Kata Pengantar

Segala puji bagi Allah SWT yang telah memberikan kesehatan dan kesempatan kepada kami untuk menyelesaikan makalah kami ini tepat pada waktunya. Shalawat teriring salam semoga selalu di curahkan kepada junjungan kita, Nabi Muhammad SAW Beserta keluarga sahabat dan pengikut-pengikutnya yang insya Allah setia hingga akhir zaman.

Alhamdulillah kami bersyukur akhirnya kami dapat menyelesaikan makalah dengan judul Apliasi Statistik Bose-Einstein sebagai bahan untuk dipresentasikan dalam mata kuliah Fisika Statistik.Kami berharap makalah ini dapat memberikan manfaat bagi para pembaca dan dapat memberikan pengetahuan sesuai dengan isi makalah ini yang memaparkan materi mengenai Radiasi Benda Hitam dan Kapasitas Panas Zat padat Kami sebagai penyusun makalah ini menyadari bahwa makalah yang kami susun masih jauh dari sempurna, untuk itu kami berharap kepada seluruh pembaca agar dapat memberikan kritik dan sarannya untuk menjadi bahan pelajaran kami dalam membuat makalah selanjutnya.

Indralaya , Februari 2012

Penyusun

Satuan Acara Perkuliahan (SAP)

1. Identitas

Mata Kuliah

: Fisika Statistik

Fak/Jur/Prodi: FKIP / P. MIPA / P. Fisika

Semester

: VI (lima)

Dosen Pengasuh: Drs. Imron Husaini, M.Pd Leni Marlina, S.Pd, M.Si

Tim Penyaji

: 1. Mukhsinah

2. Setia Lianawati

3. Fika Nurul Hidayati

2. Standar Kompetensi

Mahasiswa mampu memahami hubungan antara perilaku sistem partikel penyusun suatu zat secara mikroskopik dengan akibat yang ditimbulkannya pada skala makroskopik, serta memmiliki kemampuan dalam menelaah sifaft-sifat zat tersebut.

3. Kompensi Dasar

Mahasiswa mampu menjelaskan peristiwa radiasi benda hitam

Mahasiswa mapu menjelaskan kapasitas panas zat padat menurut Einstein dan Debaye

4. Pokok Bahasan

Aplikasi Statistik Bose-Einstein

5. Sub Pokok Bahasan

Radiasi benda hitam

Kapasitas panas zat padat menurut Einstein dan Debaye

6. Indikator

Menjelaskan peristiwa radiasi benda hitaam

Menurunkan hukum Stefan-Boltzmann

Menjelaskan kapasitas panas zat padat menurut Einstein dan Debaye

7. Penilaian

Tes Formatif

8. Alokasi waktu

3 x 50 menit9. Kegiatan Pembelajaran

Pendahuluan

Inti

10. Media yang digunakan

Ms. Word dan Ms. Powerpoint

11. Alat yang digunakan

LCD dan Komputer

DAFTAR ISI

KATAPENGANTAR

SATUAN ACARA PERKULIAHAN (SAP)

DAFTAR ISII.PENDAHULUANA. LATAR BELAKANG5B.RUMUSAN MASALAH6C.TUJUAN6II.ISI

RADIASI BENDA HITAM7KAPASITAS PANAS ZAT PADAT MENURUT EINSTEIN DAN DEBAYE16

PENUTUP

KESIMPULAN27

TES FORMATIF29DAFTAR PUSTAKAI. PENDAHULUANA. LATAR BELAKANG

Perilaku materi secara makroskopik berhubungan erat dengan sifat mikroskopik, yang dapat diungkapkan melalui fisika statistik atau yang biasa disebut hukum distribusi statistik. Penggambaran secara kwantitaf perilaku materi tersebut dapat ditinjau melalui tiga Hukum Distribusi Statistik yaitu,1. Hukum distribusi statistik Maxwell-Boltzmann

2. Hukum distribusi statistik Bose-Einstein

3. Hukum distribusi statistik Fermi-Dirac

Distribusi statistik Maxwell-Boltzmann disebut sebagai statistika klasik karena hukum-hukum fisika klasik (hukum Newton) masih berlaku. Distribusi Bose-Einstein dan Fermi-Dirac disebut sebagai statistika kuantum karena hukum-hukum kuantum berlaku pada statistika tersebut. Ketiga hukum distribusi statistik tersebut memberikan penggambaran yang berbeda untuk berbagai materi, yang dalam hal ini disebut partikel. Distribusi statistik Maxwell-Boltzmann menggambarkan jenis partikel identik tidak dapat dibedakan, kategori partikel adalah partikel klasik contohnya molekul gas, ion dan atom.

