aplikasi fisika statistik

PAPER

APLIKASI STATISTIKA BOSE-EINSTEIN PADA KAPASITAS TERMAL ZAT PADAT

Fisika Statistik

Ikmalul Hakim

6/22/2010

Fisika Statistik (Hukum Distribusi Statistik) digunakan dalam mengungkapkan informasi tentang kumpulan benda banyak melalui lukisan makro dan lukisan mikro. Fisika statistik banyak diaplikasikan dalam bidang fisika lainnya, antara lain fisika zat padat, fisika kuantum dan lain-lain. Tetapi dalam paper ini yang akan dibahas hanya aplikasi Distribusi Statistik Bose-Einstein pada kapasitas termal zat padat. Teori Dulong-Petit,Einstein dan Debye.

Aplikasi Statistika Bose-Einstein | 1

BAB I

PENDAHULUAN

1. Latar Belakang

Fisika Statistik (Hukum Distribusi Statistik) digunakan dalam mengungkapkan

informasi tentang kumpulan benda banyak melalui lukisan makro dan lukisan mikro.

Anggapan yang digunakan adalah untuk system yang ada dalam keadaan steimbang,

hasil pengamatan akan banyak ditentukan konfigurasi keadaan makro yang

mencerminkan ragam lukisan mikro paling banyak atau konfigurasi dengan peluang

yang terbesar.

Lukisan mikro memberi informasi secara tepat staus (keadan fisis )dari masing-

masing partikel penyusun sistem. (Namun hal itu sulit didapat karena jumlah

partikel banyak sekali)

Lukisan makro memberi informasi yang kurang terperinci tetapi dapat melukiskan

karakteristik kumpulan partikel penyusun system.

Dalam Fisika Statistik dikenal 3 Hukum distribusi Statistik

a. Hukum Distribusi Statistik Maxwell – Boltzmann (M-B)

b. Hukum Distribusi Statistik Bose – Einstein (B-E)

c. Hukum Distribusi Statistik Fermi – Dirac (F-D)

Hukum Distribusi Maxwell-Boltzmann digolongkan sebagai Statistika Klasik artinya

hukum-hukum fisika klasik (Mekanika Newtonian) berlaku. Sedangkan Distribusi B-E

dan F-D merupakan Statistika Kuantum, artinya hukum-hukum kuantum berlaku pada

statistika tersebut.

Dalam penggunaan jenis statistik didasarkan pada jenis penyusun partikel:

Hukum Distribusi Statistik Maxwell – Boltzmann (M-B) : partikel identik tidak

dapat dibedakan

Hukum Distribusi Statistik Bose – Einstein (B-E) dan Hukum Distribusi Statistik

Fermi – Dirac (F-D): partikel tidak dapat dibedakan


Pada Statistika Bose – Einstein tidak berlaku larangan Paulli atinya tida ada

pembatasan jumlah partikel yang berada pada suatu status atau keadaan. Sedangkan

Statistika Fermi – Dirac berlaku Asas larangan Paulli.

Fisika statistik banyak diaplikasikan dalam bidang fisika lainnya, antara lain fisika zat

padat, fisika kuantum dan lain-lain. Tetapi dalam paper ini yang akan dibahas hanya

aplikasi Distribusi Statistik Bose-Einstein pada kapasitas termal zat padat.


BAB II

APLIKASI STATISTIKA BOSE-EINSTEIN

1. Hukum Distribusi Statistik Bose-Einstein

Syarat berlakunya hukum distribusi Bose-Einstein adalah sebagai berikut:

Berlaku untuk partikel-partikel Boson, yaitu semua partikel yang memiliki fungsi

gelombang simetrik: foton, fonon, 4He dan lain-lain

Partikel identik tidak dapat dibedakan

Statistik kuantum

Tidak berlaku Asas Pauli (tidak ada pembatasan jumlah partikel yang dapat

menempati suatu status)

Hukum Distribusi Bose-Einstein

𝑁𝑖 =𝑔𝑖

𝐴𝑒𝛽𝐸𝑖 − 1

Dengan 𝛽 = 1𝑘𝑇 𝑑𝑎𝑛 𝐸𝑖 = 𝑕𝑓

Jika suhu rendah maka nilai 𝐴𝑒𝛽𝐸𝑖 ⋙ 1 sehingga pada kondisi tersebut Hukum

Distribusi Bose-Einstein sama dengan Hukum Distribusi Maxwell – Boltzmann.

