vektor jawab

VEKTOR JAWAB

XoMatriks

Mb Mb

|Mb| ≠ 0 |M<b| ≠ 0 |M≤b| ≠ 0

khas tidak khas/umum

Mbxl

M-1 Mu

Hanya 1 jawaban Lebih dari 1 jawaban

b ≠l ; b<l

b = l

b = l

D = 0Mb

Xo Xo

Persamaan linier

2 x1 + x2 + 2 x3 = 2

x1 + 3 x2 + 4 x3 = 3

2 x1 + 4 x2 + 6 x3 = 2

x1 = …

x2 = …

x3 = …

2 1 21 3 42 4 6

x1 =

x2

x3

232

2

xo =

1

M y

Vektor Jawab Khas

Vektor Jawab Khas

Matriks Kebalikan

Transformasi Linier

Metoda Cramer

Matriks Ajugat

Cara Penyapuan

Metoda Doolittle

Matriks Kebalikan

XO =

m11 m12 m13

m21 m22 m23

m31 m32 m33

y11

y21

y31

Ubah susunan persamaan linier menjadi :

Tentukan matriks kebalikan M

M M-1

a. Matriks Ajugat

b. Cara Penyapuan

M XO = y3 x 3 3 x 1

Cara pengolahan :

Md = ( mij)d

a. Matriks Ajugat

Tentukan matriks Kd dari matriks Md (unsur-unsur

matriks Kd dihitung dengan cara kofaktor);

putar Kd = (nij)d

Kd’ = (nji)d

Tentukan determinan matriks Md

DM = m11 m12 m13

m21 m22 m23

m31 m32 m33

*Algoritma (silang)*Minor & kofaktor*Cara penyapuan

( DM )

XO = M-1

y

Tentukan kebalikan matriks Md ( M-1 )

DM = |M|1DM

M-1 = K’1

| M |= K’

Hitung vektor jawabnya

CL VJ01A SL VJ01A

1. Tentukan vektor jawabnya (matriks ajugat) dari persamaan linier sbb :

2 x1 + x2 + 2 x3 = 2 x1 + 3 x2 + 4 x3 = 3

2 x1 + 2 x2 + 3 x3 = 4JCL VJ01A-1 :

2 x1 + x2 + 2 x3 = 2

x1 + 3 x2 + 4 x3 = 3

2 x1 + 2 x2 + 3 x3 = 4

Penyelesaian (matriks ajugat) :

Susun ulang menjadi :

XO =

2 1 21 3 42 2 3

234

(3 x 3)

M y

(3 x 1)(3 x 1)

Menentukan determinannya :

2 1 21 3 42 2 3

Det = -1(berarti M matriks tak singular; berpangkat penuh)

Menentukan matriks kanoniknya :

a11 = 1 a12 = 5 a13 = -4

a21 = 1 a22 = 2 a23 = -2

a31 = -2 a32 = -6 a33 = 5

2 1 21 3 42 2 3

K

1 5 -4

1 2 -2

-2 -6 5

K = 1 1 -2

5 2 -6

-4 -2 5

K’ =

Putar matriks kanoniknya :

XO = (1/-1) K’. y

1 1 -2

5 2 -6

-4 -2 5

= (1/-1) 234

= 38

-6

Menghitung vektor jawabnya :

= M-1 . y

(transformasi dasar)

Gandengkan matriks M dengan matriks identitas

m11 m12 m13

m21 m22 m23

m31 m32 m33

( M I ) =1 0 0

0 1 0

0 0 1

Olah matriks M menjadi matriks I; Olah matriks I menjadi matriks M-1

Langkah : Olah matriks M menjadi

*matriks bawah (dlm proses pengolahan usaha-kan nilai unsur-unsur m12, m13, m23 bernilai 0) atau

*matriks atas (dlm proses pengolahan usahakan nilai unsur-unsur m21,m31, m32 bernilai 0)

b. Cara Penyapuan

[penyapuan baris]