Distribusi statistik Bose-Einstein menggambarkan jenis partikel tak terbedakan, identik dan tidak memenuhi prinsip eksklusi Pauli yang artinya tidak ada larangan jumlah partikel menempati suatu keadaan energi. Partikel yang memenuhi statistik Bose-Einstein disebut partikel-partikel boson yang fungsi gelombangnya simetrik terhadap pertukaran sebarang dua partikel, contohnya adalah semua partikel dengan spin bulat seperti foton, partikel alpha dan atom helium. Statistika Fermi-Dirac menjelaskan jenis partikel identik dan tak terbedakan dan memenuhi asas larangan Pauli. Partikel yang termasuk ke dalam statistik Fermi-Dirac disebut partikel fermion yaitu partikel-partikel yang fungsi gelombangnya antisimetrik terhadap pertukaran sebarang dua partikel dan memiliki spin 1/2n, n=1,2,3,.. misalnya proton, neutron dan elektron.

Aplikasi fisika statistik banyak ditemukan dalam persoalan-persoalan fisika seperti pada fisika zat padat, termodinamika, fisika kuantum dan lain-lain. Peristiwa radiasi benda hitam dan perhitungan kapasitas termal zat padat dapat ditinjau dari hukum statistika Bose-Einstein, yang akan dibahas dalam makalah ini.

B. RUMUSAN MASALAH1. Apa dan bagaimana yang dimaksud dengan peristiwa radiasi benda hitam?

2. Bagaimana penurunan persamaan Stefan-Boltzman?

3. Bagaimana kapasitas panas zat padat menurut Einsten dan Debaye?

C. TUJUAN1. Memahami peristiwa radaiasi benda hitam.

2. Menjelaskan penurunan persamaan Stefan Boltzman.

3. Memahami kapasitas panas zat padat menurut Einstein dan Debaye.III.ISI

A. RADIASI BENDA HITAMTujuan Instruksional Umum (TIU)

Mahasiswa mampu memahami dan menjelaskan peristiwa radiasi benda hitam.

Tujuuan Instruksional Khusus (TIK)

Setelah mempelajari sub pokok bahasan radiasi benda hitam mahasiswa diharapkan dapat:

Memahami dan menjelaskan apa dan bagaimana peristiwa radiasi benda hitam.

Memahami dan menjelaskan teori-teori radiasi benda hitam.

Memahami dan menjelaskan penurunan persamaan Stefan-Boltzman

Pembahasan Materi Bahan Ajar

A. Radiasi Benda Hitam

Teori kuantum diawali oleh fenomena radiasi benda hitam.Istilahbenda hitampertama kali diperkenalkan olehGustav Robert Kirchhoffpada tahun 1862. Dalam Fisika,benda hitam (blackbody)adalah sebutan untuk benda yang mampu menyerap kalor radiasi (radiasi termal) dengan baik. Radiasi termal yang diserap akan dipancarkan kembali olehbenda hitamdalam bentukradiasi gelombang elektromagnetik, sama sepertigelombang radioataupungelombang cahaya.

Untuk zat padat dan cair, radiasi gelombangnya berupa spektrum kontinu, dan untuk gas berupa spektrum garis.Meskipun demikian, sebenarnya secara teori dalamFisika klasik,benda hitammemancarkan setiap panjang gelombang energi yang mungkin agar supaya energi dari benda tersebut dapat diukur. Temperaturbenda hitamitu sendiri berpengaruh terhadap jumlah dan jenis radiasi elektromagnetik yang dipancarkannya.Benda hitambersuhu di bawah 700 Kelvin dapat memancarkan hampir semua energi termal dalam bentuk gelombang inframerah, sehingga sangat sedikit panjang gelombangcahaya tampak.Jadi, semakin tinggi suhubenda hitam, semakin banyak energi yang dapat dipancarkan dengan pancaran radiasi dimulai daripanjang gelombang merah,jingga,kuninghinggaputih.

Meskipun namanyabenda hitam, objek tersebut tidak harus selalu berwarna hitam. Sebuahbenda hitamdapat mempunyai cahayanya sendiri sehingga warnanya bisa lebih terang, walaupun benda itu menyerap semua cahaya yang datang padanya. Sedangkan temperatur daribenda hitamitu sendiri berpengaruh terhadap jumlah dan jenis radiasi elektromagnetik yang dipancarkannya.

