Analisis Varian Ranking Satu Arah Krruskal-Wallis

Fungsi

Analisis varian ranking satu arah Kruskal-Wallis ini adalah tes yang sangat berguna untuk

menentukan apakah k sampel independen berasal dari populasi-populasi yang berbeda. Tes ini

membuat anggapan bahwa variabel yang dipelajari mempunyai distribusi kontinyu. Tes ini menuntut

pengukuran variabelnya paling lemah dalam skala ordinal.

Dasar Pemikiran dan Metode

Dalam penghitungan tes Kruskal-Wallis ini, masing-masing n observasi digantikan dengan

rankingnya. Yaitu, semua skor dalam seluruh k sampel yang digunakan, diurutkan (ranking) dalam

satu rangkaian. Skor yang terkecil digantikan dengan ranking 1, yang setingkat di atas yang terkecil

dengan ranking 2, dan yang terbesar dengan ranking n. n=jumlah seluruh observasi independen dalam

k. “apakah boleh urutannya dari yg terbesar ke yang terkecil”

Jika hal ini telah dikerjakan, jumlah ranking dalam masing-masing sampel dihitung. Tes

Kruskal-Wallis menetukan apakah jumlah ranking itu sangat berlainan sehingga sangat kecil

kemungkinan bahwa sampel-sampel itu semuanya di tarik dari populasi yang sama.

Dapat ditunjukan bahwa jika seluruh k sampel itu memang benar-benar dari populasi yang

sama, yakni jika Ho benar, maka H (statistik uji yang dipergunakan dalam Tes Kruskal-Wallis)

berdistribusi chi-square dengan db= k-1 , dengan syarat bahwa ukuran-ukuran k sampel itu tidak

terlalu kecil “Kecilnya itu berapa?” , yaitu

(1)

Dimana; k = banyak sampel

n j = banyak kasus dalam sampel ke-j

/ n = ∑ n j = banyaknya kasus dalam semua sampel

Jika terdapat lebih dari 5 kasus dalam setiap kelompok, yakni n j > 5, harga-harga sebesar H

observasi dapat ditentukan dengan menggunakan Tabel C. Tolak Ho jika harga observasi H sama

H= 12n(n+1)∑j=1

k R j2

n j

−3(n+1)

dengan atau lebih besar daripada harga chi-square yang ditunjukkan dalam Tabel C untuk tingkat

signifikansi yang telah ditetapkan dan untuk harga observasi db=k-1.

Jika k = 3 dan banyak kasus dalam masing-masing sampel nya lima atau kurang,

kemungkinan yang eksak telah di tabelkan dari rumus (1). Harga-harga kemungkinan ini disajikan

dalam Tabel O .

Observasi-observasi berangka sama

Jika angka sama terjadi antara dua skor atau lebih, tiap-tiap skor mendapatkan ranking yang

sama, yaitu rata-rata ranking nya.Karena harga H ada angka yang sama, maka kita akan mengadakan

koreksi untuk angka sama dalam menghitung H. Untuk mengadakan koreksi berhubungan dengan

akibat angka sama itu, H dihitung dengan rumus (1) dan kemudian dibagi dengan;

Dimana : T = t 3−1 ( t adalah banyak observasi-observasi berangka sama dalam serangkaian skor

berangka sama) “?”

n = banyak observasi dalam seluruh k sampel bersama-sama, yakni n = ∑ n j

Dengan demikian, rumus umum untuk H yang telah di koreksi karena adanya angka sama adalah :

Dengan koreksi yang diadakan untuk angka sama ini, harga H ditingkatkan dan dengan demikian hasilnya lebih signifikan bila dibandingkan dengan koreksi tidak diadakan.

Dalam kebanyakan kasus , akibat koreksi itu dapat diabaikan. Jika yang terlibat dalam angka sama tidak lebih dari 25% observasi, kemungkinan yang berkaitan dengan suatu H yang dihitung tanpa koreksi angka sama, jarang sekali berubah dengan lebih dari 10% bila dilakukan koreksi angka sama itu.