Langkah : Olah nilai unsur-unsur

*matriks bawah (m21,m31, m32) bernilai 0 atau

*matriks atas (m12,m13, m23) bernilai 0

Hasil pengolahan kedua langkah ini diperoleh :

matriks M menjadi matriks Identitas

matriks Identitas menjadi matriks M-1

Hitung vektor jawabnya

XO = M-1

y

CL VJ01B SL VJ01B

1. Tentukan vektor jawabnya (matriks ajugat) dari persamaan linier sbb :2 x1 + x2 + 2 x3 =

2 x1 + 3 x2 + 4 x3 = 3

2 x1 + 4 x2 + 6 x3 = 4JCL VJ01B-1 :

2 x1 + x2 + 2 x3 = 2

x1 + 3 x2 + 4 x3 = 3

2 x1 + 4 x2 + 6 x3 = 4

Penyelesaian (cara penyapuan; transformasi linier) :

Susun ulang menjadi :

XO =

2 1 21 3 42 4 6

234

(3 x 3)

M y

(3 x 1)(3 x 1)

2 1 2 1 0 01 3 4 0 1 02 4 6 0 0 1

1 0 0 1 1 -1-1 1 0 0 3 -2 1 1 2 0 -1 1

E3.2(-1)

E1.3(-1)

E2.3(-2)

I M-1

1 0 0 1 1 -1 0 1 0 1 4 -3 0 0 1 -1 -3 5/2

M I

XO = M-1 = =

232

3 8-6

1 1 -1 2 4 -3-1 -3 5/2

E2.1(1)

E3.1(-1)

E3.2(-1)

E3(1/2)

Menentukan matriks kebalikan M :

Menghitung vektor jawabnya :

232

Transformasi linierPengolahan baris matriks transformasi

dasar (penyapuan baris) terhadap matriks gandengan (M,y)

M XO = y

XO =

m11 m12 m13

m21 m22 m23

m31 m32 m33

y11

y21

y31

Ubah susunan persamaan linier menjadi :

3 x 3 3 x 1

Cara pengolahan :

Gandengkan matriks M dengan vektor y.

m11 m12 m13

m21 m22 m23

m31 m32 m33

y11

y21

y31

Lakukan pengolahan baris matriks M dengan arahan menjadi matriks bawah atau matriks atas.

Tentukan pangkat : matriks gandengan dan matriks Mp(M,y) dan p(M)

Telaah lebih dulu apakah p(M,y) = p(M).Bila p(M,y) ≠ p(M), berarti Xo tidak khas.

Susun matriks gandengan “hasil olahan” menjadi persamaan linier.

Xo diperoleh dari hasil olahan substitusi.

CL VJ02 SL VJ02

1. Tentukan vektor jawabnya (transformasi linier) dari persamaan linier sbb :

2 x1 + x2 + 2 x3 = 2 x1 + 3 x2 + 4 x3 = 3

2 x1 + 2 x2 + 3 x3 = 4JCL VJ02-1 :

2 x1 + x2 + 2 x3 = 2

x1 + 3 x2 + 4 x3 = 3

2 x1 + 2 x2 + 3 x3 = 4

Persamaan linier :

Penyelesaian : (transformasi linier)

Susun ulang menjadi :

XO =

2 1 21 3 42 2 3

234

(3 x 3)

M y

(3 x 1)(3 x 1)

Pengolahan baris terhadap matriks gandengannya

2 1 21 3 42 2 3

234

2 1 21 3 40 1 1

232

E3.1(-1)E2.3(-3)

2 1 21 0 10 1 1

2-3 2

E1.2(-2)

0 1 01 0 10 1 1

8-3 2

E3.1(-1)

0 1 01 0 10 0 1

8-3-6

E1.2

1 0 10 1 00 0 1

-3 8-6

E1.2(1)

p(M,y) = p(M) = 3“persamaan linier di atas bersifat

setara”

1 1 10 1 00 0 1

5 8-6

E2.3(1)

1 1 10 1 10 0 1

5 2-6

Susun persamaan linier hasil olahan dan tentukan Xonyax1 + x2 + x3 = 5

x2 + x3 = 2

x3 = -6

substitusi X0 = 3 8-6

Metoda Cramer

1

|M|Xo = (mji)k.yk

= (m1j.y1 + m2j.y2 + …… + mkj.yk)

(mji)n.yn =m11 m12 ………… mk1

m12 m22 ………… mk2

. . .

