3log 27 adalah … A. 3log 3 B. 3log 9 C. 3log 27 D. 3log 63 E. 3log 81 Jawab : C

3log 81 + 3log 9 – 3log 27

⇔

×27

981log3 =

××27

9327log3

= 3log 27 ……………..(C)

19. UN 2012 BHS/C37 Bentuk sederhana dari 3log 54 + 3log 6 – 3log 4 adalah … A. 3log 81 B. 3log 15 C. 3log 9 D. 3log 3 E. 3log 1 Jawab : A

3log 54 + 3log 6 – 3log 4

⇔

×4

654log3 =

×××4

32227log3

= 3log 81 ……………..(A)

20. UN 2012 BHS/B25

Bentuk sederhana dari 4log 256 + 4log 16 – 4log 64 adalah … A. 4log 4 B. 4log 16 C. 4log 64 D. 4log 108 E. 4log 256 Jawab : C

4log 256 + 4log 16 – 4log 64

⇔

×64

16256log4 =

×××416

161616log

44

= 4log (16 ×4)

= 4log 64 ……………...(C)



23

SOAL PENYELESAIAN 21. UN BHS 2011 PAKET 12

Nilai dari 5log 50 + 2log 48 – 5log 2 – 2log 3 = … a. 5 b. 6 c. 7 d. 8 e. 9 Jawab : b

5log 50 + 2log 48 – 5log 2 – 2log 3

⇔ 5log 50 – 5log 2 + 2log 48 – 2log 3

⇔

+

3

48log

2

50log 25

⇔ 5log 25 + 2log 16 ⇔ 5log 52 + 2log 24 ⇔ 2⋅ 5log 5 + 4⋅ 2log 2 = 2⋅ 1 + 4⋅ 1

= 6 ……………..….(b)

22. UN BHS 2010 PAKET A Nilai dari 2log 4 + 3 ⋅ 2log3 ⋅ 3log 4 = … a. 8 b. 6 c. 4 d. 3 e. 2

Jawab : a

2log 4 + 3 ⋅ 2log3 ⋅ 3log 4

⇔ 2log 4 + 3 ⋅ 2log 4

⇔ (1 + 3) 2log 4 = 4⋅ 2log 4

= 4⋅ 2log 22

= 4⋅ 2

= 8 ……………..………….(a)

23. UN BHS 2010 PAKET B Nilai dari 5log 75 – 5log3 + 1 = … a. 3 b. 2 c. 5log 75 + 1 d. 5log 77 e. 5log 71 Jawab : a

5log 75 – 5log3 + 1

⇔ 5log 375 + 1 = 5log 25 + 1

= 5log 52 + 1 = 2 5log 5 + 1 = 2 × 1 + 1 = 3 ……………………(a)


Nilai dari 2log 3 – 2log 9 + 2log 12 = … a. 6 b. 5 c. 4 d. 2 e. 1 Jawab : d

2log 3 – 2log 9 + 2log 12

⇔ 2log ( )9123× = 2log 4

= 2log 22 = 2 2log 2 = 2 × 2log 2 = 2 × 1= 2 ………………….(d)


Nilai a yang memenuhi 318log =a adalah

… a. 3 d.

21

b. 2 e. 31

c. 1 Jawab : b

318 log =a

a = 31

8

= 31

)2( 3 = 2 …………………………..(b)



24


Jika 2log 3 = a, maka 8log 6 = …

a. a+12

b. a+1

3

c. 21 a+

d. 3

1 a+

e. 3

2 a+

Jawab : d

8log 6 = )32log(32 ×

= 31 ( 2log 2 + 2log 3)

= 31 ( 1 + a)

= 3

1 a+ ………………………..(d)

27. UN BHS 2008 PAKET A/B Nilai dari 2log 32 + 2log 12 – 2log 6 adalah … a. 2 b. 4 c. 6 d. 8 e. 16 Jawab : c

2log 32 + 2log 12 – 2log 6

⇔ 2log ( )61232× = 2log 64

= 2log 26 = 6 2log 2 = 6 × 1 = 6 …………….……….(c)

28. UN BHS 2008 PAKET A/B Diketahui 3log 2 = m, maka 2log 5 = n Nilai dari 3log 5 = …

a. m + n d. nm

b. mn e. mn

c. m – n Jawab : b

3log 5

⇔ 3log 2 × 2log 5 = mn ………………(b)

2. Persamaan, Pertidaksamaan dan Fungsi Kuadrat

A. Persamaan Kuadrat 1. Bentuk umum persamaan kuadrat : ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 2. Nilai determinan persamaan kuadrat : D = b2 – 4ac 3. Akar–akar persamaan kuadrat (semua nilai x yang menyebabkan persamaan kuadrat bernilai

benar) dapat dicari dengan memfaktorkan ataupun dengan rumus:

a

Dbx

22,1±−=

SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2012 IPS/D49

Diketahui x1 dan x2 adalah akar–akar persamaan x2 – 3x – 4 = 0 dan x1 > x2. Nilai 2x1 + 5x2 = ….

A. 22 B. 18 C. 13 D. 3 E. –22

Jawab : D

Gunakan metode pemfaktoran 1 x2 – 3x – 4 = 0

(x + 1)(x – 4) = 0 x = {–1, 4}

karena x1 > x2, maka x1= 4, x2 = –1, 2x1 + 5x2 = 2(4) + 5(–1)

= 8 – 5 = 3 ……………….(D) 2. UN 2012 IPS/E52

Diketahui persamaan kuadrat x2 – 10x + 24 = 0 mempunyai akar–akar x1 dan x2 dengan x1 > x2. Nilai 10x1 + 5x2 adalah …. A. 90 B. 80 C. 70 D. 60 E. 50

Jawab : B

Gunakan metode pemfaktoran 1 x2 – 10x + 24 = 0

(x – 4)(x – 6) = 0 x = {4, 6}

karena x1 > x2, maka x1= 6, x2 = 4, 10x1 + 5x2 = 10(6) + 5(4)

= 60 + 20 = 80 ……………….(B) 3. UN 2012 IPS/B25

Diketahui x1 dan x2 adalah akar–akar persamaan kuadrat –2x2 + 7x + 15 = 0 dan x1 > x2. Nilai 6x1 + 4x2 sama dengan …. A. 11 B. 14 C. 16 D. 24 E. 29 Jawab : D

Gunakan metode pemfaktoran –2x2 + 7x + 15 = 0

⇔ 2x2 – 7x – 15 = 0

21 (2x + 3)(2x – 10) = 0

(2x + 3)(x – 5) = 0 x = {–

23 , 5}

karena x1 > x2, maka x1= 5, x2 = –23 ,

6x1 + 4x2 = 6(5) + 4(–23 )

= 30 – 6 = 24 ……………….(D)

–4

–3–1 4×

=

24

–10––4 6×

=

–30

–7–3 10×

=

SIAP UN IPS 2014 Persamaan, Pertidaksamaan, dan Fungsi Kuadrat http://www.soalmatematik.com


26

SOAL PENYELESAIAN 4. UN 2012 IPS/A13

Diketahui persamaan 2x2 – 3x – 14 = 0 berakar x1 dan x2 serta x1 > x2. Nilai 2x1 + 3x2 sama dengan ….. A. – 5 B. – 2 C. – 1 D. 1 E. 2 Jawab : D

Gunakan metode pemfaktoran 2x2 – 3x – 14 = 0

21 (2x + 4)(2x – 7) = 0

(x + 2)(2x – 7) = 0 x = {–2,

27 }

karena x1 > x2, maka x1= 27 , x2 = –2,

2x1 + 3x2 = )2(3)(2 27 −+

= 7 – 6 = 1 …………………….(D) 5. UN 2011 IPS PAKET 12

Akar–akar persamaan kuadrat 2x2 – 13x –7= 0 adalah x1 dan x2. Jika x2 > x1, maka nilai 2x1 + 3x2 = …. a. –12,5 b. –7,5 c. 12,5 d. 20 e. 22

Jawab : c

Dengan pemfaktoran diperoleh: 2x2 – 13x –7= 0

21 (2x + 1)(2x – 14) = 0

(2x + 1)(x – 7) = 0, sehingga :

x1 = –21 , x2 = 7 …….…( x2 > x1)

• 2x1 + 3x2 = 2(–21 ) + 3(7)

= – 1 + 21 = 20 ……………….(c) 6. UN 2011 IPS PAKET 46

Akar–akar persamaan kuadrat 2x2 + 3x – 5= 0 adalah x1 dan x2. Jika x2 > x1, maka nilai 4x1 + 3x2 = …. a. 7 b. 5 c. –3 d. –5 e. –7

Jawab : e

Dengan pemfaktoran diperoleh: 2x2 + 3x – 5= 0

21 (2x + 5)(2x – 2) = 0

(2x + 5)(x – 1) = 0, sehingga:

x1 = –25 , x2 = 1 …….…( x2 > x1)

• 4x1 + 3x2 = 4(–25 ) + 3(1)

= – 10 + 3 = –7 ……………….(e)

–28

–3–4 7×

=

–10

3–5 2×

–14

–13–1 14×

=

=



27

SOAL PENYELESAIAN 7. UN 2010 IPS PAKET A

Akar–akar persamaan kuadrat –x2 – 5x – 4 = 0 adalah x1 dan x2. Jika x1 < x2, maka nilai dari x1 – x2 = …. a. –5 b. –4 c. –3 d. 3 e. 5

Jawab : c

Dengan pemfaktoran diperoleh: –x2 – 5x – 4 = 0 ⇔ x2 + 5x + 4 = 0

(x + 4)(x + 1) = 0, sehingga: x1 = –4, x2 = –1 …….…( x1 < x2)

• x1 – x2 = –4 –(–1) = – 4 + 1 = –3 ……. ……………………….(c)

8. UN 2010 IPS PAKET B Akar–akar persamaan x2 – 2x – 3 = 0 adalah x1 dan x2. Jika x1 > x2 maka x1 – x2 = … a. –4 b. –2 c. 0 d. 2 e. 4

Jawab : e

Persamaan kuadrat x2 – 2x – 3 = 0 dapat difaktorkan sehingga: x2 – 2x – 3 = (x + 1)(x – 3) = 0

x2 = –1, x1 = 3 …….…( x1 > x2) • x1 – x2 = 3 –(–1)

= 3 + 1 = 4 ……. ……………………….(e)

9. UN 2009 IPS PAKET A/B Akar–akar dari persamaan kuadrat 2x2 – 3x – 5 = 0 adalah …

a. 25− atau 1

b. 25− atau –1

c. 25 atau –1

d. 52 atau 1

e. 52− atau 1

Jawab : c

Gunakan metode pemfaktoran 2x2 – 3x – 5= 0

21 (2x + 2)(2x – 5) = 0

(x + 1)(2x – 5) = 0

x + 1 = 0 x = –1

2x – 5 = 0 2x = 5

x = 25

Jadi, akar–akarnya adalah x = {25 , –1} ………C

4

5+4 1×

–10

–3+2 –5×

=



28

SOAL PENYELESAIAN 10. UN 2008 IPS PAKET A/B

Himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat 4x2 – 3x – 10 = 0 adalah …

a. { }2,45−

b. { }2,45 −

c. { }2,54−

d. { }5,25 −

e. { }5,25 −−

Jawab : a


41 (4x + 5)(4x – 8) = 0

(4x + 5)(x – 2) = 0

4x + 5 = 0 4x = –5

x = 45−

x – 2 = 0 x = 2

Jadi, akar–akarnya adalah x = {45− , 2} ……(a)

11. UN 2012 BHS/A13 Salah satu akar persamaan kuadrat 2x2 + 2x – 4 = 0 adalah … A. –1 B. 1 C. 2 D. 4 E. 5 Jawab : B

Gunakan metode pemfaktoran 2x2 + 2x – 4 = 0

⇔1x2 + 1x – 2 = 0

(x + 2)(x – 1) = 0 x = {–2, 1}………….. (B)

12. UN 2012 BHS/B25 Salah satu akar persamaan kuadrat 2x2 + 7x – 4 = 0 adalah … A. 3 B. 2 C.

21

D. 21−

E. –2 Jawab : C


21 (2x + 8)(2x – 1) = 0

⇔(x + 4)(2x – 1) = 0

x = {–4, 21 }……………(C)

13. UN 2012 BHS/C37 Salah satu akar persamaan kuadrat 3x2 – 7x – 6 = 0 adalah … A. 4 B. 3 C. 0 D. –3 E. –4 Jawab : B


31 (3x + 2)(3x – 9) = 0

⇔(3x + 2)(x – 3) = 0 x = {– 3

2 , 3}……………(B)

–8

7–8 1×

=

–2

1–2 1×

=

–18

–7 –2 9×

=

–40

–3+5 –8×

=



29

SOAL PENYELESAIAN 14. UN 2009 BAHASA PAKET A/B

Akar–akar persamaan kuadrat 2x2 + 7x – 15 = 0 adalah …

a. –5 dan 23

b. –3 dan 25

c. 3 dan 25−

d. 3 dan 25

e. 5 dan 23

Jawab : a


21 (2x + 10)(2x – 3) = 0

(x + 5)(2x – 3) = 0

x + 5 = 0 x = –5

2x – 3 = 0 2x = 3

x = 23

Jadi, akar–akarnya adalah x = {–5, 23 } ……(a)

–30

7+10 –3×

=

=



30

4. Pengaruh determinan terhadap sifat akar:

a. Bila D > 0, maka persamaan kuadrat memiliki 2 akar real yang berbeda

b. Bila D = 0, maka persamaan kuadrat memiliki 2 akar real yang kembar dan rasional

c. Bila D < 0, maka akar persamaan kuadrat imajiner (tidak memiliki akar–akar) 1) Definit positif jika D < 0 dan a > 0, kurva di atas sumbu X dan membuka ke atas 2) Definit negatif jika D < 0 dan a < 0, kurva di bawah sumbu X dan membuka ke bawah

SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2012 BHS/B25

Jika persamaan kuadrat px2 + 30x + 25 = 0 mempunyai akar–akar sama, maka nilai p = … A. 10 D. 7 B. 9 E. 6 C. 8 Jawab : B

Persamaan kuadrat memiliki 2 akar sama jika D = 0 Persamaan : px2 + 30x + 25 = 0 memiliki a = p, b = 30, c = 25 sehingga: D = b2 – 4ac = 302 – 4(p)(25)

0 = 900 – 100p …… semua suku dibagi 100

0 = 9 – p p = 9 ………………………...(B)

2. UN 2012 BHS/C37 Jika persamaan kuadrat qx2 – 8x + 8 = 0 mempunyai akar–akar yang sama, maka nilai q adalah … A. 4 B. 2 C. 0 D. –2 E. –4 Jawab : B

Persamaan kuadrat memiliki 2 akar sama jika D = 0 Persamaan : px2 – 8x + 8 = 0 memiliki a = p, b = – 8, c = 8 sehingga: D = b2 – 4ac = (– 8)2 – 4(p)(8)

0 = 64 – 32p …… semua suku dibagi 32

0 = 2 – p p = 2 ………………………...(B)

3. UN 2012 BHS/A13 Jika persamaan kuadrat x2 + px + 25 = 0 mempunyai dua akar sama, maka nilai p yang memenuhi adalah … A. –2 dan –10 B. –1 dan 10 C. 4 dan –2 D. 8 dan 4 E. 10 dan –10 Jawab : E

Persamaan kuadrat memiliki 2 akar sama jika D = 0 Persamaan : x2 + px + 25 = 0 memiliki a = 1, b = p, c = 25 sehingga: D = b2 – 4ac = p2 – 4(1)(25)

0 = p2 – 100 0 = (p + 10)(p – 10) p = {–10, 10} …………………..(E)



31

5. Jumlah, selisih dan hasil kali akar–akar persaman kuadrat

Jika x1, dan x2 adalah akar–akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, maka:

a. Jumlah akar–akar persamaan kuadrat : abxx −=+ 21

b. Selisih akar–akar persamaan kuadrat : a

Dxx =− 21 , x1 > x2

c. Hasil kali akar–akar persamaan kuadrat : ac

21 xx =⋅

d. Beberapa rumus yang biasa digunakan saat menentukan jumlah dan hasil kali akar–akar persamaan kuadrat

1) 22

21 xx + = )(2)( 21

221 xxxx ⋅−+ = ( ) ( )

ac

ab 2

2 −− = 2

2 2

a

acb −

2) 32

31 xx + = ))((3)( 2121

321 xxxxxx +⋅−+ = ( ) ( )( )

ab

ac

ab −− − 3

3 =

3

3 3

a

abcb +−

3) 21

11

xx+ =

21

21

xx

xx

⋅+

= acab−

= c

b−

4) 22

21

11

xx+ =

22

21

22

21

xx

xx

⋅+

=2

21

212

21

)(

2)(

xx

xxxx

⋅⋅−+

=

2

2

2

2 2

ac

aacb −

= 2

2 2

c

acb −

Catatan:

Jika koefisien a dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, bernilai 1, maka

1. x1 + x2 = – b

2. Dxx =− 21 , x1 > x2

3. x1 ⋅ x2 = c


Diketahui = dan > adalah akar–akar persamaan kuadrat 33� − 3 − 2 = 0, nilai dari =� + >� + => =…

A. �'

B. �'

C. 1

D. �+'

E. ��'

Jawab : A

Persamaan kuadrat 33� − 3 − 2 = 0 memiliki nilai a = 3, b = –1, dan c = –2, sehingga:

• α · β = a

c=

3

2−

• α + β = a

b− = 3

)1(−−=

3

1

Ingat : 22

21 xx + = )(2)( 21

221 xxxx ⋅−+

=� + >� + =>

⇔ (= + >)� − 2=> + =>

⇔ (= + >)� − => = @��A� − @− �

�A = �'+

�'

= �' ……………(A)



32


Diketahui 3� dan 3� adalah akar–akar persamaan 3� − 73 + 10 = 0, nilai dari 3�� + 3�� − 3�3� =… A. –23 B. –3 C. 10 D. 19 E. 23 Jawab : D

Persamaan kuadrat 3� − 73 + 10 = 0 memiliki nilai a = 1, b = –7, dan c = 10, sehingga: • x1 · x2 = c = 10 • x1 + x2 = –b = –(–7) = 7

Ingat : 22

21 xx + = )(2)( 21

221 xxxx ⋅−+

3�� + 3�� − 3�3�

⇔ )()(2)( 21212

21 xxxxxx ⋅−⋅−+

⇔ )(3)( 212

21 xxxx ⋅−+ = 72 – 3(10) = 49 – 30 = 19 ……………(D)

3. UN 2013 IPS Diketahui 3� dan 3� adalah akar–akar persamaan 3� + 23 + 6 = 0, nilai dari 3�� + 3�� − 3�3� =… A. –14 B. –6 C. –2 D. 6 E. 10 Jawab : A

Persamaan kuadrat 3� + 23 + 6 = 0 memiliki nilai a = 1, b = 2, dan c = 6, sehingga: • x1 · x2 = c = 6 • x1 + x2 = –b = –2

Ingat : 22

21 xx + = )(2)( 21

221 xxxx ⋅−+

3�� + 3�� − 3�3�

⇔ )()(2)( 21212


⇔ )(3)( 212

21 xxxx ⋅−+ = (–2)2 – 3(6) = 4 – 18 = –14 ……………(A)

4. UN 2013 IPS Akar–akar persamaan 23� + 53 − 3 = 0

adalah a dan b. Nilai dari �� + �� − 2�� =

…

A. − '�

B. − �&

C. ��

D. �&

E. '

Jawab : E

Persamaan kuadrat 23� + 53 − 3 = 0 memiliki nilai a = 2, b = 5, dan c = –3, sehingga:

• a · b = a

c=

2

3−

• a + b = a

b− = 2

5−

Ingat : 22

21 xx + = )(2)( 21

221 xxxx ⋅−+

�� + �� − 2��

⇔ )(2)(2)( 2 bababa ⋅−⋅−+

⇔ )(4)( 2 baba ⋅−+ = @− &�A

� − 4@− ��A

= �& + �

= ' ……………(E)



33


Jika 3� dan 3� akar–akar 23� − 103 + 4 =0, nilai dari 3�� + 3�� − 33�3� = … A. 20 B. 15 C. 10 D. 5 E. 1 Jawab : B

Persamaan kuadrat 23� − 103 + 4 = 0 memiliki nilai a = 2, b = –10, dan c = 4, sehingga:

• x1 · x2 = a

c=

2

4= 2

• x1 + x2 = a

b− = 2

)10(−−=

2

10= 5

Ingat : 22

21 xx + = )(2)( 21

221 xxxx ⋅−+

3�� + 3�� − 33�3�

⇔ )(3)(2)( 21212


⇔ )(5)( 212

21 xxxx ⋅−+ = 52 – 5(2) = 25 – 10 = 15 ……………(B)

6. UN 2013 IPS Diketahui 3� dan 3� adalah akar–akar persamaan kuadrat 3� + 63 + 2 = 0, nilai dari 3�� + 3�� − 43�3� adalah … A. 16 B. 18 C. 24 D. 26 E. 28 Jawab : C


Ingat : 22

21 xx + = )(2)( 21

221 xxxx ⋅−+

3�� + 3�� − 43�3�

⇔ )(4)(2)( 21212


⇔ )(6)( 212

21 xxxx ⋅−+ = (–6)2 – 6(2) = 36 – 12 = 24 ……………(C)

7. UN 2013 IPS Diketahui B dan C adalah akar–akar persamaan kuadrat 3� − 53 − 6 = 0, nilai dari B� + C� − 4BC =… A. 66 B. 61 C. 49 D. 37 E. 19 Jawab : B

Persamaan kuadrat 3� − 53 − 6 = 0 memiliki nilai a = 1, b = –5, dan c = –6, sehingga: • p · q = c = –6 • p + q = –b = –(–5) = 5

Ingat : 22

21 xx + = )(2)( 21

221 xxxx ⋅−+

B� + C� − 4BC

⇔ )(4)(2)( 2 qpqpqp ⋅−⋅−+

⇔ )(6)( 2 qpqp ⋅−+ = 52 – 6(–6) = 25 + 36 = 61 ……………(B)

8. UN 2013 IPS Akar–akar persamaan kuadrat 3� + 63 + 2 = 0 adalah 3� dan 3�. Nilai 3�� + 3�� − 63�3� adalah … A. 16 B. 17 C. 20 D. 24 E. 26 Jawab : C


Ingat : 22

21 xx + = )(2)( 21

221 xxxx ⋅−+

3�� + 3�� − 63�3�

⇔ )(6)(2)( 21212


⇔ )(8)( 212

21 xxxx ⋅−+ = (–6)2 – 8(2) = 36 – 16 = 20 ……………(C)



34

SOAL PENYELESAIAN 9. UN 2011 IPS PAKET 12

Akar–akar persamaan kuadrat 3x2 – x + 9 = 0

adalah x1 dan x2. Nilai 1

2

2

1

x

x

x

x + = …

a. 2753−

b. 273−

c. 271

d. 273

e. 2754

Jawab : a

Persamaan kuadrat 3x2 – x + 9 = 0 memiliki nilai a = 3, b = –1, dan c = 9, sehingga:

• x1 × x2 = ac =

39 = 3

• 22

21 xx + =

2

2 2

a

acb −

= 2

2

3

932)1( ⋅⋅−−=

9

53−

• 1

2

2

1

x

x

x

x + = 21

22

21

xx

xx +

= 3953−

= 2753− ……………….(a)

10. UN 2011 IPS PAKET 46 Akar–akar persamaan kuadrat 3x2 + x – 5 = 0

adalah x1 dan x2. Nilai dari 1

2

2

1

x

x

x

x + = …

a. 1543−

b. 1533−

c. 1531−

d. 1526−

e. 1521−

Jawab : c

Persamaan kuadrat 3x2 + x – 5 = 0 memiliki nilai a = 3, b = 1, dan c = –5, sehingga:

• x1 × x2 = ac =

35−

• 22

21 xx + =

2

2 2

a

acb −

= 2

2

3

)5(321 −⋅⋅−=

9

31

• 1

2

2

1

x

x

x

x + = 21

22

21

xx

xx +

= 35

931

− = 5

3

9

31×− = 1531− ……(C)

11. UN 2010 IPS PAKET A Jika x1 dan x2 akar–akar persamaan

2x2 + 3x – 7 = 0, maka nilai 21

11

xx+ = …

a. 421 d.

73−

b. 37 e.

37−

c. 73 Jawab : c

Persamaan kuadrat 2x2 + 3x – 7 = 0 memiliki nilai a = 2, b = 3, dan c = –7,

21

11

xx+ =

c

b−

= 7

3

−−

= 73 ……………………..(c)

12. UN 2010 IPS PAKET B Akar–akar persamaan kuadrat x2 – 5x + 3 = 0

adalah α dan β. Nilai βα11 + = ….

a. 35−

d.

35

b. 53−

e.

