APLIKASI INTEGRAL

USAHA, DAYA FLUIDA DAN MOMEN PUSAT MASSA

Nama : Putri Mawardani

NIM : 1110097000020

Mata Kuliah : Kalkulus

Dosen : Suherman M.SI

Prodi : Fisika

UNIVERSITAS ISLAM NEGRI SYARIF HIDAYATULLAH

Jalan Ir. H. Juanda No. 95 Ciputat 15412

2012

USAHA DAN ENERGI

Hampir semua ilmu mekanika ditemukan oleh Issac newton kecuali konsep energi. Energi dapat muncul dalam berbagai wujud. Akan tetapi pada dasarnya selalu berhubungan dengan ‘Usaha’. Semua orang sudah tahu apa yang dimaksud dengan usaha. Akan tetapi, menurut fisika usaha terjadi jika ada gaya (F) yang menggerakan benda dalam jarak tertentu (s). Usaha (W- work) didefinisikan sebagai Gaya dikali Jarak.

W = F x s

Menurut definisi ini, gaya yang dihitung hanyalah gaya yang bekerja searah dengan gerak benda. Jika saya menarik sebuah gerobak serong terhadap arah gerak, hanya bagian mendatar dari gayalah yang dianggap kerja.

Usaha yang bekerja dengan jarak (s) adalah FH . s

F

FH

Energi didefinisikan sebagai kemampuan melakukan usaha. Melepaskan energi berarti melakukan usaha dan melakukan usaha pada sesuatu berarti menambah energi sesuatu itu. Oleh karena itu energi dan usaha sebenarnya aadalah konsep yang sama dan sebanding. Usaha termasuk ke dalam besaran skalar dan merupakan perkalian titik (dot product) antara gaya dan perpindahan. Maka dapat dirumuskan :

E = W = F x s

Andaikan benda digerakan sepanjang sumbu x dari titik x = a ke titik x = b dengan gaya F(x). Bila perubahan kontinue. Maka kerja yang dilakukan untuk menggerakan benda dari a ke b adalah

W = ∫a

b

F (x ) dx

Sekarang kita tinjau total usaha, yaitu usaha yang dilakukan oleh semua gaya yang bekerja pada benda lebih dari 1 dimensi, dan kita jumlahkan menurut komponen-komponen produk skalarnya

W =∫a

b

F .ds=∫a

b

(Fx dx+Fy dy+Fz dz )

Aplikasi pada pegas

Dengan menggunakan hukum hooke yang berlaku dalam fisika. Gaya F(x) yang diperlukan untuk menarik pegas sejauh x adalah

F = - k ∆x

Besar gaya tarik atau gaya teka yang diberikan keada pegas berbanding lurus dengan pertambahan panjang.

Usaha yang dilakukan oleh gaya pegas ketika benda berpindah dari posisi (1) dengan simpangan x1 ke posisis (2) dengan simpangan x2. Karena gaya F berlawanan dengan perpindahan ∆x, maka

W1,2 = - F ∆x ↔W1,2 = - kx ∆x

Dengan menggunakan integral maka

W1,2 = ∫x1

x2

−kx dx = - k ∫x1

x2

x dx = - k [ x2

2 ] = -

12 k (X2

2 –X1 2)

Sehingga usaha oleh gaya Pegas

W = -12 k (X2

2 –X12)

Usaha yang dilakukan oleh gaya pegas di antara du tempat (posisi) tentu tidak bergantung pada lintasan yang ditempuh, tetapi hanya bergantung pada posisi awal (simpangan x1 dari posisi keseimbangan) dan posisi akhir (simpangan x2 dari posisi keseimbangan)

Soal :

Sebuah balok bermassa m diatas meja licin diikat pada ujung sebuah pegas mendatar dengan tetapan gaya k. Pegas ditekan pada posisi x = -a. Ketika dibebaskan balik, balok bergerak bolak-balik sepanjang meja licin. Tentukan :

a. Usaha dan Kecepatan balok ketika melalui titik keseimbangan (x = 0).b. Jika m = 0.5 kg , A = 4 cm, dan k = 200 N/m, tentukan kecepatan balok ketika

melalui titik keseimbangan.

