MAKALAH

STATISTIKA MATEMATIKA II

“ VARIABEL RANDOM ”

Disusun Oleh :

Kelompok 1 (Satu)

ADE MAULINA PANJAITAN (4131230001)

AMI RIANA (4132230001)

DESI RATNA SARI (4132230003)

IRMA FAUJIAH JANNAH (4133230019)

NILA AULIA (4133230028)

RIA RAHADI NASUTION (4132230007)

RIA RAHMADITA SURBAKTI (4131230008)

ROSMIATI (4132230009)

TEUKU ZULFAH FITRIANI (4132230013)

TIKA RAMADHANI (4132230012)

WIDYASTIKA (4131230010)

UNIVERSITAS NEGERI MEDAN

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

T.A 2015/2016

Page 1

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas berkat dan

rahmat-Nya sehingga kami dapat menyusun makalah “VARIABEL RANDOM”.

Kami ucapkan terima kasih kepada dosen pengampu mata kuliah STATISTIKA

MATEMATIKA II yang telah menuntun kami untuk menyelesaikan makalah ini.

Terakhir kami ucapkan terimakasih kepada teman – teman dan semua pihak yang

telah membantu dalam diskusi untuk menyelesaikan makalah ini. Kami berharap

makalah ini dapat membantu dalam menyelesaikan tugas ataupun pekerjaan yang

kita lakukan.

Medan, Maret 2015

Kelompok 1

Page 2

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ......................................................................................... 1

DAFTAR ISI ...................................................................................................... 2

BAB I PENDAHULUAN .................................................................................... 3

A. Latar Belakang .......................................................................................... 3

B. Rumusan Masalah ..................................................................................... 4

C. Tujuan ....................................................................................................... 4

BAB II PEMBAHASAN ..................................................................................... 5

1. Variabel Random ...................................................................................... 5

2. Fungsi Peluang .......................................................................................... 6

3. Fungsi Padat Peluang (pdf) ........................................................................ 6

4. Fungsi Distributif Kumulatif (CDF) .......................................................... 7

5. Variabel Acak Kontinu .............................................................................. 8

6. Nilai Harapan ............................................................................................ 9

7. Momen .................................................................................................... 11

8. Varian ..................................................................................................... 11

9. Fungsi Pembangkit Momen (MGF) ......................................................... 11

10. Fungsi Pembangkit Momen Faktorial ................................................... 12

BAB II PENUTUP............................................................................................. 14

1. Kesimpulan ............................................................................................. 14

2. Saran ....................................................................................................... 14

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 15

Page 3

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Untuk menggambarkan hasil-hasil percobaan sebagai nilai-nilai numerik

secara sederhana, kita menggunakan apa yang disebut sebagai variabel acak. Jadi

variabel acak dapat didefinisikan sebagai deskripsi numerik dari hasil percobaan.

Variabel acak biasanya menghubungkan nilai-nilai numerik dengan setiap

kemungkinan hasil percobaan. Karena nilai-nilai numerik tersebut dapat bersifat

diskrit(hasil perhitungan) dan bersifat kontinu(hasil pengukuran) maka variabel

acak dapat dikelompokkan menjadi variabel acak diskrit dan variabel acak

kontinu.

Varibel acak diskrit adalah variabel acak yang tidak mengambil seluruh

nilai yang ada dalam sebuah interval atau variabel yang hanya memiliki nilai

tertentu. Nilainya merupakan bilangan bulat dan asli, tidak berbentuk pecahan.

Variabel acak diskrit jika digambarkan pada sebuah garis interval, akan berupa

sederetan titik-titik yang terpisah.

Contoh :

Banyaknya pemunculan sisi muka atau angka dalam pelemparan sebuah

koin (uang logam).

Jumlah anak dalam sebuah keluarga.

Varibel acak kontinu adalah variabel acak yang mengambil seluruh nilai

yang ada dalam sebuah interval atau variabel yang dapat memiliki nilai-nilai pada

suatu interval tertentu. Nilainya dapat merupakan bilangan bulat maupun pecahan.