38

c. 53

Jawab : d

Persamaan kuadrat x2 – 5x + 3 = 0 memiliki nilai a = 1, b = –5, dan c = 3,

βα11 + =

c

b−

= 3

)5(−−

= 35 …………………………….(d)



35


Diketahui Akar–akar persamaan kuadrat 2x2 – 7x – 6 = 0 adalah x1 dan x2.

Nilai 21

11

xx+ adalah …

a. –3

b. 67−

c. 143

d. 74

e. 76

Jawab : b

Persamaan kuadrat 2x2 – 7x – 6 = 0 memiliki nilai a = 2, b = –7, dan c = –6,

21

11

xx+ =

c

b−…………..rumus 5.d.3)

= 6

)7(

−−−

= 67− ……………………..(b)

14. UN 2008 IPS PAKET A/B Akar–akar persamaan kuadrat 3x2 – 4x + 2 = 0 adalah α dan β. Nilai dari (α + β)2 – 2αβ =….

a. 9

10

b. 1

c. 94

d. 31

e. 0 Jawab : c

Persamaan kuadrat 3x2 – 4x + 2 = 0 memiliki nilai a = 3, b = –4, dan c = 2,

(α + β)2 – 2αβ ……………. Rumus 5. e. 1)

⇔ 2

2 2

a

acb −=

2

2

3

)2)(3(2)4( −−

= 9

1216−

= 94 ……………………..(c)

15. UN 2010 BAHASA PAKET A

Akar–akar persamaan kuadrat x2 – 5x + 3 = 0 adalah x1 dan x2.

Nilai 22

21

11

xx+ = …

a. 9

17

b. 9

19

c. 925

d. 6

17

e. 6

19

Jawab : b

Persamaan kuadrat x2 – 5x + 3 = 0 memiliki nilai a = 1, b = –5, dan c = 3

22

21

11

xx+ ……………….….. rumus 5.e.4)

⇔ 2

2 2

c

acb − =

2

2

3

)3)(1(2)5( −−

= 9

625−

= 9

19 ………………………….(b)

16. UN 2010 BAHASA PAKET B Akar–akar persamaan kuadrat 3x2 – 6x + 1 = 0 adalah α dan β. Nilai dari (α + β)2 ⋅ αβ = …

a. –12 d. 34

b. 34− e. 12

c. 92 Jawab : d

Persamaan kuadrat 3x2 – 6x + 1 = 0 memiliki nilai a = 3, b = –6, dan c = 1

• α + β = ab− = 3

)6(−−= 2

• αβ = ac =

31

• (α + β)2 ⋅ αβ = 22 ⋅ 31 =

34 ………………(d)



36


Persamaan kuadrat x2 + (2m – 2)x – 4 = 0 mempunyai akar–akar real berlawanan. Nilai m yang memenuhi adalah …. a. –4 b. –1 c. 0 d. 1 e. 4

Jawab : d

• Persamaan x2 + (2m – 2)x – 4 = 0, memiliki nilai a = 1, b = 2m – 2, dan c = – 4

• Akar–akar nya saling berlawanan, maka: x1 = – x2 ⇒ x1 + x2 = 0

x1 + x2 = a

b−

0 = –(2m – 2) 0 = 2m – 2 2m = 2 m = 1 ………………………….(d)

18. UN 2009 BAHASA PAKET A/B Jika x1 dan x2 adalah akar–akar persamaan kuadrat 2x2 + 3x – 6 = 0, maka nilai dari

221

221 22 xxxx + = …

a. – 18 b. –12 c. –9 d. 9 e. 18 Jawab : d

Persamaan : 2x2 + 3x – 6 = 0, memiliki nilai a = 2, b = 3, c = – 6

221

221 22 xxxx + = )(2 2121 xxxx +

= a

b

a

c )(2

−×

= 22

)3)(6(2

×−−

= 9 ……………………….(d)

19. UN 2008 BAHASA PAKET A/B Jika x1 dan x2 adalah akar–akar persamaan kuadrat 2x2 – 3x + 3 = 0, maka nilai x1 · x2= … a. –2

b. –23

c. 23

d. 2 e. 3 Jawab : c

• Persamaan 2x2 – 3x + 3 = 0, memiliki nilai

a = 2, b = – 3, dan c = 3

• x1 · x2 = ac = 2

3 ………………………..(c)

20. UN 2008 BAHASA PAKET A/B Persamaan kuadrat 2x2 – 4x + 1 = 0, akar–akarnya α dan β. Nilai dari (α + β)2 – 2αβ adalah … a. 2 b. 3 c. 5 d. 9 e. 17 Jawab : b

• Persamaan: 2x2 – 4x + 1 = 0, memiliki nilai a = 2, b = – 4, c = 1

• (α + β)2 – 2αβ ……………. Rumus 5. e. 1)

⇔ 2

2 2

a

acb −=

2

2

2

)1)(2(2)4( −−

= 4

416−= 3……………..(b)



37

B. Menyusun Persamaan Kuadrat Baru Jika diketahu x1 dan x2 adalah akar–akar dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, maka persamaan

kuadrat baru yang dengan akar–akar α dan β, dimana α = f(x1) dan β = f(x2) dapat dicari dengan

cara sebagai berikut:

i) Menggunakan rumus, yaitu:

x2 – (α + β)x + α β = 0

catatan :

Pada saat menggunakan rumus ini harus Anda harus hafal rumus :

a. ab

21 xx −=+

b. ac

21 xx =⋅

2. Menggunakan metode invers, yaitu jika α dan β simetri, maka persamaan kuadrat baru adalah:

0)()( 121 =++ −− cba ββ , dengan β–1 invers dari β

catatan:

Pada saat menggunakan metode invers Anda harus hafal rumus: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2


Misalkan x1 dan x2 adalah akar –akar persamaan x2 – 3x – 4 = 0. Persamaan kuadrat baru yang akar–akarnya 2x1 dan 2x2 adalah …. A. x2 + 6x – 16 = 0 B. x2 – 6x – 16 = 0 C. x2 + 6x + 16 = 0 D. 2x2 – 6x – 16 = 0 E. 2x2 + 6x – 16 = 0 Jawab : B

Cara I Gunakan rumus jumlah dan hasil kali

1x2 – 3x – 4 = 0

(x + 1)( x – 4) = 0 x = {–1, 4}

misal α = 2x1 = 2(–1) = –2 β = 2x2 = 2(4) = 8

persamaan kuadrat baru: x2 – (α + β)x + α β = 0

⇔ x2 – (–2 + 8)x + (–2)(8)= 0 ⇔ x2 – 6x – 16= 0 ………………………..(B) Cara II : metode invers Misal α = 2x

x = α2

1 substitusi ke persamaan awal

persamaan kuadrat baru:

x2 – 3x – 4 = 0 ⇒ ( α2

1)2 – 3( α

2

1) – 4 = 0

4( 42

3

4

1 2 −− αα = 0)

α 2 – 6α – 16 = 0

–4

–3–1 4×

=



38

SOAL PENYELESAIAN 2. UN 2012 IPS/E52

Diketahui persamaan kuadrat x2 – 4x + 1 = 0 akar–akarnya x1 dan x2. Persamaan kuadrat yang akar–akarnya 3x1 dan 3x2 adalah …. A. x2 + 12x + 9 = 0 B. x2 – 12x + 9 = 0 C. x2 + 9x +12 = 0 D. x2 – 9x + 9 = 0 E. x2 – 9x – 12 = 0 Jawab : B

Cara I Gunakan rumus jumlah dan hasil kali Persamaan lama : x2 – 4x + 1 = 0

• (x1+ x2) = a

b− =

−−1

4= 4

• (x1⋅ x2) = a

c=

1

1= 1

Persamaan baru: Misal α = 2x1, β = 2x2

• α + β = 3x1 + 3x2 = 3(x1+ x2) = 3(4) = 12 • α ⋅ β = 3x1 ⋅ 3x2 = 9(x1⋅ x2) = 9(1) = 9

x2 – (α + β )x + (α ⋅ β) = 0 ⇔ x2 – 12x + 9 = 0 …………………………(B) Cara II : Metode invers Misal α = 3x

x = α3



x2 – 4x + 1 = 0 ⇒ ( α3

1)2 – 4( α

3

1) + 1 = 0

9( 13

4

9

1 2 +− αα = 0)

α 2 – 12α + 9 = 0 3. UN 2012 IPS/B25

Diketahui x 1 dan x 2 akar–akar persamaan kuadrat 3x2 – 5x – 1 = 0. Persamaan kuadrat yang akar–akarnya 3x1 dan 3x2 adalah ….

A. 0952 =−− xx

B. 0352 =−− xx

C. 0132 =−− xx

D. 033 2 =−− xx

E. 0953 2 =−− xx Jawab : B Cara II : Metode invers Misal α = 3x

x = α3



3x2 – 5x – 1 = 0 ⇒ 3( α3

1)2 – 5( α

3

1) – 1 = 0

3( 13

5

9

3 2 −− αα = 0)

α 2 – 5α – 3 = 0

Cara I Gunakan rumus jumlah dan hasil kali Persamaan lama : 3x2 – 5x – 1 = 0

• (x1+ x2) = a

b− =

−−3

5=

3

5

• (x1⋅ x2) = a

c=

3

1−


• α + β = 3x1 + 3x2 = 3(x1+ x2) = 3(3

5) = 5

• α ⋅ β = 3x1 ⋅ 3x2 = 9(x1⋅ x2) = 9(3

1− ) = –3

x2 – (α + β )x + (α ⋅ β) = 0 ⇔ x2 – 5x + (–3) = 0 ⇔ x2 – 5x – 3= 0 …………………………..(B)



39


Persamaan kuadrat 2x2 – 4x – 1 = 0 memiliki akar–akar x1 dan x2. Persamaan kuadrat 2x1 dan 2x2 = ….

A. 0242 =−− xx

B. 0242 =−+ xx

C. 0242 =+− xx

D. 0242 =++ xx

E. 0142 =−− xx Jawab : A

Cara I Gunakan rumus jumlah dan hasil kali Persamaan lama : 2x2 – 4x – 1 = 0

• (x1+ x2) = a

b− =

−−2

4= 2

• (x1⋅ x2) = a

c=

2

1−


• α + β = 2x1 + 2x2 = 2(x1+ x2) = 2(2) = 4

• α ⋅ β = 2x1 ⋅ 2x2 = 4(x1⋅ x2) = 4(2

1− ) = –2

x2 – (α + β )x + (α ⋅ β) = 0 ⇔ x2 – 4x + (–2) = 0 ⇔ x2 – 4x – 2= 0 …………………………..(A) Cara II : Metode invers Misal α = 2x

x = α2



2x2 – 4x – 1 = 0 ⇒ 2( α2

1)2 – 4( α

2

1) – 1 = 0

2( 12

4

4

2 2 −− αα = 0)

α 2 – 4α – 2 = 0



40


Persamaan kuadrat x2 – 3x + 1 = 0, mempunyai akar–akar x1 dan x2. Persamaan kuadrat yang akar–akarnya 2x1 dan 2x2 adalah … a. x2 + 6x + 2 = 0 b. x2 – 6x + 2 = 0 c. x2 + 6x + 4 = 0 d. x2 – 6x + 4 = 0 e. x2 + 12x + 4 = 0

Jawab : d

Akar–akar persamaan kuadrat baru α = 2x1, β = 2x2 Karena α dan β simetri, maka persamaan kuadrat baru dapat dicari dengan 2 cara. Cara 1. Menggunakan rumus a. Jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat awal x2 – 3x + 1 = 0 memiliki nilai a = 1, b = –3, c = 1 (i) x1 + x2 = – b = – (–3) = 3

(ii) x1 · x2 = c = 1

b. Jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat baru (i) α + β = 2x1 + 2x2 = 2(x1 + x2) = 2(3) = 6 (ii) α·β = (2x1)(2x2) = 4x1 · x2 = 4(1) = 4

• Persamaan kuadrat baru : x2 – (α + β)x + α·β = 0 x2 – 6x + 4 = 0 ……………………….(d) Cara 2. Menggunakan metode invers a. Invers dari α = 2x

α = 2x x = ½ α ……. Substitusikan ke pers. Awal

• Persamaan kuadrat baru x2 – 3x + 1 = 0 (½α)2 – 3(½α ) + 1 = 0

¼α2 – 23 α + 1 = 0 …… kedua ruas dikali 4,

menjadi α2 – 6α + 4 = 0 ⇔ x2 – 6x + 4 = 0



41

SOAL PENYELESAIAN 6. UN 2011 BAHASA PAKET 12

Akar–akar persamaan kuadrat 2x2 + 4x –5 = 0 adalah α dan β. Persamaan kuadrat yang

akar–akarnya 2

α dan

2

βadalah …

a. 4x2 + 4x – 5 = 0 b. 4x2 + 4x + 5 = 0 c. 8x2 – 8x – 5 = 0 d. 8x2 + 8x – 5 = 0 e. 8x2 + 8x + 5 = 0 Jawab : d

Akar–akar persamaan kuadrat baru

x1 = 2

α, x2 =

2

β

Karena x1 dan x2 simetri, maka persamaan kuadrat baru dapat dicari dengan 2 cara. Cara 1. Menggunakan rumus a. Jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat awal 2x2 + 4x – 5 = 0 memiliki nilai a = 2, b = 4, c = –5

(i) α + β = a

b− =

2

4− = –2

(ii) α · β = a

c =

2

5−

b. Jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat baru

(i) x1 + x2 = 2

α+

2

β

= 21 (α + β)

= 21 (–2) = –1

(ii) x1 · x2 = 2

α·

2

β

= 41 (α · β)

= 41 (

2

5−) =

8

5−

• Persamaan kuadrat baru :

x2 – (x1 + x2)x + x1 · x2 = 0 x2 – (–1)x –

85 = 0 …. Kedua ruas di kali 8

8x2 + 8x – 5 = 0 ……………………..(d) Cara 2. Menggunakan metode invers

a. Invers dari x = 2

α

x = 2

α

α = 2x ……. Substitusikan ke pers. Awal

• Persamaan kuadrat baru 2x2 + 4x – 5 = 0 2(2x)2 + 4(2x) – 5 = 0 2(4x2) + 8x – 5 = 0 8x2 + 8x – 5 = 0



42


Akar–akar persamaan kuadrat x2 + 2x + 3 = 0 adalah α dan β. Persamaan kuadrat baru yang akar–akarnya (α – 2) dan (β – 2) adalah … a. x2 + 6x + 11 = 0 b. x2 – 6x + 11 = 0 c. x2 – 6x – 11 = 0 d. x2 – 11x + 6 = 0 e. x2 – 11x – 6 = 0

Jawab : a

Akar–akar persamaan kuadrat baru x1 = α – 2, x2 = β – 2 Karena x1 dan x2 simetri, maka persamaan kuadrat baru dapat dicari dengan 2 cara. Cara 1. Menggunakan rumus a. Jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat awal

x2 + 2x + 3 = 0 memiliki nilai a = 1, b = 2, c = 3 (i) α + β = – b = – 2

(ii) α · β = c = 3

b. Jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat baru (i) x1 + x2 = α – 2 + β – 2 = α + β – 4 = –2 – 4 = –6 (ii) x1 · x2 = (α – 2)(β – 2) = α · β – 2α – 2β + 4 = α · β – 2(α + β) + 4 = 3 – 2(–2) + 4 = 3 + 4 + 4 = 11

• Persamaan kuadrat baru : x2 – (x1 + x2)x + x1 · x2 = 0 x2 – (–6)x + 11 = 0 x2 + 6x + 11 = 0 ……………………….(a) Cara 2. Menggunakan metode invers a. Invers dari x = α – 2

x = α – 2 α = x + 2 ……. Substitusikan ke pers. Awal

b. Persamaan kuadrat baru α2 + 2α + 3 = 0 (x + 2)2 + 2(x + 2) + 3 = 0 (x2 + 4x + 4) + (2x + 4) + 3 = 0 x2 + 6x + 11 = 0



43


Akar–akar persamaan kuadrat 2x2 – 5x + 1 = 0 adalah x1 dan x2. Persamaan kuadrat yang akarnya (x1 – 1) dan (x2 – 1 ) adalah … a. 2x2 – x – 3 = 0 b. 2x2 – 3x – 1 = 0 c. 2x2 – 5x + 4 = 0 d. 2x2 – 9x + 8 = 0 e. 2x2 – x – 2 = 0 Jawab : e

Akar–akar persamaan kuadrat baru α = x1 – 1, β = x2 – 1 Karena α dan β simetri, maka persamaan kuadrat baru dapat dicari dengan 2 cara. Cara 1. Menggunakan rumus a. Jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat awal 2x2 – 5x + 1 = 0 memiliki nilai a = 2, b = –5, c = 1

(i) x1 + x2 = ab− =

2)5(−− = 2

5

(ii) x1 · x2 = a

c =

21

b. Jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat baru (i) α + β = x1 – 1 + x2 – 1

= (x1 + x2) – 2

= 25 – 2

= 24

25 − =

21

(ii) α·β = (x1 – 1)(x2 – 1) = x1 · x2 – x1 – x2 + 1 = x1 · x2 – (x1 + x2) + 1

= 25

21 − +1 =

24− + 1

= –2 + 1 = –1

• Persamaan kuadrat baru :

x2 – (α + β)x + α·β = 0 x2 –

21 x – 1 = 0 ….. kedua ruas di kali 2

2x2 – x – 2 = 0 …………………….(e) Cara 2. Menggunakan metode invers a. Invers dari α = x – 1

α = x – 1 x = α + 1 ……. Substitusikan ke pers. Awal

• Persamaan kuadrat baru 2x2 – 5x + 1 = 0 2(α + 1)2 – 5(α + 1) + 1 = 0 2(α2 + 2α + 1) – 5(α + 1) + 1 = 0 2α2 + 4α + 2 – 5α – 5 + 1 2α2 – α – 2 = 0 ⇔ 2x2 – x – 2 = 0



44


Persamaan kuadrat yang akar–akarnya 31 dan

2 adalah … a. 3x2 – 7x + 2 = 0 b. 3x2 + 7x + 2 = 0 c. 3x2 + 7x – 2 = 0 d. 3x2 – 7x + 7 = 0 e. 3x2 – 7x – 7 = 0

Jawab : a

Persamaan kuadrat di cari menggunakan rumus • Akar–akar persamaan kuadrat

x1 = 31 dan x2 = 2

• Jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat

• x1 + x2 = 31 + 2 =

36

31 + =

37

(ii) x1 · x2 = 31 · 2 =

32

• Persamaan kuadrat x2 – (x1 + x2)x + x1 · x2 = 0

x2 – 37 x +

32 = 0 ……… kedua ruas dikali 3

3x2 – 7x + 2 = 0 ………………………….(a)

10. UN 2008 BAHASA PAKET A/B Ditentukan m dan n adalah akar–akar persamaan kuadrat x2 – 3x + 1 = 0. Persamaan kuadrat yang akar–akarnya 5m dan 5n adalah … a. x2 – 15x + 25 = 0 b. x2 + 15x + 25 = 0 c. x2 – 3x + 25 = 0 d. x2 + 3x + 25 = 0 e. x2 – 30x + 25 = 0 Jawab : a

Akar–akar persamaan kuadrat baru α = 5m, β = 5n Karena α dan β simetri, maka persamaan kuadrat baru dapat dicari dengan 2 cara. Cara 1. Menggunakan rumus a. Jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat awal x2 – 3x + 1 = 0 memiliki nilai a = 1, b = –3, c = 1 (i) m + n = – b = – (–3) = 3

(ii) m · n = c = 1

b. Jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat baru (i) α + β = 5m + 5n = 5(m + n) = 5(3) = 15 (ii) α·β = (5m)(5n) = 25mn = 25(1) = 25

• Persamaan kuadrat baru : x2 – (α + β)x + α·β = 0 x2 – 15x + 25 = 0 ……………………….(a) Cara 2. Menggunakan metode invers a. Invers dari α = 5m

α = 5m

x = 5α ……. Substitusikan ke pers. Awal

b. Persamaan kuadrat baru x2 – 3x + 1 = 0

(5α )2 – 3(

5α ) + 1 = 0

25

2α –

5

3α + 1 = 0 … kedua ruas dikali 25

α2 – 15α + 25 = 0 ⇔ x2 – 15x + 25 = 0



45

C. Fungsi kuadrat 1. Bentuk umum fungsi kuadrat : y = ax2 + bx + c, a ≠ 0

2. Pengaruh determinan terhadap bentuk grafik fungsi kuadrat adalah:

D a > 0 (fungsi minimum) a < 0 (fungsi maksimum)

D > 0

Grafik memotong sumbu X di dua titik

Grafik memotong sumbu X di dua titik

D = 0

Grafik menyinggung sumbu X

Grafik menyinggung sumbu X

D < 0

Grafik tidak menyinggung sumbu X

Grafik tidak menyinggung sumbu X

• Bagian–bagian grafik fungsi kuadrat

a) Persamaan sumbu simetri : a

bex

2−=

b) Nilai ekstrim fungsi : a

Dey

4−=

c) Koordinat titik balik/ekstrim : (a

b2

− ,a

D4

− )



46

SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2012 IPS /A13

Koordinat titik balik maksimum grafik fungsi f(x) = –2x2 – 4x + 5 adalah …. A. (–1, 7) B. (–1, 5) C. (–1, 1) D. (7, 1) E. (7, –1) Jawab : A

f(x) = –2x2 – 4x + 5, maka a = –2, b = –4, c = 5

xe = a

b

2

−=

)2(2

)4(

−−−

= 4

4

−= –1

f(x) = –2x2 – 4x + 5 ye = f(xe) = –2(–1)2 – 4(–1) + 5

= –2 + 4 + 5 = 7 Jadi, titik baliknya di (xe, ye) = (–1, 7) ……..(A)

2. UN 2012 IPS /B25 Koordinat titik balik grafik fungsi

2618 xxy −−= adalah …. A. (3, 27) B. (3, –27) C. (–3, 27) D. (–3, –9) E. (–3, 9) Jawab : C

f(x) = 18 – 6x –x2, maka a = –1, b = –6, c = 18

xe = a

b

2

−=

)1(2

)6(

−−−

= 2

6

−= –3

f(x) = 18 – 6x –x2 ye = f(xe) = 18 – 6(–3) – (–3)2

= 18 + 18 – 9 = 27 Jadi, titik baliknya di (xe, ye) = (–3, 27) ……..(C)

3. UN 2012 IPS /C37 Koordinat titik balik grafik fungsi y = x2 + 6x + 6 adalah …. A. (–3, 3) B. (3, –3) C. (–3, –3) D. (–6, 6) E. (6, –6) Jawab : C

f(x) = x2 + 6x + 6, maka a = 1, b = 6, c = 6

xe = a

b

2

−=

)1(2

6−=

2

6−= –3

f(x) = x2 + 6x + 6 ye = f(xe) = (–3)2 + 6(–3) + 6

= 9 – 18 + 6 = –3 Jadi, titik baliknya di (xe, ye) = (–3, –3) ……..(C)

4. UN 2012 IPS /E52 Koordinat titik balik grafik fungsi y = x2 – 2x + 5 adalah …. A. (1, 4) B. (2, 5) C. (–1, 8) D. (–2, 13) E. (–2, 17) Jawab : A

f(x) = x2 – 2x + 5, maka a = 1, b = –2, c = 5

xe = a

b

2

−=

)1(2

)2(−−=

2

2= 1

f(x) = x2 – 2x + 5 ye = f(xe) = 12 – 2(1) + 5

= 1 – 2 + 5 = 4 Jadi, titik baliknya di (xe, ye) = (1, 4) ……..(A)



47

SOAL PENYELESAIAN 5. UN 2012 IPS /B25

Koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat

232 2 −+= xxy dengan sumbu X dan sumbu Y berturut–turut adalah ….

