FUNGSI DAN SISTEM KOORDINAT

Pendahuluan.Beberapa pengertian :

Variabel dan Konstanta.Variabel : harganya setiap saat dapat berubah.Konstanta : harganya tetap.

CONTOH : y = 15 x + 10y = mx + c

Konstanta : m dan cVariabel : x dan y

Tujuan : Untuk memperoleh hubungan antara dua variabel yang harga-harganya diperoleh dari suatu percobaan atau hasil pengamatan.

SISTEM KOORDINAT

Koordinat Cartesius : dibagi 4 daerah : kuadran I, II, III dan IV

Titik P dinyatakan oleh sepasang bilangan (a, b)

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Q (2, -3)

P(a,b)

y

x

▪

IVIII

II I

|y1 – y2|

|x1 – x2|

Q(x2, y2)

y

x

R(x2, y1)P(x1, y1)

Teorema Pythagoras :

a2 + b2 = c2

Panjang PR = |x2 – x1|dan RQ = |y2 – y1|Maka jarak (tak berarah) antaraP dan Q =

d(P, Q)= √(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2

Carilah jarak P(-2, 3) dan Q(4,-1)d(P, Q) = √(4 – (-2))2 + (-1 – 3)2 = √36 + 16 = 7,21

Persamaan LingkaranLingkaran adalah himpunan titik-titik yang terletak pada suatu jarak tetap (jari-jari) dari suatu titik tetap (pusat).

r = 3

-1, 2

y

x

2

-1

Misalnya:Jari-jari (r) = 3Pusat (-1, 2)titik (x, y) disebarang lingkaran.

Jarak = √(x – x1)2 + (y – y1)2

√(x + 1)2 + (y – 2)2 = 3 (x + 1)2 + (y – 2)2 = 9

Persamaan lingkaran, jari-jari = r dan pusat (h, k) :(x – h)2 + (y – k)2 = r2

Rumus Titik tengah

▪

▪

▪

M

Q(x2, y2)

P(x1, y1)

x2x1 ½(x1 + x2)

P(x1, y1) dan Q(x2, y2), x1 ≤ x2

x1 + ½ (x2 – x1) = x1 + ½ x2 – ½ x1

= ½ x2 + ½ x1

= 221 xx

Koordinat titik Potong M :

2,

22121 yyxx

Hubungan antara variabel :Hubungan Fungsional : y = f (x) misalnya Y = X + 5 Hubungan Statistik : Tidak merupakan hubungan

sempurna, observasi-observasi tidak tepat jatuh pada kurve.

Contoh : X Y 5 12 10 15 15 26 dst.

Kurva-kurva baku:

1. Garis Lurus (fungsi linier) :Persamaan garis lurus merupakan hubungan derajatpertama .Dinyatakan dalam bentuk y = mx + c

X

Y

0

c

δy

δx

m : kemiringan garis (gradien), yakni δx

δy

c : permotongannya dengan sumbu y. Perpotongan dengan sumbu x : y = 0 Perpotongan dengan sumbu y : x =0

Garis 2y + 3x = 6 memotong kedua sumbu koordinat di ….

Untuk x = 0 2y = 6 y = 3

Untuk y = 0 3x = 6 x = 2

Jadi garis tersebut memotong sumbu di koordinat : (2, 0) dan (0, 3) X

Y

2y + 3x = 6

0

12

12

xx

yym

Fungsi linier yang melalui titik (0,0)

2

2

2

2

12

12

0

0

x

y

x

y

xx

yym

Dengan (x2,y2) salah satu titik yang dilalui garis tersebut.

2

3

y = 2/3 x

y

x

Menyusun fungsi linier : Bila diketahui m dan titik (x1,y1) maka : y – y1 = m (x – x1).

Bila diketahui 2 titik (x1,y1) dan (x2,y2) maka : y – y1 = m (x – x1) serta

2

2

2

2

12

12

0

0

x

y

x

y

xx

yym

2

2

2

2

12

12

0

0

x

y

x

y

xx

yym

2

2

2

2

12

12

0

0

x

y

x

y

xx

yym

12

12

xx

yym

)( 112

121 xx

xx

yyyy

Diketahui : titik-titik (3,2) dan (6,3) maka:Y – 2 = {(2 – 3)/(6 – 3)} (x – 3) y = 1/3 x + 1

Diketahui : Titik (2,3)

y = 1/3 x + 1

6

32

3

y

x

Untuk menentukan persamaan garis lurus dengan mensubstitusikan koordinat x dan y dua titik yang terletak pada garis tersebut kedalampersamaan y = mx + c, bila ada 3 titik maka titik ke 3 digunakan sebagai penguji.

Jika titik (1,6), (3,2) dan (5,-2) terletak pada sebuah garis lurus, maka persamaan garis tersebut adalah ……..