Fungsi Distribusi Bose-Einstein

𝑓𝑖 =1

𝑒𝑕𝑓

𝑘𝑇 − 1

2. Kapasitas Termal Zat Padat

Atom-atom pada zat padat tidaklah diam akan tetapi bergetar pada

kedudukan setimbangnya. Energi yang ditimbulkan akibat getaran tersebut sangat

berperan dalam menentukan sifat termal zat padat khususnya untuk bahan yang

bersifat isolator non magnetik. Sedangkan kontribusi lainnya berupa konduksi

elektron terjadi pada bahan logam, dan keberaturan magnetik terjadi pada bahan

magnet.


2.1. Eksperimen Dulong - Petit

Menurut Dulong-Petit (1920), kapasitas termal padatan unsur adalah hampir

sama untuk semua unsur, yaitu sekitar 5,97 cal/mol 0K. Boltzmann, setengah abad

kemudian, menunjukkan bahwa angka yang dihasilkan oleh Dulong-Petit dapat

ditelusuri melalui pandangan bahwa energi dalam padatan tersimpan dalam atom-

atomnya yang bervibrasi. Energi atom-atom ini diturunkan dari teori kinetik gas.

Molekul gas ideal memiliki tiga derajat kebebasan dengan energi kinetik rata-rata

per derajat kebebasan adalah 𝑘𝑇 yang merupakan total energi potensial 1

2𝑘𝑇 dan

energy kinetik 1

2𝑘𝑇 sehingga energi kinetik rata-rata dalam tiga dimensi adalah

3𝑘𝑇. Energi per mole adalah

𝑈 = 3𝑁𝐴𝑘𝑇 = 3𝑅𝑇

Dengan NA = bilangan Avogadro

k = konstanta Boltzmann

Kapasitas termal pada volume konstan

𝐶𝑣 =𝜕𝑈

𝜕𝑇= 3𝑅

Sehingga Cv = 3R = 5,97 kal/mol 0K.

Angka inilah yang diperoleh oleh Dulong-Petit. Pada umumnya hukum

Dulong-Petit cukup teliti untuk temperatur di atas temperatur kamar. Namun

beberapa unsur memiliki kapasitas termal pada temperatur kamar yang lebih

rendah dari angka Dulong-Petit, misalnya B, Be, C, Si. Pada temperatur yang sangat

rendah kapasitas termal semua unsur menuju nol.

2.2. Teori Einstein

Einstein merumuskan Cv secara kuantum dengan asumsi bahwa atom-atom

kristal sebagai vibrator yang bergetar bebas satu sama lain disekitar kedudukan -

setimbangnya. Seakan-akan didalam 1 mol terdapat NA buah atau yang bebas dan

terikat pada titik setimbang tersebut.


Zat padat dipandang sebagai kumpulan osilator harmonis, maasing-masing bergetar

dengan frekuensi yang sama. Energy osilator terkuantisasi sebagai berikut :

𝐸 = 𝑛.𝑕𝑓

Energi rata-rata osilator

𝐸 = 𝑛.𝑕𝑓.∞

0 𝑒−𝑛𝑕𝑓 𝑘𝑇

𝑒−𝑛𝑕𝑓 𝑘𝑇 ∞0

=𝑕𝑓

𝑒𝑕𝑓 𝑘𝑇 − 1

Energi 1 mol zat adalah

𝑈 = 3𝑁𝐴𝑕𝑓


Sehingga

𝐶𝑣 =𝜕𝑈

𝜕𝑇=𝜕

𝜕𝑇 3𝑁𝐴

𝑕𝑓


= 3𝑁𝐴𝑕𝑓𝜕

𝜕𝑇

1


= 3𝑁𝐴𝑕𝑓

𝑕𝑓𝑘𝑇2 𝑒𝑕𝑓 𝑘𝑇

𝑒𝑕𝑓 𝑘𝑇 − 1 2

= 3𝑁𝐴𝑕𝑓

𝑘𝑇2

𝑒𝑕𝑓 𝑘𝑇

𝑒𝑕𝑓 𝑘𝑇 − 1 2

= 3𝑅 𝑕𝑓

𝑘𝑇

2 𝑒𝑕𝑓 𝑘𝑇

𝑒𝑕𝑓 𝑘𝑇 − 1 2

Jadi kapasitas kalor Einstein

𝑪𝒗 = 𝟑𝑹 𝒉𝒇

𝒌𝑻 𝟐 𝒆𝒉𝒇 𝒌𝑻

𝒆𝒉𝒇 𝒌𝑻 − 𝟏 𝟐

Pada suhu tinggi

𝑒𝑕𝑓 𝑘𝑇 = 𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙 𝑒𝑕𝑓 𝑘𝑇 − 1 ≈ 1 +𝑕𝑓