A. (0,2

1), (2, 0), dan (0, –2)

B. (0,2

1), (2, 0), dan (0, 2)

C. (2

1, 0), (–2, 0), dan (0, –2)

D. (2

1, 0), (2, 0), dan (0, –2)

E. (2

1− , 0), (–2, 0), dan (0, –2)

Jawab : C

i) Kurva memotong sumbu X saat y = f(x) = 0, 0 = 2x2 + 3x – 2 = (x + 2)(2x – 1)

x = {–2, 2

1}

∴titik potong dengan sumbu X di (–2, 0), (2

1, 0)

ii) Kurva memotong sumbu Y saat x = 0, y = 2(0)2 + 3(0) – 2 = –2

∴titik potong dengan sumbu Y di (0, –2) sehingga jawaban yang benar adalah ……. (C)

6. UN 2012 IPS /C37 Koordinat titik potong grafik y = 2x2 –7x + 6 dengan sumbu X dan sumbu Y berturut–turut adalah ….

A. (2

3, 7), (2, 0), dan (0, 6)

B. (–2

3, 0), (2, 0), dan (0, 6)

C. (–2

3, 0), (–2, 0), dan (0, 6)

D. (2

3, 0), (–2, 0), dan (0, 6)

E. (2

3, 0), (2, 0), dan (0, 6)

Jawab : E

i) Kurva memotong sumbu X saat y = f(x) = 0,

0 = 2x2 –7x + 6 = (2x – 3)(x – 2)

x = {2

3, 2}

∴titik potong dengan sumbu X di (2

3, 0), (2, 0)

ii) Kurva memotong sumbu Y saat x = 0, y = 2(0)2 –7(0) + 6 = 6

∴titik potong dengan sumbu Y di (0, 6) sehingga jawaban yang benar adalah ……. (E)

7. UN 2012 IPS /E52 Koordinat titik potong kurva y = 3x2 – 5x – 2 dengan sumbu–X dan sumbu –Y berturut–turut adalah ….

A. (3

1− , 0), (2, 0), dan (0, 2)

B. (3

1− , 0), (2, 0), dan (0, –2)

C. (3

1, 0), (–2, 0), dan (0, –2)

D. (3

1− , 0), (–2, 0), dan (0, –2)

E. (3

1− , 0), (–2, 0), dan (0, 2)

Jawab : B

i) Kurva memotong sumbu X saat y = f(x) = 0,

0 = 3x2 – 5x – 2 = (3x + 1)(x – 2)

x = {3

1− , 2}

∴titik potong dengan sumbu X di (3

1− , 0), (2, 0)

ii) Kurva memotong sumbu Y saat x = 0, y = 3(0)2 – 5(0) – 2 = –2

∴titik potong dengan sumbu Y di (0, –2) sehingga jawaban yang benar adalah ……. (B)



48


Persamaan sumbu simetri grafik fungsi kuadrat y = 5x2 – 20x + 1 adalah … a. x = 4 d. x = –3 b. x = 2 e. x = –4 c. x = –2 Jawab : b

Fungsi kuadrat y = 5x2 – 20x + 1 Memiliki nilai a = 5, b = –20, dan c = 1, maka persamaan sumbu simetri

x = a

b2

− = )5(2

)20(−− = 1020 = 2 ……………….(b)

9. UN 2011 IPS PAKET 46 Persamaan sumbu simetri grafik fungsi kuadrat y = 3x2 + 12x – 15, adalah … a. x = –2 d. x = 5 b. x = 2 e. x = 1 c. x = –5 Jawab : a

Fungsi kuadrat y = 3x2 + 12x – 15 Memiliki nilai a = 3, b = 12, dan c = –15, maka persamaan sumbu simetri

x = a

b2

− = )3(2

12− = 612− = –2 ……………….(a)

10. UN 2011 IPS PAKET 12 Koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat y = 3x2 – x – 2 dengan sumbu X dan sumbu Y adalah …

a. (–1, 0), (32 , 0) dan (0, 2)

b. (32− , 0), (1 , 0) dan (0, – 2)

c. (23− , 0), (1 , 0) dan (0,

32− )

d. (23− , 0), (–1 , 0) dan (0, –1)

e. (23 , 0), (1 , 0) dan (0, 3)

Jawab : b

• grafik memotong sumbu X jika y = 0 y = 3x2 – x – 2 0 = 3x2 – x – 2 = (3x + 2)(x – 1)

x = {32− , 1}

Jadi, potong dengan sumbu X di (

32− , 0) dan (1 , 0)

• grafik memotong sumbu Y jika x = 0 y = 3x2 – x – 2 y = 3(0)2 – (0) – 2 = – 2 Jadi, titik potong dengan sumbu Y di (0, –2)

Sehingga jawaban yang benar adalah …..(b)

11. UN 2011 IPS PAKET 46 Koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat y = 2x2 – 5x – 3 dengan sumbu X dan sumbu Y berturut–turut adalah …

a. (21− , 0), (–3, 0) dan (0, –3)

b. (21− , 0), (3 , 0) dan (0, –3)

c. (21 , 0), (–3, 0) dan (0, –3)

d. (23− , 0), (1 , 0) dan (0, –3)

e. (–1, 0), (23 , 0) dan (0, –3)

Jawab : b

• grafik memotong sumbu X jika y = 0 y = 2x2 – 5x – 3 0 = 2x2 – 5x – 3 = (2x + 1)(x – 3)

x = {21− , 3 }

Jadi, potong dengan sumbu X di

(21− , 0) dan (3 , 0)

• grafik memotong sumbu Y jika x = 0 y = 2x2 – 5x – 3 y = 2(0)2 – 5(0) – 3 = – 3 Jadi, titik potong dengan sumbu Y di (0, –3)

Sehingga jawaban yang benar adalah …..(b)



49


Koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat f(x) = 3x2 + 5x – 2 dengan sumbu X dan sumbu Y berturut–turut adalah …

a. (31 , 0), (–2 , 0) dan (0, – 2)

b. (31 , 0), (2 , 0) dan (0, – 2)

c. (31− , 0), (2 , 0) dan (0, 2)

d. (31− , 0), (–2 , 0) dan (0, 2)

e. (3, 0), (–2 , 0) dan (0, –2)

Jawab : a

• fungsi y = f(x) memotong sumbu X jika y = 0 y = 3x2 + 5x – 2 0 = 3x2 + 5x – 2 = (3x – 1)(x + 2) maka 3x – 1 = 0 atau x + 2 = 0

x = 31 x = – 2

Titik potong dengan sumbu X di

(31 , 0) dan (–2 , 0)

• fungsi y = f(x) memotong sumbu Y jika x = 0 y = 3x2 + 5x – 2 y = 3(0)2 + 5(0) – 2 = – 2 Titik potong dengan sumbu X di (0, –2) Jadi titik potong grafik dengan sumbu X dan

sumbu Y di (31 , 0), (–2 , 0) dan (0, – 2)

…………………………………………(a)

13. UN 2010 IPS PAKET B Koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat f(x) = (x – 1)2 – 4 dengan sumbu X adalah … a. (1, 0) dan (3 , 0) b. (0, 1) dan (0 , 3) c. (–1, 0) dan (3 , 0) d. (0, –1) dan (0 , 3) e. (–1, 0) dan (–3 , 0)

Jawab : c

y = f(x) = (x – 1)2 – 4 = x2 – 2x + 1 – 4 = x2 – 2x – 3

• Grafik memotong sumbu X jika y = 0 y = x2 – 2x – 3 0 = x2 – 2x – 3 = (x – 3)(x + 1) maka x – 3 = 0 atau x + 1 = 0

x = 3 x = – 1 Jadi, potong dengan sumbu X di

(–1 , 0) dan (3, 0) ………………………..(c)

14. UN 2010 IPS PAKET A/B Koordinat titik balik dari grafik fungsi kuadrat yang persamaannya y = (x – 6)(x + 2) adalah … a. (–2 , 0) b. (–1 , –7) c. (1 , –15) d. (2 , –16) e. (3 , –24)

Jawab : d

y = (x – 6)(x + 2) = x2 + 2x – 6x – 12 = x2 – 4x – 12

memiliki nilai a = 1, b = – 4, c = – 12 • Koordinat titik balik (xe, ye)

xe = ab

2− =

)1(2)4(−− =

24 = 2

substitusikan ke persamaan ye = f(xe) = (xe)

2 – 4(xe) – 12 = 22 – 4(2) – 12 = 4 – 8 – 12 = –16

Jadi, koordinat titik baliknya di (2, –16) ……..(d)

15. UN 2009 IPS PAKET A/B Koordinat titik balik maksimum grafik y = –2x2 – 4x + 5 adalah … a. (1, 5) b. (1, 7) c. (–1, 5) d. (–1, 7) e. (0, 5) Jawab : d

y = –2x2 – 4x + 5 memiliki nilai a = –2, b = – 4, c = 5 • Koordinat titik balik (xe, ye)

xe = ab

2− =

)2(2)4(

−−− = –1

substitusikan ke persamaan ye = f(xe) = –2(xe)

2 – 4xe + 5 = –2(–1)2 – 4(–1) + 5 = –2 + 4 + 5 = 7

Jadi, koordinat titik baliknya di (–1,7) ……..(d)



50


Koordinat titik balik fungsi kuadrat 4y – 4x2 + 4x – 7 = 0 adalah … a. ( )2

321 ,−

b. ( )47

21 ,−

c. ( )23

21 ,−

d. ( )

23

21 ,

e. ( )4

721 ,

Jawab : d

4y – 4x2 + 4x – 7 = 0 ⇔ 4y = 4x2 – 4x + 7 ….. kedua ruas dibagi 4 ⇔ y = x2 – x + 4

7

memiliki nilai a = 1, b = – 1, c = 47

• Koordinat titik balik (xe, ye)

xe = ab

2− =

)1(2)1(−− =

21


2 – x + 47

= (21 )2 –

21 +

47 =

41 –

21 +

47

= 47

42

41 +− =

46 =

23

Jadi, koordinat titik baliknya di (21 ,

23 ) ……..(d)

17. UN 2008 IPS PAKET A/B Koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat y = 3x2 + 7x – 6 dengan sumbu X adalah …

a. (32 , 0) dan (–3 , 0)

b. (32 , 0) dan (3 , 0)

c. ( 23 , 0) dan (–3 , 0)

d. (–3, 0) dan (–23 , 0)

e. (0,23 ) dan (0, –3)

Jawab : a

• Grafik memotong sumbu X jika y = 0 y = 3x2 + 7x – 6 0 = 3x2 + 7x – 6 = (3x – 2)(x + 3) maka 3x – 2 = 0 atau x + 3 = 0

3x = 2 x = –3

x = 32

Jadi, potong dengan sumbu X di

(32 , 0) dan (–3 , 0) ……………………….(a)

18. UN 2012 BHS/A13 Grafik fungsi f(x) = x2 + 8x + 12 memotong sumbu X pada titik … A. (2, 0) dan (6, 0) B. (0, 2) dan (0, 6) C. (–2, 0) dan (–6, 0) D. (–2, 0) dan (–6, 6) E. (0, –2) dan (0, –6) Jawab : D

Kurva memotong sumbu X saat y = f(x) = 0, maka 0 = x2 + 8x + 12 = (x + 2)(x + 6)

x = {–2, –6} Jadi titik potongnya di (–2, 0) dan (–6, 0) …....(D)

19. UN 2012 BHS/B25 Grafik fungsi kuadrat y = (x – 1)2 – 4 memotong sumbu X di titik … A. (–1, 0) dan (3, 0) B. (1, 0) dan (–3, 0) C. (1, 0) dan (3, 0) D. (–1, 0) dan (–3, 0) E. (1, 0) dan (4, 0) Jawab : A

Kurva memotong sumbu X saat y = 0, maka 0 = (x – 1)2 – 4

= x2 – 2x + 1 – 4 = x2 – 2x – 3 = (x + 1)(x – 3) x = {–1, 3}

Jadi titik potongnya di (–1, 0) dan (3, 0) …....(A)



51

SOAL PENYELESAIAN 20. UN 2012 BHS/C37

Grafik fungsi f(x) = x2 + 6x + 8 akan memotong sumbu X pada titik … A. (2,0) dan (4,0) B. (0,2) dan (0,4) C. (–2,0) dan (–4,0) D. (–2,2) dan (–4,4) E. (0,–2) dan (0,–4) Jawab : C

Kurva memotong sumbu X saat y = 0, maka 0 = x2 + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4)

x = {–2, –4}

Jadi titik potongnya di (–2, 0) dan (–4, 0) ………………………....(C)

21. UN 2012 BHS/A13 Koordinator titik balik grafik fungsi kuadrat f(x) = 2x2 + 8x + 6 adalah … A. (2, 2) B. (2, –2) C. (–2, 2) D. (–2, –2) E. (–2, 0) Jawab : D

f(x) = 2x2 + 8x + 6, maka a = 2, b = 8, dan c = 6

xe = a

b

2

−=

)2(2

8−=

4

8−= –2

ye = f(xe) = 2(–2)2 + 8(–2) + 6 = 8 – 16 + 6 = –2

Jadi, titik baliknya di (xe, ye) = (–2, –2) ……..(D)

22. UN 2012 BHS/B25 Koordinat titik balik grafik fungsi kuadrat y = x2 + 4x – 6 adalah … A. (–10, –2) B. (10, –2) C. (–2, 10) D. (–2, –10) E. (2, –10) Jawab : D

f(x) = x2 + 4x – 6, maka a = 1, b = 4, dan c = –6

xe = a

b

2

−=

)1(2

4−=

2

4−= –2

ye = f(xe) = (–2)2 + 4(–2) – 6 = 4 – 8 – 6 = –10

Jadi, titik baliknya di (xe, ye) = (–2, –10) ……..(D)

23. UN 2012 BHS/C37 Koordinat titik balik grafik fungsi kuadrat f(x) = 3x2 – 6x + 4 adalah … A. (–1,–1) B. (–1,1) C. (1,–1) D. (1,1) E. (1,0) Jawab : D

f(x) = 3x2 – 6x + 4, maka a = 3, b = –6, dan c = 4

xe = a

b

2

−=

)3(2

)6(−−=

6

6= 1

f(x) = 3x2 – 6x + 4 ye = f(xe) = 3(1)2 – 6(1) + 4

= 3 – 6 + 4 = 1 Jadi, titik baliknya di (xe, ye) = (1, 1) ……..(D)

24. UN 2010 BAHASA PAKET A Koordinat titik balik grafik fungsi y = x2 – 6x + 10 adalah … a. (6, – 14) b. (3, – 3) c. (0, 10) d. (6, 10) e. (3, 1)

Jawab : e

y = x2 – 6x + 10 memiliki nilai a = 1, b = – 6, c = 10 • Koordinat titik balik (xe, ye)

xe = ab

2− =

)1(2)6(−− = 3


2 – 6xe + 10 = 32 – 6(3) + 10 = 9 – 18 + 10 = 1

Jadi, koordinat titik baliknya di (3,1) ……..(e)



52

SOAL PENYELESAIAN 25. UN 2010 BAHASA PAKET B

Koordinat titik balik grafik fungsi kuadrat y = x2 – 4x + 5 adalah … a. (–2, 1) b. (2, 1) c. (2, 3) d. (–2, 3) e. (–2, –1)

Jawab : b

y = x2 – 4x + 5 memiliki nilai a = 1, b = – 4, c = 5 • Koordinat titik balik (xe, ye)

xe = ab

2− =

)1(2)4(−− = 2


2 – 4xe + 5 = 22 – 4(2) + 5 = 4 – 8 + 5 = 1

Jadi, koordinat titik baliknya di (2,1) ……..(b) 26. UN 2009 BAHASA PAKET A/B

Nilai maksimum dari f(x) = –2x2 + 4x + 1 adalah … a. 3 b. –2 c. 1 d. 2 e. 3 Jawab : e

Nilai maksimum dari f(x) = Ordinat titik balik

maksimum = ye = a

D4−

ye = a

D

4− =

a

acb

4

42

−−

= )2(4

)1)(2(442

−−−−

= 24

2444

⋅⋅+⋅

= 2

24+ = 3 ……….(e)

27. UN 2009 BAHASA PAKET A/B Di rumah pak Aming ada kolam renang berbentuk persegi panjang. Keliling kolam renang adalah 600 meter. Luas terbesar kolam renang Pak Aming adalah … a. 90.000 m2

b. 60.000 m2 c. 45.000 m2 d. 22.500 m2 e. 15.000 m2

Jawab : d

Keliling persegi panjang : k k = 2 (p + l) 600 = 2 (p + l) 300 = p + l l = 300 – p Luas persegi panjang : L L = p ⋅ l L = p(300 – p) L = 300p – p2

Lmaks = a

D

4− =

)1(4

)0)(1(4)300( 2

−−−−

= 4

000.90 = 22.500 ………(d)

28. UN 2008 BAHASA PAKET A/B Diketahui f(x) = x2 – 2x + 3. Nilai f(–1) adalah … a. 6 d. 2 b. 4 e. 0 c. 3 Jawab : a

f(x) = x2 – 2x + 3 f(–1) = (–1)2 – 2(–1) + 3 ..….. ganti x dengan –1 = 1 + 2 + 3 = 6 ……………………………………(a)

29. UN 2008 BAHASA PAKET A/B Koordinat titik puncak grafik fungsi kuadrat dengan persamaan y = 2x2 – 8x – 24 adalah… a. (–2, –32) b. (–2, 0) c. (–2, 32) d. (2, –32) e. (2, 32)

Jawab : d

y = 2x2 – 8x – 24 memiliki nilai a = 2, b = – 8, c = –24 • Koordinat titik balik (xe, ye)

xe = ab

2− =

)2(2)8(−− = 2

substitusikan ke persamaan ye = f(xe) = 2(xe)

2 – 8xe – 24 = 2(2)2 – 8(2) – 24 = 8 – 16 – 24 = –32

Jadi, koordinat titik baliknya di (2, –32) ……(d)



53

D. Menenetukan persamaan grafik fungsi kuadrat 1. Grafik fungsi kuadrat yang melalui titik balik (xe, ye) dan sebuah titik tertentu (x, y):

2. Grafik fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di dua titik (x1, 0), (x2, 0), dan melalui sebuah titik tertentu (x, y):

SOAL PENYELESAIAN 1. UN IPS 2013

Persamaan fungsi kuadrat yang grafiknya

memotong sumbu X di titik @�� , 0A dan (–3, 0)

serta melalui titik (2, 5) adalah … A. 4 = 23� + 33 − 9 B. 4 = 23� − 33 − 9 C. 4 = 23� + 33 + 9 D. 4 = 3� + 33 − 9 E. 4 = 3� − 33 − 9 Jawab : A

Fungsi melalui titik (–3, 0), (2, 5), maka f(–3) = 0, dan f(2) = 5 Jawaban yang benar adalah (A) cek point

y = f(x) = 23� + 33 − 9

i) f(–3) = 2(–3)2 + 3(–3) – 9

= 18 – 9 – 9 = 0 …⇒ f(–3) = 0

ii) f(2) = 2(2)2 + 3(2) – 9

= 8 + 6 – 9 = 5... .... ⇒ f(2) = 5

2. UN IPS 2013 Persamaan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu X di titik (2, 0) dan (3, 0) serta melalui titik (0, 12) adalah … A. 4 = 3� − 53 + 12 B. 4 = 3� + 53 + 12 C. 4 = 23� + 103 + 12 D. 4 = 23� − 33 + 12 E. 4 = 23� − 103 + 12 Jawab : E

Fungsi melalui titik (2, 0), (3, 0), maka f(2) = 0, dan f(3) = 0 Jawaban yang benar adalah (E) cek point

y = f(x) = 23� − 103 + 12

i) f(2) = 2(2)2 – 10(2) + 12

= 8 – 20 + 12 = 0 …⇒ f(2) = 0

ii) f(3) = 2(3)2 – 10(3) + 12

= 18 – 30 + 12 = 0.... ⇒ f(3) = 0

X

(xe, ye)

(x, y)

0 y = a(x – xe)

2 + ye

Y

X (x1, 0)

(x, y)

0 y = a(x – x1) (x – x2)

(x2, 0)

Y



54


Persamaan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu X di titik (1, 0) dan (–2, 0) serta melalui titik (0, –6) adalah … A. 4 = 33� − 33 − 6 B. 4 = 33� + 33 − 6 C. 4 = 23� + 33 − 6 D. 4 = 3� − 33 − 6 E. 4 = 3� + 33 − 6 Jawab : B

Fungsi melalui titik (1, 0), (–2, 0), maka f(1) = 0, dan f(–2) = 0 Jawaban yang benar adalah (B) cek point

y = f(x) = 33� + 33 − 6

i) f(1) = 3(1)2 + 3(1) – 6

= 3 + 3 – 6 = 0 …..…⇒ f(1) = 0

ii) f(–2) = 3(–2)2 + 3(–2) – 6

= 12 – 6 – 6 = 0.....⇒ f(–2) = 0 4. UN IPS 2013

Persamaan grafik fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di titik (2, 0) dan (3, 0) serta melalui titik (0, 6) adalah … A. 4 = 23� − 53 + 6 B. 4 = 23� + 53 + 6 C. 4 = 3� + 53 + 6 D. 4 = 3� − 53 + 6 E. 4 = −3� + 53 + 6 Jawab : D

Fungsi melalui titik (2, 0), (3, 0), maka f(2) = 0, dan f(3) = 0 Jawaban yang benar adalah (D) cek point

y = f(x) = 3� − 53 + 6

i) f(2) = (2)2 – 5(2) + 6

= 4 – 10 + 6 = 0 …..…⇒ f(2) = 0

ii) f(3) = (3)2 – 5(3) + 6

= 9 – 15 + 6 = 0..........⇒ f(3) = 0 5. UN IPS 2013

Persamaan grafik fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di titik (–3, 0) dan (4, 0) serta melalui titik (0, –24) adalah … A. 4 = 3� − 3 − 24 B. 4 = 3� + 23 − 24 C. 4 = 23� + 23 − 24 D. 4 = 33� − 23 − 24 E. 4 = 23� − 23 − 24 Jawab : E

Fungsi melalui titik (–3, 0), (4, 0), maka f(–3) = 0, dan f(4) = 0 Jawaban yang benar adalah (E) cek point

y = f(x) =23� − 23 − 24

i) f(–3) = 2(–3)2 – 2(–3) – 24

= 18 + 6 – 24 = 0 …..⇒ f(–3) = 0

ii) f(4) = 2(4)2 – 2(4) – 24

= 32 – 8 – 24 = 0........⇒ f(4) = 0 6. UN IPS 2013

Persamaan grafik fungsi kuadrat yang memotong sumbu Y di titik (0, 3) dan memotong sumbu X di titik (–1, 0) dan (–3, 0) adalah … A. 4 = 3� − 43 + 3 B. 4 = 3� + 43 + 3 C. 4 = 3� − 23 + 3 D. 4 = 3� + 23 + 3 E. 4 = 3� − 3 + 3 Jawab : B

Fungsi melalui titik (–1, 0), (–3, 0), maka f(–1) = 0, dan f(–3) = 0 Jawaban yang benar adalah (B) cek point

y = f(x) =3� + 43 + 3

i) f(–1) = (–1)2 + 4(–1) + 3

= 1– 4 + 3 = 0 ……...⇒ f(–1) = 0

ii) f(–3) = (–3)2 + 4(–3) + 3

= 9 – 12 + 3 = 0......⇒ f(–3) = 0



55


Persamaan grafik fungsi kuadrat yang memotong sumbu X pada titik (2, 0) dan (–4, 0) serta memotong sumbu Y di titik (0, –8) adalah … A. 4 = 3� + 83 + 2 B. 4 = 3� − 83 + 2 C. 4 = 3� − 23 + 8 D. 4 = 3� + 23 − 8 E. 4 = 3� − 23 − 8 Jawab : D

Fungsi melalui titik (2, 0), (–4, 0), maka f(2) = 0, dan f(–4) = 0 Jawaban yang benar adalah (D) cek point

y = f(x) =3� + 23 − 8

i) f(2) = (2)2 + 2(2) – 8

= 4 + 4 – 8 = 0 ……...⇒ f(2) = 0

ii) f(–4) = (–4)2 + 2(–4) – 8

= 16 – 8 – 8 = 0......⇒ f(–4) = 0

8. UN IPS 2013

Persamaan fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di titik (–2, 0) dan (1, 0) serta melalui titik (0, 2) adalah … A. 4 = −3� − 23 + 2 B. 4 = −3� − 3 + 2 C. 4 = −3� + 3 + 2 D. 4 = −23� − 23 + 2 E. 4 = −23� + 23 + 2 Jawab : D

Fungsi melalui titik (–2, 0), (1, 0), maka f(–2) = 0, dan f(1) = 0 Jawaban yang benar adalah (B) cek point

y = f(x) =−3� − 3 + 2

i) f(–2) = – (2)2 – (–2) + 2

= –4 + 2 + 2 = 0 ……⇒ f(–2) = 0

ii) f(1) = – (1)2 – (1) + 2

= – 1 – 1 + 2 = 0......⇒ f(1) = 0

9. UN IPS 2012/C37

Persamaan grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik (–1, 4) dan melalui titik (0, 3) adalah …. A. y = – x2 + 2x – 3 B. y = – x2 + 2x +3 C. y = – x2 – 2x + 3 D. y = – x2 – 2x – 5 E. y = – x2 – 2x + 5 Jawab : C

Cara II. Cek point • Grafik melalui titik (0, 3), sehingga

kemungkinan jawaban yang benar adalah B dan C, karena fungsi kuadrat memiliki nilai c = 3

• Substitusikan titik (–1, 4) ke jawaban B atau C Jawaban akan benar jika f(–1) = 4 B. y = – x2 + 2x +3 = – (–1)2 + 2(–1) +3

= –1 – 2 + 3 = 0 …… salah, karena seharusnya nilai y = 4 dengan demikian jawaban yang benar adalah …………….. C

Cara I. Karena grafik memiliki titik ekstrim (xe, ye) = (–1, 4) dan melalui titik (x, y) = (0, 3), maka gunakan rumus: y = a(x – xe)