Benda hitam merupakan benda ideal yang mampu menyerap atau mengabsorbsi semua radiasi yang mengenainya, serta tidak bergantung pada frekuensi radiasi tersebut. Bisa dikatakan benda hitam merupakan penyerap dan juga pemancar yang sempurna.

Dalam percobaan Fisika sederhana, Benda hitam dimodelkan sebagai suatu rongga berisi foton dengan celah bukaan yang sangat kecil. Dengan mengabaikan bahan pembuat dinding dan panjang gelombang radiasi yang masuk, maka selama panjang gelombang datang lebih kecil dibandingkan dengan diameter lubang, radiasi yang masuk ke dalam rongga melalui lubang, radiasi tersebut akan dipantulkan berulang-ulang oleh dinding dalam rongga hingga energinya habis terserap. Selanjutnya, dipancarkan kembali sebagai radiasi gelombang elektromagnetik melalui lubang itu juga. Lubang pada rongga inilah yang merupakan contoh dari sebuahbenda hitam.

1.1. Distribusi molekul gas Bose-Einstein

Dalam sub bahasan akan dibahas mengenai gas Bose-Einstein yang memenuhi statistik Bose-Einstein. Foton dan fonon termasuk di dalamnya. Untuk saat inihanya foton yang akan dibahas.

Bila molekul-molekul dalam suatu gas biasa memiliki momentum angular integral dalam satuan h/2 maka, dapat dikatakan dengan sangat, bahwa molekul-molekul tersebut adalah boson dan akan mematuhi statistik Bose-Einstein.

Distribusi molekul-molekul gas meliputi berbagai tingkat energi diberikan oleh

(a.1)

dimana

(a.2)

Karena setiap keadaan energi yang diperbolehkan membutuhkan suatu volume h3dalam ruang fasa, bobot suatu tingkat energi, atau keadaan-keadaan yang dapat dipertimbangkan memenuhi suatu volume dT dalam ruang fasa akan menjadi

(a.3)Dengan menggunakan bahwa elemen ruang fasa enam dimensi bahwa

(a.4)

Maka dapat ditulis, apabila momentum dilihat dalam koordinat polar menjadi

(a.5)

Dengan hanya memperhitungkan energi kinetik

(a.6)

Dapat diperoleh bahwa

(a.7)

Substitusi Persamaan (a.7) dan (a.6) ke dalam Persamaan (a.5) akan memberikan

(a.8)

Dengan demikian Persamaan (a.3), dengan substitusi dari Persamaan (a.8) akan menjadi

(a.9)

yang menyatakan jumlah keadaan energi yang tersedia dalam rentang energi antara dan + d untuk suatu volume V. Di sini g() adalah kerapatakeadaan energi (density of states).

Jumlah molekul-molekul yang memiliki energi dalam rentang dan + d diberikan oleh Persamaan (a.1) dan (a.10), yaitu

(a.10)

Nilai parameter A atau a untuk distribusi ini dapat ditentukan untuk kondisibahwa

(a.11)

dengan N adalah jumlah total molekul dalam volume V.Secara umum bentuk integral dalam Persamaan (a.11) sulit untuk dipecahkan secara eksak, akan tetapi dapat dilihat, bahwa dalam beberapa kasus praktis, nilai A untuk gas cukup kecil sehingga menyebabkan suku bernilai 1 padapenyebut dalam Persamaan (a.10) dapat diabaikan. Bila kondisi ini dipenuhidistribusi akan mendekati distribusi Maxwell-Boltzmann, dan karena molekul molekulgasakantersebardiantarakeadaan-keadaanenergi,gasdikatakantidakterdegenerasiDengan demikian integrasi Persamaan (a.10) akanmenghasilkanseperti integrasi dalam distribusi Maxwell-Boltzmann yang memberikan

(a.12)

dan

(a.13)

Dikarenakan nilai exponen e/kT selalu lebih besar (atau setidaknya sama dengan) satu untuk semua nilai energi kondisi yang akan didekati oleh Persamaan(a.10) untuk menjadi distribusi klasik adalah membuat A1.

Bila digunakan nilai-nilai N, V, dan m untuk helium maka akan diperoleh nilaiA untuk tekanan atmosfer, yaitu

untukuntukJadi bahkan untuk temperatur 4 K pun, kondisi (1/A)e/kT 1 tetap terpenuhi dan gas helium akan berlaku, untuk suatu aproksimasi yang baik, sebagai suatu gas klasik.