(1,6) 6 = m (1) + c

(5,-2) -2 = m ( 5) + c

8 = -4m m = -2

6 = -2 + c c = 8

Pers : y = -2x + 8

Untuk uji :

Bila x = 3 maka y = -2(3) + 8

y = 2

Ini sesuai titik ketiga (3,2)..

.

.

P(1,6)

Q(3,2)

R(5,-2)

x0

y

Cara lain :

2. Kurva derajat kedua

Persamaan : y = ax2 + bx + cMempunyai dua nilai x, Disk (D) > 0 dua nilai x (x1 dan x2)Disk (D) = 0 dua nilai x yang sama (x1 = x2)Disk (D) < 0 akar-akarnya imaginair.

Untuk menentukan persamaan fungsi kuadrat :f(x) = ax2 + bx + c minimal 3 titik yang dilalui diketahui, dihitung dengan eliminasi.

f(x) = a (x – x1) (x – x2) x1 dan x2 merupakan titik potong grafik dengan sumbu x, dan satu titik laindiketahui.

f(x) = a (x – xp)2 + yp ; (xp, yp) adalah titik puncak.Syaratnya satu titik lain harus diketahui.

1. Titik Puncak : (sumbu simetri, nilai ekstrim) :

2. Bila a > 0, grafik terbuka keatas.

Bila a < 0, grafik terbuka kebawah.

4a

4acb ,

2a

b 2

Y

X

a > 0a < 0

X

Y

3. Berdasarkan nilai b dan a :Bila b = a titik puncak berada disebelah kiri sumbu Y

X

Y

b = a

X

Y

Bila b berlawanan tanda dengan a, Misalnya b positif dan a negatif, makaTitik puncak berada disebelah kananSumbu y.

Berdasarkan nilai c : c > 0, grafik memotong sumbu y positif c = 0, grafik melalui titik (0,0) c < 0, grafik memotong sumbu y negatif.

c > 0

c = 0

c < 0

Persamaan dasar : y = x2

yang menyatakan sebuah parabola yang simetris terhadap sumbu y dan hanya ada untuk y > 0 atau y = 0

y = ax2 menyatakan parabola yang lebih kuncup jika a > 1 dan parabola yang lebih merekah bila a < 1

Persamaan : y = ax2 + bx + cKoefisien a, b, dan c menentukan titik puncak (verteks) fungsi kwadrat dan lebar parabola.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-4 -2 0 2 4

Y = X 2̂

Y = 2X 2̂

Y = 0.5X 2̂

.

(2, 3)

x

Y

X y

x

y

X

Penggeser Verteks

Jika parabola y = x2 digeserkan sejajar sehingga letak verteksnya ada pada titik (2,3) maka

persamaan terhadap sumbu yang baru : Y = X2.

Contoh : pada titik P,Persamaan yang baru berlaku :

Y = y - 3 X = x - 2

P

y – 3 = (x – 2)2

y = x2 – 4x + 4 + 3

y = x2 – 4x + 7

Y

.

(2, 3)

xX y

x

X

D > 0D < 0

D = 0

Berdasarkan nilai D : D > 0 grafik memotong sumbu x di dua titik D = 0 grafik menyinggung sumbu x di satu titik D < 0 grafik tidak menyinggung sumbu x

(0,0)

x + , y -x - , y -

x - , y +x + , y +

.

. P :

X

y

x

Y

X = x – 3Y = y – 2

(3,2)

.(- 4,- 3)

P.X

xY

y

X = x – (- 4)X = x +4Y = y – (- 3) Y= y + 3

(0,0)x - , y -

. P :

X

y

Y

(3,2)

(- 4,- 3)

P.X

xY

y

x - , y +

x - , y -(- 4,- 3)y

x

(0,0)

. P :

X

y

Y

(3,2)

P.X

xY

x - , y +

x - , y -(- 4,- 3)y

Bila koefisien x2 negatif maka parabolanya terbalik.

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Misalnya : y = - 2x2 + 6x + 5

Titik verteksnya terletak di (1.5 , 9.5)

Parabola ini memotong sumbu x di titik :

y = 0- 2x2 + 6x + 5 = 0x1 = - 0,68 dan x2 = 3,68

Memotong sumbu y di : x = 0 y = 5

CONTOH Persamaan y = x2 letak verteknya digeser pada titik (0, -2)maka persamaan yang baru Y = X2, dimana Y = y + 2y + 2 = x2 y = x2 – 2, memotong sumbu x, y = 0x2 = 2x = 2

. X-2

Bila kurva baru y = (x – 4)2, Merupakan kurva dasar y = x2 yang digeser empat satuan kearah Kanan.

