tugas makalah statistik
Post on 17-Jan-2016
96 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
HUBUNGAN TEORI HIMPUNAN DAN
PROBABILITAS
Disusun untuk melengkapi Tugas Matakuliah Statistik
Disusun Oleh :
Nama : FADHOLI
NIM : 21060113060065
PROGRAM STUDI DIPLOMA III TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS DIPONEGORO
2015
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Himpunan adalah sekumpulan objek yang mempunyai syarat tertentu dan jelas. Objek
yang dimaksud dapat berupa bilangan, manusia, hewan, tumbuhan, negara dan sebagainya.
Objek ini selanjutnya dinamakan anggota atau elemen dari himpunan itu. Syarat tertentu dan
jelas dalam menentukan anggota suatu himpunan ini sangat penting karena untuk
membedakan mana yang menjadi anggota himpunan dan mana yang bukan merupakan
anggota himpunan.
Teori probabilitas untuk ruang sampel berhingga menetapkan suatu himpunan
bilangan yang dinamakan bobot dan bernilai dari 0 sampai 1 sehingga probabilitas terjadinya
suatu kejadian dapat dihitung. Tiap titik pada ruang sampel dikaitkan dengan suatu bobot
sehingga jumlah semua bobot sama dengan 1.
Probabilitas bersyarat dituliskan dengan p( A B ) yang menyatakan probabilitas A
bila diketahui B, dimana A dan B menyatakan kejadian acak. Probabilitas bersyarat dapat
dihitung menggunakan :
Dimana : p (A, B ) adalah probabilitas A dan B
p ( A ) adalah probabilitas A
B. Perumusan Masalah
Dari uraian sepintas diatas yang telah dipaparkan saya dapat menguraikan perumusan
masalah sebagai berikut:
1. Bagaimana Teori Himpunan ?
2. Bagaimana Teori Probabilitas ?
3. Apa Hubungan antara Teori Himpunan dengan Teori Probabilitas ?
4. Bagaimana Probabilitas Bersyarat ?
5. Bagaimana Total Probabilitas ?
6.
BAB II
PEMBAHASAN
1. TEORI HIMPUNAN
Himpunan adalah konsep dasar dari semua cabang matematika. Gerorg Cantor
dianggap sebagai bapak teori himpunan. Himpunan adalah sekumpulan objek yang
mempunyai syarat tertentu dan jelas. Objek yang dimaksud dapat berupa bilangan, manusia,
hewan, tumbuhan, negara dan sebagainya. Objek ini selanjutnya dinamakan anggota atau
elemen dari himpunan itu. Syarat tertentu dan jelas dalam menentukan anggota suatu
himpunan ini sangat penting karena untuk membedakan mana yang menjadi anggota
himpunan dan mana yang bukan merupakan anggota himpunan. Inilah yang kemudian
dinamakan himpunan yang terdefinisi dengan baik (well-defined set).
Contoh :
1. Himpunan semua huruf hidup dari abjad, yaitu a, i, u, e, o
2. Himpunan semua bilangan genap, yaitu 0, 2, 4, 6, …
3. Himpuanan semua bilangan riel x yang memenuhi x2 - 3x – 4 = 0
Penyajian Cara Himpunan
1. Enumerasi
Contoh .
- Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.
- Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8, 10}.
- C = {kucing, a, Amir, 10, paku}
- R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }
- C = {a, {a}, {{a}} }
- K = { {} }
- Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 }
- Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.
Keanggotaan
x A : x merupakan anggota himpunan A;
x A : x bukan merupakan anggota himpunan A.
2. Simbol-simbol Baku
P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... }
N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... }
Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
Q = himpunan bilangan rasional
R = himpunan bilangan riil
C = himpunan bilangan kompleks
Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U.
Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A
= {1, 3, 5}.
3 . Notasi Pembentuk Himpunan
Notasi: { x syarat yang harus dipenuhi oleh x }
Contoh .
(i) A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5
A = { x | x adalah bilangan bulat positif lebih kecil dari 5}
atau
A = { x | x P, x < 5 }
yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}
(ii) M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah IF2151}
4. Diagram Venn
Contoh .
Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.
Diagram Venn:
Kardinalitas
Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A.
Notasi: n(A) atau A
Himpunan Kosong
Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).
Notasi : atau {}
Contoh .
(i) E = { x | x < x }, maka n(E) = 0
(ii) P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0
(iii) A = {x | x adalah akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0 }, n(A) = 0
himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {}
himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {, {}}
{} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu himpunan kosong.
Himpunan Bagian (Subset)
Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap
elemen A merupakan elemen dari B.
Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.
Notasi: A B
Diagram Venn:
TEOREMA 1. Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut:
(a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A A).