Jawab :

a. Usaha yang dilakukan gaya pegas pada balok untuk berpindah dari x1 = -A ke x2 = A adalah

W1,2 = ∫x1

x2

−kx dx = - k ∫– A

A

x dx = - k [ A2

2 ] = -

12 k (A2 – (-A 2) = -

12 k (A2 + A2)

= -12 k . 2A2 = - k . A2

Selain gaya pegas pada balok bekerja gaya berat w dan gaya normal N. Tetapi satu-satunya gaya yang melakukan usaha pada balok adalah gaya pegas yaitu W pegas. Sesuai teorema usaha-energi maka:

Wres = ∆Ek =EK2-EK1

Wres = Wpegas dan V1 = 0

Wpegas = -12 mv2

2 – 0

V22 =

2W pegasm = 2.(−k . A2)

m

V2 = √ 2 .(−k . A2)m

b. Sama seperti poin a, makaUsaha yang dilakukan gaya pegas pada balok untuk berpindah dari x1 = -4 ke x2 = 4 adalah

W1,2 = ∫x1

x2

−kx dx = - 200 N/m ∫– 4

4

x dx = - 200 N/m [ x2

2 ] = -

12 k (( 4 x102 m )2 – (-( 4 x102 m )2)

= -12 200N/m ((32 x104 m2 )❑

= -32 x106J

Selain gaya pegas pada balok bekerja gaya berat w dan gaya normal N. Tetapi satu-satunya gaya yang melakukan usaha pada balok adalah gaya pegas yaitu W pegas. Sesuai teorema usaha-energi maka:

Wres = ∆EK =EK2-EK1

Wres = Wpegas dan V1 = 0

Wpegas = -12

mv22 – 0

V22 =

2W pegasm = 2. (−32 x106 ) J

1 kg

V2 = √64 X 106m/s V2 = 0.8 m/s

GAYA CAIRAN ( FLUIDA)/HUKUM ARCHIMEDES

Fluida adalah zat alir yaitu zat yang mempunyai sifat mengalir dan dapat mengambil bentuk wadah yang diisi. Contoh zat cair dan gas.

Hukum archimedes

“Bila benda dicelupkan ke dalam zat cair, maka benda akan mendapat gaya ke atas seberat zat cair yang dipindahkan oleh benda tersebut.”

Jika sebuah wadah berbentuk persegi panjang diisi dengan fluida dengan kepadatan δ setinggi h. Maka gaya pada sebuah persegi panjang datar dengan luas A yang terletak pada dasar tangki, sama dengan berat kolam cairan yang terletak tepat di atas persegi panjang, yaitu

F = δhA

Tekanan (gaya pada tiap satuan luas) dari cairan sama besarnya dari arah manapun. Jadi, tekanan pada semua titik sebuah permukaan sama besarnya, dengan syarat titik-titik itu berada pada kedalaman yang sama.

Soal

Tunjukan bahwa bila suatu bendungan vertikal yang bentuknya empat persegi panjang dibagi dua bagian yang sama oleh sebuah diagonal, gaya total pada salah satu bagian akan dua kali dari bagian lainnya. Misalkan tepi puncak bendungan persis pada permukaan air.

Jawaban :

b (a,b)

x

a

Persamaan diagonal : y = ba x atau x =

ab y

Setengah yang atas ∆F ≈ δ ¿ ab y ∆y)

( b - y ) = ab( by - y2 ) ∆y

F = δab ∫

0

b

(by – y2)dy

= ab [ b y2

2− y3

3 ] = a

b [ b3

2−b3

3 ] = δab2

6

Setengah yang dibawah = ∆F ≈ δ ¿ ab y) ∆y

( b - y ) = δab ( b - y )2 ∆y

F = δab ∫

0

b

(b2 – 2by+ y2)dy

= δab (b

2 y – by2+ y3)

= δab2

3

Maka (gaya pada bagian bawah) = 2 (gaya bagian atas)

\

MOMEN DAN PUSAT MASSA

Titik pusat massa adalah titik yang mewakili posisi benda bila dianggap sebagai suatu materi. Titik berat bukan titik pusat massa walaupun pada umumnya titik berat berimpit dengan pusat massanya.

Sebuah kawat diletakkan pada garis bilangan real sehingga menutupi selang [a,b]. Misalkan diketahui rapat massa kawat tersebut di titik x adalah ρ(x). Maka, massa potongan kawat yang lebarnya ∆x ± akan sama dengan ∆m ≈ ρ(x) ∆x.