2 + ye (i) tentukan nilai a

y = a(x – xe)2 + ye

3 = a(0 – (– 1))2 + 4 3 – 4 = a a = –1

(ii) substitusikan nilai a ke rumus y = a(x – xe)

2 + ye = –1 (x – (– 1))2 + 4

= –1 (x + 1)2 + 4 = – (x2 + 2x + 1) + 4 = – x2 – 2x – 1 + 4 = – x2 – 2x + 3 ………………….(C)



56


Persamaan grafik fungsi kuadrat yang

memotong sumbu X di titik (1,0) dan (3,0) serta

melalui titik (–1, –16) adalah …

a. y = 2x2 – 8x + 6 b. y = x2 + 4x – 21 c. y = x2 + 4x – 5 d. y = –2x2 + 8x – 6 e. y = –2x2 + 4x – 10 Jawab : d

Cara I Karena grafik melalui 3 titik yaitu (x1, 0) = (1,0), (x2, 0) = (3,0) serta melalui titik(x, y) = (–1, –16), maka gunakan rumus: y = a(x – x1) (x – x2) (i) tentukan nilai a

–16 = a(–1 – 1))( –1 –3) –16 = a(–2)(–4) –16 = 8a a = –2

(ii) substitusikan nilai a ke rumus y = a(x – x1) (x – x2) = –2(x – 1)(x – 3) = –2(x2 – 4x + 3) = –2x2 + 8x – 6 ……………………..(d)

11. UN 2011 IPS PAKET 46

Persamaan grafik fungsi kuadrat yang

memotong sumbu X di titik (–3,0) dan (2,0)

serta melalui titik (1, –8) adalah …

a. y = 2x2 + 3x – 12 b. y = –2x2 – 3x – 12 c. y = 2x2 – 2x + 12 d. y = –2x2 + 2x – 12 e. y = 2x2 + 2x – 12 Jawab : e

Karena grafik melalui 3 titik yaitu (x1, 0) = (–3,0), (x2, 0) = (2,0) serta melalui titik(x, y) = (1, –8), maka gunakan rumus: y = a(x – x1) (x – x2) (i) tentukan nilai a

–8 = a(1 –(–3))(1 – 2) –8 = a(4)(–1) 8 = 4a a = 2

(ii) substitusikan nilai a ke rumus y = a(x – x1) (x – x2) = 2(x + 3)(x – 2) = 2(x2 + x – 6) = 2x2 + 2x – 12 ……………………..(e)

12. UN 2010 IPS PAKET A/B Persamaan grafik fungsi kuadrat mempunyai titik ekstrim (–1, 4) dan melalui titik (0, 3) adalah … a. y = –x2 + 2x – 3 b. y = –x2 + 2x + 3 c. y = –x2 – 2x + 3 d. y = –x2 – 2x – 5 e. y = –x2 – 2x + 5 Jawab : c

Karena grafik memiliki titik ekstrim (xe, ye) = (–1, 4) dan melalui titik (x, y) = (0, 3), maka gunakan rumus: y = a(x – xe)


y = a(x – xe)2 + ye

3 = a(0 + 1)2 + 4 3 – 4 = a a = –1


2 + ye = –1 (x + 1)2 + 4 = – (x2 + 2x + 1) + 4 = – x2 – 2x – 1 + 4 = – x2 – 2x + 3 ………………….(c)



57


Persamaan grafik fungsi kuadrat pada gambar

adalah …

a. y = –2x2 + 4x + 3 b. y = –2x2 + 4x + 2 c. y = –x2 + 2x + 3 d. y = –2x2 + 4x – 6 e. y = –x2 + 2x – 5 Jawab : c Cara II. Cek point

• Grafik melalui titik (0, 3), sehingga kemungkinan jawaban yang benar adalah a) dan c), karena fungsi kuadrat memiliki nilai c = 3

• Substitusikan titik (1, 4) ke jawaban a) atau c) Jawaban akan benar jika f(1) = 4 a. y = – 2x2 + 4x +3 = – 2(1)2 + 4(1) +3

= –2 + 4 + 3 = 5 …… salah, karena seharusnya nilai y = 4 dengan demikian jawaban yang benar adalah …………….. (c)

Cara I Karena grafik memiliki titik ekstrim (xe, ye) = (1, 4) dan melalui titik (x, y) = (0, 3), maka gunakan rumus: y = a(x – xe)


y = a(x – xe)2 + ye

3 = a(0 – 1)2 + 4 3 – 4 = a a = –1


2 + ye = –1 (x – 1)2 + 4

= – (x2 – 2x + 1) + 4 = – x2 + 2x – 1 + 4 = – x2 + 2x + 3 ………………….(c)

14. UN 2008 IPS PAKET A/B Persamaan grafik fungsi kuadrat pada gambar adalah …

a. y =

21 x2 – 2x – 2

b. y = 21 x2 + 2x – 2

c. y = 21 x2 – 2x + 2

d. y = –21 x2 + 2x + 2

e. y = –21 x2 – 2x + 2

Jawab : c

Karena grafik memiliki titik ekstrim (xe, ye) = (2, 0) dan melalui titik (x, y) = (0, 2), maka gunakan rumus: y = a(x – xe)


y = a(x – xe)2 + ye

2 = a(0 – 2)2 + 0 2 = 4a a =

42 =

21


2 + ye =

21 (x – 2)2 + 0

= 21 (x2 – 4x + 4)

= 21 x2 – 2x + 2 ………………….(c)

X 1

Y

2

2 3 0



58


Persamaan grafik fungsi dari gambar berikut adalah …

a. y = x2 – 2x – 8 b. y = –x2 + 2x + 8 c. y =

21 x2 – x – 4

d. y = –21 x2 + x + 4

e. y = x2 + x – 4

Jawab : d

Cara I. Karena grafik melalui 3 titik yaitu (x1, 0) = (–2,0), (x2, 0) = (4,0) serta melalui titik(x, y) = (0, 4), maka gunakan rumus: y = a(x – x1) (x – x2) (i) tentukan nilai a

4 = a(0 –(–2))(0 – 4) 4 = a(2)(–4) 4 = –8a a = –

21

(ii) substitusikan nilai a ke rumus y = a(x – x1) (x – x2) = –

21 (x + 2)(x – 4)

= –21 (x2 –2x – 8)

= –21 x2 + x + 4 ……………………..(d)

Cara II. Cek point Karena grafik melalui titik (0, 4), sehingga kemungkinan jawaban yang benar hanya (d) karena fungsi kuadrat memiliki nilai c = 4

16. UN 2010 BAHASA PAKET A/B

Persaaan grafik fungsi kuadrat yang grafiknya tergambar di bawah ini adalah …

a. y = x2 + 2x + 3 b. y = x2 + 2x – 3 c. y = x2 – 2x – 3 d. y = –x2 + 2x – 3 e. y = –x2 – 2x + 3

Jawab : e

Cara I Grafik memiliki titik ekstrim (xe, ye) = (–1, 4), melalui titik (x, y) = (1, 0) dan (–3, 0), untuk mempermudah perhitungan gunakan titik (x, y) yang sederhana yaitu (1, 0), persamaan kurvanya: y = a(x – xe)


y = a(x – xe)2 + ye

0 = a(1 + 1)2 + 4 0 = 4a + 4 4a = –4

a = –1


2 + ye = – 1(x + 1)2 + 4

= –(x2 + 2x + 1) + 4 = –x2 – 2x – 1 + 4 = –x2 – 2x + 3 ………………….(e)

Cara II. Cek point Grafik melalui titik (–1, 4), sehingga kemungkinan jawaban yang benar hanya (e) Karena hanya e) yang memiliki nilai f(–1) = 4

y = –x2 – 2x + 3 = –(–1)2 – 2(–1) + 3 = –1 + 2 + 3 = 4

X –2

Y

(0,4)

4

X –3

Y

4

–1 1



59


Persamaan grafik fungsi kuadrat pada gambar di bawah ini adalah …

a. y = –

31 x2 – 2x + 2

b. y = –31 x2 + 2x + 2

c. y = –31 x2 + 2x – 2

d. y = 31 x2 + 2x + 2

e. y = 31 x2 – 2x + 2

Jawab : b

Grafik memiliki titik ekstrim (xe, ye) = (3, 5), melalui titik (x, y) = (0, 2) , persamaan kurvanya: y = a(x – xe)


y = a(x – xe)2 + ye

2 = a(0 – 3)2 + 5 2 = 9a + 5 9a = 2 – 5 = –3

a = 93− =

31−


2 + ye

= 31− (x – 3)2 + 5

= 31− (x2 – 6x + 9) + 5

= 31− x2 + 2x – 3 + 5

= 31− x2 + 2x + 2 ………………….(b)


Persamaan grafik fungsi kuadrat pada gambar adalah …

a. y = x2 – 16 b. y = 2x2 – 8x c. y = –2x2 + 8x d. y = –2x2 + 4x e. y = –x2 + 4x Jawab : c

Grafik memiliki titik ekstrim (xe, ye) = (2, 8), melalui titik (x, y) = (0, 0) dan (4, 0), untuk mempermudah perhitungan gunakan titik (x, y) yang sederhana yaitu (0, 0), persamaan kurvanya: y = a(x – xe)


y = a(x – xe)2 + ye

0 = a(0 – 2)2 + 8 0 = 4a + 8 4a = –8 a = –2


2 + ye = –2(x – 2)2 + 8

= –2(x2 – 4x + 4) + 8 = –2x2 + 8x – 8 + 8 = –2x2 + 8x …………….………….(c)

X

2

Y

5

3 0

X 4

Y

8

20



60

E. Pertidaksamaan Kuadrat Bentuk BAKU pertidaksamaan kuadrat adalah

ax2 + bx + c ≤ 0, ax2 + bx + c ≥ 0, ax2 + bx + c < 0, dan ax2 + bx + c > 0

Adapun langkah penyelesaian Pertidaksamaan kuadrat adalah sebagai berikut:

1. Ubah bentuk pertidaksamaan ke dalam bentuk baku (jika bentuknya belum baku)

2. Cari nilai pembentuk nolnya yaitu x1 dan x2 (cari nilai akar–akar persamaan kuadratnya)

3. Simpulkan daerah himpunan penyelesaiannya:

No Pertidaksamaan Daerah HP penyelesaian Keterangan

a >

Hp = {x | x < x1 atau x > x1}

• Daerah HP (tebal) ada di tepi, menggunakan kata hubung atau

• x1, x2 adalah akar–akar persaman

kuadrat ax2 + bx + c = 0 b ≥

Hp = {x | x ≤ x1 atau x ≥ x1}

c <

Hp = {x | x1 < x < x2}

• Daerah HP (tebal) ada tengah

• x1, x2 adalah akar–akar persaman kuadrat ax2 + bx + c = 0

d ≤

Hp = {x | x1 ≤ x ≤ x2}


Penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat

3� − 33 + 2 ≤ 0 adalah …

A. F3| − 1 ≤ 3 ≤ −2H B. F3| − 1 ≤ 3 ≤ 2H C. F3|1 ≤ 3 ≤ 2H D. F3|3 ≤ 1�I�J3 ≥ 2H E. F3|3 ≤ −1�I�J3 ≥ −2H Jawab : C

Pertidaksaman : x2 – 3x + 2 ≤ 0 Pembentuk nol : x2 – 3x + 2 = 0

⇔ (x – 1)(x – 2) = 0 x = {1, 2}

Karena tanda pertidaksamaannya ≤, maka HP ada “ ≤ di tengah ≤ “ dengan pembentuk nol x = {1, 2}……...….. (C)

x1 x2

+ + + – – – + + +

x1 x2

+ + + – – – + + +

x1 x2

+ + + – – – + + +

x1 x2

+ + + – – – + + +



61


Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

3� + 43 − 5 ≤ 0 adalah …

A. F3| − 5 ≤ 3 ≤ −1H B. F3| − 5 ≤ 3 ≤ 1H C. F3| − 1 ≤ 3 ≤ 5H D. F3|1 ≤ 3 ≤ 5H E. F3|3 ≤ −5�I�J3 ≥ 1H Jawab : B

Pertidaksaman : x2 + 4x – 5 ≤ 0 Pembentuk nol : x2 + 4x – 5 = 0

⇔ (x + 5)(x – 1) = 0 x = {–5, 1}

Karena tanda pertidaksamaannya ≤, maka HP ada “≤ di tengah ≤“ dengan pembentuk nol x = {–5, 1}…....…..(B)

3. UN 2013 IPS Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

kuadrat 33� − 103 − 8 ≤ 0 adalah …

A. L3|3 ≤ − �� I�J3 ≥ 4M

B. L3|3 ≤ � �I�J3 ≥ 2M

C. L3| � ≤ 3 ≤ 2M D. L3| �� ≤ 3 ≤ 4M E. L3| − �

� ≤ 3 ≤ 4M Jawab : E

Pertidaksaman : 3x2 – 10x – 8 ≤ 0 Pembentuk nol : 3x2 – 10x – 8 = 0

⇔ ��(3x + 2)(3x – 12) = 0

x = { − ��, 4}

Karena tanda pertidaksamaannya ≤, maka HP ada “≤ di tengah ≤“

dengan pembentuk nol x = { − ��, 4}…....…..(E)

4. UN 2013 IPS Penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat

43� + 53 − 6 ≤ 0 adalah …

A. L3| − 2 ≤ 3 ≤ � M

B. L3| �� ≤ 3 ≤ 3M C. L3| − 1 ≤ 3 ≤ �

�M D. L3|3 ≤ −2�I�J3 ≥ �

M E. L3|3 ≤ −3�I�J3 ≥ �

�M Jawab : D

\

Pertidaksaman : 4x2 + 5x – 6 ≤ 0 Pembentuk nol : 4x2 + 5x – 6 = 0

⇔ � (4x + 8)(4x – 3) = 0

x = {–2, � }

Karena tanda pertidaksamaannya ≤, maka HP ada “≤ di tengah ≤“

dengan pembentuk nol x = {–2, � } …....…..(D)



62


Penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat

23� − 93 + 7 < 0 adalah …

A. L3| �� < 3 < −1M B. L3| − 1 < 3 < �

�M C. L3| �� < 3 < 7M D. L3|1 < 3 < �

�M E. F3|2 < 3 < 7H Jawab : D

Pertidaksaman : 2x2 – 9x + 7 < 0 Pembentuk nol : 2x2 – 9x + 7 = 0

⇔ ��(2x – 2)(2x – 7) = 0

x = {1, ��}

Karena tanda pertidaksamaannya <, maka HP ada “< di tengah <“

dengan pembentuk nol x = {1, ��}…....…..(D)


3� − 63 + 8 ≥ 0 adalah …

A. F3|3 ≤ −4�I�J3 ≥ −2H B. F3|3 ≤ −2�I�J3 ≥ 4H C. F3|3 ≤ 2�I�J3 ≥ 4H D. F3| − 4 ≤ 3 ≤ −2H E. F3|2 ≤ 3 ≤ 4H Jawab : C

Pertidaksaman : x2 – 6x + 8 ≥ 0 Pembentuk nol : x2 – 6x + 8 = 0

⇔ (x – 2)(x – 4) = 0 x = {2, 4}

Karena tanda pertidaksamaannya ≥, maka HP ada di tepi dengan kata hubung ≤ atau ≥ dan pembentuk nol x = {2, 4}…....…..(C)


23� + 73 − 4 ≥ 0 adalah …

A. L3|3 ≤ −4�I�J3 ≥ ��M

B. L3|3 ≤ �� I�J3 ≥ 4M

C. L3|3 ≤ − �� I�J3 ≥ 4M

D. L3| �� ≤ 3 ≤ 4M E. L3| − 4 ≤ 3 ≤ �

�M Jawab : A

Pertidaksaman : 2x2 + 7x – 4 ≥ 0 Pembentuk nol : 2x2 + 7x – 4 = 0

⇔ �� (2x + 8)(2x – 1) = 0

x = {–4, ��}

Karena tanda pertidaksamaannya ≥, maka HP ada di tepi dengan kata hubung ≤ atau ≥

dan pembentuk nol x = {–4, ��}…....………(A)

8. UN 2013 IPS Himpunan penyelesaian dari 33� − 63 > 0 adalah … A. F3|3 < 0�I�J3 > 2H B. F3|0 < 3 < 2H C. F3|3 > 2H D. F3|3 < 0H E. F3| − 2 < 3 < 0H Jawab : A

Pertidaksaman : 3x2 – 6x > 0 Pembentuk nol : 3x2 – 6x = 0

⇔ 3x(x – 2) = 0 x = {0, 2}

Karena tanda pertidaksamaannya >, maka HP ada di tepi dengan kata hubung < atau > dan pembentuk nol x = {0, 2}…….....…..(A)



63


Himpunan penyelesaian pertidaksamaan

01282 ≤+− xx adalah …. A. { }26 −≤≤− xx

B. { }62 ≤≤− xx

C. { }26 ≤≤− xx

D. { }62 ≤≤ xx

E. { }121 ≤≤ xx

Jawab : D

Pertidaksaman : x2 – 8x + 12 ≤ 0 Pembentuk nol : x2 – 8x + 12 = 0

⇔ (x – 2)(x – 6) = 0 x = {2, 6}

Karena tanda pertidaksamaannya ≤, maka HP ada “ ≤ di tengah ≤ “ dengan pembentuk nol x = {2, 6}…....…..(D)

10. UN 2012 IPS/D49 Himpunan penyelesaian pertidaksamaan

0322 ≤−− xx adalah …. A. 1−≤x atau 3≥x B. 3−≤x atau 1≥x C. 32 ≤≤− x D. 31 ≤≤− x E. 13 ≤≤− x Jawab : D

Pertidaksaman : x2 – 2x – 3 ≤ 0 Pembentuk nol : x2 – 2x – 3 = 0

⇔ (x + 1)(x – 3) = 0 x = {–1, 3}

Karena tanda pertidaksamaannya ≤, maka HP ada “ ≤ di tengah ≤ “ dengan pembentuk nol x = {–1, 3}……..…..(D)

11. UN 2012 IPS/A13 Penyelesaian pertidaksamaan 2x2 + 5x – 3 > 0 adalah ….

A. x < –3 atau x > ��

B. x < –3 atau x ≥ ��

C. x ≤ –3 atau x > ��

D. –3< x < ��

E. ��< x < 3

Jawab : A

Pertidaksaman : 2x2 + 5x – 3 > 0 Pembentuk nol : 2x2 + 5x – 3 = 0

⇔ �� (2x + 6)(2x – 1) = 0

x = {–3, 21 }

Karena tanda pertidaksamaannya >, maka HP ada di tepi dengan kata hubung < atau > dan pembentuk nol x = {–3,

21 } ……..…..(A)

12. UN 2012 IPS/E52 Himpunan penyelesaian pertidaksamaan x(2x + 5) > 12 adalah ….

A. {x| –4< x < 2

3, x∈R}

B. {x| – 2

3 < x < 4, x∈R}

C. {x| – 3

2 < x <2

3, x∈R}

D. {x| x < – 4 atau x >2

3, x∈R}

E. {x| x < –2

3 atau x > 4, x∈R}

Jawab : D

Pertidaksaman : x(2x + 5) > 12

⇔ 2x2 + 5x – 12 > 0 Pembentuk nol : 2x2 + 5x – 12 = 0

⇔ �� (2x + 8)(2x – 3) = 0

x = {–4, 23 }

Karena tanda pertidaksamaannya >, maka HP ada di tepi dengan kata hubung < atau > dan pembentuk nol x = {–4,

23 } ……..…..(D)



64


Himpunan penyelesaian pertidaksamaan (x + 2)2 + 3(x – 2) – 6 < 0, adalah … a. {x | –1 < x < 8 ; x ∈ R} b. {x | –8 < x < 1 ; x ∈ R} c. {x | –8 < x < –1 ; x ∈ R} d. {x | x < –1 atau x > 8 ; x ∈ R} e. {x | x < –8 atau x > 1; x ∈ R} Jawab : b

Pertidaksaman : (x + 2)2 + 3(x – 2) – 6 < 0

⇔ x2 + 4x + 4 + 3x – 6 – 6 < 0 ⇔ x2 + 7x – 8 < 0 Pembentuk nol : x2 + 7x – 8 = 0

⇔ (x + 8)(x – 1) = 0 x = {–8, 1}

Karena tanda pertidaksamaannya <, maka HP ada < di tengah < dengan pembentuk nol x = {–8, 1} ……..…..(b)

14. UN 2011 IPS PAKET 12 Himpunan penyelesaian dari –2x2 + 11x – 5 ≥ 0, adalah …

a. {x | x ≤ –5 atau x ≥ 21− ; x ∈ R}

b. {x | –5 ≤ x ≤ 21− ; x ∈ R}

c. {x | 21− ≤ x ≤ 5 ; x ∈ R}

d. {x | x ≤ 21 atau x ≥ 5 ; x ∈ R}

e. {x | 21 ≤ x ≤ 5 ; x ∈ R}

Jawab : e

Pertidaksaman : –2x2 + 11x – 5 ≥ 0

⇔ 2x2 – 11x + 5 ≤ 0 Pembentuk nol : 2x2 – 11x + 5 = 0

⇔ (2x – 1)(x – 5) = 0

x = {21 , 5}

Karena tanda pertidaksamaannya ≤, maka HP ada ≤ di tengah ≤ dengan pembentuk nol x = {

21 , 5}………..…..(e)

15. UN 2010 IPS PAKET A/B Himpunan penyelesaian dari x2 – 10x + 21 < 0, x ∈ R adalah : a. {x | x < 3 atau x > 7 ; x ∈ R} b. {x | x < – atau x > 3 ; x ∈ R} c. {x | –7 < x < 3 ; x ∈ R} d. {x | –3 < x < 7 ; x ∈ R} e. {x | 3 < x < 7 ; x ∈ R} Jawab : e

Pertidaksaman : x2 – 10x + 21 < 0 Pembentuk nol : x2 – 10x + 21 = 0

⇔ (x – 3)(x – 7) = 0 x = {3, 7}

Karena tanda pertidaksamaannya <, maka HP ada < di tengah < dengan pembentuk nol x = {3, 7}…..…..…..(e)

16. UN 2009 IPS PAKET A/B Himpunan penyelesaian pertidaksamaan x2 + 5x ≥ 2(2x + 3) adalah … a. {x | x ≤ – 3 atau x ≥ 2} b. {x | x ≤ – 2 atau x ≥ 3} c. {x | x ≤ 2 atau x ≥ 3} d. {x | –3 ≤ x ≤ 2} e. {x | –2 ≤ x ≤ 2} Jawab : b

Pertidaksaman : x2 + 5x ≥ 2(2x + 3) ⇔ x2 + 5x ≥ 4x + 6 ⇔ x2 + 5x – 4x – 6 ≥ 0 ⇔ x2 + x – 6 ≥ 0

Pembentuk nol : x2 + x – 6 = 0 ⇔ ( x + 2)(2x – 3) = 0 x = {–2, 3}

Karena tanda pertidaksamaannya ≥, maka HP ada di tepi dengan kata hubung ≤ atau ≥ dan pembentuk nol x = {–2, 3}…….………..(b)



65


Himpunan penyelesaian dari x(2x + 5) ≤ 12 adalah …

a. {x | x ≤ – 4 atau x ≥ 23 , x ∈ R}

b. {x | x ≤ 23 atau x ≥ 3, x ∈ R}

c. {x | –4 ≤ x ≤ – 23 , x ∈ R}}

d. {x | –23 ≤ x ≤ 4, x ∈ R}

e. {x | –4 ≤ x ≤ 23 , x ∈ R}

Jawab : e

Pertidaksamaan : x(2x + 5) ≤ 12

⇔ 2x2 + 5x – 12 ≤ 0

Pembentuk nol : 2x2 + 5x – 12 = 0 ⇔ ( x + 4)(2x – 3)= 0

x = {–4, 23 }

Karena tanda pertidaksamaannya ≤, maka HP ada ≤ di tengah ≤

dengan pembentuk nol x = {–4, 23 } ………..(e)

18. UN 2011 BHS PAKET 12 Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 3x2 – 13x – 10 > 0, untuk x ∈ R adalah …

a. {x | 32− < x < 5; x ∈ R}

b. {x | –5 < x < 32− ; x ∈ R}

c. {x | x < 32 atau x > 5 ; x ∈ R}

d. {x | x < 32− atau x > 5 ; x ∈ R}

e. {x | x < –5 atau x > 32 ; x ∈ R}

Jawab : d

Pertidaksaman : 3x2 – 13x – 10 > 0 Pembentuk nol : 3x2 – 13x – 10 = 0

⇔ (3x + 2)(x – 5) = 0

x = {32− , 5}

Karena tanda pertidaksamaannya >, maka HP ada di tepi dengan kata hubung < atau >

dan pembentuk nol x = {32− , 5}……..…...(d)

19. UN 2010 BAHASA PAKET A/B Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x2 + 3x – 40 < 0 adalah … a. {x | –8 < x < –5} b. {x | –8 < x < 5} c. {x | –5 < x < 8} d. {x | x < –5 atau x > 8} e. {x | x < –8 atau x > 5}

Jawab : b

Pertidaksaman : x2 + 3x – 40 < 0 Pembentuk nol : x2 + 3x – 40 = 0

⇔ (x + 8)(x – 5) = 0 x = {–8, 5}

Karena tanda pertidaksamaannya <, maka HP ada < di tengah < dengan pembentuk nol x = {–8, 5} ……..…..(b)

20. UN 2009 BAHASA PAKET A/B Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2x2 + x – 6 > 0 untuk x ∈ R adalah …

a. {x | –2 < x < 23 }

b. {x | –23 < x < 2}

c. {x | x ≤ –2 atau x ≥ 23 }

d. {x | x < –23 atau x > 2}

e. {x | x < –2 atau x > 23 }

Jawab :e

Pertidaksaman : 2x2 + x – 6 > 0 Pembentuk nol : 2x2 + x – 6 = 0

⇔ (2x – 3)(x + 2) = 0

x = {–2, 23 }

Karena tanda pertidaksamaannya >, maka HP ada di tepi menggunakan kata hubung < atau >

dan pembentuk nol x = {–2, 23 }…..………..(e)



66


Agar persamaan kuadrat x2 – kx + (3 – k) = 0 memiliki dua akar real berbeda, maka batas–batas nilai k adalah … a. –6 < k < 2 b. –2 < k < 6 c. k < –6 atau k > 2 d. k < –2 atau k > 6 e. k < 2 atau k > 6 Jawab : d

Persamaan kuadrat x2 – kx + (3 – k) = 0 memiliki nilai a = 1, b = –k, dan c = 3 – k Supaya persamaan kuadrat memiliki dua akar real berbeda, maka nilai D > 0 Pertidaksamaan : D > 0

⇔ b2 – 4ac > 0 ⇔ (–k)2 – 4(1)(3 – k) > 0 ⇔ k2 – 12 + 4k > 0 ⇔ k2 + 4k – 12 > 0

Pembentuk nol : k2 + 4k – 12 = 0 ⇔ (k + 2)(k – 6) > 0 x = {–2, 6}

Karena tanda pertidaksamaannya >, maka HP ada di tepi menggunakan kata hubung < atau > dan pembentuk nol x = {–2, 6}.………..(d)

22. UN 2008 BAHASA PAKET A/B Himpunan penyelesaian pertidaksamaan x2 – 7x + 10 ≥ 0 adalah … a. {x | x ≤ –5 atau x ≥ –2, x ∈R} b. {x | x ≤ 2 atau x ≥ 5, x ∈R} c. {x | x < 2 atau x > 5, x ∈R} d. {x | –5 ≤ x ≤ –2, x ∈R} e. {x | 2 ≤ x ≤ 5, x ∈R} Jawab : b

Pertidaksamaan : x2 – 7x + 10 ≥ 0 Pembentuk nol : x2 – 7x + 10 = 0

(x – 2)(x – 5) = 0 x = {2, 5}

Karena tanda pertidaksamaannya ≥, maka HP ada di tepi dengan kata hubung ≤ atau ≥ dan pembentuk nol x = {2, 5}…..………..(b)

3. SISTEM PERSAMAAN LINEAR A. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

1) Bentuk umum :

=+=+

222

111

cybxa

cybxa

2) Dapat diselesaikan dengan metode grafik, substitusi, eliminasi, dan determinan.