Varibel acak kontinu jika digambarkan pada sebuah garis interval, akan berupa

sederetan titik yang bersambung membantuk suatu garis lurus.

Page 4

Contoh :

Usia penduduk suatu daerah.

Panjang beberpa helai kain.

B. Rumusan Masalah

Adapun rumusan masalah yang akan dibahas dalam makalah ini adalah

sebagai berikut:

1. Bagaimana cara mencari nilai fungsi peluang, pdf, CDF, nilai ekspektasi,

Momen, Variansi, dan MGF?

2. Bagaimana cara membedakan variable random diskrit dan kontinu?

C. Tujuan

Adapun tujuan dari penulisan makalah ini antara lain :

1. Dapat membedakan antara variable random diskrit dan kontinu

2. Dapat mengidentifikasi fungsi peluang, pdf, CDF, dll.

3. Dapat menentukan nilai ekspektasi dari suatu variable random dengan

distribusinya.

4. Dapat menentuka variansi dari suatu variable random dengan

distribusinya.

Page 5

BAB II

PEMBAHASAN

1. Variabel Random

Variabel random adalah sebuah fungsi dengan domain kecil hasil

pengamatan dan kodomainnya merupakan himpunan bilangan real. Variabel

random disimbolkan dengan huruf kapital ( X, Y, Z, dll ). Contoh :

a) Sebuah koin dilemparkan tiga kali, maka ruang sampelnya adalah :

S = { AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}

b) Misalkan X merupakan variabel random yang menyatakan banyaknya

angka yang muncul, Y adalah variabel random yang menyatakan

banyaknya gambar yang muncul, maka apa hubungan antara X dan Y?

Jawab :

Page 6

Keterangan :

Karena 𝑃 𝑋 = 𝑃(𝑌), dan 𝑋 ≠ 𝑌, maka X dan Y merupakan variabel acak identik.

Selain itu, karena 𝑃 𝑋 ∩ 𝑌 = 𝑃 𝑋 𝑌 ⟺ 𝑋, 𝑌 independent. Macam-macam

variabel acak :

a. Variabel Acak Diskrit (Countable)

b. Variabel Acak Continue (Measurable)

2. Fungsi Peluang

Fungsi f(x) adalah fungsi peluang dari suatu variable random diskrit X, jika untuk

setiap nilai x, berlaku

a. 𝑓 𝑥 = 0

b. 𝑓(𝑥)𝑥 = 1

Contoh :

Fungsi f yang didefenisikan oleh

𝑓 𝑥 =

𝑥

7, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 = 1,2,4

0,𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑥 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑙𝑎𝑖𝑛

Disebut fungsi peluang sebab:

𝑓 𝑥 = 0, untuk x=1,2 maupun x=4

𝑓(𝑥)𝑥 = 𝑥

7=

1

7+

2

7+

4

7= 1𝑥=1,2,4

3. Fungsi Padat Peluang (pdf)

Jika ruang sampel dari variabel random X countable, maka variabel

random X dinamakan variabel random diskrit. Suatu fungsi dengan domain

variabel acak diskrit dinamakan fungsi densitas probabilitas diskrit. Disingkat

dengan pdf diskrit atau dinamakan fungsi masa probabilitas.

Teorema :

Suatu fungsi f (x) adalah pdf diskrit jika hanya jika memenuhi sifat:

a. 𝑓(𝑥) ≥ 0, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑅

b. 𝑓 𝑥 𝑑𝑥∞

−∞= 1

Page 7

Contoh :

Fungsi f yang didefenisikan oleh

𝑓 𝑥 = 𝑒−𝑥 , 𝑥 ≥ 0

0,𝑥 < 0

Adalah fungsi padatpeluang, sebab:

𝑓(𝑥) ≥ 0,∀𝑥 ≥ 0

𝑓 𝑥 𝑑𝑥∞

0= 𝑒−𝑥𝑑𝑥

∞

0= 1

4. Fungsi Distributif Kumulatif (CDF)

CDF dari variabel acak X didefinisikan untuk sebarang bilangan real x berlaku :

𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 = 𝐹𝑥(𝑥)

= 𝑃 𝑋 > 𝑥 = 1 − 𝐹(𝑥)

Teorema :

Misal X variabel acak diskrit dengan pdf = f(x) dan CDF = F(x). Jika nilai-nilai

dari variable acak X yang mungkin adalah berurutan naik, maka :

𝑥1 < 𝑥2 < 𝑥3 < ⋯

𝑓(𝑥1) = 𝐹(𝑥1) dan ∀𝑗 , 𝑗 > 1, berlaku 𝑓 𝑥𝑗 = 𝐹 𝑥𝑗 − 𝐹(𝑥𝑗−1)

Sedangkan untuk 𝑥 < 𝑥𝑖 , maka 𝐹 𝑥 = 0

Sehingga 𝐹 𝑋 = 𝑓(𝑥𝑗 )𝑥𝑗<𝑥

Sifat-sifat CDF :

a. lim𝑋→∞ 𝐹 𝑥 = 1

b. lim𝑋→−∞ 𝐹 𝑥 = 0

c. lim𝑕→0+ 𝐹 𝑥 + 𝑕 = 𝐹(𝑥)

d. 𝑎 ≤ 𝑏 ⇒ 𝐹(𝑎) ≤ 𝐹(𝑏)

Contoh :

Dari contoh pelemparan koin diatas (sebuah koin yang dilemparkan tiga kali),

bentuklah fungsi distribusinya!

Jawab :

Page 8

5. Variabel Acak Kontinu

Suatu variabel acak X disebut variabel acak kontinu jika terdapat pdf f(x),

sedemikian hingga CDF-nya dapat dinyatakan sebagai :

𝐶𝐷𝐹 → 𝐹 𝑥 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡𝑥

−∞

𝑝𝑑𝑓 → 𝑓 𝑥 =𝑑

𝑑𝑥𝐹(𝑥)

Secara khusus, jika X variable acak kontinu, maka :

a. 𝑃 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 = 𝑃 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏 = 𝑃 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏 = 𝑃(𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏)

b. 𝑃 𝑥 = 𝑘 = 0, dengan k = konstanta

c. 𝑃 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

Teorema:

Suatu fungsi 𝑓(𝑥) adalah pdf untuk beberapa variable acak kontinu X, jika

memenuhi :

a. 𝑓 𝑥 ≥ 0,∀ 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑋.

b. 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1∞

−∞

Contoh :

Page 9

Jika X merupakan variable acak kontinu dengan pdf 𝑓 𝑥 = 𝑐(1 + 𝑥)−3 , 𝑥 > 0

0, 𝑥 ≤ 0

Tentukan CDF nya!

Jawab :

𝑐 1 + 𝑥 −3 𝑑𝑥

∞

−∞

= 1

𝑐1

−2 1 + 𝑥 −2

∞

0= 1

𝑐 = 2

Maka, CDF nya adalah :

𝐹 𝑥 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 2(1 + 𝑡)−3𝑑𝑡

𝑥

−∞

𝑥

−∞

𝐹 𝑥 = 1 − (1 + 𝑥)−2 ,𝑥 > 0

0,𝑥 ≤ 0

6. Nilai Harapan

Apabila X adalah variable acak diskrit dengan pdf f(x), maka Nilai Harapan dari

X didefenisikan sebagai :

𝐸 𝑥 = 𝑥𝑓(𝑥)

𝑛

𝑋=1

𝐸 𝑥 = 𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥

∞

−∞

Contoh :

Dari contohpelemparan koin diatas (sebuah koin yang dilempar 3 kali), didapat

𝐸 𝑥 =3

2∙ 𝐸 𝑥 = 3 ∙

1

8+ 2 ∙

3

8+ 1 ∙

3

8+ 0 ∙

1

8=

3

2

Jika X variable acak kontinu dengan pdf f(x), maka Nilai Harapan 𝜇 = 𝐸 𝑥 =

𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥∞

−∞

Page 10

Contoh :