Sehingga massa kawat tersebut adalah

M= ∫a

b

ρ(x)dx

Momen pada ttitik 0 dapat dihitung (Momen = jarak x massa). Pertama momen tiap potongan kawat dengan lebar ∆x terhadap 0 adalah ∆M ≈ xρ(x)∆x. Dengan menjumlahkan dan mengambil limitnya, maka diperoleh momen kawat tersebut terhadap 0 :

M= ∫a

b

ρ(x)d x

Dengan mengetahui massa kawat dan momennya terhadap 0, momen pusaat massa dapat ditentukan dengan

x = Mm

=∫a

b

x . ρ(x )dx

∫a

b

ρ(x )dx

Misalkan suatu keping homogen (rapat masanya ρ konstan ) yang menempati daerah D terletak diantara dua kurva. y = f (x) dan y = g (x), seperti pada gambar. Jika daerah D diiris secara vertikal. Maka, massa, momen terhadap sumbu y-nya dan momen terhadap sumbu x-nya dari tiap irisannya adalah

∆m ≈ ρ[f(x)- g(x)]∆x

∆My ≈ x ρ[f(x)- g(x)]∆x

∆Mx ≈ ½ρ[f(x)2- g(x)2]∆x

Apabila dijumlahkan dan diambil limitnya, diperoleh massa keping dan momennya terhadap kedua sumbu koordinat, yaitu :

m = ρ∫a

b

[ f ( x )−g (x)]dx

My = ρ∫a

b

x [ f ( x )−g(x )] dx

Mx = ½ ρ∫a

b

¿¿f(x)2- g(x)2]dx

Koordinat pudat massa keping tersebut adalah

x = Mym ; y =

Mxm ;

Soal 1:

Diketahui keping homogen dengan rapat massa l yang menempati daerah yang dibatasi oleh kurva y = √ x dan y = x2 . tentukan massa dan pusat massa keping tersebut ?

Jawab :

Massa keping tersebut adalah m = ∫0

1

¿¿ – x2 ) dx = (ʃ x1/2 - ʃ x2 )10 dx

= (23 X3/2 –

13 X3)1

0

= 23 . 1 –

13 . 13

= 13

Momen terhadap kedua sumbu koordinat adalah

My = ∫0

1

x ¿¿ – x2 ) dx = (ʃ x3/2 - ʃ x3 )10 dx

= ( 25 x5/2 -

14 x4 )1

0

= 25 x2 √ x -

14 x4

= 25 . 1 -

14 . 1

= 3

20

Mx = 12∫

0

1

¿¿ – x4 ) dx = 12 (

12 x2 –

15 x5 )1

0 dx

= ( 14 x2 -

110 x5 )1

0

= 14 x2 -

110 x5

= 14 . 1 -

110 . 1

= 3

20

Dengan demikian pusat massanya adalah 9

10 , 9

10.

x = 3/201/3

=¿ 9

10 ; y = 3/201/3

= 910 ;

Pusat massanya terletak pada garis y = x, yang merupakan sumbu simetri keping tersebut.

Soal 2:

Sepotong kawat lurus panjangnya 9 satuan dan dengan kepadatan ρ(x) = √ x pada sebuah titik yang jauhnya x satuan dari salah satu ujungnya. Tentukan jarak dari ujung ke pusat massa dawai?

Jawab :

Denagan menggunakan persamaan :

x = Mm

=∫a

b

x . ρ(x )dx

∫a

b

ρ(x )dx

Sangat jelas bahwa pusat massa letaknya dekat x = 9 dari pada x = 0, sebab kawat berat dibagian ujung.

x = ∫09

x .√x . dx

∫0

9

√x dx

= ( 25

x5 /2

23

x3 /2¿90

= 25

x5 /2

23

x3 /2

= 25

92 √9

23

9 .√9

= 18/52/3 = 27

5 =525

DAFTAR PUSTAKA

Gonick, Larry dan Art Huffman. 2001. Kartun Fisika. Jakarta : KPG (Kepustakaan Populer

Gramedia.

Gunawan, Hendra, Ph.D. Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I. Bandung :

Departemen Matematika ITB.

Kanginan, Marthen. 2007. Fisika SMA kelas XI. Jakarta : Erlangga.

Ketut, Ni Lasmi.2008. Seri Pendalaman Materi Fisika SMA dan MA. Jakarta : Esis.

Purcell, Edwin dan Dale Varberg. 2001. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1. Jakarta :

Erlangga.

Rachmat, U. 1986. Ringkasan Teori dan Penjelasan Fisika SMA. Jakarta : Yudhistira.

http://www.google.com/