Ringkasan Prosedur

Inilah langkah-langkah dalam penggunaan analisis varian ranking satu arah Kruskal-Wallis;

1−∑ T

n3−n

H=

12n(n+1)∑j=1

k R j2

n j

−3 (n+1)

1−∑ T

n3−n

1. Berilah ranking observasi-observasi untuk k kelompok itu dalam suatu urutan dari 1 sampai n .

2. Tentukan harga R (jumlah ranking) untuk masing-masing kelompok itu3. Jika suatu proporsi yang besar diantara observasi-observasi itu berangka sama, hitunglah

harga H dengan rumus yang menggunakan faktor koreksi.4. Metode untuk menilai signifikansi harga observasi H bergantung pada ukuran k dan pada

ukuran kelompok-kelompok itu :

a. Jika k = 3 dan jika n1 , n2 , dan n3 < 5, Tabel O dapat dipakai untuk menentukan

kemungkinan yang berkaitan, di bawah Ho, dengan suatu H yang sebesar H observasib. Dalam kasus-kasus lain, signifikansi suatu harga sebesar harga observasi H dapat ditaksir

dengan menggunakan tabel C dengan db = k – 15. Jika kemungkinan yang berkaitan dengan harga observasi H adalah sama dengan atau kurang

dari α ,tolak Ho dan terima H 1.

Kekuatan Efisiensi

Tes Kruskal-Wallis lebih efisien daripada perluasan tes median karena tes ini menggunakan lebih banyak informasi dalam observasi-observasinya, mengubah skor menjadi ranking dan bukan hanya memisah-duakan skor-skor itu sebagaiskor diatas median dan dibawah median.

Multiple Comparison

Jika dan hanya jika hipotesis nol ditolak maka kita dapat menggunakan prosedur pasangan untuk melihat pasangan mana yang berbeda. Kita dapat mengatakan bahwa populasi i dan j berbeda apabila mengikuti pertidaksamaan berikut :

|Ri

n i

−R j

n j|>t

1−( α2)(S2 N−1−T

N−k )2

( 1ni

+ 1n j

)2

Contoh soal

1. Untuk membanding empat bola bowling, seorang pemain profesional memainkan lima game untuk masing-masing bola dan diperoleh hasil sbb:Bola bowling A : 221 232 207 198 212Bola bowling B : 202 225 252 218 226Bola bowling C : 210 205 189 196 216Bola bowling D : 229 192 247 220 208Gunakan Kruskal-Wallis test, pada taraf signifikansi 0,05, untuk menguji hipotesa nihil bahwa hasil permainan bowler tersebut di antara 4 bola bowling tersebut

i. Hipotesia nol dan hipotesa alternatifH0 : Hasil permainan bowler seimbang di antara 4 bola bowlingH1 : Hasil permainan bowler tidak seimbang di antara 4 bola bowling

ii. Taraf sigfikansiDigunakan taraf signifikansi 0,05. dapat digunakan Tabel C. Nilai X2

0.05:3 = 7,82.

iii. kriteria pengujian H0 diterima apabila : H ≤ 7,82H0 ditolak apabila : H > 7,82

iv. Nilai HRumus menghitung nilai H :

H= 12N (N+1)∑i=1

k Ri2

ni

−3(N+1)

Semua sampel digabungkan, kemudian semua nilai pengamatan diberi jenjang dari nilai pengamtan terkecil sampai terbesar.

Bola BowlingA B C D

Nilai Jenjang Nilai Jenjang Nilai Jenjang Nilai221 14 202 5 210 9 229 Jenjang232 18 225 15 205 6 192 17207 7 252 20 189 1 247 2198 4 218 12 196 3 220 19212 10 226 16 216 11 208 13

853R1

68R2

30R3

59R4

N = n1 + n2 + n3 + n4

= 5 + 5+ 5 + 5 = 20

H=1220(20+1)

(532+682+302+592

5)−3(20+1 )

¿12420

(2362 , 8)−63

¿4 ,51

v. Keputusan Oleh karena nilai H = 4,51 lebih kecil dari nilai X2

0.05:3 = 7,82 maka hipotesa nol diterima.Dapat disimpulkan bahwa hasil permainan bowler tersebut seimbang di antara 4 bola bowling.

Note : apabila k = 3 dan banyak pengamatan dalam masing-masing sampelnya lima atau kurang, pendekatan Chi- Square pada distribusi sampling H tidak cukup baik. Untuk kasus semacam itu, kemungkinan yang eksak telah ditabelkan berdasarkan rumus :

H= 12N (N+1)∑i=1

k Ri2

ni

−3(N+1)

Harga –harga kemungkinan ini disajikan dalam Tabel O pada lampiran. Kolom pertama dari tabel tersebut menunjukkan banyak pengamatan dalam ketiga sampel, yakni berbagai angka yang mungkin untuk n1,n2,n3. Kolom kedua memuat harga H yang dihitung dengan rumus di atas. Kolom ketiga menyajikan kemungkinan yang berkaitan dengan munculnya harga-harga H hitung ( di bawah H0 ).