Dari cntoh diatas (jika X merupakan variable acak kontinu), maka :

𝐸 𝑥 = 𝑥 ∙ 0 ∙ 𝑑𝑥

∞

−∞

+ 𝑥 ∙ 2(1 + 𝑥)−3𝑑𝑥

∞

0

= 1

Sifat-sifat umum nilai harapan

Teorema :

Jika X variable random dengan pdf f(x) dan u(x) merupakan fungsi bernilai real

dari variable random X, maka :

𝐸 𝑢 𝑥 = 𝑢 𝑥 𝑓 𝑥 , 𝑋 𝑉𝐴𝐷

𝑅

𝐸 𝑢 𝑥 = 𝑢 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥, 𝑋 𝑉𝐴𝐾

𝑅

Jika X variabel random dengan pdf f(x), a, b suatu konstanta dan g(x), h(x) suatu

fungsi bernilai real dari variabel x, maka :

𝐸 𝑎 ∙ 𝑔 𝑥 + 𝑏𝑕 𝑥 = 𝑎𝐸 𝑔 𝑥 + 𝑏𝐸(𝑕 𝑥 )

Bukti :

Misalkan V variable acak kontinu, maka :

𝐸 𝑎 ∙ 𝑔 𝑥 + 𝑏𝑕 𝑥 = 𝑎 ∙ 𝑔 𝑥 + 𝑏𝑕 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑅

= 𝑎 ∙ 𝑔 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑅

+ 𝑏𝑕 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑅

= 𝑎 𝑔 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑅

+ 𝑏 𝑕 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑅

= 𝑎𝐸 𝑔 𝑥 + 𝑏𝐸(𝑕 𝑥 )

Secara khusus,

𝐸 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑎𝐸 𝑥 + 𝐸(𝑏)

𝐸 𝑏 = 𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑅

= 𝐸 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑅

= 1

Page 11

7. Momen

Momen ke k disekitar a dari variable random X didefenisikan oleh :

𝜇𝑘 = 𝐸[ 𝑋 − 𝑎 𝑘]

=

𝑥 − 𝑎 𝑘 .𝑓 𝑥 𝑑𝑥,

∞

−∞

𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑋𝑘𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢

𝑥 − 𝑎 𝑘 . 𝑓 𝑥 , 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑋 𝑑𝑖𝑠𝑘𝑟𝑖𝑡

𝑥

Berdasarkan defenisi momen diatas berarti momen ke k disekitar 0 khusus untuk

k=1 adalah 𝜇 = 𝐸(𝑋) yang disebut juga mean dari variable random X atau

disingkat dengan mean X.

8. Varian

Varian dari variable acak X didefenisikan sebagai 𝑉𝑎𝑟 𝑥 = 𝑉 𝑥 =

𝜎2𝑥 = 𝐸(𝑥 − 𝐸 𝑥 )2, 𝜎 > 0, dengan 𝐸 𝑥 = 𝜇

Atau 𝑉𝑎𝑟 𝑥 = 𝑥 − 𝜇 2𝑓 𝑥 , variabel acak diskrit

Atau 𝑉𝑎𝑟 𝑥 = 𝑥 − 𝛽 2𝑓 𝑥 𝑑𝑥,

𝑅 variabel acak kontinu

Teorema :

Jika X variable acak kontinu, maka 𝑣 𝑥 = 𝐸 𝑥2 − 𝜇2

Bukti :

𝑉 𝑥 = 𝑥 − 𝜇 2𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑅

= 𝐸 𝑥2 − 𝜇2

= 𝐸 𝑥2 − 2𝑥𝜇 + 𝜇 2

= 𝐸 𝑥2 − 2𝜇𝐸 𝑥 + 𝐸(𝜇2)

= 𝐸(𝑥)2 − 2𝜇 ∙ 𝜇 + 𝜇2

𝑉 𝑥 = 𝐸(𝑥)2 − 𝜇2

9. Fungsi Pembangkit Momen (MGF)

Fungsi pembangkit momen sering disingkat dengan MGF (Moment Generating

Function). MGF dari variable random X, notasinya 𝑀𝑥(𝑡) dan didefenisikan oleh :