𝑘𝑇

𝐸 =𝑕𝑓

𝑒𝑕𝑓 𝑘𝑇 − 1=

𝑕𝑓

1 +𝑕𝑓𝑘𝑇

− 1= 𝑘𝑇


Maka

𝑪𝒗 =𝝏

𝝏𝑻 𝟑𝑵𝑨𝒌𝑻 = 𝟑𝑵𝑨𝒌 = 𝟑𝑹

Pada suhu rendah

𝑒𝑕𝑓

𝑘𝑇 ≫ 1

Sehingga

𝐶𝑣 = 3𝑅 𝑕𝑓

𝑘𝑇


𝑒𝑕𝑓 𝑘𝑇 − 1 2

𝐶𝑣 = 3𝑅 𝑕𝑓

𝑘𝑇


𝑒𝑕𝑓 𝑘𝑇 2

𝑪𝒗 = 𝟑𝑹 𝒉𝒇

𝒌𝑻 𝟐

𝒆−𝒉𝒇 𝒌𝑻

Oleh karena itu Cv mendekati nol pada suhu-suhu rendah. Dan apabila 𝑇 → 0 maka

Cv mendekati nol secara eksponensial.

Teori Einstein diuji secara eksperimen ole Nernst. Dalam ekaperimen pada

suhu-suhu rendah, didapat Cv tidak mendekati nol secara eksponensial

𝐶𝑣 ~ 𝑇3 . Disinilah letak kelemahan teori Einstein.

Gambar.1 Grafik Cv terhadap perubahan temperature model Einstein dan eksperimen

T

Einstein

Eksperimen

Cv

3R


2.3. Teori Debye

Debye beranggapan bahwa tiap atom sebagai vibrator bergetar dengan

frekuensi yang tidak sama dan ada frekuensi maksimum karena jumlah ragam

frekuensi keseluruhan tidak boleh melebihi 3N.

Bila Kristal mempunyai 3N atom yang bervibrasi 3-D maka system tersebut

mempunyai 3N derajat kebebasan. Getarannya akan mempunyai 3N ragam vibrasi

yang masing-masing vibrator mempunyai frekuensi tertentu. Sehingga energi total

sistem tersebut

𝑈 = 𝐸 𝑛

3𝑁

𝑛=1

= 𝑕𝑓


3𝑁

𝑛=1

Bentuk tersebut oleh Debye disederhanakan dengan pendekatan dari bentuk diskrit

kedalam bentuk kontinu pada tahun 1912 sehingga menjadi bentuk integral:

𝑈 = 𝑕𝑓


∞

0

𝑔 𝑓 𝑑𝑓

Dengan 𝑔 𝑓 rapat keadaan. Pemikiran ini didasarkan pada kenyataan bahwa

ragam frekuensi didalam Kristal sesuai dengan rambatan gelombang bunyi yang

merupakan gelombang elastik berfrekuensi rendah. Kuantum energy gelombang

elastic dalam zat padat disebut fonon. Dalam hal ini panjang gelombang bunyi

sangat besar dibandingkan jarak antar atom. Sehingga kediskritan susunan atom

dalam Kristal dapat diabaikandan menggantikannya dengan medium elastik yang

homogen.