. x

y

Y

22 (4, 0)

(y + 2) = (x + 4)2

y + 2 = x2 + 8x + 16 y = x2 + 8x + 14Titik puncak : (x , y)

4a

4acb ,

2a

b 2

x = - (8/2) = - 4y = (64 – 4(14)/(- 4) = - 2

Titik puncak (- 4, - 2)

.

.

x

y

(- 4,- 2)

y = x2y = x2 + 8x + 14

Persamaan y = x2 (y + 2) = (x + 4)2

Didapat dari kurva asal y = x2 denganMenggeser sumbu y kebawah 2 satuan, dan menggeser sumbu x kekiri 4 satuan.

Kurva y = x2, digeser menjadi y + 3 = (x – 4)2 dengan D > 0 dan a > 0Kurva dasar y = x2 digeser 4 satuan kekanan, menjadi y = (x – 4)2

dan kemudian digeser 3 satuan kebawah sehingga menjadi y = (x – 4)2 - 3

.- 3

4

y + 3 = (x – 4)2

y = x2

y + 3 = (x – 4)2 y = x2 - 8x + 13a = 1 (a > 0)D = b2 – 4acD = 64 – 52 = 12 (D > 0)

y = (x – 4)2

- 3

4

y = x2

y =-x^3

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

y = x^3

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

3. KURVA DERAJAT KETIGAMelalui titik asal : y = x3, x positif y positif, x negatif y negatifBila y = - x3, kurvanya dibalikkan.

Memiliki lekukan lebih tajam dan memotong sumbu x di tiga titik.

Ketiganya riel dan mempunyai harga berbedaDua nilai sama dan satu berbedaSatu berharga riel dan dua berharga kompleks

y

x

x

x

y

yba

a c

b,ca

4. Fungsi Lingkaran Persamaan sederhana dengan jari-jari r dan berpusat di titik asal.

.

P (h, k)

y

x

rC

y

x

Bila pusatnya digeser ke titik baru (h, k) pers : X2 + Y2 = r2

dengan Y = y – k dan X = x – h.

Persamaan : x2 + y2 = r2

X

h

Y

y

x

k

Persamaan : (x – h)2 + (y – k)2 = r2

Persamaan umum lingkaran : x2 + y2 + 2hx + 2ky + c = 0Pusat pada titik (- h, - k) dan jari-jari = r = √(h2 + k2 –c).Syarat persamaan lingkaran :

Koefisien x dan y harus sama.Tidak ada suku campuran xy.h2 + k2 – c ≠ 0. (Bila hubungan tersebut = 0 maka hanya berupa titik)

Pers x2 + y2 + 2x – 6y – 15 = 0 adalah suatu pers lingkaran yang mempunyai titik pusat = (-1, 3).r = √1 + 9 + 15 = 5.

Gambarkan grafik fungsi : x2 + y2 – 16x + 14y + 32 = 0

Harga h = -16/2 = -8Harga k = 14/ 2 = 7 Jadi pusat lingkaran (8, -7)Jari-jari = r = √(82 - 72 – 32)

= √(64 + 49 – 32 = 9

y

x

.P (8, -7)

r

5. Fungsi elips

xx1

y1

y

0

b

a

Pers : 1b

y

a

x2

2

2

2

a = setengah sumbu panjangy = 0 x = ± ab = setengah sumbu pendekX = 0 y = ± bSumbu utama berimpit dengan sumbu x,Sumbu minor berimpit dengan sumbu y.Pusat elips titik O (0,0)Fokus di titik : c2 = a2 – b2

Bila a2 = b2 (misalnya = r2) maka kita memperoleh persamaan lingkaran : x2 + y2 = r2

Gambarkan grafik fungsi

11625

22

yx

Berarti : a = 5b = 4c2 = a2 – b2 = 25 – 16 = 9c = 3

Puncak dititik (5, 0) dan (-5, 0)Fokus dititik (3, 0) dan (-3, 0)Koordinat titik ujung sumbu minordi titik (4, 0) dan (-4, 0)

5, 0

y

x- 5, 0

- 4, 0

4, 01.

2. 4x2 + y2 + 24x -2y + 21 =0

Ubah persaman tersebut menjadi bentuk kuadrat sempurna :4x2 + 24x y2 – 2y4(x2 + 6x) (y – 1)2 -14(x + 3)2 – 36 4(x + 3)2 – 36 + (y – 1)2 - 1 + 21 = 04(x + 3)2 + (y – 1)2 = 16

1

16

1

4

3 22

yx

a = 4 (sumbu panjang)b = 2 (sumbu pendek)Sumbu utama di x = -3Sumbu minor di y = 1Titik pusat (-3, 1)Titik puncak (-3, (1 + 4)) = (-3, 5)

(-3, (1 – 4)) = (-3, -3)Titik ujung sumbu minor ;((-3 – 2), 1) = (-5, 1)((-3 + 2), 1) = (-1, 1)

y

.

x.