. . .

. . .m1k m2k ………… mkk

Y1

y2

.

.

.

yk

XOj = (m1jy1 + m2jy2 + …. + mkjyk)

1|M|

1|M|

=

Tiap pengolahan disisipkan nilai vektor y ke dalan tiap jalur dalam matriks

1|M|

= mi1yi

mi2yi...

mikyi

atau

m11 m12 …… m1.j-1 y1 m1.j+1

…… m1k

m21 m22 …… m2.j-1 y2 m2.j+1 …… m2k . . . . . . . . . . . .

mk1 mk2 …… mk.j-1 yk mk.j+1 …… mkk

untuk

Cara pengolahan :

M XO = y

XO =

m11 m12 m13

m21 m22 m23

m31 m32 m33

y11

y21

y31

Ubah susunan persamaan linier menjadi :

3 x 3 3 x 1

Sisipkan nilai vektor y ke dalan tiap jalur dalam matriks :

1y11 m12 m13

y21 m22 m23

y31 m32 m33

=2

m11 y12 m13

m21 y22 m23

m31 y32 m33

=

Tentukan determinan matriks M dan ketiga Segitiga-Matriks :

b. minor-kofaktorc. cara

penyapuan

j

a. algoritma

m11 m12 y13

m21 m22 y23

m31 m32 y33

3=

b. minor-kofaktorc. cara

penyapuan

a. algoritma

M M

X0 =

Tentukan vektor jawabnya :

X0j

1|M|

=

X0

1X0

2X0

3

CL VJ03 SL VJ03

1. Tentukan vektor jawabnya dari persamaan linier sbb : (determinan dihitung dengan cara algoritma)

2. Bila determinan matriks dihitung dengan cara minor-kofaktor, tentukan vektor jawabnya.

2 x1 + x2 + 2 x3 = 2 x1 + 3 x2 + 4 x3 = 3

2 x1 + 2 x2 + 3 x3 = 4

3. Bila determinan matriks dihitung dengan penyapuan, tentukan vektor jawabnya.

JCL VJ03-1 :

Hitung determinan cara algoritma

XO = Det = 2

2 1 21 3 42 4 6

232

Cara minor-kofaktor

2 1 23 3 42 4 6

2 2 21 3 42 2 6

2 1 21 3 32 4 2

JCL VJ03-2 :

= (-1)1+1 2 (-1)1+2 2 (-1)1+3 2

= +2 (10) -2(-2) +2(-4) = +16

= (-1)1+1 2 (-1)1+2 1 (-1)1+3 2

= +2 (2) -1(10) +2(6) = +6

2 1 23 3 42 4 6

2 2 21 3 42 2 6

3 32 4

3 42 6

3 44 6

3 42 6

1 42 6

1 32 2

= +2 (-6) -1(-4) +2(-2) = -12

X01 = ½ (6) = 3

X02 = ½ (16) = 8

X03 = ½ (-12) = -6

X0 = 3 8-6

= (-1)1+1 2 (-1)1+2 1 (-1)1+3 23 34 2

1 32 2

1 32 4

2 1 21 3 32 4 2

Cara penyapuan

= 6

= 16

2 1 23 3 42 4 6

E3.2(-1)

E1.3(-1)

E2.3(-2)

E2.1(-1/2)

E3.1(-1)

2 2 21 3 42 2 6

3 0 0 5 1 0-1 1 2

2 2 2 0 2 3 0 0 4

JCL VJ03-3 :

X01 = ½ (6) = 3

X02 = ½ (16) = 8

X03 = ½ (-12) = -6

X0 = 3 8-6

2 1 21 3 32 4 2

E2.1(-1)E3.1(-1)

E1.3(-1/3)E2.3(-2/3)