(b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ( A).
(c) Jika A B dan B C, maka A C
Himpunan yang Sama
A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap
elemen B merupakan elemen A.
A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika
tidak demikian, maka A B.
Notasi : A = B A B dan B A
Himpunan yang Ekivalen
Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari
kedua himpunan tersebut sama.
Notasi : A ~ B A = B
Contoh
Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka A ~ B sebab A = B = 4
Himpunan Saling Lepas
Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki
elemen yang sama.
Notasi : A // B
Diagram Venn:
Contoh .
Jika A = { x | x P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B.
Himpunan Kuasa
Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya
merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A
sendiri.
Notasi : P(A) atau 2A
Jika A = m, maka P(A) = 2m.
Operasi Terhadap Himpunan
a. Irisan (intersection)
Notasi : A B = { x x A dan x B }
b. Gabungan (union)
Notasi : A B = { x x A atau x B }
Contoh
(i) Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka A B = { 2, 5, 7, 8, 22 }
(ii) A = A
c. Komplemen (complement)
Notasi : A = { x x U, x A }
Contoh .
Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 },
(i) jika A = {1, 3, 7, 9}, maka A = {2, 4, 6, 8}
(ii) jika A = { x | x/2 P, x < 9 }, maka A = { 1, 3, 5, 7, 9 }
d. Selisih (difference)
Notasi : A – B = { x x A dan x B } = A B
Contoh
(i) Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8, 10 }, maka A – B = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B –
A =
(ii) {1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2}
e. Beda Setangkup (Symmetric Difference)
Notasi: A B = (A B) – (A B) = (A – B) (B – A)
Contoh
Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A B = { 3, 4, 5, 6 }
TEOREMA 2. Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut:
(a) A B = B A (hukum komutatif)
(b) (A B ) C = A (B C ) (hukum asosiatif)
f. Perkalian Kartesian (cartesian product)
Notasi: A B = {(a, b) a A dan b B }
Contoh .
(i) Misalkan C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka
C D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }
(ii) Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka
A B = himpunan semua titik di bidang datar
Catatan:
1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: A B = A . B.
2. Pasangan berurutan (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b) (b, a).
3. Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A B B A dengan syarat A atau B tidak
kosong.
Pada Contoh 20(i) di atas, D C = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) } C D.
4. Jika A = atau B = , maka A B = B A =
2. TEORI PROBABILITAS
1. Probabilitas Suatu Kejadian
Teori probabilitas untuk ruang sampel berhingga menetapkan suatu himpunan
bilangan yang dinamakan bobot dan bernilai dari 0 sampai 1 sehingga probabilitas terjadinya
suatu kejadian dapat dihitung. Tiap titik pada ruang sampel dikaitkan dengan suatu bobot
sehingga jumlah semua bobot sama dengan 1.
Definisi II.1
Peluang suatu kejadian A adalah jumlah bobot semua titik sampel yang
termasuk A. Jadi
Contoh II. 1
Bila sebuah mata uang dilantunkan dua kali maka ruang sampelnya adalahS = { MM,
MB, BM, BB }. Bila mata uang yang digunakan setaangkup maka tiap hasil mempunyai
kemungkinan muncul sama. Tiap titik diberi bobot b sehingga 4b = 1 atau b = ¼. Bila A
menyatakan kejadian bahwa paling sedikit satu muka muncul maka P(A) = ¾.
Teorema II.1
Bila suatu percobaan dapat menghasilkan N macam hasil yang berkemungkinan sama
dan bila tepat sebanyak n dari hasil berkaitan dengan kejadian A maka probabilitas kejadian
A adalah P(A) = n/N.
Contoh II.2
Bila satu kartu ditarik dari satu kotak bridge berisi 52 kartu maka akan ditentukan
peluang mendapatkan kartu hati. Banyaknya hasil yang mungkin adalah 52 dan 13
diantaranya adalah kartu hati. Probabilitas kejadian A menarik kartu hati adalah 17 P(A) =
13/52 = ¼.
2. Hukum- Hukum Probabilitas
Jika A dan B dua kejadian sembarang, maka P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Jika A dan B kejadian yang saling terpisah, maka P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Jika A dan A’ adalah kejadian saling berkomplemen, maka P(A’) = 1 – P(A)
3. HUBUNGAN ANTARA TEORI HIMPUNAN DENGAN TEORI PROBABILITAS
Teori probabilitas merupakan cabang matematika yang berhubungan dengan analisis
fenomena acak. Obyek utama dalam kajian adalah peubah acak, kejadian acak, dan proses
stokastik. Dua obyek penting dalam kajian ini adalah hukum bilangan besar (law of large
number) dan teorema limit pusat (central limit theorem).