2. Misalkan seorang peneliti bidang pendidikan hendak menguji hipotesa bahwa para administrator sekolah biasanya lebih bersifat otoriter daripada guru-guru kelas. Sungguh pun demikian, peneliti menyadari bahwa hasil penelitian bisa bias oleh kenyataan bahwa banyak guru kelas yang mempunyai orientasi administratif dalam aspirasi profesional mereka.

Untuk menghindari hal yang demikian, ia merencanakan untuk membagi 14 subyek kedalam tiga kelompok : para guru yang memiliki orientasi pengajar( yang kedudukannya tetap sebagai guru),para guru yang mempunyai orientasi administrator, dan administrator

Skor keotoriteran ketiga kelompok pendidik ditunjukkan sbb

Guru berorientasi pengajar

Guru berorientasi administrator Administrator

Skor Jenjang Skor Jenjang Skor Jenjang96 4 82 2 115 7

128 9 124 8 149 1383 3 132 10 166 1461 1 135 11 147 12

101 5 109 6 22R1

37R2

46R3

Berdasarkan Tabel O, untuk ni = 5,5,dan 4, H > 6,4 mempunyai kemungkinan muncul, dibawah H0, sebesar P < 0,049.

Kesimpulannya, oleh karena P ( < 0,049) lebih kecil dari α = 0,05 maka H 0 ditolak. Ini berarti bahwa tiga kelompok pendidik tersebut berbeda dalam tingkat keotoriteran mereka.

3. Tiga kelompok babi guenea diinjeksi berturut-turut dengan dosis 0,5 mg, 1,0 mg, dan 1,5 mg transquiliser. Banyaknya waktu yang diperlukan untuk membuat mereka tidur adalah ( dalam sekon ) :Dosis 0,5 mg : 8,2 10 10,2 13,7 14 7,8 12,7 10,9Dosis 1,0 mg : 9,7 13,1 11 7,5 13,3 12,5 8,8 13,9 7,9

10,5Dosis 1,5 mg : 12 7,2 8 9,4 11,3 9 11,5 8,5

i. Hipotesa nol dan hipotesa alternatif

H0: Tiga macam dosis tersebut tidak memberikan efek yang berbeda.

H1 : Tiga macam dosis tersebut memberikan efek yang berbeda.

ii. Taraf signifikansiGunakan α = 0,05. Berdasarkan Tabel C nilai X2 0,05;2 = 5,99.

iii. Kriteria pengujianH0 diterima apabila : Nilai H ≤ 5,99H0 ditolak apabila : Nilai H > 5,99

iv. Nilai HBanyak waku beserta jenjangnya dari tiga macam dosis, ditunjukkan sbb :

Dosis 0,5 mg Dosis 1,0 mg Dosis 1,5 mgWaktu Jenjang Waktu Jenjang Waktu Jenjang

8,2 6 9,7 11 12 1910 12 13,1 22 7,2 1

10,2 13 11 16 8 513,7 24 7,5 2 9,4 10

14 26 13,3 23 11,3 177,8 3 12,5 20 9 9

12,7 21 8,8 8 11,5 1810,9 15 13,9 25 8,5 7

7,9 410,5 14

 R1 = 120

 R2 = 145

 R3 = 86

H= 12N (N+1)∑i=1

k Ri2

ni

−3(N+1)

H=1226(26+1 )

(1202

8+1452

10+862

8)−3(26+1)

¿12702

( 4827)−81

¿82 , 513−81¿1 ,513

v. Keputusan Oleh karena nilai H = 1,513 lebih kecil dari nilai X2

0,05;2=5,99. Maka hipotesa nol diterima. Dapat disimpulkan bahwa tiga macam dosis tidak meberikan efek yang berbeda pada taraf signifikansi 0,05.