Radiasi elektromagnetik yang berada dalam suatu ruang tertutup bertemperatur tetap dapat dipertimbangkan sebagai suatu sistem foton-foton denganberbagai nilai energi. Dan karena foton-foton memiliki momentum angular integral dalam satuan h/2 maka mereka akan secara alami berkelakuan sebagaiboson dan dapat diasumsikan bahwa suatu gas foton akan memiliki distribusienergi yang diberikan oleh statistik Bose-Einstein. Akan tetapi, terdapat duahal yang harus diperhatikan.

Pertama, foton dapat diserap dan dipancarkan kembali oleh dinding lingkungan tertutup yang bertemperatur tetap, dengan demikian jumlah foton dalamlingkungan tersebut tidaklah tetap. Dengan demikian kondisijNj = N atau dNj = 0 dalam persamaan

(a.14)tidak dapat terpenuhi. Agar Persamaan (a.14) masih dapat berlaku maka perlu dipilih bahwa a=0 sehingga A=1.

Kedua, energi foton berbentuk hv, di mana v adalah frekuensi radiasi. Olehkarena itu lebih memudahkan apabila distribusi energi diungkapkan dalam frekuensi atau panjang gelombang foton.

Dengan menggunakan rumusan panjang gelombang de Broglie

maka

Persamaan (a.5) akan menjadi

Selanjutnya karena setiap foton memiliki kemungkinan polarisasi pada dua arah maka jumlah keadaan energi yang diperbolehkan atau mode, dalam rentang antara dan + d, untuk setiap satuan volume adalah (dengan mengambil nilai positifnya).

(a.15)Kemudian dengan menggunakan = hc dalam Persamaan akan diperoleh bahwa

(a.16)1.2 Intensitas Radiasi

Hukum Stefan-Boltzman

Pada tahun 1859, Gustav Kirchoff membuktikan suatu teorema yang sama pentingnya dengan teorema rangkaian listrik tertutupnya ketika ia menunjukkan argumen berdasarkan pada termodinamika bahwa setiap benda dalam keadaan kesetimbangan termal dengan radiasi daya yang dipancarkan adalah sebanding dengan daya yang diserapnya. Untuk benda hitam, teorema kirchoff dinyatakan oleh

(b.1)Dengan J(f,T) adalah suatu fungsi universal (sama untuk semua benda) yang bergantung hanya pada f , frekuensi cahaya, dan T, suhu mutlak benda. Persaman (b.1) menunjukkan bahwa daya yang dipancarkan persatuan luas persatuan frekuensi oleh suatu benda hitam bergantung hanya pada suhu dan frekuensi cahaya dan tidak bergantung pada sifat fisika dan kimia yang menyusun benda hitam, dan ini sesuai dengan hasil pengamatan.

Perkembangan selanjutnya untuk memahami karakter universal dari radiasi benda hitam datang dari ahli fisika Austria, Josef Stefan (1835-1893) pada tahun 1879. Ia mendapatkan secara eksperimen bahwa daya total persatuan luas yang dipancarkan pada semua frekuensi oleh suatu benda hitam panas, Itotal (intensitas radiasi total), adalah sebanding dengan pangkat empat dari suhu mutlaknya. Karena itu, bentuk persamaan empiris hukum Stefan ditulis sebagai

(b.2)dengan Itotal adalah intensitas (daya persatuan luas) radiasi pada permukaan benda hitam pada esmua frekuensi, Rf adalah intensitas radiasi persatuan frekuensi yang dipancarkan oleh benda hitam, T adalah suhu mutalak benda, dan adalah tetapan Stefan-Boltzmann, yaitu = 5,6710-8 W/m2K4 untuk benda panas yang bukan benda hitam akan memenuhi hukum yang sama hanya diberi tambahan koefisien emisivitas, e, yang lebih kecil dari 1:

(b.3)ingat Itotal = P/A, sehingga persamaan (b.3) juga dapat ditulis sebagai

atau

(b.4)Dengan P adalah daya radiasi (watt = W) dan A adalah luas permukan benda (m2 ). Lima tahun kemudian konfirmasi mengesankan dari teori gelombang elektromagnetik cahaya diperoleh ketika Boltzmann menurunkan hukum Stefan dari gabungan termodinamika dan persamaan-persamaan Maxwell. Karena itu persamaan di atas dikenal juga sebagai hukum Stefan-Boltzmann.