3) Metode determinan:

D = 22

11

ba

ba= a1b2 – a2b2;

Dx = 22

11

bc

bc; Dy =

22

11

ca

ca;

x = D

Dx ; y = D

D y


Diketahui m dan n merupakan penyelesaian dari system persamaan

P33 + 24 = 1723 + 34 = 8 . Nilai m + n = …

A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 E. 5 Jawab : E

Karena ke-2 persamaan bentuknya bagus maka tanpa harus menjacari nilai m dan m sudah bisa mencari nilai m + n 3x + 2y = 17 2x + 3y = 8 + 5x + 5y = 25…… ke-2 ruas dibagi 5 x + y = 5………………………………..(E)

2. UN 2012 IPS/B25 Ditentukan x1 dan y1 memenuhi system persamaan liniear 2443 =+ yx dan

102 =+ yx . Nilai dari x2

11+ 2y1= ….

A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 E. 14

Jawab : D

Gunakan metode eliminasi dan substitusi 3x + 4y = 24|×1| 3x + 4y = 24 ..……..………….(1) x + 2y = 10|×2| 2x + 4y = 20 _ ……………...(2)

x = 4 … substitusi ke (2) 4 + 2y = 10

2y = 10 – 4 = 6

y = 2

6= 3

Jadi, 2

1x1 + 2y1 =

2

1(4) + 2(3)

= 2 + 6 = 8 …………………(D)

SIAP UN IPS 2013 Sistem Persamaan Linear http://www.soalmatematik.com


68


Diketahui x dan y memenuhi persamaan 2x + 3y = 4 dan 3x + 5y = 7. Nilai dari 6xy adalah…. A. 12 B. 8 C. –2 D. –6 E. –12

Jawab : E

Gunakan metode eliminasi dan substitusi 3x + 5y = 7|×2| 6x + 10y = 14 ..……..………….(1) 2x + 3y = 4|×3| 6x + 9y = 12 _ ……………...(2)

y = 2 … substitusi ke (2) 2x + 3(2) = 4 2x + 6 = 4

2x = 4 – 6 = –2

x = 2

2− = –1

Jadi, 6xy = 6(–1)(2) = –12…………………(E)

4. UN 2012 IPS/D49 Diketahui x1 dan x2 memenuhi system persamaan 3x – 4y – 10 = 0 dan 5x + 2y – 8 = 0. Nilai dari 50x1 + 40y2 = …. A. 140 B. 60 C. 10 D. –30 E. –60

Jawab : B

Gunakan metode eliminasi dan substitusi 5x + 2y – 8 = 0 3x – 4y – 10 = 0 ⇔ 5x + 2y = 8 |×2| 10x + 4y = 16 ……………….(1) ⇔ 3x – 4y = 10|×1| 3x – 4y = 10 + ……………...(2)

13x = 26

x = 13

26

= 2 ….Substitusi ke (1) 5(2) + 2y = 8 10 + 2y = 8

2y = 8 – 10 = –2

y = 2

2− = –1

Jadi, 50x1 + 40y2 = 50(2) + 40(-1) = 100 – 40 = 60 ……………..(B)

5. UN 2012 IPS/E52 Ditentukan x1 dan x2 memenuhi sistem persamaan 2x – 3y = 7 dan 3x – 4y = 9. Nilai dari x1 + y1 = …. A. – 4 B. – 2 C. – 1 D. 3 E. 4

Jawab : A

Gunakan metode eliminasi dan substitusi 2x – 3y = 7|×3| 6x – 9y = 21 …………..…….(1) 3x – 4y = 9|×2| 6x – 8y = 18 _……………….(2)

–y = 3 y = –3 ….. substitusi ke (1)

2x – 3(-3) = 7 2x + 9 = 7

2x = 7 – 9 = - 2

x = 2

2− = –1

Jadi, x1 + y1 = –1 + (–3) = –4 ……………………(A)

6. UN 2011 IPS PAKET 12 Nilai x yang memenuhi sistem persamaan

=−

=+

26

10

35

11

yx

yx adalah …

a. 32− d.

21

b. 61 e.

43

c. 71 Jawab : c

Eliminasi (hilangkan) b terlebih dahulu

=−

=+

26

10

35

11

yx

yx

Misal a = x1

b = y1 ⇒

=−=+

2635

10

ba

ba

a + b = 10 | × 3| ⇔ 3a + 3b = 30 5a – 3b = 26 ⇔ 5a – 3b = 26 +

8a = 56

a = 7 = x1

x = 71 …………..(c)



69

SOAL PENYELESAIAN 7. UN 2010 IPS PAKET B

Diketahui m dan n merupakan penyelesaian dari sistem persamaan:

=+=+

832

1723

yx

yx nilai m + n = …

a. 9 b. 8 c. 7 d. 6 e. 5 Jawab : e

Kedua persamaan langsung di jumlahkan, tanpa harus di cari nilai x dan y 3x + 2y = 17 2x + 3y = 8 + 5x + 5y = 25 x + y = 5 Jadi, m + n = 5 …………………………………..(e)

8. UN 2010 IPS PAKET A

Diketahui x1 dan y1 memenuhi sistem persamaan :

−=−=+

646

1024

yx

yx nilai x1 y1 = …

a. 6 b. 3 c. –2 d. –3 e. –6 Jawab : b

Eliminasi (hilangkan) y terlebih dahulu

6x – 4y = –6 | × ½ | 3x – 2y = –3 4x + 2y = 10 | × 1 | 4x + 2y = 10 +

7x = 7 x = 1…. Substitusikan ke

• 4x + 2y = 10 4(1) + 2y = 10

2y = 10 – 4

y = 26 = 3

Jadi, x1 y1 = 1 × 3 = 3 ……………..….(b)

9. UN 2009 IPS PAKET A/B

Himpunan penyelesaian sistem persamaan linear 2x – y = 1 dan 4x + 7y = 11 adalah {x0, y0}. Nilai dari x0 + y0 = … a. – 2 b. – 1 c. 0 d. 1 e. 2 Jawab : e

Kedua persamaan langsung di jumlahkan, tanpa harus di cari nilai x dan y

2x – y = 1 4x + 7y = 11 + 6x + 6y = 12 x + y = 2

∴ x0 + y0 = 2 …………………….(e)


Himpunan penyelesaian dari :

=+=+73

023

yx

yx

adalah x1 dan y1, nilai 2x1 + y1 = … a. – 7 b. – 5 c. –1 d. 1 e. 4 Jawab : c

Eliminasi (hilangkan) x terlebih dahulu

x + 3y = 7 | × 3 | 3x + 9y = 21 3x + 2y = 0 | × 1 | 3x + 2y = 0 _

7y = 21 y = 3 ……substitusikan ke

• x + 3y = 7 x + 3(3) = 7

x = 7 – 9 = –2 2x = –4

• ∴ 2x1 + y1 = –4 + 3 = – 1 ……………….(c)



70

SOAL PENYELESAIAN 11. UN 2012 BHS/A13

Jika (xo, yo) merupakan penyelesaian system persamaan linear 3x – y = 14 dan 2x + y = 6, maka nilai xo – yo = … A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 E. 2 Jawab : B

Gunakan metode eliminasi dan substitusi 3x – y = 14 …………….(1) 2x + y = 6__ + …………(2)

5x = 20

x= 5

20= 4 ……… substitusikan ke (2)

2(4) + y = 6 8 + y = 6

y = 6 – 8 = –2 jadi, xo – yo = 4 – (–2)

= 4 + 2 = 6 ……………………….(B) 12. UN 2012 BHS/B25

Jika penyelesaian sistem persamaan 2x + 3y = 13 dan 3x + 4y = 19 adalah (xo, yo), maka nilai xoyo = … A. 10 B. 8 C. 7 D. 6 E. 5 Jawab : E

Gunakan metode eliminasi dan substitusi 3x + 4y = 19………………….(1) 2x + 3y = 13 _ ……………...(2) x + y = 6 …………..….(3) dari (2) dan (3) diperoleh: 2x + 3y = 13|×1| 2x + 3y = 13 x + y = 6 |×2| 2x + 2y = 12 _

y = 1 x = 5

sehingga xoyo = 5 × 1 = 5 ………………………(E)

13. UN 2012 BHS/C37 Jika penyelesaian sistem persamaan 3x – y = 2 dan x + 2y = 10 adalah (xo, yo), maka nilai xo + yo = … A. –6 B. –3 C. 4 D. 5 E. 6 Jawab : E

Gunakan metode eliminasi dan substitusi x + 2y = 10|×1| x + 2y = 10 ..…………….(1) 3x – y = 2 |×2| 6x – 2y = 4 + ……………...(2)

7x = 14

x = 7

14= 2 …… substitusi ke (2)

3(2) – y = 2 6 – 2 = y

y = 4 Jadi, xo + yo = 2 + 4 = 6 …………………….(E)

14. UN 2011 BHS PAKET 12 Penyelesaian dari sistem persamaan

=−=+

52

52

yx

yx adalah xo dan yo.

Nilai oo yx

11 + = …

a. 31 d. 1

31

b. 32 e. 1

32

c. 1 Jawab : d


x + 2y = 5 | × 2| ⇔ 2x + 4y = 10 2x – y = 5 | × 1| ⇔ 2x – y = 5 _

5y = 5 y = 1

x = 5 – 2y = 5 – 2(1) = 3

oo yx

11 + = 13

1 + = 131 ………………………..(d)



71


Diketahui (x, y) merupakan penyelesaian

dari sistem persamaan

−=+=−

1953

4776

yx

yx

Nilai x + y = … a. – 7 b. –3 c. 1 d. 3 e. 7 Jawab : b


6x – 7y = 47 | × 1 | 6x – 7y = 47 3x + 5y = –19 | × 2 | 6x + 10y = –38 _

–17y = 85 y = –5 … substitusikan

ke

• 3x + 5y = –19 3x + 5(–5) = –19

3x = –19 + 25 = 6 x = 2

• x + y = 2 – 5 = –3 ………………………….(b) 16. UN 2008 BAHASA PAKET A/B

Sistem persamaan linear

=−−=+

=+

132

123

02

zx

zy

yx

mempunyai himpunan penyelesaian {x, y, z}. nilai dari 3x – 4z = … a. -2 d. 2 b. -1 e. 10 c. 1 Jawab : d

x + 2y = 0 …………….1 3y + 2z = – 1 …………2 2x – 3z = 1 ……………3 • 1 dan 2 eliminasi (hilangkan) y

x + 2y = 0 | × 3 | 6y + 3x = 0 3y + 2z = – 1 | × 2 | 6y + 4z = –2 _

3x – 4z = 2 ………..(d)



72

B. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

1) Bentuk umum :

=++=++

=++

3333

2222

1111

dzcybxa

dzcybxa

dzcybxa

2) Dapat diselesaikan dengan metode eliminasi bertingkat dan determinan.

3) Metode determinan:

D =

333

222

111

cba

cba

cba

=

= (a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3) –

(a3b2c1 + b3c2a1 + c3a2b1)

Dx =

333

222

111

cbd

cbd

cbd

; Dy =

333

222

111

cda

cda

cda

; Dz =

333

222

111

dba

dba

dba

;

x = D

Dx ; y = D

D y; z =

D

Dz



73

C. Aplikasi Sistem Persamaan Linear SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2013 IPS Dalam suatu proyek, upah 4 orang tukang kayu dan 2 orang tukang batu adalah Rp400.000,00 dan upah 3 orang tukang kayu dan seorang tukang batu adalah Rp275.000,00. Upah 2 orang tukang kayu dan 3 orang tukang batu adalah … A. Rp290.000,00 B. Rp295.000,00 C. Rp300.000,00 D. Rp320.000,00 E. Rp325.000,00 Jawab : C

Misal : upah tukang kayu = x upah tukang batu = y

4x + 2y = 400.000 | ÷2| 2x + y = 200.000 ………………….(1) 3x + y = 275.000 _ ………………….(2)

x = 75.000 |×2 2x = 150.000

dari pers (1) 2x + y = 200.000 y = 200.000 – 2x

= 200.000 – 150.000 = 50.000 ∴2x + 3y = 2(75.000) + 3(50.000)

= 300.000 …………………………..(C) 2. UN 2013 IPS

Budi membeli 4 buku tulis dan 3 pulpen seharga Rp17.000,00. Sedangkan Tuti membeli 5 buku tulis dan 2 pulpen seharga Rp16.000,00. Rani membeli 5 buku tulis dan 4 pulpen. Harga yang harus dibayar Rani adalah … A. Rp17.000,00 B. Rp20.000,00 C. Rp22.000,00 D. Rp23.000,00 E. Rp25.000,00 Jawab : C

Misal : harga buku tulis = x harga pulpen = y

4x + 3y = 17.000 |×2| 8x + 6y = 34.000 ..….(1) 5x + 2y = 16.000 |×3| 15x + 6y = 48.000 _ ….(2)

7x = 14.000 x = 2.000

Dari pers. (2) 5x + 2y = 16.000

2y = 16.000 – 5x = 16.000 – 5(2.000) = 6.000

4y = 12.000

∴5x + 4y = 5(2.000) + 12.000 = 22.000 …………………………..(C)

3. UN 2013 IPS Ari membeli 3 buah jeruk dan 2 buah apel dengan harga Rp4.500,00 dan Tuti membeli 2 buah jeruk dan 2 buah apel dengan harga Rp3.500,00. Bila Yuni membeli 5 buah jeruk dan 3 buah apel, berapa rupiah yang harus di bayar Yuni? A. Rp8.250,00 B. Rp8.000,00 C. Rp7.750,00 D. Rp7.500,00 E. Rp7.250,00 Jawab : E

Misal : harga buah jeruk = x harga buah apel = y

3x + 2y = 4.500 ……………………………(1) 2x + 2y = 3.500 _ ………………………..(2) x = 1.000 Dari pers. (2) 2x + 2y = 3.500 |÷2| x + y = 1.750

y = 1.750 – x = 1.750 – 1.000 = 750

∴5x + 3y = 5(1.000) + 3(750)

= 7.250 …………………………..(E)



74


Susi membeli 3 buah apel dan 2 buah jeruk dengan harga Rp4.500,00 dan Yuli membeli 2 buah apel dan 2 buah jeruk dengan harga Rp3.500,00. Bila Wati membeli 4 buah apel dan 5 buah jeruk, berapa rupiah yang harus di bayar Wati? A. Rp8.750,00 B. Rp8.000,00 C. Rp7.750,00 D. Rp7.500,00 E. Rp6.750,00 Jawab : C

Misal : harga buah apel = x harga buah jeruk = y

3x + 2y = 4.500 ……………………………(1) 2x + 2y = 3.500 _ ………………………..(2) x = 1.000 Dari pers. (2) 2x + 2y = 3.500 |÷2| x + y = 1.750

y = 1.750 – x = 1.750 – 1.000 = 750

∴4x + 5y = 4(1.000) + 5(750) = 7.750 …………………………..(C)

5. UN 2013 IPS Ani membeli 2 kg jeruk dan 4 kg apel dengan harga Rp100.000,00. Fitri membeli 5 kg jeruk dan 1 kg apel dengan harga Rp70.000,00. Bila Ari membeli 3 kg jeruk dan 4 kg apel, berapa rupiah yang harus di bayar Ari? A. Rp130.000,00 B. Rp110.000,00 C. Rp95.000,00 D. Rp80.000,00 E. Rp75.000,00 Jawab : B

Misal : harga buah jeruk = x harga buah apel = y

2x + 4y = 100.000 |÷2| x + 2y = 50.000 ………(1) 5x + y = 70.000 |×2| 10x + 2y = 140.000 _ …..(2) 9x = 90.000

x = 10.000 Dari pers. (1) 2x + 4y = 100.000 kedua ruas ditambah x 2x + x + 4y = 100.000 + 10.000

3x + 4y = 110.000 ………………………..(B)

6. UN 2013 IPS Di arena bermain anak-anak, Inas membeli koin seharga Rp10.000,00 untuk digunakan bermain 4 kali permainan A dan 3 kali permainan B. Sedangkan adinya Egan membeli koin seharga Rp23.000,00 yang digunakan untuk bermain 5 kali permainan A dan 9 kali permainan B. Hanif telah bermain 6 kali permainan A dan 6 kali permainan B. Besarnya biaya yang telah dikeluarkan Hanif adalah … A. Rp13.000,00 B. Rp14.000,00 C. Rp17.000,00 D. Rp18.000,00 E. Rp21.000,00 Jawab : D

Misal : harga permainan A = x harga permainan B = y

4x + 3y = 10.000 |×3| 12x + 9y = 30.000 ………(1) 5x + 9y = 23.000 _ …..(2) 7x = 7.000

x = 1.000 Dari pers. (1) 4x + 3y = 10.000 …….kedua ruas dikurangi x 4x - x + 3y = 10.000 – 1.000

3x + 3y = 9.000 … kedua ruas dikali 2 6x + 6y = 18.000 ………………………….(D)



75


Di arena bermain anak-anak, Rere membeli koin seharga Rp15.000,00 untuk digunakan bermain 7 kali permainan A dan 4 kali permainan B. Sementara Hanif membeli koin seharga Rp14.000,00 yang digunakan untuk bermain 4 kali permainan A dan 5 kali permainan B. Fira telah bermain 8 kali permainan A dan 5 kali permainan B. Besar uang yang digunakan Fira adalah … A. Rp9.000,00 B. Rp13.000,00 C. Rp16.000,00 D. Rp18.000,00 E. Rp22.000,00 Jawab : D


7x + 4y = 15.000 …………………....(1) 4x + 5y = 14.000 _ ………………..(2) 3x – y = 1.000 |×4| 12x – 4y = 4.000 ……………………(3) Dari pers. (1) dan (3) 7x + 4y = 15.000 12x – 4y = 4.000 + 19x = 19.000

x = 1.000 ⇒ 4x = 4.000

dari pers. (2) 4x + 5y = 14.000 ………… ke-2 ruas di tambah 4x 4x + 4x + 5y = 14.000 + 4.000

8x + 5y = 18.000 …………………(D)

8. UN 2013 IPS Di arena bermain anak-anak, Maulana telah menghabiskan Rp15.000,00 untuk untuk membeli koin yang digunakan untuk bermain 6 kali permainan A dan 3 kali permainan B, sedangkan Fauzan menghabiskan Rp10.000,00 untuk bermain 3 kali permainan A dan 4 kali permainan B. Fira telah bermain 5 kali permainan A dan 5 kali permainan B. Besar uang yang digunakan Fira adalah … A. Rp20.000,00 B. Rp17.000,00 C. Rp16.000,00 D. Rp15.000,00 E. Rp14.000,00 Jawab : D


6x + 3y = 15.000 |÷3| 2x + y = 5.000….........(1) 3x + 4y = 10.000 + …..(2) 5x + 5y = 15.000 …..…..…(D)



76


Wati membeli 4 donat dan 2 coklat seharga Rp6000,00. Tari membeli 3 donat dan 4 coklat dengan harga RP10.000,00. Jika Andi membeli sebuah donat dan coklat dengan membayar Rp5.000,00, maka uang kembalian Andi adalah …. A. Rp2.200,00 B. Rp2.400,00 C. Rp2.600,00 D. Rp2.800,00 E. Rp4.600,00 Jawab : B

Misal : harga 1 kue donat = x harga 1 kue coklat = y

W: 4x + 2y = 6.000 | ÷2| 2x + y = 3.000 ………………….(1)

T : 3x + 4y = 10.000 + ………………….(2) 5x + 5y = 13.000 | ÷5| …………………(1) + (2)

A : x + y = 2.600 Jadi, uang kembaliannya = 5.000 – 2.600

= 2.400 ………………(B)

10. UN 2012 IPS/D49 Harga 2 kg anggur dan 3 kg apel Rp37.500,00. Harga 1 kg anggur dan 2 kg apel Rp21.500,00. Ani membeli anggur dan apel masing–masing 2 kg dan membayar Rp50.000,00, uang kembalian yang diterima ani adalah …. A. Rp20.000,00 D. Rp17.000,00 B. Rp19.000,00 E. Rp16.000,00 C. Rp18.000,00 Jawab : C

Misal : harga 1 kg anggur = x harga 1 kg apel = y

• 2x + 3y = 37.500 • x + 2y = 21.500 _

x + y = 16.000 |×2| Ani : 2x + 2y = 32.000 Jadi, uang kembalian = 50.000 – 32.000

= 18.000 …………………(C)

11. UN 2012 IPS/E52 Amir, Umar, dan Sudin membeli seragam ditoko ABC dengan merek yang sama. Amir membeli 2 kemeja dan 2 celana seharga Rp 260.000,00. Umar membeli 2 kemeja dan 1 celana seharga Rp 185.000,00. Sudin hanya membeli 1 kemeja dan dia membayar dengan Rp 100.000,00 maka uang kembalian yang di terima Sudin adalah …. A. Rp25.000,00 D. Rp45.000,00 B. Rp35.000,00 E. Rp55.000,00 C. Rp40.000,00 Jawab : D

Misal : harga 1 kemeja = x harga 1 celana = y

A : 2x + 2y = 260.000 | ÷2| x + y = 130.000 ........................(1)

U : 2x + y = 185.000 _ ……………(2) S : x = 55.000 ………………..(2) – (1) Jadi, uang kembalian = 100.000 – 55.000

= 45.000 …………………(D)



77


Dini membeli 3 kue A dan 5 kue B seharga Rp 15.250,00 sedangkan Lisa membeli 10 kue A dan 5 kue B seharga Rp 27.500,00. Jika Mira hanya membeli 1 kue A dan 1 kue B membayar dengan uang Rp 10.000,00 maka uang kembalian yang di terima Mira adalah …. A. Rp 5.250,00 B. Rp 5.500,00 C. Rp 6.000,00 D. Rp 6.250,00 E. Rp 6.500,00 Jawab : D