E1.2(2)E2.3E1.3

-1 0 1 0 3 0 0 0 4

= -12

Metoda Doolittle

Persyaratan matriks yang dapat diolah dengan metoda Doolittle

Matriks Setangkup

segibernilai samatidak samadengan nolkhaspenuhkhas

MatriksUnsur2 yang bersebarangan

DeterminanKebalikan

PangkatVektor jawab

CL VJ04 SL VJ04

1. Tentukan vektor jawabnya dengan metoda Doolittle dari persamaan linier berikut. 2 x1 + x2 + 2 x3 =

2 x1 + 3 x2 + 4 x3 = 3

2 x1 + 4 x2 + 6 x3 = 2

Pengolahan baris

ML1 L2 L3

B1

B2

B3

2 1 21 3 42 4 6

1 0 00 1 00 0 1

2 32

IK1 K2 K3

8 1215

LP Brs

R1

r1

R2

r2

R3

r3

y

B1

R1/22 1 21 ½ 1

21

1 0 0½ 0 0

88/2

B2 – ½ R1

R2/(5/2) 5/2 3

1 6/5

24/5

-½ 1 0-1/5 2/5 0

816/5

B3 – 6/5 R2 – 1 R1

R3/(2/5)

2/5

1-12/5

6-2/5 -6/5 1-1 -3 5/2

-13/5

-3/2

T1’t1’

T2’t2’

T3’t3’

Pengolahan metoda Doolittle

JCL VJ04-1 :

Langkah2 pengolahan :

1. Unsur2 pada baris R1 = unsur2 pada baris B1

2. Unsur pada baris R1 dan lajur L1

bernilai 2; nilai ini harus bernilai 1 pada

baris r1 dan lajur L1. Berarti nilai2

tersebut dibagi 2 atau dikali dengan ½. Berarti pula untuk semua unsur pada baris R1 dibagi 2 dan hasilnya

diletakkan pada baris r1 r1 = R1/2

Matriks M : R2 & L2 = 3 – (1/2)(1) =

5/2 L3 = 4 - (1/2)(2) = 3

Lajur y = 3 - (1/2)(2) = 2

Matriks I : R2 & K1 = 0 – (1/2)(1)

= - 1/2 K2 = 1 - (1/2)(0) = 1

K3 = 0 - (1/2)(0) = 0

R2 = B2 - ½ R1

3. Unsur pada baris R2 dan lajur L1 haris bermilai nol; berarti :

r2 = R2 / (5/2)

5. Unsur pada baris R3 dan lajur L2 harus bernilai nol

R3 = B3 - (6/5) R2 - 1

R1

4. Unsur2 pada baris R2 dan lajur L2 bernilai 5/2 ; nilai ini harus bernilai 1 pada baris r2 dan lajur L2. Berarti dikali-kan dengan 2/5 dan demikian pula untuk semua unsur pada baris R2. Hasilnya merupakan unsur-unsur pada baris r2.

6. Unsur pada baris R3 dan lajur L3 bernilai 2/5 dan harus bernilai 1 pada baris r3 dan

L3. Selanjutnya semua unsur pada r3 harus

di kalikan dengan 5/2.r3 = R3 / (2/5)

Matriks I : R3 & K1 = 0 – (6/5)(-1/2) – (1)(1) = -2/5 K2 = 0 – (6/5)(1) – (1)(0) = -6/5

K3 = 1 – (6/5)(0) – (1)(0) = 1

Lajur y = 2 – (6/5)(2) – (1)(2) = -12/5

Matriks M : R3 & L3 = 6 – (6/5)(3) – (1)(2) = 2/5

2. unsur2 pada r1, r2 & r3 menyusun r & t’

r = t ’ =

R =

T’ =

1. unsur2 pada R1, R2 & R3 menyusun R & T’

Dari hasil pengolahan diperoleh :

2 1 2 0 5/2 3 0 0 2/5

1 0 0-1/2 1 0-2/5 -6/5 1

1 1/2 1

0 1 6/5

0 0 1

1/2 0 0

-1/5 2/5 0-1 -3

5/2

Penyelesaian :

• CARA PERTAMA X0 = M-1 y

M-1 diperoleh tT’ atau Tt’

# bila dipilih M-1 = tT’

= 1 0 0-1/2 1 0-2/5 -6/5 1

1/2 -1/5 -1

0 2/5 -3 0 0

5/2

d11 d12 d13

d21 d22 d23

d31 d32 d33

Lajur 1 : d11 = (1/2)(1) + (-1/5)(- 1/2) + (-1)(-2/5) = 1 d21 = 0 + (2/5) (- 1/2) + (-3)(-2/5) =