1.3 Hukum Pergeseran Wien

Pada tahun 1893, Wilhelm Wien mengusulkan suatu bentuk umum untuk hukum distribusi benda hitam J(f,T) yang memberikan hubungan maks dan T yang sesuai dengan hasil eksperimen. Hubungan ini disebut sebagai pergeseran Wien dan ditulis sebagai

Dengan maks adalah panjang gelombang (dalam m) yang berhubungan dengan intensitas radiasi maksimum benda hitam, T adalah suhu mutlak dari permukaan benda yang memancarkan radiasi, dan C = 2,90 10-3 mK adalah tetapan pergeseran Wien.

Teori Klasik Radiasi Benda Hitam

Hubungan antara J (f, T) dan u(f,T), yang sebanding dinyatakan oleh Berikut akan dibahas teori klasik radiasi benda hitam, yaitu hukum eksponensial Wien dan hukum Raileigh-Jeans. Suatu prakiraan penting terhadap bentuk fungsi universal u(f;T) dinyatakan pertama kali pada tahun 1893 oleh Wien, yang memiliki bentuk

(c.1)

Dalam bentuk panjang gelombang

(c.2)

dengan c1 dan c2 adalah tetapan yang ditentukan melalui eksperimen. Dari hasil eksperimen, Wien mendapatkan bahwa c = 8hc dan c = ch/k. Persaman (c.1) atau persamaan (c.2) disebut sebagai hukum radiasi Wien. Setahun kemudian, ahli spektroskopi Jerman, Friedrich Paschen yang bekerja dalam daerah inframerah denga kisaran panjang gelombang 1 m, sampai dengan 4 m, dan suhu benda hitam dari 400 K sampai 1 600 K, menemukan bahwa perkiraan Wien tepat bersesuaian dengan titik-titik data eksperimennya.

Gambar 1.1. Spektrumenergi osilator satu dimensi menurut teori kuantum.

Tetapi pada tahun 1900, Lummer dan Pringsheim melanjutkan pengukuran Paschen sampai dengan panjang gelombang 18m. Rubens dan Kurlbaum bahkan melanjutkan sampai 60 m. Kedua tim ini kemudian menyimpulkan bahwa hokum Wien gagal dalam daerah ini.

Perkiran berikutnya tentang u(f,T) atau u(,T) dilakukan oleh Lord Rayleigh (1842-1919) dan Sir James Jeans (1877-1946) pada Juni 1900. Rayleigh berkonsentrasi secara langsung pada gelombang-gelombang elektromagnetik dalam rongga. Rayleigh dan Jeans menyatakan bahwa gelombang gelombang elektromagnetik stasioner dalam rongga dapat dipertimbangkan memiliki suhu T, karena mereka secara konstan bertukar energi dengan dinding-dinding dan menyebabkan termometer dalam rongga mencapai suhu yang samadengan dinding. Lebih lanjut, mereka mempertimbangkan gelombang elektromagnetik terpolarisasi stasioner ekivalen dengan penggetar satu dimensi. Mereka menyatakan kerapatan energi sebagai hasil kali jumlah gelombang stasioner (1/2, 1, 1,5, 2gelombang,.) dan energi rata-rata per penggetar. Mereka mendapatkan energi penggetar rata-rata tak bergantung pada panjang gelombang , dan sama dengan kT dari hukum distribusi Maxwell-Boltzmann. Akhirnya mereka memperoleh kerapatan energi per panjang gelombang , u (T , ) , yang dinyatakian sebagai

(c.3)dengan k adalah tetapan Boltzmann. Pernyataan ini dikenal sebagai hukum Rayleigh-Jeans. Dalam bulan September 1900, pengukuran menunjukkan bahwa diantara 12 m dan 18 m prakiraan Rayleigh-Jeans tepat. Tetapi seperti ditunjukkan pada gambar di atas, hukum Rayleigh-Jeans secara total tak layak pad panjang gelombang pendek atau frekuensi tinggi.Persaman tersebut menunjukkan bahwa ketika mendekati nol, kerapatan energi diperkirakan tak terbatas u (T) (f) , dalam ultraviolet. Keadaan ini dinamakan bencana ultraviolet (ultraviolet catastrophe).

