Mohammad Edy Nurtamam

BAB IISifat-sifat Aljabar pada Bilangan Riil2.1 Sifat-sifatAljabar pada R

Pada himpunan bilangan riil terdapat dua operasi biner yang

dilambangkan dengan + dan ., dimana masing-masing disebut

penjumlahan dan perkalian. Operasi itu memenuhi sifat-sifat sebagai

berikut:

(A1) a + b = b + a, a, b di R (sifat komutatif +)

(A2) (a + b) + c = a + (b + c), a, b, c di R (sifat asosiatif +)

(A3) 0 di R 0 + a = a dan

a + 0 = a, a di R (keberadaan/eksistensi sebuah elemen nol)

(A4) a di R a di R a + (-a) = 0 dan

(-a) + a = 0 (keberadaan/eksistensi elemen negatif)

(M1) a.b = b.a, a, b di R (sifat komutatif dari perkalian)

(M2) (a.b).c = a.(b.c), a, b, c di R (sifat asosiatif dari perkalian)

(M3) 1 di R yang berbeda dengan 0, 1.a = a dan a.1 = a

(keberadaan/eksistensi sebuah elemen satuan)

(M4) a 0 di R, di R sedemikian hingga a. = 1 dan .a = 1

(keberadaan/eksistensi elemen kebalikan pada perkalian)

(D1) a.(b + c) = (a.b) + (a.c), a, b, c di R

(sifat distributif kiri perkalian terhadap penjumlahan)

(D2) (b + c).a = (b.a) + (c.a), a, b, c di R

(sifat distributif kanan perkalian terhadap penjumlahan)

Untuk menggambarkan dasar-dasar dari sifat-sifat pada daftar diatas, berikut

diturunkan beberapa akibat yang penting.

2.1.2 Teorema

(a) z, a R sedemikian sehingga jika z + a = a maka z = 0.

(b) u, b R, u 0, b 0 sedemikian sehingga jika u.b = b maka u = 1.

Bukti:

(a) a + (-a) = 0 (A4)

(z + a) + (-a) = 0 (hipotesis z + a = a)

z + (a + (-a)) = 0 (A2)

z + 0 = 0 (A4)

z = 0 (A3)

(b) Silahkan dicoba sendiri!

2.1.3 Teorema

(a) a, b R sedemikian hingga jika a + b = 0 maka b = -a.

(b) a, b R, a 0 sedemikian hingga jika a.b = 1 maka b = .

Bukti:

(a) Silahkan dicoba sendiri!

(b) b = b.1 (M3)

b = b.(a. ) (M4)

b = (b.a). (M2)

b = (a.b). (M1)

b = 1. (hipotesis)

b = (M3)

Jika diperhatikan sifat-sifat yang dipergunakan pada pembuktian teorema

di atas maka sifat A4 dan M4 memungkinkan untuk memecahkan

persamaan a + x = 0 dan a.x = 1 (a 0) untuk x, sedangkan penggunaan

teorema 2.1.3 mengakibatkan pemecahannya unik (tunggal), yaitu

(i) Misalkan a + x = 0, maka menurut teorema 2.1.3(a), x = -a.

Jadi a + x = 0 pemecahannya adalah x = -a.

Kemudian akan ditunjukkan ketunggalannya, misalkan ada

pemecahan lain x1, yaitu a + x1 = 0, maka menurut teorema 2.1.3(a),

x1 = -a.

Jadi x = x1 = -a adalah tunggal.

(ii) Misalkan a.x = 1, maka menurut teorema 2.1.3 (b), x = . Jadi a.x = 1

pemecahannya adalah x = . Kemudian akan ditunjukkan

ketunggalannya, misalkan ada pemecahan lain x1, yaitu a.x1 = 1,

maka menurut teorema 2.1.3 (b), x1 = . Jadi x = x1 = adalah

tunggal.

2.1.4 TeoremaMisalkan a, b sembarang elemen di R. Makaa) persamaan a + x = b mempunyai penyelesaian tunggal

x = (-a) + b.b) jika a 0, persamaan a.x = b mempunyai penyelesaian tunggal

x = .b.

Bukti: Silahkan dicoba

2.1.5 Teorema (Penggunaan Sifat Distributif)Misalkan a sembarang elemen di R, maka

(a) a.0 = 0.

(b) ( 1). a = a.

(c) ( 1) = 1

(d) ( 1).( 1) = 1.

Bukti:

Pembuktian teorema ini hanya pada point (b), selain itu dipersilahkan

untuk mencoba sendiri.

a + (1)a = 1.a + (1)a (M3)

a + (1)a = (1 + (1))a (D2)

a + (1)a = 0.a (A4)

a + (1)a = 0 (teorema 2.15 (a))

(1)a = (a) + 0(teorema 2.1.4 (a))

(1)a = a (A3)

2.1.6 Teorema (Hasil Penting dari Sifat Aljabar)

Misalkan a, b, dan c sembarang elemen di R.

a) jika a 0 maka 0 dan = a.

b) jika a.b = a.c, a 0 maka b = c.

c) jika a.b = maka a = 0 atau b =0.

Bukti:

Silahkan dicoba!

Beberapa Catatan Penting(i) Operasi pengurangan didefinisikan sebagai berikut

a b = a + (-b), a, b R

(ii) Operasi pembagian didefinisikan sebagai berikut

a, b R, b 0, = a.

(iii) Untuk selanjutnya:

a.b ditulis ab

a.a ditulis a2

(a2)a ditulis a3

(iv) an+1 = (an)a, n N

(v) a0 = 1 dan a1 = a, a R

(vi) a 0, ditulis a 1

(vii) n N, ditulis a n