Teori probabilitas merupakan konsep matematis fundamental dalam kajian statistika.
Sebagai fondasi matematis, teori probabilitas diperlukan dalam berbagai aktivitas yang
melibatkan analisis kuantitatif dari data yang berjumlah besar, termasuk teori himpunan.Jadi
teori himpunan dan teori sangat berhubungan erat satu sama lain.
Metode–metode probabilitas (dalam sistem kompleks) digunakan dalam mekanika
statistis. Hal ini merupakan pendekatan dalam fisika teoritis dalam penyelidikan fenomena
fisis khususnya dalan kajian secara atomik. Kajian khusus dalam fisika teoritis tersebut
disebut dengan mekanika kuantum.
Dasar matematika yang relevan dan berguna untuk tujuan ini adalah teori himpunan
dan teori probabilitas. Jika didefenisikan dalam konteks himpunan, peristiwa-peristiwa dapat
dikombinasikan untuk memperoleh peristiwa lain melalui aturan operasi dari himpunan dan
sub-himpunan; pada dasarnya, ini menyangkut gabungan (union) dan perpotongan
(intersection) dari dua peristiwa atau lebih termasuk komplemen-komplemennya. Dengan
cara serupa, aturan-aturan operasi dari probabilitas menyajikan dasar untuk hubungan-
hubungan deduktif di antara probabilitas-probabilitas dari peristiwa-peristiwa yang berbeda
di dalam ruang probabilitas tertentu; khususnya, ini terdiri dari aturan pertambahan (addition
rule), aturan perkalian,teorema probabilitas total,dan teorema Bayes
4. PROBABILITAS BERSYARAT
Probabilitas bersyarat dituliskan dengan p ( A B ) yang menyatakan probabilitas A
bila diketahui B, dimana A dan B menyatakan kejadian acak. Probabilitas bersyarat dapat
dihitung menggunakan :
Dimana : p (A, B ) adalah probabilitas A dan B
p ( A ) adalah probabilitas A
Contoh 1.
Misalkan ruang sampel S menyatakan orang dewasa yang telah tamat SMA di suatu
kota kecil. Mereka dikelompokkan menurut jenis kelamin dan status pekerjaan sebagai
berikut :
Daerah tersebut akan dijadikan daerah pariwisata daan seseorang akan dipilih secara
acak untuk mempropagandakannya ke seluruh negeri. Misalkan M menyatakan kejadian
lelaki yang terpilih sedangkan kejadian E menyatakan orang yang terpilih dalam status
bekerja.
Bila digunakan ruang sampel E diperoleh P(M | E) = 460/600 = 23/30.Misalkan n(A)
menyatakan jumlah unsur dalam suatu himpunan A. Diperoleh
Dalam hal ini
Contoh 2 :
Bila A menyatakan menyukai sepakbola ,B menyatakan menyukai bola voly
p(A) dan p(B) dinamakan dengan probabilitas marginal
p(A,B) menyatakan probabilitas bersama A dan B, dan dibaca probabilitas A dan B.
Kejadian(A,B) = {(ya,ya), (ya,tidak), (tidak,ya), (tidak,tidak)}
p(A=ya,B=ya) = 0.2
p(A=ya,B=tidak) = 0.5
p(A=tidak,B=ya) = 0.2
p(A=tidak,B=tidak) = 0.1
Probabilitas seseorang menyukai sepakbola bila diketahui dia menyukai bola volley
adalah:
Probabilitas seseorang tidak akan menyukai bola volley bila diketahui dia menyukai
sepakbola adalah:
5. TOTAL PROBABILITAS
Anggap sebuah komponen pada setiap waktu dapat dikategorikan dalam keadaan
bekerja (up) atau sedang diperbaiki (down). Anggap komponen mulai bekerja pada waktu t =
0. Setelah bekerja selama X1 satuan waktu, komponen tersebut gagal dan segera diperbaiki
selama Y1 satuan waktu sehingga komponen tersebut dapat bekerja kembali seperti
komponen yang baru. Setelah bekerja lagi selama waktu X2 komponen gagal lagi dan
diperbaiki kembali selama waktu Y2. Proses ini berlangsung terus menerus dan setiap kali
selesai dilakukan perbaikan komponen dianggap seperti baru lagi. Barisan (Xi; Yi; i ¸ 1) akan
dianggap sebagai barisan vektor acak positif dan berdistribusi independen dan identik.