Teori Planck Radiasi Benda HitamTeori Wien cocok dengan spektrum radaisi benda hitam untuk panjang gelombang yang pendek, dan menyimpang untuk panjang gelombang yang panjang. Teori Rayleigh-Jeans cocokdengan spektrum radiasi benda hitam untuk panjang gelombnag yang panjang, dan menyimpang untuk panjang gelombang yang pendek.Jelas bahwa fisika klasik gagal menjelaskan tentang radiasi benda hitam. Inilah dilema fisika klasik di mana Max Planck mencurahkan seluruh perhatiannya.

Pada tahun 1900, Planck memulai pekerjaannya membuat suatu angapan baru tentang sifat dasra dari ngetaran molekul dalam dinding -dinding rongga benda hitam (pada saat itu elektron belum ditemukan). Anggapan baru ini sangat radikal dan bertentangan dengan fisika klasik, yaitu sebagai berikut:

1. Radiasi yang dipancarkan oleh getaran molekul-molekul tidaklah kontinu tetapi dalam paket-paket energi diskret, yang disebut kuantum (sekarang disebut foton). Besar energi yang berkaitan denagn foton adalah E = hf, sehingga untuk n buah foton maka energinya dinyatakan oleh

(c.4)dengan n = 1, 2, 3, .. (bilangan asli), dan f adalah frekuensi getaran molekul-molekul. Energi dari molekul-molekul dikatakann terkuantisasi dan energi yang diperkenankan disebut tingkat energi. Ini berarti bahwa tingkat energi bisa hf, 2hf, 3hf, , sedang h disebut tetapan Planck, dengan h = 6,6 x10-34 Js (dalam dua angka penting). Molekul-molekul memancarkan atau menyerap energi dalam satuan diskret dari energi cahaya, disebut kuantum (sekarang disebut foton). Molekul-molekul melekukan itu dengan melompat dari satu tingkat energi ke tingkat energi lainnya. Jika bilangan kuantum n berubah dengan satu satuan, Persamaan (c.4) menunjukkan bahwa jumlah energi yang dipancarkan atau diserap oleh molekul-molekul sama dengan hf. Jadi, beda energi antaradua tingkat energi yang berdekatan adalah hf. Molekul akan memancarklan atau meyerap energi hanya ketika molekul mengubah tingkat energinya. Jika molekul tetap tinggal dalam satu tingkat energi tertentu, maka tidak ada energi yang diserap atau dipancarkan molekul. Gambar di atas menunjukkan tingkat-tingkat energi yang terkuantisasi dan transisi (perpindahan) yang diusulkan Planck.Berdasarkan teori kuantum di atas, Planck dapat menyatukan hukum radiasi Wien dan hukum radiasi Rayleigh-Jeans, dan menyatakan hukum radiasi benda hitamnya yang akan berlaku untuk semua panjang gelombang. Hukum radiasi Planck adalah

(c.5)

dengan h = 6,6 x 10-34 Js adalah tetapan Planck, c = 3,0 x 108 m/s adalah cepat rambat cahaya, k= 1,38 x 10-34 J/K adalah tetapan Boltzmann, dan Tadalah suhu mutlak benda hitam. Planck mengumumkan Persamaan (c.5) inipada seminar fisika di universitas Berlin.

B. KAPASITAS PANAS ZAT PADATTujuan Instruksional Umum (TIU)

Mahasiswa mampu memahami dan menjelaskan konsep kapasitas panas zat padat menurut Einstein - Debaye.

Tujuuan Instruksional Khusus (TIK)

Setelah mempelajari sub pokok bahasan kapasitas panas zat padat menurut Einstein- Debaye mahasiswa diharapkan dapat: Memahami dan menjelaskan kapasitas panas zat padat menurut Einstein - Debaye.

Memahami dan menjelaskan teori-teori kapasitas panas zat padat.Pembahasan Materi Bahan Ajar1. Kapasitas thermal zat padat

Terdapat dua jenis energi termal yang tersimpan dalam zat padat yaitu energi vibrasi atom-atom di sekitar posisi kesetimbangannya dan energi kinetik yang dikandung elektron-elektron bebas. Salah satu sifat termal zat padat adalah panas spesifik yaitu kapasitas panas per satuan massa per derajat Kelvin.

1.1 Panas Spesifik Menurut Dulong-Petit

Menurut Dulong-Petit panas spesifik padatan adalah hampir sama untuk semua unsur yaitu sebesar 6 cal/mol oK. Angka yang diperoleh Dulong-Petit kemudian diteliti oleh Boltzmann, yang menyatakan bahwa hasil tersebut terjadi karena energi dalam padatan tersimpan dalam atom-atomnya yang bervibrasi. Energi atom-atom tersebut diturunkan dari teori kinetik gas.