1d31 = 0 + 0 + (5/2)(-2/5) = -1

Lajur 2 : d12 = 0 + (-1/5)(1) + (-1)(-6/5) = 1 d22 = 0 + (2/5) (1) + (-3)(-6/5) =

4d32 = 0 + 0 + (5/2)(-6/5) = -3

Lajur 3 : d13 = 0 + 0 + (-1)(1) = -1 d23 = 0 + 0 + (-3)(1)

= -3d33 = 0 + 0 + (5/2)(1) = 5/2

# bila dipilih M-1 = Tt’

=

Lajur 1 : d11 = (1)(1/2) + (- 1/2)(-1/5) + (-2/5)(-1) = 1

d21 = 0 + (1)(- 1/5) + (-6/5)(-1) = 1d31 = 0 + 0 + (1)(-1) = -1

1/2 0 0

-1/5 2/5 0-1 -3

5/2

d11 d12 d13

d21 d22 d23

d31 d32 d33

1 -1/2 -2/5

0 1 -6/5

0 0 1

Lajur 2 : d12 = 0 + (-1/2)(2/5) + (-2/5)(-3) = 1

d22 = 0 + (1)(2/5) + (-6/5)(-3) = 4d32 = 0 + 0 + (1)(-3) = -3

Lajur 3 : d13 = 0 + 0 + (-2/5)(5/2) = -1 d23 = 0 + 0 + (-6/5)(5/2) =

-3d33 = 0 + 0 + (1)(5/2) = 5/2

M-1 = 1 1 -1 1 4 -3-1 -3 5/2

• CARA KEDUA

X0 = M-1y = =

Cara penyelesaian seperti Persamaan Biasa

r X0 = yr atau R X0

= yR# bila dipilih r X0 =

yr =

1 1 -1 1 4 -3-1 -3 5/2

232

3 8-6

1 1/2 1

0 1 6/5

0 0 1

1 4/5

-6

x1

x2

x3

X1 + ½ X2 + X3 = 1 X1 = 3

X2 + 6/5 X3 = 4/5 X2 = 8

X3 = -6 X0 =

# bila dipilih R X0 =

yR =

2 X1 + X2 + 2 X3 = 2 X1

= 3

5/2 X2 + 3 X3 = 2 X2 = 8

2/5 X3 = -12/5 X3 = -6 X0 =

2 1 2 0 5/2 3 0 0 2/5

x1

x2

x3

2 2-12/5

3 8-6

3 8-6

LAJUR PENGUJI (LP)

Manfaatnya untuk memeriksa apakah jumlah unsur tiap baris yang diolah samadengan nilai unsur lajur penguji (LP) yang seletak

Misal periksa baris r1

r1 = R1/2

* Nilai unsur pada lajur penguji adalah 8 x ½ = 8/2* Jumlah nilai unsur pada M, y dan I adalah( 1 + ½ + 1 ) + 1 + ( ½ + 0 + 0 )

= 8/2

Vektor Jawab Umum

M x = y X0 = Mu y

m11 m12 m13 m14

m21 m22 m23 m24

m31 m32 m33 m24

m41 m42 m43 m44

Xo = y11

y21

y31

y41

Cara pengolahan :

Ubah susunan persamaan linier menjadi :

(4 x 4) (4 x 1)(4 x 1)

Tentukan determinan matriks dan anak-matriksnya

a. Dalam hal ini DM = 0; bila tidak dinyatakan, maka perlu

diperiksa lebih dulu apakah determinannya nol atau tidak.

b. Periksa anak2-matriksnya untuk dimensi yang lebih kecil dengan determinan tidaksama nol.

m11 m12 m13 m14

m21 m22 m23 m24

m31 m32 m33 m34

m41 m42 m43 m44

m11 m12 m13 m14

m21 m22 m23 m24

m31 m32 m33 m34

m41 m42 m43 m44

4 anak-matriks; (3 x 3) 9 anak-matriks; (2 x 2)

b1. Hitung determinan untuk dimensi (3 x 3)

Bila diperoleh 1 anak-matriks yang DQ ≠ 0; langsung diolah lebih lanjut.