Page 12

𝑀𝑥 𝑡 = 𝐸(𝑒𝑡𝑋)

=

𝑒𝑡𝑋 . 𝑓 𝑥 𝑑𝑥,

∞

−∞

𝑋 𝑘𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢

𝑒𝑡𝑋 . 𝑓 𝑥 ,

𝑥

𝑋 𝑑𝑖𝑠𝑘𝑟𝑖𝑡

Contoh :

Jika X suatu variable random dengan pdf 𝑓 𝑥 = 𝑒 − 𝑥;𝑥 > 0, maka MGF X

adalah :

𝑀𝑥 𝑡 = 𝐸(𝑒𝑡𝑋 )

= 𝑒𝑡𝑋

∞

0

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑡𝑋 𝑒−𝑥𝑑𝑥

∞

0

= 𝑒 𝑡−1 𝑥𝑑𝑥

∞

0

= 1

𝑡 − 1𝑒 𝑡−1 𝑥

∞

0

= 1

𝑡 − 1𝑒− 1−𝑡 𝑥

∞

0

=1

𝑡 − 1(0 − 1)

= (1 − 𝑡)−1

10. Fungsi Pembangkit Momen Faktorial

Fungsi pembangkit momen factorial sering disingkat dengan FMGF (Faktorial

Momen Generating Function). FMGF dari variable random X, notasinya 𝐺𝑥(𝑡) dan

didefenisikan oleh :

𝐺𝑥 𝑡 = 𝐸[𝑡𝑥 ]

=

𝑡𝑥 .𝑓 𝑥 𝑑𝑥,

∞

−∞

𝑋 𝑘𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢

𝑡𝑥 . 𝑓 𝑥 ,

𝑥

𝑋 𝑑𝑖𝑠𝑘𝑟𝑖𝑡

Page 13

Hubungan antara MGF dengan FMGF adalah

𝐺𝑥 𝑡 = 𝐸(𝑡𝑥)

= 𝐸(𝑒ln 𝑡𝑥 )

= 𝐸(𝑒𝑥 ln 𝑡)

= 𝑀𝑥(ln 𝑡)

Page 14

BAB II

PENUTUP

1. Kesimpulan

Variabel acak adalah deskripsi numerik dari hasil percobaan. Variabel acak

biasanya menghubungkan nilai-nilai numerik dengan setiap kemungkinan hasil

percobaan. Variabel acak dapat dikelompokkan menjadi dua yaitu variabel acak

diskrit dan variabel acak kontinu. Varibel acak diskrit adalah variabel acak yang

tidak mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval atau variabel yang

hanya memiliki nilai tertentu. Varibel acak kontinu adalah variabel acak yang

mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval atau variabel yang dapat

memiliki nilai-nilai pada suatu interval tertentu. Di dalam variabel acak terdapat

fungsi padat peluang (PDF), fungsi distribusi kumulatif (CDF), fungsi pembangkit

momen (MGF), variansi, ekspektasi dan nilai harapan.

2. Saran

Penulis menyadari tentang penyusunan makalah, tentu masih banyak

kesalahan dan kekurangannya, karena terbatasnya pengetahuan dan kurangnya

rujukan atau referensi yang ada hubungannya dengan judul makalah ini. Penulis

banyak berharap para pembaca yang budiman sudi kiranya memberikan kritik dan

saran yang membangun kepada penulis demi sempurnanya makalah ini dan

penulisan makalah di kesempatan-kesempatan berikutnya. Semoga makalah ini

berguna bagi penulis pada khususnya juga para pembaca yang budiman pada

umumnya.

Page 15

DAFTAR PUSTAKA

Amry, Zul.2011.Statistika Matematika.Medan: UNIMED PRESS

Defila, Februl.2012.Statistika Matematika I.Sumatera Barat: STKIP PGRI

http://dedenstatistics.blogspot.com/2012/12/variabel-acak-random-variable.html

diakses pada 1 Juni 2015