Molekul-molekul gas memiliki tiga derajat kebebasan dengan energi kinetik rata-rata per derajat kebebasan dalam tiga dimensi adalah dan energi per mole adalah , N adalah bilangan Avogadro.

Dalam padatan atom-atom saling terikat sehingga selain memiliki energi kinetik, atom-atom juga memiliki energi potensial, sehingga energi rata-rata per derajat kebesan menjadi kBT dan energi per mol padatan menjadi

Ek/mole padat = 3RT cal/mol(1.1)Panas spesifik untuk volume konstan

1.2 Kapasitas Kalor Model Einstein Dan Debaye

Panas Spesifik Berdasarkan Statistik Bose-Einstein

Penentuan panas spesifik (cv) zat padat oleh Einstein ditinjau secara kuantum yang didasarkan pada vibrasi atom zat padat tersebut. Einstein menganggap padatan terdiri dari N atom yang masing-masing bervibrasi (berosilasi) secara bebas pada arah tiga dimensi, dengan frikuensi fE. Energi tiap osilator adalah

En = nhfE(1.2)

dimana n adalah bilangan kuantum, n = 0,1,2,3, Jika jumlah osilator tiap kasus energi adalah En dan E0 adalah jumlah osilator pada status 0, maka sesuai dengan fungsi Boltzmann

(1.3)

Energi rata-rata osilator adalah

(1.4)

Dengan N atom yang berosilasi tiga dimensi, diperoleh total energi internal

(1.5)

sehingga panas spesifik menjadi

(1.6)

Persamaan (1.6) adalah panas spesifik berdasarkan teori Einstein.

Berdasarkan persamaan (1.6), maka panas spesifik adalah

a. Pada temperatur tinggi, cv = 3R

b. Pada temperatur rendah, Apabila T nol, maka cv akan mendekati nol secara eksponensial.

Frekuensi fE disebut frekuensi Einstein yang ditentukan dengan mencocokkan kurva dengan data-data eksperimental. Besarnya frekuensi ini mulai nol sam tak hingga. Hasil yang diperoleh adalah pada temperatur rendah kurva Einstein menuju nol jauh lebih cepat dari data eksperimen.

Hasil yang diperoleh teori Einstein menyimpang pada temperatur yang rendah disebabkan oleh asumsi yang diambil Einstein yaitu atom-atom bervibrasi secara bebas dengan frekuensi sama, fE.

Debye melakukan perbaikan terhadap teori Einstein dengan menganggap vibrasi atom sebagai frekuensi dengan spektrum kontinu dan menganggap frekuensi setiap atom berbeda dan mempunyai harga maksimum. Dalam teori ini vibrasi satu atom akan berpengaruh terhadap atom tetangga dan akan berlangsung secara keseluruhan/kolektif. Vibrasi kolektif ini akan membentuk gelombang berdiri dalam zat padat dengan spektrum frekuensi yang diskrit tapi sangat kecil spasinya sehingga dianggap kontinu. Vibrasi tersebut berkaitan dengan sifat elastik bahan, maka gelombangnya dianggab menjalar dengan kecepatan bunyi, yang menjalar secara transversal dan longitudinal.

Jika kecepatan transversal vt dan kecepatan longitudinal vl, dan dimisalkan juga g(f)df sebagai jumlah frekuensi yang diizinkan yang terletak antara f dan f + df (f adalah frekuensi Debye). Untuk gelombang transversal berlaku

(1.7)

(1.8)

Jumlah keseluruhan frekuensi dalam daerah frekuensi antara f dan f + df:

g(1.9)

Jika N adalah jumlah atom dalam zat padat, maka frekuensi vibrasi harus digambarkan dalam 3N buah posisi koordinat atom. Maka jumlah frekuensi vibrasi adalah 3N, sehingga

(1.10)

dimana f0 disebut frekuensi cut-off.

Jadi jumlah keseluruhan frekuensi dalam daerah frekwensi f dan f + df adalah

(1.11)

Debye memandang padatan sebagai kumpulan phonon karena perambatan suara dalam zat padat merupakan gejala gelombang elastis. Energi sebuah fonon adalah hf dimana f (frekuensi Debye) adalah frekuensi vibrasi elastik. Karena semua fonon identik dan karena jumlahnya dengan energi sama yaitu tidak terbatas, maka dalam keadaan setimbang suhu fonon memenuhi statistik Bose-Einstein.