Bila determinan semua anak2-matriks) = 0; maka dilanjutkan ke anak2-matriks berdimensi 2.

b2. Hitung determinan untuk dimensi (2 x 2)

Bila diperoleh 1 anak-matriks yang DQ ≠ 0; langsung diolah lebih lanjut.

Bila determinan semua anak2-matriks) = 0; maka dilanjutkan ke anak-matriks berdimensi 1.

Tentukan kebalikan umum matriks M

Cara penyelesaiannya : a. Matriks Ajugat

c. Transformasi Linierb. Penyapuan

Hitung vektor jawabnya

X0 = MU . y

CL VJ05 SL VJ04

1. Tentukan vektor jawabnya dari persamaan linier berikut.

2 x1 + 4 x2 + 6 x3 = 10

3 x1 - x2 - 5 x3 = 1

2. Tentukan vektor jawabnya dari persamaan linier berikut.

7 x1 + 5 x2 + 2 x3 = 23 x1 + 9 x2 + 3 x3 = 32 x1 + 6 x2 + 2 x3 = 2

JCL VJ05-1 :

Penyelesaian : (matriks segi; DM = 0)

Susun ulang menjadi :

XO =

7 5 23 9 32 6 2

232

(3 x 3)

M y

(3 x 1)(3 x 1)

Persamaan linier :

(Xo umum)

7 x1 + 5 x2 + 2 x3 = 23 x1 + 9 x2 + 3 x3 = 3

2 x1 + 6 x2 + 2 x3 = 2

Tentukan determinan anak-matriksnya

7 5 2

3 9 3

2 6 2

Dalam hal ini ada 4 kemngkinan untuk menentukan determinan-nya (anak-matriks)

Q11 Q12

Q21 Q22Misal yang dipilih anak-matriks

Q12 = 5 29 3

Tentukan kebalikan umum matriks M

q11 q12

q21 q22

KQ = q11 = (-1)2 (3)q21 = (-1)3 (2)

q12 = (-1)3 (9)q22 = (-1)4 (5)

DQ = -3

3 -9

-2 5

KQ =

3 -2

-9 5KQ’ =

3 -2-9 5

-1/3Q-1 = (Q-1)’ = -1 3

2/3 -5/3

(MU)’ = 0 -1 3

0 2/3 -5/3

0 0 0

MU = 0 0 0

-1 2/3 0

3 -5/3 0

Hitung vektor jawabnya

X0 = MU . y = = 0

0

1

0 0 0

-1 2/3 0

3 -5/3 0

2

3

2

JCL VJ05-2 :

Penyelesaian : (algoritma)

Susun ulang menjadi :

XO =

2 4 63 -1 -5

10 1

(2 x 3)

M y

(2 x 1)(3 x 1)

Persamaan linier : 2 x1 + 4 x2 + 6 x3 = 103 x1 - x2 - 5 x3 = 1

(Xo umum)

Tentukan determinan matriksnya

2 4 63 -1 -5

DQ = (2)(-1) – (4)(3)= –14

Q11 = 2 43 -1

Dalam hal ini ada 2 kemngkinan untuk menentukan determinannya (sub-matriks)

(2 x 2)

DQ = (4)(-5) – (4)(-1)= –16

Q12 = 4 4-1 -5

(2 x 2)

Karena kedua determinan sub-matriks Q “tidak sama dengan nol”, maka keduanya dapat gunakan. Berarti akan diperoleh dua Xo.

Misal menggunakan sub-matriks

Q11 = 2 43 -1

Tentukan kebalikan sub-matriksnya

q11 q12

q21 q22

KQ = q11 = (-1)2 (-1)q21 = (-1)3 (4)

q12 = (-1)3 (3)q22 = (-1)4 (2)

-1 -3

-4 2

KQ = -1 -4

-3 2

KQ’ =

-1 -4-3 2

-1/14Q-1 =

(Q-1)’ = 1/14 3/14

4/14 -2/14

(MU)’ = 1/14 3/14 0

4/14 -2/14 0

MU = 1/14 4/14

3/14 -2/14

0 0

X0 = MU . y

1/14 4/14

3/14 -2/14

0 0

10

1

= = 1

2

0

Hitung vektor jawabnya