.

(- 3, 5)

(- 3, - 3)

1- 3, 1

-3

6. Fungsi HiperbolaPersamaan :

12

2

2

2

b

y

a

x

Jika y = 0, x = ± aJika x = 0, y2 = - b2

kurva tidak memotong sumbu y

y

x1

y1

x

asimtot

b

a

0

Kaki-kaki hiperbola yang berlawanan sedikit demi sedikit mendekati dua buah garis lurus. (Asimtot)

Hiperbola tegak (rectangular hyperbola) : jika kedua asimtotnya saling tegak lurus.

Bentuk parabola tegak diperoleh Dengan merotasikan gambarnya 450 dan menyatakan sebagai asimtotnya sebagai x dan y.Persamaan terhadap sumbu baru: xy = c

x

cy

Menentukan 3 titik : Untuk x = 1 y = c y = 1 x = c Garis y = x memotong kurva xy = c di titik (±√c, ±√c)

cx1

c

y

x

y1

(√c, √c)y

= x

7. Fungsi logaritmikJika y = log x, maka untuk x = 1, y = log 1 = 0maka kurva memotong sumbu x di titik x = 1.

Untuk x < 0, log 1 x titak ada dan x ∞, y = log x semakin mendatar, tapim tetap naik denganKerapatan pertambahan yang Semakin berkurang.

y = logx

1

y1

0

y

x

Grafik y = ln x mempunyai bentuk yang sama dan juga memotong sumbuX di titik x = 1, tetapi harga-harga fungsi dititik lainnya berbeda.

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 5 10 15

y = a log xY = a ln

x

1 x

y

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 5 10 151 x

y

y = ln x

y = log x

Gambar f(x) = log x – 2x = 1 y = - 2Sumbu x merupakan asimtot darigrafik f(x) = log x – 2.

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-5 0 5 10 15

y

x

Gambar fungsi f(x) = ln (x+2)x = 0 y = ln 2y= 0 x = -1

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

-5 0 5 10 15x

y

y = log x - 2

y = ln (x+2)

8. Fungsi Exponensial xey Memotong sumbu y di x = 0y = e0 = 1.Untuk x = ∞ y = ∞Untuk x = - ∞ y → 0.Disebut kurva pertumbuhan.

0

2

4

6

8

10

12

14

-4 -2 0 2 4

y =

ex

1

y

x1 x

Bila y = e-x maka kurva ini memotongSumbu x di y = 1.Untuk x = ∞ y → 0.Untuk x = - ∞ y → ∞Disebut kurva peluruhan

x

x0

1

2

3

4

5

6

7

8

-3 -2 -1 0 1 2 3

y

y =

e-x

Gambarkan grafik fungsi y = ⅓ e-2x

Memotong sumbu y : x = 0 y = ⅓ e-2(0)

y = ⅓Titik potong sumbu y (0, ⅓)Untuk x = ∞ y → 0.Untuk x = - ∞ y → ∞

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-3 -2 -1 0 1 2 3

y =

⅓ e

-2x

y = 5 – 2-x

Memotong sumbu y :x = 0 y = 5 -1 = 4 (0, 4)x = ∞ y → 5

-12-11-10-9-8-7-6-5-4-3-2-10123456

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

y = 5 – 2-x

9. Fungsi Hiperbolik

Gabungan kurva y = ex dan y = e-x menberikan kurva hiperbolik.

2sinh

2cosh

xx

xx

eexy

eexy

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y =

cos

h x

-15

-10

-5

0

5

10

15

-4 -2 0 2 4

y =

sinh

x

Bila digambarkan kedua grafik dalam sumbu yang sama, maka kurva y = sinh x selalu berada disebelah luar y = cosh x, yaitu untuk sembarang harga x berlaku cosh x > sinh x

y

y1

x1 x

-15

-10

-5

0

5

10

15

-4 -2 0 2 4

y1

10. Fungsi trigonometri

X Sin x Cos x

0 0 1

/6 1/2 √3/2

√2/2 √2/2

√3/2 1/2

1 0

√3/2 -1/2

√2/2 -√2/2

1/2 -√3/2

0 -1

Untuk menggambar grafik y = sin x dan y = cos x, kita mengikuti standar baku pembuatan tabel nilai, ialah denganmenentukan titik-titik yang bersesuaian dan menghubungkan menjadi kurva.

3/2

6/5

4/3

/4

/2

/3

y = A sin nxPeriode = 360/nA = Amplitudo

y = A sin nxPeriode = 360/nA = Amplitudo

2

sin

periode

tAy

t

2

x

y

Fungsi dan berbagai sistem koordinatLimitDiferensial total dan parsialMaximasi dan MinimasiIntegralVektor Matrik

Matematika I

Matematika untuk teknik : Kastroud (Erwin Sucipto)