Misal : harga 1 kue A = x harga 1 kue B = y

L : 10x + 5y = 27.500 ………………….(1) D : 3x + 5y = 15.250 _ ………………….(2)

7x = 12.250

x = 7

250.12= 1.750 ……substitusi ke (2)

3(1.750) + 5y = 15.250 5.250 + 5y = 15.250

5y = 15.250 – 5.250 = 10.000

y = 5

000.10= 2.000

M : x + y = 1.750 + 2.000 = 3.750 Jadi, uang kembaliannya = 10.000 – 3.750

= 6.250 ………………(D) 13. UN 2010 IPS PAKET A

Bu Ana membayar Rp 39.000,00 untuk membeli 3 kg jeruk dan 2kg apel. Pada tempat yang sama Bu Ani membayar Rp 59.000,00 untuk membeli 2 kg jeruk dan 5 kg apel. Harga 1 kg jeruk adalah … a. Rp6.500,00 b. Rp7.000,00 c. Rp7.500,00 d. Rp9.000,00 e. Rp11.000,00 Jawab : b

Misal banyaknya jeruk = x, dan banyaknya apel = y

Ana : 3x + 2y = 39.000 | × 5 | 15x + 10y = 195.000 Ani : 2x + 5y = 59.000 | × 2 | 4x + 10y = 118.000 _

11x = 77.000 x = 7.000

Jadi, harga 1 kg jeruk Rp7.000,00 ……………..(b)

14. UN 2010 IPS PAKET B

Pak temon bekerja dengan perhitungan 4 hari lembur dan 2 hari tidak lembur serta mendapat gaji Rp740.000,00 sedangkan Pak Abdel bekerja 2 hari lembur dan 3 hari tidak lembur dengan gaji Rp550.000,00. Jika Pak Eko bekerja dengan perhitungan lembur selama lima hari, maka gaji yang diterima Pak Eko adalah … a. Rp450.000,00 b. Rp650.000,00 c. Rp700.000,00 d. Rp750.000,00 e. Rp1.000.000,00 Jawab : c

Misal banyaknya hari lembur = x, dan banyaknya hari tidak lembur = y T : 4x + 2y = 740.000 | × 3 | 12x + 6y = 2.220.000 A : 2x + 3y = 550.000 | × 2 | 4x + 6y = 1.100.000 _

8x = 1.120.000 x = 140.000

E : 5x = 5(140.000) = 700.000 …………………(c)



78


Harga 3 kg beras dan 2 kg gula di toko A adalah Rp 17.000,00, sedangkan di toko B harga 4 kg beras dan 5 kg gula adalah Rp 32.000,00. Pada saat itu, harga beras dan gula di toko A dan di toko B sama. Jika Budi membeli 1 kg beras dan setengah kilogram gula maka harga yang dibayar adalah … a. Rp 3.000,00 b. Rp 4.000,00 c. Rp 5.000,00 d. Rp 5.500,00 e. Rp 6.000,00 Jawab : c

Misalnya banyaknya beras = x dan banyaknya gula = y

A : 3x + 2y = 17.000 | × 5 | 15x + 10 y = 85.000 B : 4x + 5y = 32.000 | × 2 | 8x + 10 y = 64.000 _

7x = 21.000 x = 3.000

a. 3x + 2y = 17.000 3(3.000) + 2y = 17.000

2y = 17.000 – 9.000 2y = 8.000 … Kedua ruas dibagi 4 ½y = 2.000

b. x + ½y = 3.000 + 2.000 = 5.000

Jadi Budi harus membayar Rp5.000,00 ………….(c)


Ibu Salmah membeli tiga tangkai bunga Anggrek dan empat buah pot bunga, ia harus membayar Rp 42.500,00. Sedangkan ibu Nina membeli dua tangkai bunga Anggrek dan tiga pot bunga, ia harus membayar Rp 30.00,00. Ibu Salmah, Ibu Nina, dan Ibu Rossi membeli bunga dan pot bunga dengan harga satuan yang sama. Jika Ibu Rossi membeli lima tangkai bunga Anggrek dan lima buah pot bunga, maka ia harus membayar … a. Rp 52.500,00 b. Rp 62.500,00 c. Rp 65.000,00 d. Rp 67.000,00 e. Rp 72.500,00 Jawab : b

Misal jumlah bunga Anggrek = x dan jumlah pot bunga = y S : 3x + 4y = 42.500 N : 2x + 3y = 30.000 _

x + y = 12.500 ……. Kedua ruas dikali 5 5x + 5y = 62.500

Jadi ibu Rosi harus membayar Rp62.500,00 ……(b)



79


Mira dan reni membeli kue di toko “Murah”. Mira membeli 3 kue pisang dan 5 kue keju. Ia membayar Rp 13.100,00. Reni membeli 2 kue pisang dan 2 kue keju. Reni membayar Rp 6.600,00, Mira dan Reni membeli kue dengan harga satuan yang sama. Model matematika yang memenuhi masalah di atas adalah …

a.

=+=+

300.3

100.1353

yx

yx

b.

=+=+

300.3

100.1335

yx

yx

c.

=+=+

300.3

600.653

yx

yx

d.

=+=+

100.1322

600.635

yx

yx

e.

=+=+

600.622

100.1335

yx

yx

Jawab : a

Misal : harga kue pisang = x

harga kue keju = y

M : 3x + 5y = 13.100 R : 2x + 2y = 6.600 … kedua ruas dibagi 2

⇔ x + y = 3.300 Jadi, model matematikanya adalah

=+=+

300.3

100.1353

yx

yx …………………………….(a)

18. UN 2012 BHS/A13 Ahmad membayar Rp23.000,00 untuk pembelian 3 buku tulis dan 2 buku gambar, sedangkan Bayu membayar Rp40.000,00 untuk pembelian 4 buku tulis dan 5 buku gambar. Jika x adalah harga sebuah buku tulis dan y adalah harga sebuah buku gambar, maka model matematika dari permasalah tersebut adalah …

A.

=+=+

4000054

2300032

yx

yx

B.

=+=+

4000034

2300052

yx

yx

C.

=+=+

4000032

2300054

yx

yx

D.

=+=+

4000045

2300023

yx

yx

E.

=+=+

4000054

2300023

yx

yx

Jawab : E

Misal: x = harga sebuah buku tulis y = harga sebuah buku gambar

Maka model matematika dari pengeluaran Ahmad dan Bayu adalah sbb: Ahmad : membeli 3 buku tulis dan 2 buku gambar

membayar Rp23.000,00 3x + 2y = 23.000

Bayu : membeli 4 buku tulis dan 5 buku gambar membayar Rp40.000,00 4x + 5y = 40.000

Sehingga dapat disimpulkan sbb:

=+=+

4000054

2300023

yx

yx ……………………………(E)



80

SOAL PENYELESAIAN 19. UN 2012 BHS/B25

Amir membeli 3 pasang sepatu dan 4 pasang sandal dengan harga Rp650.000,00 sedangkan Badru membeli 2 pasang sepatu dan 5 pasang sandal seharga Rp500.000,00. Jika x adalah harga satu pasang sepatu dan y adalah harga satu pasang sandal, maka model matematika dari persamaan di atas adalah …

A.

=+=+

000.55052

000.65034

yx

yx

B.

=+=+

000.65025

000.55034

yx

yx

C.

=+=+

000.55052

000.65043

yx

yx

D.

=+=+

000.65052

000.55043

yx

yx

E.

=+=+

000.65045

000.55023

yx

yx

Jawab : C

Misal: x = harga satu pasang sepatu

y = harga satu pasang sandal Maka model matematika dari pengeluaran Amir dan Badru adalah sbb: Amir : membeli 3 pasang sepatu dan 4 pasang

sandal dengan harga Rp650.000,00 3x + 4y = 650.000

Badru : membeli 2 pasang sepatu dan 5 pasang sandal seharga Rp500.000,00 2x + 5y = 500.000

Sehingga dapat disimpulkan sbb:

=+=+

000.55052

000.65043

yx

yx ……………………………(C)

20. UN 2012 BHS/C37 Ana membeli 2 baju dan 3 kemeja dengan harga Rp725.000,00. Di tempat dan model yang sama, Ani membeli satu baju dan 2 kemeja dengan harga Rp400.000,00. Jika p adalah harga satu baju dan q adalah harga satu kemeja, maka model matematika dari permasalahan di atas adalah …

A.

=+=+

000.7252

000.40032

qp

qp

B.

=+=+

000.40023

000.7252

qp

qp

C.

=+=+

000.4002

000.72532

qp

qp

D.

=+=+

000.7252

000.40032

qp

qp

E.

=+=+

000.72532

000.4002

qp

qp

Jawab : C

Misal: p = harga satu baju

q = harga satu kemeja Maka model matematika dari pengeluaran Ana dan Ani adalah sbb: Ana : membeli 2 baju dan 3 kemeja dengan harga

Rp725.000,00 2p + 3q = 725.000

Ani : membeli satu baju dan 2 kemeja dengan harga Rp400.000,00

p + 2q = 400.000 Sehingga dapat disimpulkan sbb:

=+=+

000.4002

000.72532

qp

qp ……………………………(C)



81


Andi membeli 3 buku dan 2 pulpen dengan harga Rp12.000,00 sedangkan Bedu membeli 1 buku dan 3 pulpen dengan harga Rp11.000,00. Jika Caca ingin membeli 1 buku dan 1 pulpen di toko yang sama ia harus membayar … a. Rp4.500,00 b. Rp5.000,00 c. Rp5.500,00 d. Rp6.000,00 e. Rp6.500,00 Jawab : B

Misal harga buku = x, dan harga pulpen = y A : 3x + 2y = 12.000 | × 1 | 3x + 2y = 12.000 B : x + 3y = 11.000 | × 3 | 3x + 9y = 33.000 _

7y = 21.000 y = 3.000

dengan menggunakan data B dan y, dapat dihitung uang yang harus di bayar C data B = x + 3y, jika B dikurangi 2y, maka menjadi x + y = C, sehingga C = B – 2y = 11.000 – 2(3.000)

= 11.000 – 6.000 = 5.000 ………………………………(B)

22. UN 2009 BAHASA PAKET A/B Harga 2 mangkok bakso dan 1 mangkok es campur Rp14.000,00. Harga 1 mangkok bakso dan 2 mangkok es campur Rp13.000,00. Ani Membayar Rp80.000,00 untuk 8 mangkok bakso dan beberapa mangkok es campur. Es campur yang dibayar Ani adalah … a. 6 mangkok b. 8 mangkok c. 9 mangkok d. 10 mangkok e. 12 mangkok Jawab : d

Misal Jumlah bakso = x, dan jumlah es = y A : 2x + y = 14.000 | × 2 | 4x + 2y = 28.000 B : x + 2y = 13.000 | × 1 | x + 2y = 13.000 _

3x = 15.000 x = 5.000

• 2x + y = 14.000 2(5.000) + y = 14.000

y = 14.000 – 10.000 = 4.000 • 8x + ay = 80.000

8(5.000) + 4.000a = 80.000 …. Kedua ruas dibagi 4.000

10 + a = 20 a = 20 – 10 = 10

Jadi, jumlah es campur 10 mangkok ……..(d)


Banyak uang Mira 43 kali banyak uang

Ana. Jika banyak uang Mira Rp 150.000,00, maka banyak uang Ana adalah …

a. Rp 100.000,00 b. Rp 125.000,00 c. Rp 200.000,00 d. Rp 225.000,00 e. Rp 250.000,00 Jawab : c

{Mira = 43 × Ana}

34

AnaMira =34

000.15034 × = Ana

Ana = 200.000 ……………………………(c)



82


Di sebuah swalayan Rina dan Rini membeli apel dan mangga. Rina membeli 2 kg apel dan 1 kg mangga dengan harga Rp 4.000,00. Rini membeli 3 kg apel dan 4 kg mangga dengan harga Rp 8.500,00. Harga 1 kg apel adalah … a. Rp 750,00 d. Rp 1.500,00 b. Rp 875,00 e. Rp 1.750,00 c. Rp 1.000,00 Jawab : d

Misal jumlah apel = x dan jumlah Mangga = y Rina : 2x + y = 4.000 | × 4 | 8x + 4y = 16.000 Rini : 3x + 4y = 8.500 | × 1 | 3x + 4y = 8.500 _

5x = 7.500 x = 1.500

Jadi, harga 1 kg Apel = Rp1.500,00 …………….(d)

4. LOGIKA MATEMATIKA A. Negasi (Ingkaran) Negasi adalah pengingkaran terhadap nilai kebenaran suatu pernyataan. ~ p : tidak p

p ~ p B S S B

B. Operator Logika 1) Konjungsi adalah penggabungan dua pernyataan atau lebih dengan operator “dan”.

p ∧∧∧∧ q : p dan q

2) Disjungsi adalah penggabungan dua pernyataan atau lebih dengan operator “atau”. p ∨∨∨∨ q : p atau q

3) Implikasi adalah penggabungan dua pernyataan dengan operator “Jika …, maka …”. p ⇒⇒⇒⇒ q : Jika p maka q

4) Biimplikasi adalah penggabungan dua pernyataan dengan operator “… jika dan hanya jika …” p ⇔⇔⇔⇔ q : p jika dan hanya jika q

C. Nilai Kebenaran Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi

premis 1 premis 2 konjungsi disjungsi implikasi biimplikasi P q p ∧ q p ∨ q p ⇒ q p ⇔ q B B B B B B B S S B S S S B S B B S S S S S B B

Kesimpulan: perhatikan nilai kebenaran yang tercetak tebal

1) Konjungsi akan bernilai benar (B), jika kedua premis benar, 2) Disjungsi akan bernilai salah (S), jika kedua premis salah 3) Implikasi akan bernilai salah (S), jika premis sebelah kiri benar (B) dan kanan salah (S) 4) Biimimplikasi akan bernilai benar (B), jika premis kiri dan kanan kembar


Nilai kebenaran pernyataan majemuk (~p⇒q) ∨ ~q, pada tabel berikut adalah … P q (~p⇒q) ∨ ~q B B … B S … S B … S S … a. S B S B b. B B B S c. B S B B d. BB B B e. B B S S Jawab : d

• Operator ⇒ bernilai salah jika kiri benar dan kanan salah

• Operator ∨ bernilai salah jika keduanya salah • Untuk mempermudah penyelesaian buat

kolom “~p” p ~p q (~p⇒q) ∨ ~q B S B B B S B S S B B B S B B B B S S B S S B B

Jadi, nilai kebenarannya adalah B B B B ….….(d)

SIAP UN IPS Edisi 2013 Logika Matematika http://www.soalmatematik.com

Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e-book LATIH UN

84


Nilai kebenaran dari pernyatan majemuk yang dinyatakan dengan (~p ∧ q) ⇒ ~q, pada tabel berikut adalah … P q (~p ∧ q) ⇒ ~q B B … B S … S B … S S … a. B B S S b. B S S S c. B B S B d. B S B B e. S B B B Jawab : d

• Operator ∧ bernilai benar jika keduanya benar • Operator ⇒ bernilai salah jika kiri benar dan

kanan salah • Untuk mempermudah penyelesaian buat

kolom “~p”

p ~p q (~p ∧ q) ⇒ ~q B S B S B S B S S S B B S B B B S S S B S S B B

Jadi, nilai kebenarannya adalah B B S B ….….(d)

3. UN 2010 IPS PAKET A/B Nilai kebenaran yang tepat untuk pernyataan (p ∧ q) ⇒ ~p, pada tabel berikut adalah … P q (p ∧ q) ⇒ ~p B B … B S … S B … S S … a. SBSB d. SBBB b. SSSB e. BBBB c. SSBB Jawab : d

• Operator ∧ bernilai benar jika keduanya benar • Operator ⇒ bernilai salah jika kiri benar dan

kanan salah

p q (p ∧ q) ⇒ ~p B B B S S B S S B S S B S B B S S S B B

Jadi, nilai kebenarannya adalah S B B B ….….(d)

4. UN 2009 IPS PAKET A/B Nilai kebenaran yang tepat untuk pernyataan (p∨~q) ⇔ q, pada tabel berikut adalah … p q (p∨~q) ⇔ q a. SSSS

b. BSSS c. BBSS d. SSBB e. BBBS

B B … B S … S B … S S …

Jawab : b

• Operator ∨ bernilai salah jika keduanya salah • Operator ⇔ bernilai benar jika kiri dan kanan

kembar p q ~q p∨~q ⇔ q B B S B B B B S B B S S S B S S S B S S B B S S Jadi, jawaban yang benar adalah ……..……(b)

5. UN 2008 IPS PAKET A/B Jika ~p menyatakan negasi dari pernyataan p, dengan ~p bernilai benar dan q bernilai salah, maka pernyataan berikut bernilai benar adalah … a. (~p ∨ ~ q) ∧ q b. (p ⇒ q) ∧ q c. (~p ⇔ q) ∧ p d. (p ∧ q) ⇒ p e. (~p ∨ q) ⇒ p Jawab : e

Diketahui : ~p : B q : S

Periksa pernyataan yang menggunakan operator ∧

jawaban yang sudah pasti salah adalah a, b, c, dan d, kenapa? karena • jawaban a dan b pernyataan sebelah kanan

yaitu q nilainya salah (S) • jawaban c, nilai pernyataan sebelah kiri

yaitu (~p ⇔ q) nilainya salah (S) B ⇔ S ∴S

• jawaban d, nilai pernyataan sebelah kiri yaitu (p ∧ q) nilainya salah (S)

S ∧ S ∴S Jadi, jawaban yang benar adalah ….(e)



85

D. Konvers, Invers, dan Kontraposisi Bila terdapat bentuk implikasi p ⇒ q, maka diperoleh tiga pengembangannya sebagai berikut:

Implikasi Invers Konvers Kontraposisi p ⇒ q ~ p ⇒ ~ q q ⇒ p ~ q ⇒ ~ p

Kesimpulan yang dapat diambil adalah: 1) invers adalah negasi dari implikasi 2) konvers adalah kebalikan dari implikasi 3) kontraposisi adalah implikasi yang dibalik dan dinegasi

E. Kuantor Universal dan Kuantor Eksistensial

• Kuantor Universal adalah suatu pernyataan yang berlaku untuk umum, notasinya “∀x” dibaca “untuk semua nilai x”

• Kuantor Eksistensial adalah suatu pernyataan yang berlaku secara khusus, notasinya “∃x”

dibaca “ada nilai x” atau “beberapa nilai x”

• Ingkaran dari pernyataan berkuantor 1) ~(∀x) ≡ ∃(~x) 2) ~(∃x) ≡ ∀(~x)

F. Negasi/Ingkaran pernyataan majemuk

1) ~(p ∧ q) ≡ ~ p ∨ ~ q : ingkaran dari konjungsi 2) ~(p ∨ q) ≡ ~ p ∧ ~ q : ingkaran dari disjungsi 3) ~(p ⇔ q) ≡ (p ∧ ~ q) ∨ (q ∧ ~ p) : ingkaran dari biimplikasi 4) ~(p ⇒ q) ≡ p ∧ ~ q : ingkaran dari implikasi

SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2013 Ingkaran dari pernyataan “seluruh peserta ujian hadir pada pukul 07.00 WIB dan membawa alat tulis” adalah … A. Ada peserta ujian tidak hadir pada pukul

07.00 WIB dan tidak membawa alat tulis B. Ada peserta ujian tidak hadir pada pukul

07.00 WIB atau tidak membawa alat tulis C. seluruh peserta ujian hadir pada pukul

07.00 WIB dan tidak membawa alat tulis D. Ada peserta ujian hadir pada pukul 07.00

WIB dan tidak membawa alat tulis E. Ada peserta ujian hadir pada pukul 07.00

WIB atau tidak membawa alat tulis Jawab : B

Misal ∀p : seluruh peserta ujian hadir pada pukul

07.00 WIB q : membawa alat tulis

Menggunakan kata hubung “dan“: ∧ sehingga pernyataan pada soal jika di sajikan dalam bentuk lambang adalah: (∀p ∧ q) dengan ingkarannya ~(∀p ∧ q) ≡ ∃(~p) ∨ ~q

≡ Ada peserta ujian tidak hadir pada pukul 07.00 WIB atau tidak membawa alat tulis

……………………………………..(B)



86

SOAL PENYELESAIAN 2. UN 2013

Ingkaran dari pernyataan “Semua makhluk hidup memerlukan air dan oksigen” adalah … A. Semua makhluk hidup tidak memerlukan

air ataupun oksigen B. ada makhluk hidup memerlukan air dan

oksigen C. ada makhluk hidup tidak memerlukan air

atau tidak perlu oksigen D. Semua makhluk hidup tidak perlu air dan

oksigen E. Ada makhluk hidup memerlukan air tetapi

tidak perlu oksigen Jawab : C

Misal ∀p : Semua makhluk hidup memerlukan air

q : memerlukan oksigen Menggunakan kata hubung “dan“: ∧ sehingga pernyataan pada soal jika di sajikan dalam bentuk lambang adalah: (∀p ∧ q) dengan ingkarannya ~(∀p ∧ q) ≡ ∃(~p) ∨ ~q

≡ ada makhluk hidup tidak memerlukan air atau tidak perlu oksigen

……………………………………..(C)

3. UN 2013 Ingkaran dari pernyataan “semua pasien mengharapkan sehat dan dapat beraktifitas kembali” adalah … A. Beberapa pasien mengharapkan sehat dan

dapat beraktifitas kembali B. Beberapa pasien mengharapkan tidak sehat

atau tidak dapat beraktifitas kembali C. Beberapa pasien mengharapkan sehat

tetapi tidak dapat beraktifitas kembali D. Beberapa pasien mengharapkan sehat

tetapi dapat beraktifitas kembali E. Semua pasien mengharapkan sehat juga

dapat beraktifitas kembali Jawab : B

Misal ∀p : semua pasien mengharapkan sehat

q : dapat beraktifitas kembali Menggunakan kata hubung “dan“: ∧ sehingga pernyataan pada soal jika di sajikan dalam bentuk lambang adalah: (∀p ∧ q) dengan ingkarannya ~(∀p ∧ q) ≡ ∃(~p) ∨ ~q

≡ Beberapa pasien mengharapkan tidak sehat atau tidak dapat beraktifitas kembali

……………………………………..(B)

4. UN 2013 Ingkaran dari pernyataan “Cuaca buruk dan semua penerbangan ditunda” adalah … A. Cuaca tidak buruk atau beberapa

penerbangan tidak ditunda B. Beberapa penerbangan ditunda tetapi

cuaca buruk C. Semua penerbangan ditunda dan cuaca

buruk D. Cuaca baik tetapi tetapi beberapa

penerbangan tidak ditunda E. Cuaca buruk tetapi tetapi beberapa

penerbangan tidak ditunda Jawab : A

Misal p : Cuaca buruk

∀q : semua penerbangan ditunda Menggunakan kata hubung “dan“: ∧ sehingga pernyataan pada soal jika di sajikan dalam bentuk lambang adalah: (p ∧ ∀q) dengan ingkarannya ~(p ∧ ∀q) ≡ ~p ∨ ∃ (~q)

≡ Cuaca tidak buruk atau beberapa penerbangan tidak ditunda

……………………………………..(A)



87

SOAL PENYELESAIAN 5. UN 2013

Ingkaran dari pernyataan “Hari hujan dan semua jalan raya banjir” adalah … A. Hari hujan dan semua jalan raya banjir B. Hari hujan tetapi semua jalan raya tidak

banjir C. Hari tidak hujan atau ada jalan raya yang

tidak banjir D. Hari tidak hujan tetapi ada jalan raya

banjir E. Hari tidak hujan dan semua jalan raya

tidak banjir Jawab : C

Misal p : Hari hujan

∀q : semua jalan raya banjir Menggunakan kata hubung “dan“: ∧ sehingga pernyataan pada soal jika di sajikan dalam bentuk lambang adalah: (p ∧ ∀q) dengan ingkarannya ~(p ∧ ∀q) ≡ ~p ∨ ∃ (~q)

≡ Hari tidak hujan atau ada jalan raya yang tidak banjir

……………………………………..(C)

6. UN 2013 Ingkaran dari pernyataan “Gaji pegawai negeri naik dan semua harga barang naik” adalah … A. Gaji pegawai negeri tidak naik atau ada

harga barang yang tidak naik B. Gaji pegawai negeri naik dan ada harga

barang naik C. Gaji pegawai negeri naik tetapi semua

harga barang tidak naik D. Gaji pegawai negeri tidak naik dan semua

harga barang tidak naik E. Gaji pegawai negeri tidak naik tetapi ada

harga barang yang naik Jawab : A

Misal p : Gaji pegawai negeri naik

∀q : semua harga barang naik Menggunakan kata hubung “dan“: ∧ sehingga pernyataan pada soal jika di sajikan dalam bentuk lambang adalah: (p ∧ ∀q) dengan ingkarannya ~(p ∧ ∀q) ≡ ~p ∨ ∃ (~q)

≡ Gaji pegawai negeri tidak naik atau ada harga barang yang tidak naik

……………………………………..(A)

7. UN 2012 IPS/A13 Ingkaran pernyataan “Petani panen beras atau harga beras murah” A. Petani panen beras dan harga beras

mahal. B. Petani panen beras dan harga beras

murah. C. Petani tidak panen beras dan harga beras

murah. D. Petani tidak panen beras dan harga beras

tidak murah. E. Petani tidak panen beras atau harga beras

tidak murah. Jawab :D

Misal p : Petani panen beras

q : harga beras murah Menggunakan kata hubung “atau“: ∨ sehingga pernyataan pada soal jika di sajikan dalam bentuk lambang adalah: (p ∨ q) dengan ingkarannya ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q

≡ Petani tidak panen beras dan harga beras tidak murah

……………………………………..(D)



88


Ingkaran pernyataan “Irfan berambut keriting dan Irman berambut lurus” adalah …. A. Irfan tidak berambut keriting dan Irman

tidak berambut lurus. B. Irfan tidak berambut keriting atau Irman

tidak berambut lurus. C. Irfan berambut lurus tetapi Irman

berambut keriting. D. Irfan berambut keriting atau Irman

berambut lurus. E. Irfan berambut tidak keriting dan Irman

berambut tidak lurus. Jawab : B

Misal p : Irfan berambut keriting

q : Irman berambut lurus Menggunakan kata hubung “dan” : ∧ sehingga pernyataan pada soal jika di sajikan dalam bentuk lambang adalah: (p ∧ q) dengan ingkarannya ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q

≡ Irfan tidak berambut keriting atau Irman tidak berambut lurus

……………………………………..(B)

9. UN 2012 IPS/B25 Ingkaran pernyataan “Pada hari senin siswa SMAN memakai sepatu hitam dan atribut Lengkap” adalah …. A. Pada hari Senin SMAN tidak memakai

sepatu hitam atau tidak memakai atribut lengkap.