Dengan

𝑔 𝑓 = 4𝜋𝑓2 1

𝑣𝐿3+

1

𝑣𝑇3

Untuk 1 mol zat

𝑔 𝑓 3𝑁

0𝑑𝑓 = 3𝑁

4𝜋𝑓2 1

𝑣𝐿3+

1

𝑣𝑇3

3𝑁

0

𝑑𝑓 = 3𝑁

4𝜋𝑓2 1

𝑣𝐿3+

1

𝑣𝑇3 =

9𝑁

𝑓𝐷3


Sehingga

𝑔 𝑓 =9𝑁

𝑓𝐷3 𝑓

2

Maka energi tiap molnya adalah

𝑈 = 𝑕𝑓


∞

0

𝑔 𝑓 𝑑𝑓

𝑈 = 𝑕𝑓


𝑓𝐷

0

9𝑁𝐴

𝑓𝐷3 𝑓

2𝑑𝑓

𝑈 =9𝑁𝐴𝑕

𝑓𝐷3

𝑓3


𝑓𝐷

0

𝑑𝑓

Maka kapasitas termal

𝐶𝑣 =𝜕

𝜕𝑇

9𝑁𝐴𝑕

𝑓𝐷3

𝑓3


𝑓𝐷

0

𝑑𝑓

𝐶𝑣 =9𝑁𝐴𝑕

𝑓𝐷3

𝜕

𝜕𝑇

𝑓3


𝑓𝐷

0

𝑑𝑓


2

𝑓𝐷3𝑘𝑇2

𝑓4𝑒𝑕𝑓 𝑘𝑇

𝑒𝑕𝑓 𝑘𝑇 − 1 2

𝑓𝐷

0

𝑑𝑓

Jika

𝜃𝐷 =𝑕𝑓𝐷

𝑘 𝑥 =

𝑕𝑓𝑘𝑇 ; 𝑓 = 𝑘𝑇

𝑕 𝑥 → 𝑑𝑓 = 𝑘𝑇𝑕 𝑑𝑥


2

𝑓𝐷3𝑘𝑇2

𝑥4𝑒𝑥

𝑒𝑥 − 1 2

𝜃𝐷𝑇

0

𝑘𝑇

𝑕

5

𝑑𝑥


2

𝑓𝐷3𝑘𝑇2

𝑘𝑇

𝑕

5

𝑥4𝑒𝑥

𝑒𝑥 − 1 2

𝜃𝐷𝑇

0

𝑑𝑥

𝐶𝑣 = 9𝑅 𝑘𝑇

𝑕𝑓𝐷

3

𝑥4𝑒𝑥

𝑒𝑥 − 1 2

𝜃𝐷𝑇

0

𝑑𝑥


𝑪𝒗 = 𝟗𝑹 𝑻

𝜽𝑫 𝟑

𝒙𝟒𝒆𝒙

𝒆𝒙 − 𝟏 𝟐

𝜽𝑫𝑻

𝟎

𝒅𝒙

Pada suhu tinggi

𝜃𝐷

𝑇≪ 1 maka secara pendekatan

𝑒𝑥 ≈ 1 + 𝑥 ≈ 1

𝐶𝑣 = 9𝑅 𝑇

𝜃𝐷

3

𝑥4

1 + 𝑥 − 1 2

𝜃𝐷𝑇

0

𝑑𝑥


𝜃𝐷

3

𝑥2

𝜃𝐷𝑇

0

𝑑𝑥

Maka


𝜃𝐷

3 1

3 𝜃𝐷𝑇

3

→ 𝑪𝒗 = 𝟑𝑹

Harga ini sama dengan teori klasik yang dikemukakan oleh Dulong Petit dan

Einstein.

Pada suhu rendah

𝜃𝐷

𝑇→ ∞ maka secara pendekatan

𝑥4𝑒𝑥

𝑒𝑥 − 1 2

𝜃𝐷𝑇

0

𝑑𝑥 ≈ 𝑥4𝑒𝑥

𝑒𝑥 − 1 2

∞

0

𝑑𝑥 = 24 1

𝑛4

∞

1

=4𝜋4

15

1

𝑛4

∞

1

=𝜋4

90

Maka


𝜃𝐷

3 4𝜋4

15

𝑪𝒗 =𝟏𝟐

𝟓𝝅𝟒𝑹

𝑻

𝜽𝑫 𝟑

Ini merupakan pendekatan yang baik karena mendekati hasil eksperimen.


BAB III

SIMPULAN

Dari latar belakang dan pembahasan Aplikasi Statistika Bose Einstein diatas maka

dapat diambil kesimpulan:

1. Fisika Statistik selalu dimulai dengan sifat-sifat mikroskopik atau atom dalam sistem

untuk menyelidiki sifat makroskopik sistem.

2. Dalam Fisika Statistik dikenal 3 Hukum distribusi Statistik

Hukum Distribusi Statistik Maxwell – Boltzmann (M-B) → Mekanika Kuantum

Hukum Distribusi Statistik Bose – Einstein (B-E) → Mekanika Kuantum

Hukum Distribusi Statistik Fermi – Dirac (F-D) → Mekanika Kuantum

3. Kelemahan teori kapasitas termal Einstein terletak pada kesalahan Einstein

mengambil asumsi bahwa setiap atom sebagai vibrator bergetar dengan frekuensi

yang sama dan nilai frekuensi yang dibolehkan dari nol sampai tak hinnga. Sehinga

pada suhu-suhu rendah nilai Cv Einstein berbeda dari Cv Eksperimen.

4. Teori kapasitas termal dari Debye adalah teori yang paling baik karena mendekati

hasil eksperimen baik pada suhu rendah maupun pada suhu tinggi. Hal ini disebabkan

karena asumsi yang diambil Debye bahwa tiap atom bergetar dengan frekuensi

berbeda dan ada frekuensi maksimum.

Gambar.2 Perbandingan model Debye dan Einstein

T

Einstein

Debye

Cv

3R

aplikasi fisika statistik

Documents