Untuk menunjukkan apakah komponen bekerja atau tidak, didefinisikan variabel
indikator Z, sebagai berikut:
Jika Z (t) menyatakan komponen bekerja atau gagal pada waktu t, maka total waktu bekerja
sistem pada interval waktu [0; t] diberikan :
Total waktu perbaikan D(t) didefinisikan sebagai berikut:
Dalam skripsi ini akan digunakan notasi untuk fungsi-fungsi distribusi kumulatif sebagai
berikut:
BAB III
PENUTUP
A. KESIMPULAN
Himpunan adalah sekumpulan objek yang mempunyai syarat tertentu dan
jelas. Objek yang dimaksud dapat berupa bilangan, manusia, hewan, tumbuhan,
negara dan sebagainya. Objek ini selanjutnya dinamakan anggota atau elemen dari
himpunan itu.
Teori probabilitas untuk ruang sampel berhingga menetapkan suatu himpunan
bilangan yang dinamakan bobot dan bernilai dari 0 sampai 1 sehingga probabilitas
terjadinya suatu kejadian dapat dihitung. Tiap titik pada ruang sampel dikaitkan
dengan suatu bobot sehingga jumlah semua bobot sama dengan 1.
Teori probabilitas merupakan konsep matematis fundamental dalam kajian
statistika. Sebagai fondasi matematis, teori probabilitas diperlukan dalam berbagai
aktivitas yang melibatkan analisis kuantitatif dari data yang berjumlah besar,
termasuk teori himpunan.Jadi teori himpunan dan teori sangat berhubungan erat satu
sama lain.
Probabilitas bersyarat dituliskan dengan p ( A B ) yang menyatakan
probabilitas A bila diketahui B, dimana A dan B menyatakan kejadian acak.
Probabilitas bersyarat dapat dihitung menggunakan :
Dimana : p (A, B ) adalah probabilitas A dan B
p ( A ) adalah probabilitas A
Statistik pada dasarnya merupakan alat Bantu untuk memberi gambaran atas
suatu kejadian melalui bentuk yang sederhana baik berupa angka maupun gambar
(grafik). Sedangkan statistika merupakan proses pengumpulan informasi,, pengolahan
informasi dan proses penarikan kesimpulan.
Di antara kegunaan Statistik sebagai ilmu pengetahuan adalah: (a) Untuk
menggambarkan keadaan, baik secara umum amupun secara khusus; (b) Untuk
memperoleh gambaran tentang perkembangan (pasang-surut) dari waktu ke waktu; (c)
Untuk mengetahui permandingan (membandingkan) antara gejala yang satu dengan
gejala yang lain; (dalam) Untuk menilai keadaan dengan jalan menguji perbedaan
antara gejala yang satu dengan gejala yang lain; (e) Untuk menilai keadaan dengan
jalan mencari hubungan antara gejala yang satu dengan gejala yang lain;
Oxford Dictionary (1993) menakrifkan proses stokastik sebagai suatu barisan
kejadian yang memenuhi hukum-hukum peluang. Dengan demikian, jika pengalaman
yang lalu hanya dapat menyajikan struktur peluang keadaan yang akan datang, maka
barisan kejadian itu disebut stokastik.
Berdasarkan jenis ruang parameter dan ruang keadaannya, proses-proses stokastik
dapat dibedakan menjadi:
1. Proses stokastik dengan ruang parameter tercacah dan ruang keadaan tercacah
2. Proses stokastik dengan ruang parameter malar dan ruang keadaan tercacah
3. Proses stokastik dengan ruang parameter tercacah dan ruang keadaan malar
4. Proses stokastik dengan ruang parameter malar dan ruang keadaan malar
Berdasarkan kaitan antara peubah-peubah acak yang membentuknya, proses
stokastik dapat dibedakan menjadi beberapa kelas seperti proses Levy, proses
Bernoulli, proses Markov, proses martinggil, dan proses titik (point process).
DAFTAR PUSTAKA
Teori Himpunan, kur2003.if.itb.ac.id/
Bab 4 Himpun, 202.91.15.14/ MATEMATIKA 1 Pengantar Teori Himpunan,
didi.staff.gunadarma.ac.id/
TEORI PROBABILITAS, sainsmat.uksw.edu/
Matematika, staff.ui.ac.id/
http://books.google.co.id/books/about/So_Statistik_Ed_3.html?id=TaqK12UuJkIC
Agus Irianto, Prof, DR, Statistik: Konsep Dasar dan Aplikasinya, Prenada Media, Jakarta,
2004.
Gonick, Larry and Smith, Woolcott, Kartun Statistik, Kepustakaan Populer Gramedia,
Jakarta, 2002.
J. Supranto, Pengantar Metode Statistik, Edisi VI, Penerbit Airlangga, Jakarta, 2003.
Noegroho Boedijoewono, Drs, Pengantar Statistik Ekonomi dan Perusahaan, Jilid 1 dan 2,
UPP AMP YKPN, Jogjakarta, 2000.
top related