B. Selain hari senin siswa SMAN memakai sepatu hitam atau artribut lengkap.

C. Pada hari senin siswa SMAN memakai sepatu hitam dan tidak memakai atribut lengkap.

D. Pada hari senin siswa SMAN tidak memakai sepatu hitam dan atribut lengkap.

E. Setiap hari senin siswa SMAn tidak memakai sepatu hitam dan memakai atribut lengkap.

Jawab : A

Misal p : Pada hari senin siswa SMAN memakai

sepatu hitam q : memakai atribut lengkap

Menggunakan kata hubung “dan”: ∧ sehingga pernyataan pada soal jika di sajikan dalam bentuk lambang adalah: (p ∧ q) dengan ingkarannya ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q

≡ Pada hari senin siswa SMAN tidak memakai sepatu hitam atau tidak memakai atribut lengkap

……………………………………..(A)



89


Ingkaran pernyataan “Pada hari senin, siswa SMA X wajib mengenakan sepatu hitam dan kaos kaki putih” adalah …. A. Selain hari Senin,siswa SMA X tidak

wajib mengenakan sepatu hitam dan kaos kaki putih.

B. Selain hari Senin,siswa SMA X tidak wajib mengenakan sepatu hitam atau kaos kaki putih.

C. Selain hari Senin, siswa SMA X wajib mengenakan sepatu hitam dan tidak kaos kaki putih.

D. Pada hari Senin, siswa SMA X tidak wajib mengenakan sepatu hitam atau tidak wajib mengenakan kaos kaki putih.

E. Pada hari Senin, siswa SMA X tidak wajib mangenakan sepatu hitam dan tidak wajib mengenakan kaos kaki putih.

Jawab :D

Misal p : Pada hari senin, siswa SMA X wajib

mengenakan sepatu hitam q : wajib mengenakan kaos kaki putih

Menggunakan kata hubung “dan”: ∧ sehingga pernyataan pada soal jika di sajikan dalam bentuk lambang adalah: (p ∧ q) dengan ingkarannya ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q

≡ Pada hari Senin, siswa SMA X tidak wajib mengenakan sepatu hitam atau tidak wajib mengenakan kaos kaki putih.

……………………………………..(D)

11. UN 2011 IPS PAKET 12 Ingkaran dari pernyataan: “18 habis dibagi 2 atau 9” adalah … a. 18 tidak habis dibagi 2 dan tidak habis dibagi 9 b. 18 tidak habis dibagi 2 dan 9 c. 18 tidak habis dibagi 2 dan habis dibagi 9 d. 2 dan 9 membagi habis 18 e. 18 tidak habis dibagi Jawab : B

Misal p : 18 habis dibagi 2

q : 18 habis dibagi 9 Menggunakan kata hubung “atau” : ∨ Pernyataan di samping Jika di tulis dalam kalimat

matematika adalah: p ∨ q, dengan ingkarannya:

• ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q

≡ 18 tidak habis dibagi 2 dan 9 ………………………………………………...(b)

12. UN 2011 IPS PAKET 46 Negasi dari pernyataan “Ani senang bernyanyi dan tidak senang olah raga”, adalah … a. Ani tidak senang bernyanyi tetapi senang olah

raga b. Ani senang bernyanyi juga senang olah raga c. Ani tidak senang bernyanyi atau tidak senang

olah raga d. Ani tidak senang bernyanyi atau senang olah

raga e. Ani senang bernyanyi atau tidak senang olah

raga Jawab : d

Misal p : Ani senang bernyanyi

q : Ani senang olah raga Menggunakan kata hubung “atau “ : ∧ Pernyataan di samping Jika di tulis dalam kalimat

matematika adalah: p ∧ ~q, dengan negasinya :

• ~( p ∧ ~q) ≡ ~p ∨ q

≡ Ani tidak senang bernyanyi atau

senang olah raga ………………………………………………...(d)



90


Negasi dari pernyataan “Jika Ali seorang pelajar SMA, maka ia mempunyai kartu pelajar.” Adalah … a. Jika Ali bukan seorang pelajar SMA, maka ia

tidak mempunyai kartu pelajar b. Jika Ali mempunyai kartu pelajar, maka ia

seorang pelajar SMA c. Jika Ali seorang pelajar SMA, maka ia tidak

mempunyai kartu pelajar d. Ali seorang pelajar SMA dan ia tidak

mempunyai kartu pelajar e. Ali seorang pelajar SMA atau ia tidak

mempunyai kartu pelajar Jawab : d

Misal p : Ali seorang pelajar SMA

q : Ali mempunyai kartu pelajar dengan kata hubung “jika … maka … “ : ⇒ Pernyataan di samping jika di tulis dalam kalimat

matematika adalah: p ⇒ q, dengan negasinya :

• ~(p ⇒ q) ≡ p ∧ ~q

≡ Ali seorang pelajar SMA dan ia tidak mempunyai kartu pelajar

………………………………………………...(d)

14. UN 2010 IPS PAKET B Negasi dari pernyataan “Jika ulangan tidak jadi maka semua murid bersuka ria” adalah … a. Ulangan tidak jadi dan semua murid tidak

bersuka ria b. Ulangan tidak jadi dan semua murid

bersuka ria c. Ulangan tidak jadi dan ada murid tidak

bersuka ria d. Ulangan jadi dan semua murid bersuka ria e. Ulangan jadi dan semua murid tidak

bersuka ria Jawab : c

Misal p : ulangan jadi

∀q : semua murid bersuka ria dengan kata hubung “jika … maka … “ : ⇒ Pernyataan di samping Jika di tulis dalam kalimat matematika adalah: ~p ⇒ ∀q, dengan negasinya: • ~(~p ⇒ ∀q) ≡ ~p ∧ ~(∀q)

≡ ~p ∧ ∃(~q) ≡ Ulangan tidak jadi dan ada

murid tidak bersuka ria ……………………………………………….(c)

15. UN 2009 IPS PAKET A/B Ingkaran dari pernyataan “beberapa siswa memakai kacamata” adalah … a. Beberapa siswa tidak memekai kacamata b. Semua siswa memakai kacamata c. Ada siswa tidak memakai kacamata d. Tidak benar semua siswa memakai

kacamata e. Semua siswa tidak memakai kacamata Jawab : e

Pernyataan di samping jika disajikan dalam kalimat matematika adalah: ∃p ~(∃p) ≡ ∀(~p)

≡ Semua siswa tidak memakai kacamata ……………………………………………….(e)



91


Negasi dari pernyataan: “Permintaan terhadap sebuah produk tinggi dan harga barang naik”, adalah … a. Permintaan terhadap sebuah produk tinggi

atau harga barang naik. b. Permintaan terhadap sebuah produk tidak

tinggi atau harga barang naik. c. Permintaan terhadap sebuah produk tinggi

dan harga barang tidak naik. d. Permintaan terhadap sebuah produk tidak

tinggi dan harga barang tidak naik. e. Permintaan terhadap sebuah produk tidak

tinggi atau harga barang tidak naik. Jawab : e

Misal p : Permintaan terhadap sebuah produk tinggi

q : harga barang naik Menggunakan kata hubung “dan “ : ∧ Pernyataan di samping jika disajikan dalam kalimat

matematika adalah: p ∧ q, dengan negasinya:

~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q

≡ Permintaan terhadap sebuah produk tidak tinggi atau harga barang tidak naik

……………………………………………….(e)

17. UN 2012 BHS/C37 Negasi dari pernyataan “Ani cantik dan ramah” adalah … A. Ani tidak cantik dan tidak ramah B. Jika Ani tidak cantik, maka Ani tidak

ramah C. Jika Ani tidak ramah, maka Ani tidak

cantik D. Ani tidak cantik atau tidak ramah E. Ani tidak ramah dan tidak cantik Jawab : D

Misal p : Ani cantik

q : ramah Menggunakan kata hubung “dan”: ∧ sehingga pernyataan pada soal jika di sajikan dalam bentuk lambang adalah: (p ∧ q) dengan ingkarannya ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q

≡ Ani tidak cantik atau tidak ramah ……………………………………..(D)

18. UN 2012 BAHASA/E52 Negasi dari pernyataan “Budi rajin dan pandai” adalah … A. Budi tidak rajin dan tidak pandai B. Jika Budi rajin, maka Budi pandai C. Jika Budi tidak rajin, maka Budi tidak

pandai D. Budi tidak rajin atau tidak pandai E. Budi tidak rajin tetapi pandai Jawab : D

Misal p : Budi rajin

q : pandai Menggunakan kata hubung “dan”: ∧ sehingga pernyataan pada soal jika di sajikan dalam bentuk lambang adalah: (p ∧ q) dengan ingkarannya ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q

≡ Budi tidak rajin atau tidak pandai ……………………………………..(D)

19. UN 2012 BHS/A13 Ingkaran dari pernyataan : “Jika ayah sakit, maka ibu sedih” adalah … A. Ayah sakit atau ibu tidak sedih B. Ayah tidak sakit tetapi ibu sedih C. Ayah sakit tetapi ibu tidak sedih D. Jika ayah tidak sakit, maka ibu tidak sedih E. Jika ibu tidak sedih, maka ayah tidak sakit Jawab : C

Misal p : ayah sakit

q : ibu sedih dengan kata hubung “jika … maka … “: ⇒ sehingga pernyataan pada soal jika di sajikan dalam bentuk lambang adalah: (p ⇒ q) dengan ingkarannya ~(p ⇒ q) ≡ p ∧ ~q

≡ ayah sakit tetapi ibu tidak sedih ……………………………………..(C)



92


Negasi dari pernyataan “Jika Prabu mendapatkan nilai jelek maka ia tidak mendapatkan uang saku”, adalah … a. Jika tidak Prabu mendapatkan nilai jelek

maka ia mendapatkan uang saku b. Jika Prabu mendapatkan nilai jelek maka ia

tidak mendapatkan uang saku c. Prabu tidak mendapatkan nilai jelek atau ia

mendapatkan uang saku d. Prabu tidak mendapatkan nilai jelek dan ia

mendapatkan uang saku e. Prabu mendapatkan nilai jelek tetapi ia

mendapatkan uang saku Jawab : e

Misal p : Prabu mendapatkan nilai jelek

q : Prabu mendapatkan uang saku dengan kata hubung “jika … maka … “: ⇒ Pernyataan di samping Jika di tulis dalam kalimat matematika adalah: p ⇒ ~q, dengan negasinya : • ~(p ⇒ ~q) ≡ p ∧ q

≡ Prabu mendapatkan nilai jelek tetapi ia mendapatkan uang saku

………………………………………………...(e)

21. UN 2010 BAHASA PAKET A/B Ingkaran dari pernyataan “Jika saya lulus SMA maka saya melanjutkan ke jurusan bahasa” adalah a. Jika saya tidak lulus SMA maka saya tidak

melanjutkan ke jurusan bahasa b. Jika saya lulus SMA maka saya tidak

melanjutkan ke jurusan bahasa c. Jika saya melanjutkan ke jurusan bahasa

maka saya lulus SMA d. Saya lulus SMA dan saya tidak

melanjutkan ke jurusan bahasa e. Saya tidak lulus SMA dan saya tidak

melanjutkan ke jurusan bahasa Jawab : d

Misal p : saya lulus SMA

q : saya melanjutkan ke jurusan bahasa dengan kata hubung “jika … maka … “ : ⇒ Pernyataan di samping Jika di tulis dalam kalimat matematika adalah: p ⇒ q, dengan ingkarannya: • ~(p ⇒ q) ≡ p ∧ ~q

≡ Saya lulus SMA dan saya tidak melanjutkan ke jurusan bahasa

………………………………………………...(d)

22. UN 2009 BAHASA PAKET A/B Ingkaran dari pernyataan “Jika air laut pasang, maka nelayan gelisah” adalah …

a. Air laut tidak pasang, dan nelayan tidak gelisah

b. Air laut pasang, dan nelayan gelisah c. Air laut pasang, tetapi nelayan gelisah d. Air laut pasang, dan tidak ada nelayan

gelisah e. Air laut pasang, tetapi nelayan tidak

gelisah Jawab : e

Misal p : air laut pasang

q : nelayan gelisah dengan kata hubung” jika … maka … “: ⇒ Pernyataan di samping jika disajikan dalam kalimat matematika adalah: p ⇒ q, dengan negasinya: ~( p ⇒ q) ≡ p ∧ ~q

≡ Air laut pasang, tetapi nelayan tidak gelisah

……………………………………………….(e) 23. UN 2008 BAHASA PAKET A/B

Negasi dari pernyatan : “Toni tidak rajin belajar.” adalah … a. Toni lulus ujian b. Toni tidak malas c. Toni rajin belajar dan lulus ujian d. Toni rajin belajar e. Toni pandai Jawab : d

Lawan (negasi) dari tidak rajin belajar adalah rajin belajar, Jadi, jawaban yang benar adalah ………………(d)



93

G. Dua pernyataan yang saling equivalen 1) p ⇒ q ≡ ~ p ∨ q………………….(1)

≡ ~ q ⇒ ~ p …………….…(2)

Pilih (1) jika jawaban yang disediakan memuat kata hubung “atau” Pilih (2) jika jawaban yang disediakan memuat kata hubung “jika … maka … “


Pernyataan yang setara dengan “jika harga BBM naik maka harga kebutuhan pokok akan naik” adalah … A. Harga BBM naik dan harga kebutuhan

pokok akan naik B. Harga BBM tidak naik atau harga

kebutuhan pokok akan naik C. Jika harga BBM tidak naik maka harga

kebutuhan pokok akan naik D. Jika harga BBM tidak naik maka harga

kebutuhan pokok tidak akan naik E. Jika harga BBM tidak naik maka harga

kebutuhan pokok akan turun Jawab : B

Misal p : harga BBM naik

q : harga kebutuhan pokok akan naik dengan kata hubung “jika … maka … “ : ⇒ Pernyataan di samping Jika di tulis dalam kalimat matematika adalah: p ⇒ q • p ⇒ q ≡ ~p ∨ q

≡ Harga BBM tidak naik atau harga kebutuhan pokok akan naik

………………………………………………...(B)

2. UN 2013 IPS Pernyataan yang setara dengan “ Jika mahasiswa tidak berdemonstrasi maka perkuliahan berjalan lancar” adalah … A. Mahasiswa tidak berdemonstrasi atau

perkuliahan berjalan tidak lancar B. Mahasiswa tidak berdemonstrasi atau

perkuliahan berjalan dengan lancar C. Mahasiswa berdemonstrasi atau

perkuliahan berjalan lancar D. Jika perkuliahan tidak berjalan dengan

lancar maka mahasiswa tidak berdemonstrasi

E. Jika perkuliahan berjalan dengan lancar maka mahasiswa berdemonstrasi

Jawab : C

Misal ~p : mahasiswa tidak berdemonstrasi

q : perkuliahan berjalan lancar dengan kata hubung “jika … maka … “ : ⇒ Pernyataan di samping Jika di tulis dalam kalimat matematika adalah: ~p ⇒ q • ~ p ⇒ q ≡ ~(~p) ∨ q

≡ p ∨ q ≡ Mahasiswa berdemonstrasi atau

perkuliahan berjalan lancar ………………………………………………...(C)

3. UN 2013 IPS Pernyataan yang setara dengan “Jika ia belajar maka ia mendapat nilai baik“ adalah … A. Jika ia belajar maka ia tidak mendapat

nilai baik B. Jika ia tidak mendapat nilai baik maka ia

belajar C. Jika ia tidak belajar maka ia tidak

mendapat nilai baik D. Jika ia tidak mendapat nilai baik maka ia

tidak belajar E. Jika ia mendapat nilai baik maka ia

belajar Jawab : D

Misal p : ia belajar

q : ia mendapat nilai baik dengan kata hubung “jika … maka … “ : ⇒ Pernyataan di samping Jika di tulis dalam kalimat matematika adalah: p ⇒ q • p ⇒ q ≡ ~q ⇒ ~p

≡ Jika ia tidak mendapat nilai baik maka ia tidak belajar

………………………………………………...(D)



94


Pernyataan yang setara dengan “Jika guru mengikuti pelatihan maka siswa belajar mandiri” adalah … A. Jika siswa belajar mandiri maka guru

mengikuti pelatihan B. Jika siswa belajar mandiri maka guru

tidak mengikuti pelatihan C. Jika siswa tidak belajar mandiri maka

guru tidak mengikuti pelatihan D. Guru mengikuti pelatihan atau siswa

belajar mandiri E. Guru mengikuti pelatihan atau siswa

tidak belajar mandiri Jawab : C

Misal p : guru mengikuti pelatihan

q : siswa belajar mandiri dengan kata hubung “jika … maka … “ : ⇒ Pernyataan di samping Jika di tulis dalam kalimat matematika adalah: p ⇒ q • p ⇒ q ≡ ~q ⇒ ~p

≡ Jika siswa tidak belajar mandiri maka guru tidak mengikuti pelatihan

………………………………………………...(C)

5. UN 2013 IPS Pernyataan yang setara dengan “Jika ia datang terlambat maka ia tidak ikut ujian “ adalah … A. Jika ia datang tidak terlambat maka ia

ikut ujian B. Jika ia datang tidak terlambat maka ia

tidak ikut ujian C. Jika ia datang terlambat maka ia ikut

ujian D. Jika ia ikut ujian maka ia datang tidak

terlambat E. Jika ia tidak ikut ujian maka ia datang

terlambat Jawab : D

Misal p : ia datang terlambat

~q : ia tidak ikut ujian dengan kata hubung “jika … maka … “ : ⇒ Pernyataan di samping Jika di tulis dalam kalimat matematika adalah: p ⇒ ~q • p ⇒ ~q ≡ ~(~q) ⇒ ~p

≡ q ⇒ ~p ≡ Jika ia ikut ujian maka ia datang

tidak terlambat ………………………………………………...(D)

6. UN 2013 IPS Pernyataan yang setara dengan “Jika nilai Umar di atas KKM maka ia tidak perlu remedial“ adalah … A. Jika nilai Umar di bawah KKM maka ia

harus remedial B. Jika Umar remedial maka nilai Umar

tidak di atas KKM C. Jika Umar tidak remedial maka nilai

Umar di atas KKM D. Nilai Umar di atas KKM tetapi ia ikut

remedial E. Nilai Umar di atas KKM meskipun ia

tidak ikut remedial Jawab : B

Misal p : nilai Umar di atas KKM

~q : ia tidak perlu remedial dengan kata hubung “jika … maka … “ : ⇒ Pernyataan di samping Jika di tulis dalam kalimat matematika adalah: p ⇒ ~q • p ⇒ ~q ≡ ~(~q) ⇒ ~p

≡ q ⇒ ~p ≡ Jika Umar remedial maka nilai Umar

tidak di atas KKM ………………………………………………...(B)



95


Pernyataan yang setara dengan “Jika cuaca buruk maka semua penerbangan ditunda” adalah … A. Jika beberapa penerbangan tidak ditunda

maka cuaca baik B. Jika beberapa penerbangan ditunda maka

cuaca buruk C. Jika semua penerbangan ditunda maka

cuaca buruk D. Jika cuaca baik maka beberapa

penerbangan tidak ditunda E. Cuaca buruk tetapi beberapa

penerbangan tidak ditunda Jawab : A

Misal p : cuaca buruk

∀q : semua penerbangan ditunda dengan kata hubung “jika … maka … “ : ⇒ Pernyataan di samping Jika di tulis dalam kalimat matematika adalah: p ⇒ ∀q • p ⇒ ∀q ≡ ~(∀q) ⇒ ~p

≡ ∃(~q) ⇒ ~p ≡ Jika beberapa penerbangan tidak

ditunda maka cuaca baik ………………………………………………...(A)

8. UN 2012 IPS/B25 Diketahui p dan q suatu pernyataan. Pernyataan yang setara dengan

( )qpp ~∨⇒ adalah ….

A. ( )qpp ∨⇒ ~~

B. ( )qpp ∧⇒ ~~

C. ( )qpp ~~~ ∨⇒

D. ( ) pqp ~~ ⇒∧

E. ( ) pqp ~~ ⇒∨ Jawab : D

p ⇒ (p ∨ ~q) ≡ ~ (p ∨ ~q) ⇒ ~p

≡ (~p ∧ q) ⇒ ~p …………(D) Ingat: 1. p ⇒ q ≡ ~ q ⇒ ~ p 2. ~(p ∨ q) ≡ ~ p ∧ ~ q

9. UN 2012 IPS/A13 Pernyataan yang setara dengan ~r ⇒ (p ∨ ~q ) adalah …. A. (p ∧ ~q ) ⇒ ~r B. (~p ∧ q ) ⇒ r C. ~r ⇒ (p ∧ ~q ) D. ~r ⇒ (~p ∨ q ) E. ~r ⇒ (~p ∧ q ) Jawab : B

~r ⇒ (p ∨ ~q) ≡ ~ (p ∨ ~q) ⇒ ~(~r)

≡ (~p ∧ q) ⇒ r ………………(B) Ingat: 1. p ⇒ q ≡ ~ q ⇒ ~ p 2. ~(p ∨ q) ≡ ~ p ∧ ~ q

10. UN 2012 IPS/C37 Pernyataan yang setara dengan (p ∧ q) ⇒ ~ r adalah …. A. r ⇒ (~p ∨ ~q) B. (~p ∨ ~q ) ⇒ r C. ~(p ∨ q ) ⇒ r D. r ⇒ (p ∨ q ) E. ~ (p ∨ q ) ⇒ ~ r Jawab : A

(p ∧ q) ⇒ ~ r ≡ ~ (~r) ⇒ ~(p ∧ q)

≡ r ⇒ (~p ∨ ~q) ……………(A) Ingat: 1. p ⇒ q ≡ ~ q ⇒ ~ p 2. ~(p ∧ q) ≡ ~ p ∨ ~ q



96


Pernyataan yang setara dengan (~p ∨ ~q) ⇒ r adalah …. A. ( ) rqp ~~ ⇒∨

B. ( ) rqp ~~ ⇒∧

C. ( )qpr ∧⇒~

D. ( )qpr ~~ ∨⇒

E. ( )qpr ∨⇒ ~ Jawab : C

~p ∨ ~q ⇒ r ≡ ~(p ∧ q) ⇒ r

≡ ~ r ⇒ ~[~(p ∧ q)] ≡ ~r ⇒ (p ∧ q) ………………(C)

Ingat: 1. ~(p ∧ q) ≡ ~ p ∨ ~ q 2. p ⇒ q ≡ ~ q ⇒ ~ p

12. UN 2011 BAHASA PAKET 12 Pernyataan yang ekuivalen dari pernyataan “Jika Ino seorang atlit maka Ino tidak merokok” adalah … a. Jika Ino merokok maka Ino seorang atlit b. Jika Ino tidak merokok maka Ino bukan

atlit c. Ino seorang atlit dan Ino merokok d. Ino seorang atlit atau Ino merokok e. Ino bukan seorang atlit atau Ino tidak

merokok Jawab : e

Pernyataan di samping Jika di tulis dalam kalimat matematika adalah: p ⇒ ~q • p ⇒ ~q ≡ ~ p ∨ ~q

≡ Ino bukan seorang atlit atau Ino tidak merokok

……………………………………………...(e) Ingat: 1. p ⇒ q ≡ ~ p ∨ q

13. UN 2010 BAHASA PAKET A/B Pernyataan yang ekuivalen dengan pernyataan “Jika ibu pergi maka adik menangis” adalah … a. Jika ibu tidak pergi maka adik menangis b. Jika ibu pergi maka adik tidak menangis c. Jika ibu tidak pergi maka adik tidak

menangis d. Jika adik menangis maka ibu pergi e. Jika adik tidak menangis maka ibu tidak

pergi Jawab : e

Pernyataan di samping Jika di tulis dalam kalimat matematika adalah: p ⇒ q • p ⇒ q ≡ ~q ⇒ ~p

≡ Jika adik tidak menangis maka ibu tidak pergi

………………………………………………...(e)

14. UN 2009 BAHASA PAKET A/B Pernyataan yang ekivalen dengan “Jika harga BBM naik maka semua mahasiswa demonstrasi” adalah … a. Jika harga BBM tidak naik maka ada

mahasiswa yang tidak demonstrasi b. Jika harga BBM tidak naik maka

semua mahasiswa tidak demonstrasi c. Jika beberapa mahasiswa tidak

demonstrasi maka harga BBM naik d. Jika semua mahasiswa demonstrasi

maka harga BBM naik e. Jika ada mahasiswa yang tidak

demonstrasi maka harga BBM tidak naik.