Jika =0, jumlah fonon berenergi hf dalam daerah frekuensi antara f dan f + df dalam kesetimbangan suhu pada T adalah

Total energi vibrasi dalam daerah frekuensi tersebut adalah

(1.12)

Panas spesifik zat padat pada volume tetap adalah

(1.13)

N, menyatakan jumlah mol dan NA adalah bilangan Avogadro.

Jika didefenisikan D = hf0/kB adalah suhu Debye, kBNA = R, dan x = hf/kBT maka

(1.14)

ataucv = 3R D(D/T)D(D/T) adalah fungsi Debye yang didefenisikan sebagai

(1.15)

Jika

Dengan nilai-nilai limit ini, pada temperatur tinggi cv mendekati nilai yang diperoleh oleh Einstein

cv = 3R(1.16)

dan pada temperaturu rendah

(1.17)

Kurva cv sebagai fungsi T/D diplot pada gambar berikut

Gambar 2.1. Kurva cv terhadap perubahan temperatur menurut DebyeBeberapa eksperimen telah dilakukan untuk menguji teori Einstein seperti yang dilakukan oleh Nernst dan Lindemann. Pada suhu tinggi harga cv teori Einstein benar yaitu 3R, akan tetapi tidak sesuai ketika suhu rendah. Ketika suhu rendah, harga cv tidak mendekati nol secara eksponensial tetapi cv ~ T3.

Berikut skematik grafik cv terhadap perubahan T berdasarkan eksperimen dan teori Einstein

Gambar 2.2. Skematik grafik cv terhadap perubahan T Model Teori Klasik

Menurut fisika klasik, getaran atom-atom zat padat dapat dipandang sebagai osilator harmonik. Osilator harmonik merupakan suatu konsep/model yang secara makroskopik dapat dibayangkan sebagai sebuah massa m yang terkait pada sebuah pegas dengan tetapan pegas C.

Untuk osilator harmonik satu-dimensi, energinya dapat dirumuskan :

dengan v laju getaran osilator, x simpangan osilator, frekuensi sudut getaran osilator .Untuk osilator harmonik satu dimensi yang mempunyai dua derajat bebas mempunyai energi rata-rata :

(1.18)Selanjutnya, karena atom-atom dalam kristal membentuk susunan tiga dimensi, maka untuk satu mol osilator harmonik tiga-dimensi, energi dalamnya :

(1.19)Dengan demikian kapasitas kalornya : Dari hasil (1.19) ini terlihat bahwa menurut model fisika klasik, kapasitas panas zat padat tidak bergantung suhu dan berharga 3R. Hal ini sesuai dengan hukum Dulong-Petityang hanya berlaku untuk suhu tinggi.Sedangkan untuk suhu rendah jelas teori ini tidak berlaku.

Model EinsteinDalam model ini, atom-atom dianggap sebaga iosilator-osilator bebas yang bergetar tanpa terpengaruh oleh osilator lain disekitarnya.Energi osilator dirumuskan secara kuantum (berdasarkan teori kuantum) yang berharga diskrit : dengan (1.20)

N = 0, 1, 2, 3, = h/2, h adalah tetapan Planck

Padat ingkat dasar n=0, energi osilator 0 =0. Tingkat berikutnyan= 1,2 dan seterusnya. Perbedaan energi antar tingkat adalah . Lihat gambar di bawah.

Gambar 2.3. Spektrumenergi osilator satu dimensi menurut teori kuantum.Pada keseimbangan termal, energi rata-rata osilator dinyatakan oleh :

(1.21)Faktor (bobot) Boltzmann exp(-n/kT) menyatakan kebolehjadian keadaan berenergintertempati. Persamaan (1.21) dalambentuk deret tersebut ekuivalen dengan ungkapan :

(1.22)Selanjutnya, untuk satu mol osilator tiga-dimensi memiliki energi dalam:

Sehingga kapasitas kalornya:

(1.23)Dalam model Einstein frekuensi osilator biasa ditulis E yang disebut frekuensi Einstein.Untuk menyederhana persamaan (1.23) didefinisikan suhu Einstein (E) menurut :

(1.24)dan persamaan (1.23) tereduksi menjadi :

Pada suhu tinggi (T>>), maka nilai (E/T) berharga kecil. Sehingga exp(E/T) dapat diuraikan ke dalam deret sebagai berikut : (1.25)

Menurut hasil ini jelas bahwa model Einstein cocok pada suhu tinggi. Bagaimana untuk suhu rendah. Pada suhu rendah(T