4. Untuk menguji daya tempuh ( jarak dalam mil ) tiga jenis gasoline, telah dicoba mengendarai mobil sebanyak sepuluh tangki penuh untuk masing-masing jenis gasoline. Hasilnya adalah:Gasoline 1 : 20 31 24 33 23 24 28 16 19 26Gasoline 2 : 29 18 29 19 20 21 34 33 30 23Gasoline 3 : 19 31 16 26 31 33 28 28 25 30

Dengan kruskal-wallis test, ujilah hipotesa nol bahwa tidak ada perbedaan dalam daya tempuh rata-rata di antara3 jenis gasoline tersebut. Gunakan α = 0,05

i. Hipotesa nol dan hipotesa alternatifH0 : Tidak ada perbedaan dalam daya tempuh rata-rata di antara 3 jenis gasolineH1 : Terdapat perbedaan dalam daya tempuh rata-rata di antara 3 jenis gasoline

ii. Taraf signifikansiDigunakan α = 0,05. Menurut Tabel C, nilai X2

0,05;2 = 5,99

iii. Kriteria pengujianH0 diterima apabila : Nilai H ≤ 5,99H0 ditolak apabila : Nilai H > 5,99

iv. Nilai HDaya tempuh dan jenjang dari tiga jenis gasoline , ditunjukkan sbb :

Gasoline 1 Gasoline 2 gasoline 3Daya

tempuh JenjangDaya

tempuh JenjangDaya

tempuh Jenjang

20 7,5 29 20,5 19 531 25 18 3 31 2524 12,5 29 20,5 16 1,533 28 19 5 26 15,523 10,5 20 7,5 31 2524 12,5 21 9 33 2828 18 34 30 28 1816 1,5 33 28 28 1819 5 30 22,5 25 1426 15,5 23 10,5 30 22,5

136R1

156,5R2

172,5R3

Note : bila terjadi angka sama antara dua skor atau lebih, tiap-tiap skor mendapatkan jenjang yang sama, yaitu rata-rata jenjangnya.

H=1230 (30+1)

[1362+156 ,52+172 ,52

10]=3(30+1)

¿12930

(7274 , 45 )−93

¿93 , 86−93¿0 ,86

v. Keputusan Karena nilai H lebih kecil dari X2

0,05;2 = 5,99 maka hipotesa nol diterima. Dapat dimpulkan bahwa tidak ada perbedaan dalam daya tempuh rata-rata di antara 3 jenis gasoline.

5. Sebuah departemen latihan dan pengembangan mengirimkan bahan kursus yang bersifat “self instuctional” tentang “penyusunan anggara”kepada tenaga-tenaga penjualan di empat daerah penjualan. Setelah bahan-bahan dikirimkan lengkap kemudian dilakukan test standar. Skor yang dicapai ditunjukkan dalam tabel di bawah ini :

Daerah PenjualanA B C D

78 60 92 8289 88 83 7073 93 87 9582 54 84 6991 68 86 78

93 90 7485

Dengan tara signifikansi 0,05, ujilah hipotesa nol yang mengatakan bahwa hasil dari 4 grup sampel berasal dari distribusi skor populasi yang sama.

i. Hipotesa nol dan hipotesa alternatifH0 : Hasil dari empat grup sampel berasal dari distribusi skor populasi yang samaH1 : Hasil dari empat grup sampel berasal dari distribusi skor populasi yang tidak sama

ii. Taraf signifikansiDigunakan α = 0,05. Menurut Tabel C, nilai X2

0,05;3 = 7,82

iii. Kriteria pengujianH0 diterima apabila : Nilai H ≤ 7,82H0 ditolak apabila : Nilai H > 57,82

iv. Nilai HPeriksa tabel di bawah ini :

Daerah PenjualanA Jenjang B Jenjang C Jenjang D Jenjang

78 8,5 60 2 92 21 82 10,589 18 88 17 83 12 70 573 6 93 22,5 87 16 95 2482 10,5 54 1 84 13 69 491 20 68 3 86 15 78 8,5

93 22,5 90 19 74 785 14

R1 = 63  R2 = 82  R3 = 96  R4 = 59

Nilai H tanpa koreksi :

H= 12N (N+1)∑i=1

k Ri2

ni

−3(N+1)

H=1224(24+1)

[(63 )2

5+(82)7

2

+(96 )2

6+(59 )2

6]−3 (24+1 )

¿12600

(3870 ,5381 )−75

¿77 , 41076−75¿2 ,4108

Nilai H dengan koreksi:

1−∑ T

n3−n

t 2 2 2

T 6 6 6

H=2, 41080 , 9987

=2 ,4139

v. Keputusan Walaupun sudah dikoreksi nilai H = 2,4139 masih lebih kecil dari nilai X2

0,05;3

= 7,82 maka dapat diputuskan hipotesa nol diterima. Dapat disimpulkan bahwa empat grup sampel berasal dari distribusi skor populasi yang sama.