Jawab : e

Pernyataan-pernyataan tersebut jika ditulis dalam kalimat matematika adalah: p ⇒ ∀q p ⇒ ∀q ≡ ~(∀q ) ⇒ ~p

≡ ∃(~q) ⇒ ~p ≡ Jika ada mahasiswa yang tidak

demonstrasi maka harga BBM tidak naik

……………....……………………………….(e)



97

H. Penarikan Kesimpulan Jenis penarikan kesimpulan ada 3 yaitu:

1) Modus Ponens 2) Modus Tollens 3) Silogisme (MP) (MT)

p ⇒ q : premis 1 p ⇒ q : premis 1 p ⇒ q : premis 1 P : premis 2 ~ q : premis 2 q ⇒ r : premis 2 ∴q : kesimpulan ∴~p : kesimpulan ∴p ⇒ r : kesimpulan

CATATAN : coret yang kembar untuk memperoleh kesimpulannya


Diberikan premis-premis berikut: P1 : Jika pertunjukan bagus maka penonton

banyak yang antri P2 : Jika penonton banyak yang antri maka

penjualan tiket cepat habis Kesimpulan yang sah dari kedua premis di atas adalah … A. Pertunjukan bagus B. Penjualan tiket cepat habis C. Pertunjukan bagus tetapi penjualan tiket

tidak cepat habis D. Pertunjukan bagus atau penjualan tiket

cepat habis E. Jika pertunjukan bagus maka penjualan

tiket cepat habis Jawab : E

P1 : Jika pertunjukan bagus maka penonton

banyak yang antri P2 : Jika penonton banyak yang antri maka

penjualan tiket cepat habis Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama Kesimpulan yang sah adalah : Jika pertunjukan bagus maka penjualan tiket cepat habis ………………………………………………..(E)

2. UN 2013 IPS Dari premis-premis berikut: Premis 1 : Jika dia siswa SMA maka dia

berseragam putih abu-abu Premis 2 : Jika dia berseragam putih abu-abu

maka dia berusia sekitar 16 tahun Kesimpulan yang sah adalah … A. Jika dia siswa SMA maka berseragam

putih abu-abu B. Jika dia berseragam putih abu-abu maka

dia berusia sekitar 16 tahun C. Jika dia berusia sekitar 16 tahun maka dia

siswa SMA D. Jika dia tidak berusia sekitar 16 tahun

maka dia siswa SMA E. Jika dia siswa SMA maka dia berusia

sekitar 16 tahun Jawab : E

P1 : Jika dia siswa SMA maka dia berseragam

putih abu-abu P2 : Jika dia berseragam putih abu-abu maka dia

berusia sekitar 16 tahun Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama Kesimpulan yang sah adalah : Jika dia siswa SMA maka dia berusia sekitar 16 tahun ……………………………………………..(E)



98

SOAL PENYELESAIAN

3. UN 2013 IPS Diberikan pernyataan : Premis 1 : Jika kemasan suatu produk

menarik maka konsumen akan membelinya

Premis 2 : Jika konsumen akan membelinya maka keuntungan yang diperoleh besar

Kesimpulan yang sah dari pernyataan tersebut adalah … A. Jika kemasan suatu produk menarik maka

keuntungan yang diperoleh besar B. Jika keuntungan yang diperoleh tidak

besar maka konsumen tidak akan membeli

C. Kemasan suatu produk tidak menarik D. Jika kemasan suatu produk tidak menarik

maka konsumen membelinya E. Jika konsumen akan membeli suatu

produk maka kemasannya menarik Jawab : A

P1 : Jika kemasan suatu produk menarik maka

konsumen akan membelinya P2 : Jika konsumen akan membelinya maka

keuntungan yang diperoleh besar Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama Kesimpulan yang sah adalah : Jika kemasan suatu produk menarik maka keuntungan yang diperoleh besar …………………………………………….(A)

4. UN 2013 IPS Diketahui premis-premis sebagai berikut: Premis 1 = Jika Wenny rajin belajar maka ia

lulus ujian Premis 2 = Jika Wenny lulus ujian maka

ayah membelikan laptop Kesimpulan dari kedua premis di atas adalah … A. Jika Wenny tidak rajin belajar maka ayah

tidak membelikan laptop B. Jika Wenny rajin belajar maka ayah

membelikan laptop C. Jika Wenny rajin belajar maka ayah tidak

membelikan laptop D. Jika Wenny tidak rajin belajar maka ayah

membelikan laptop E. Jika ayah membelikan laptop maka

Wenny rajin belajar Jawab : B

P1: Jika Wenny rajin belajar maka ia lulus ujian P2 : Jika Wenny lulus ujian maka ayah

membelikan laptop Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama Kesimpulan yang sah adalah : Jika Wenny rajin belajar maka ayah membelikan laptop ……………………………………………(B)



99

SOAL PENYELESAIAN

5. UN 2013 IPS Diketahui premis-premis berikut: Premis 1 : Jika masyarakat membuang

sampah pada tempatnya maka lingkungan bersih

Premis 2 : Jika lingkungan bersih maka hidup akan nyaman

Kesimpulan yang sah dari kedua premis tersebut adalah … A. Jika masyarakat membuang sampah pada

tempatnya maka hidup akan nyaman B. Masyarakat membuang sampah pada

tempatnya maka hidup akan nyaman C. Jika masyarakat membuang sampah tidak

pada tempatnya maka hidup tidak akan bersih

D. Jika masyarakat membuang sampah pada tempatnya maka lingkungan tidak akan bersih

E. Masyarakat membuang sampah pada tempatnya tetapi lingkungan tidak akan bersih

Jawab : A

P1 : Jika masyarakat membuang sampah pada

tempatnya maka lingkungan bersih P2 : Jika lingkungan bersih maka hidup akan

nyaman Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama Kesimpulan yang sah adalah : Jika masyarakat membuang sampah pada tempatnya maka hidup akan nyaman ..................................................................(A)

6. UN 2013 IPS Diketahui argumentasi berikut : Premis 1 : Jika semua warga negara

membayar pajak maka pembangunan berjalan dengan baik

Premis 2 : Jika pembangunan berjalan dengan baik maka negara makmur

Penarikan kesimpulan yang sah dari premis-premis di atasa adalah … A. Jika setiap warga negara membayar pajak

maka negara tidak makmur B. Jika semua warga negara tidak membayar

pajak maka negara makmur C. Jika tidak ada warga negara membayar

pajak maka pembangunan berjalan dengan baik

D. Jika beberapa warga negara membayar pajak maka negara tidak makmur

E. Jika semua warga negara membayar pajak maka negara makmur

Jawab : E

P1 : Jika semua warga negara membayar pajak

maka pembangunan berjalan dengan baik P2 : Jika pembangunan berjalan dengan baik maka

negara makmur Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama Kesimpulan yang sah adalah : Jika semua warga negara membayar pajak maka negara makmur …………………………………………….(E)



100

SOAL PENYELESAIAN

7. UN 2013 IPS Diketahui premis-premis berikut: Premis 1 : Jika gaji guru besar maka guru

hidup sejahtera Premis 2 : Jika guru hidup sejahtera maka

keluarganya senang Kesimpulan yang sah dari kedua premis di atas adalah … A. Jika guru hidup tidak sejahtera maka

keluarganya tidak senang B. Jika gaji guru tidak besar maka

keluarganya tidak senang C. Jika gaji guru besar maka keluarganya

senang D. Jika keluarganya senang maka gaji guru

besar E. Jika keluarganya tidak senang maka guru

hidup tidak sejahtera Jawab : C

P1 : Jika gaji guru besar maka guru hidup sejahtera P2 : Jika guru hidup sejahtera maka keluarganya

senang Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama Kesimpulan yang sah adalah : Jika gaji guru besar maka keluarganya senang ……………………………………………(C)

8. UN 2013 IPS Diketahui premis-premis berikut: Premis 1 : Jika Pak Amir kaya maka ia rajin

bersedekah Premis 2 : Jika Pak Amir rajin bersedekah

maka semua orang senang Kesimpulan yang sah dari kedua premis tersebut adalah … A. Jika Pak Amir orang yang pelit maka

semua orang senang B. Jika Pak Amir kaya maka semua orang

senang C. Jika Pak Amir tidak kaya maka ia tidak

rajin bersedekah D. Jika Pak Amir tidak rajin bersedekah

maka ia tidak kaya E. Jika Pak Amir rajin bersedekah maka ia

kaya Jawab : B

P1 : Jika Pak Amir kaya maka ia rajin bersedekah P2 : Jika Pak Amir rajin bersedekah maka semua

orang senang Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama Kesimpulan yang sah adalah : Jika Pak Amir kaya maka semua orang senang …………………………………………. (B)



101

SOAL PENYELESAIAN

9. UN 2012 IPS/D49 Diketahui premis–premis berikut: Premis 1: Jika siswa berhasil, maka guru

bahagia. Premis 2: Jika guru bahagia, maka dia mendapat

hadiah. Kesimpulan yang sah adalah …. A. Jika siswa berhasil maka guru mendapat

hadiah. B. Siswa berhasil dan guru mendapat hadiah. C. Siswa berhasil atau guru bahagia. D. Guru mendapat hadiah. E. Siswa tidak berhasil. Jawab: A

P 1: Jika siswa berhasil, maka guru bahagia. P 2: Jika guru bahagia, maka dia mendapat hadiah. Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama Kesimpulan yang sah adalah :

Jika siswa berhasil, maka guru mendapat hadiah .................……………………….........(A)

10. UN 2012 IPS/E52 Diketahui premis–premis: Premis P1 : Jika Andi belajar maka ia dapat mengerjakan soal. Premis P2 : Jika Andi dapat mengerjakan soal maka ia bahagia. Kesimpulan yang sah dari kedua premis–premis tersebut adalah …. A. Jika Andi belajar maka ia tidak bahagia. B. Jika Andi tidak belajar dan ia sangat

bahagia. C. Jika Andi belajar dan ia sangat bahagia. D. Jika Andi tidak belajar maka ia tidak bahagia. E. Jika Andi belajar maka ia bahagia. Jawab: E

P1 : Jika Andi belajar maka ia dapat mengerjakan soal. P2 : Jika Andi dapat mengerjakan soal maka ia bahagia. Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama Kesimpulan yang sah adalah :

Jika Andi belajar maka ia bahagia.

.............……………………….........(E)

11. UN 2012 IPS/B25 Diketahui premis–premis: Premis P1 : Jika harga barang naik, maka permintaan barang turun. Premis P2 : Jika permintaan barang turun, maka produksi barang turun. Kesimpulan yang sah dari kedua premis tersebut adalah …. A. Jika harga barang naik, maka produksi

barang turun. B. Jika harga barang tidak naik, maka produksi

barang tidak turun. C. Jika produksi barang tidak turun, maka harga

barang naik. D. Harga barang tidak naik dan produksi barang

turun. E. Produksi barang tidak turun dan harga

barang naik. Jawab: A

P1 : Jika harga barang naik, maka permintaan barang

turun. P2 : Jika permintaan barang turun, maka produksi

barang turun. Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama Kesimpulan yang sah adalah : Jika harga barang naik, maka produksi barang turun ………………………………………..(A)



102

SOAL PENYELESAIAN

12. UN 2012 IPS/C37 Diketahui premis–premis berikut: Premis 1: Jika Amin berpakaian rapi maka ia

enak di pandang. Premis 2: Jika Amin enak di pandang maka ia

banyak teman. Kesimpulan yang sah dari dua peremis tersebut adalah …. A. Jika Amin berpakaian rapi, maka ia banyak

teman B. Jika Amin tak berpakaian rapi, maka ia

banyak teman C. Jika Amin banyak teman, maka ia

berpakaian rapi D. Jika Amin tidak enak di pandang, maka ia

tak banyak teman E. Jika Amin tak banyak teman, maka ia

berpakaian rapi Jawab : A

P 1: Jika Amin berpakaian rapi maka ia enak di

pandang. P2: Jika Amin enak di pandang maka ia banyak teman.

Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama Kesimpulan yang sah adalah :

Jika Amin berpakaian rapi, maka ia banyak teman ………………………………………………………….(A)

13. UN 2011 IPS PAKET 12 Diketahui premis-premis: (1) Jika semua warga negara membayar pajak,

maka banyak fasilitas umum dapat dibangun (2) Tidak banyak fasilitas umum dapat dibangun Kesimpulan yang sah dari kedua premis di atas adalah …. a. Semua warga negara tidak membayar pajak b. Ada warga negara tidak membayar pajak c. Semua warga negara membayar pajak d. Semua warga negara membayar pajak dan

tidak banyak fasilitas umum dapat dibangun e. Semua warga negara tidak membayar pajak

atau banyak fasilitas umum dapat dibangun Jawab : b

(1) Jika semua warga negara membayar pajak, maka

banyak fasilitas umum dapat dibangun (2) Tidak banyak fasilitas umum dapat dibangun Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama Kesimpulan yang sah adalah : Tidak semua warga negara membayar pajak

≡ Ada warga negara tidak membayar pajak ……………………………….……(b)

14. UN 2011 IPS PAKET 46 Diketahui premis-premis berikut: Premis 1 : Jika semua harta benda Andi terbawa

banjir, maka ia menderita Premis 2 : Andi tidak menderita Kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah …. a. Semua harta benda Andi tidak terbawa banjir b. Ada harta benda Andi yang terbawa banjir c. Semua harta benda Andi terbawa banjir d. Ada harta benda Andi yang tidak terbawa

banjir e. Tidak ada banjir Jawab : d

P1 : Jika semua harta benda Andi terbawa banjir, maka

ia menderita P2 : Andi tidak menderita Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama Kesimpulan yang sah adalah : Tidak semua harta benda Andi terbawa banjir ≡ Ada harta benda Andi yang tidak terbawa banjir

……………………………….……(d)



103

SOAL PENYELESAIAN

15. UN 2010 IPS PAKET A Diketahui premis-premis: Premis 1 : Jika guru matematika tidak datang

maka semua siswa senang Premis 2 : Ada siswa yang tidak senang Kesimpulan yang sah dari premis-premis di atas adalah …. a. Guru matematika tidak datang b. Semua siswa senang c. Guru matematika senang d. Guru matematika datang e. Ada siswa yang tidak senang

Jawab : d

Premis-premis di samping jika ditulis dalam kalimat matematika adalah: P1 : ~p ⇒ ∀q P2 : ∃(~q) ∴ ~(~p) ≡ p

≡ Guru matematika datang …………(d)

16. UN 2010 IPS PAKET B Diketahui premis-premis berikut: Premis 1 : Jika Rini naik kelas dan ranking satu

maka ia berlibur di Bali Premis 2 : Rini tidak berlibur di bali Kesimpulan yang sah adalah …. a. Rini naik kelas dan tidak ranking satu b. Rini naik kelas maupun ranking satu c. Rini naik kelas atau tidak ranking satu d. Rini tidak naik kelas atau tidak ranking satu e. Rini tidak naik kelas tetapi tidak ranking satu Jawab : d

P1 : Jika Rini naik kelas dan ranking satu maka ia

berlibur di Bali P2 : Rini tidak berlibur di bali Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama Kesimpulan yang sah adalah : Negasi dari : Rini naik kelas dan ranking satu

≡ Rini tidak naik kelas atau tidak ranking satu …………………(d)


Diketahui : Premis 1: Jika Siti Rajin belajar maka ia lulus

ujian. Premis 2: Jika Siti lulus ujian maka ayah

membelikan sepeda. Kesimpulan dari kedua argumentasi di atas adalah … a. Jika Siti tidak rajin belajar maka ayah tidak

membelikan sepeda b. Jika Siti rajin belajar maka ayah membelikan

sepeda c. Jika Siti rajin belajar maka ayah tidak

membelikan sepeda d. Jika Siti tidak rajin belajar maka ayah

membelikan sepeda e. Jika ayah membelikan sepeda , maka Siti

rajin belajar Jawab : b

P1: Jika Siti Rajin belajar maka ia lulus ujian. P2: Jika Siti lulus ujian maka ayah membelikan sepeda. Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama Kesimpulan yang sah adalah : Jika Siti rajin belajar maka ayah membelikan sepeda ……………………………………………...(b)

Modus tolens karena ∀q dan ∃(~q) saling berlawanan



104

SOAL PENYELESAIAN

18. UN 2008 IPS PAKET A/B Perhatikan premis-premis berikut ini : 1. Jika Mariam rajin belajar, maka ia pandai 2. Jika Mariam pandai, maka ia lulus SPMB Kesimpulan yang sah dari premis di atas adalah … a. Mariam rajin belajar tetapi tidak pandai b. Mariam rajin belajar dan lulus SPMB c. Mariam pandai dan lulus SPMB d. Mariam tidak pandai e. Jika Mariam rajin belajar, maka ia lulus SPMB Jawab : e

1. Jika Mariam rajin belajar, maka ia pandai 2. Jika Mariam pandai, maka ia lulus SPMB Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama Kesimpulan yang sah adalah : Jika Mariam rajin belajar, maka ia lulus SPMB ……………………………………………...(e)

19. UN 2012 BHS/A13 Diketahui premis–premis sebagai berikut: 1. “Jika Toni rajin belajar maka Toni lulus ujian”. 2. “Jika Toni lulus ujian maka ibunya bahagia”. Kesimpulan yang sah dari premis tersebut adalah … A. Toni tidak rajin belajar atau ibunya tidak

bahagia B. Toni tidak rajin belajar dan ibunya tidak

bahagia C. Toni rajin belajar dan ibunya bahagia D. Jika Toni rajin belajar maka ibunya bahagia E. Jika Toni tidak rajin belajar maka ibunya tidak

bahagia Jawab : D

1. “Jika Toni rajin belajar maka Toni lulus ujian”. 2. “Jika Toni lulus ujian maka ibunya bahagia”. Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama Kesimpulan yang sah adalah : Jika Toni rajin belajar maka ibunya bahagia ………………………………………(D)

20. UN 2012 BHS/C37 Diketahui premis-premis sebagai berikut: 1. Jika Mariam rajin belajar, maka ia pandai 2. Jika Mariam pandai, maka ia lulus SPMB Kesimpulan yang sah dari premis tersebut adalah … A. Mariam rajin belajar tetapi tidak pandai B. Mariam rajin belajar dan lulus SPMB C. Mariam pandai dan lulus SPMB D. Jika Mariam lulus SPMB, maka ia pandai E. Jika Mariam rajin belajar, maka ia lulus SPMB Jawab : E

1. Jika Mariam rajin belajar, maka ia pandai 2. Jika Mariam pandai, maka ia lulus SPMB

Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama Kesimpulan yang sah adalah : Jika Mariam rajin belajar, maka ia lulus SPMB ………………………………………(E)



105

SOAL PENYELESAIAN

21. UN 2012 BAHASA/E52 Diketahui premis-premis sebagai berikut: 1. Jika hewan itu sapi, maka hewan itu makan

rumput 2. Jika hewan itu makan rumput, maka hewan itu

berkaki empat Kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah … A. Jika hewan itu tidak makan rumput, maka

hewan itu bukan sapi B. Jika hewan itu sapi, maka hewan makan

rumput C. Jika hewan makan rumput, maka hewan itu

sapi D. Jika hewan itu sapi, maka hewan itu berkaki

empat E. Jika hewan itu berkaki empat, maka hewan itu

makan rumput Jawab : D

1. Jika hewan itu sapi, maka hewan itu makan rumput 2. Jika hewan itu makan rumput, maka hewan itu

berkaki empat Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama Kesimpulan yang sah adalah : Jika hewan itu sapi, maka hewan itu berkaki empat ………………………………………………..(D)

22. UN 2011 BAHASA PAKET 12 Perhatikan premis berikut! Premis 1 : Jika Antok sakit paru-paru maka ia

seorang perokok Premis 2 : Antok bukan seorang perokok atau ia

bukan seorang atlit Kesimpulan yang sah dari premis di atas adalah … a. Jika Antok bukan perokok maka ia tidak sakit

paru-paru b. Jika Antok seorang perokok maka ia bukan

seorang atlit c. Jika Antok sakit paru-paru maka ia bukan

seorang atlit d. Jika Antok bukan seorang atlit maka ia perokok e. Jika Antok seorang atlit atau Ino tidak merokok Jawab : c

Premis-premis di samping jika ditulis dalam kalimat matematika adalah: P1 : p ⇒ q P2 : ~q ∨ ~r ≡ q ⇒ ~r ∴ p ⇒ ~r ≡ Jika Antok sakit paru-paru maka ia

bukan seorang atlit ………….……………………(c)

23. UN 2010 BAHASA PAKET A/B Diketahui premis-premis berikut: Premis 1 : Jika Doni lulus ujian maka ia mendapat

hadiah Premis 2 : Jika Doni mendapat hadiah maka ia

bahagia Penarikan kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah … a. Jika Doni tidak lulus ujian maka ia tidak

mendapat hadiah b. Jika Doni bahagia maka ia lulus ujian c. Jika Doni bahagia maka ia mendapat hadiah d. Jika Doni lulus ujian maka ia bahagia e. Jika Doni tidak mendapat hadiah maka ia tidak

bahagia Jawab : d

P1 : Jika Doni lulus ujian maka ia mendapat hadiah P2 : Jika Doni mendapat hadiah maka ia bahagia Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama Kesimpulan yang sah adalah : Jika Doni lulus ujian maka ia bahagia

………….……………………(d)

Silogisme



106

SOAL PENYELESAIAN

24. UN 2009 BAHASA PAKET A/B Diketahui ; Premis 1 : Jika hujan deras maka lapangan banjir Premis 2 : jika lapangan banjir maka kita tidak

main bola.

Dari kedua premis tersebut dapat ditarik kesimpulan yang sah adalah … a. Jika hujan deras maka kita boleh bermain

bola b. Jika hujan deras maka kita tidak bermain

bola c. Jika lapangan banjir maka hujan deras d. Jika lapangan tidak banjir maka tidak hujan e. Jika kita main bola maka lapangan tidak

banjir Jawab : b

P1 : Jika hujan deras maka lapangan banjir P2 : jika lapangan banjir maka kita tidak main bola. Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama Kesimpulan yang sah adalah : Jika hujan deras maka kita tidak bermain bola

……………..………..(b)

25. UN 2008 BAHASA PAKET A/B Penarikan kesimpulan yang sah dari premis-premis yang dinyatakan dalam bentuk lambang berikut.

(1) : p ∨ q (2) : ~ p

adalah …

a. p d. ~q

b. ~p e. p ∨ q c. q Jawab : c

Rubah dulu bentuk penarikan tersebut ke dalam bentuk baku:

(1) : p ∨ q ≡ ~p ⇒ q (2) : ~ p____ Modus ponen

∴ q ……………………..(c)

26. UN 2008 BAHASA PAKET A/B Diberikan pernyataan sebagai berikut: a. Jika Ali menguasai bahasa asing maka Ali

mengililingi dunia. b. Ali menguasai bahasa asing

Kesimpulan dari dua pernyataan di atasa adalah … a. Ali menguasai bahasa asing b. Ali tidak menguasai bahasa asing c. Ali mengelilingi dunia d. Ali menguasai bahasa asing dan Ali

mengelilingi dunia e. Ali tidak menguasai bahasa asing dan Ali

mengelilingi dunia Jawab : c

a. Jika Ali menguasai bahasa asing maka Ali

mengililingi dunia. b. Ali menguasai bahasa asing

Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama Kesimpulan yang sah adalah : Ali mengelilingi dunia……..……………………..….(c)

bab 1 s.d bab 4x

Automotive