teori group
Post on 11-Apr-2017
389 Views
Preview:
TRANSCRIPT
1
Struktur Aljabar I
TEORI GRUP
MUH. ALFIANSYAH
Email: muhalfiansyah95@yahoo.com
PENDIDIKAN MATEMATIKA
UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR
2
GRUP
1. Buktikan unsur identitas suatu grup adalah tunggal.
Bukti:
Misalkan G adalah grup
Misalkan ð1 dan ð2 adalah unsur identitas di G
Akan dibuktikan ð1 = ð2
Perhatikan bahwa:
ð1 adalah unsur identitas di G dan ð2 â G â ð1ð2 = ð2ð1 = ð2 ⊠(i)
ð2 adalah unsur identitas di G dan ð1 â G â ð2ð1 = ð1ð2 = ð1 âŠ(ii)
Dari (i) dan (ii) diperoleh ð1 = ð2ð1 = ð1ð2 = ð2 .
⎠ð1 = ð2 , dengan demikian unsur identitas suatu grup adalah tunggal. â
Struktur Pembuktian Grup
Misalkan G adalah suatu himpunan
(i) Buktikan G â â .
(ii) Buktikan G bersifat tertutup terhadap operasi biner *.
(iii) Buktikan G bersifat assosiatif terhadap operasi biner *.
(iv) Buktikan G memiliki unsur identitas terhada operasi biner *.
(v) Buktikan G memiliki unsur invers terhada operasi biner *.
Catatan
Jika (i) & (ii) terpenuhi maka disebut Grupoid.
Jika (i), (ii) & (iii) terpenuhi maka disebut Semigrup.
Jika (i), (ii), (iii) & (iv) terpenuhi maka disebut Monoid.
3
2. Buktikan unsur invers suatu grup adalah tunggal.
Bukti:
Misalkan G adalah grup, dan e â G [e=identitas]
Ambil sebarang a â G
Misalkan ð1 dan ð2 invers dari a
Akan dibuktikan ð1 = ð2
Perhatikan bahwa:
ð1 adalah invers dari a â ð1ð = ðð1 = ð [e=identitas] ⊠(i)
ð2 adalah invers dari a â ð2ð = ðð2 = ð [e=identitas] ⊠(ii)
dari (ii) diperoleh ðð2 = ð âð1 ðð2 = ð1 ⊠iii
dari (i) diperoleh ð1ð = ð â (ð1ð)ð2 = ð2 ⊠iv
Karena diketahui G grup maka jelas G memenuhi sifat assosiatif sehingga
dari (iii) dan (iv) diperoleh bahwa:
ð1 = ð1 ðð2 = (ð1ð)ð2 = ð2
⎠ð1 = ð2, dengan demikian unsur invers suatu grup adalah tunggal. â
3. Buktikan invers dari invers suatu anggota dalam grup adalah anggota itu
sendiri.
Bukti:
Misalkan G grup
Ambil sebarang a â G dan â e â G [e=identitas]
Misalkan ðâ1 adalah invers dari a â akan dibuktikan (ðâ1)â1
Perhatikan bahwa:
ðâ1 adalah invers dari a â ðâ1ð = ðâ1ð = ð
Pandang ðâ1ð = ð
ðâ1ð = ð
(ðâ1)â1(ðâ1ð) = (ðâ1)â1ð [Kedua ruas dikalikan (ðâ1)â1]
4
[(ðâ1)â1(ðâ1)]ð = (ðâ1)â1 [hukum assosiatif]
ðð = (ðâ1)â1 [ (ðâ1)â1(ðâ1) = ð]
ð = (ðâ1)â1 [ðð = ð]
Pandang ððâ1 = ð
ððâ1 = ð
(ðâ1ð) (ðâ1)â1 = ð (ðâ1)â1 [Kedua ruas dikalikan (ðâ1)â1]
ð ðâ1 ðâ1 â1 = (ðâ1)â1 [hukum assosiatif]
ðð = (ðâ1)â1 [ (ðâ1)(ðâ1)â1 = ð]
ð = (ðâ1)â1 [ðð = ð]
⎠Jadi, terbukti bahwa (ðâ1)â1 = ð. â
4. Buktikan bahwa setiap grup memenuhi hukum pencoretan.
Bukti:
Misalkan G grup
Ambil sebarang ð, ð, ð â G
Akan dibuktikan
(i) ðð = ðð â ð = ð [Pencoretan kiri]
(ii) ðð = ðð â ð = ð [Pencoretan kanan]
Akan ditunjukkan bagian (i) pandang ðð = ðð
ð â ðº Ë ðº ððð¢ð â â ðâ1 â ðº
ðð = ðð
ðâ1(ðð) = ðâ1(ðð) [Kedua ruas dikalikan ðâ1]
(ðâ1ð)ð = (ðâ1ð)ð [hukum assosiatif]
ðð = ðð [ (ðâ1)ð = ð]
ð = ð [e=identitas]
5
Akan ditunjukkan bagian (ii) pandang ðð = ðð
ð â ðº Ë ðº ððð¢ð â â ðâ1 â ðº
ðð = ðð
(ðð)ðâ1 = (ðð)ðâ1 [Kedua ruas dikalikan ðâ1]
ð(ððâ1) = ð(ððâ1) [hukum assosiatif]
ðð = ðð [ (ðâ1)ð = ð]
ð = ð [e=identitas]
⎠karena i dan ii terbukti Jadi, G memenuhi hukum pencoretan. â
5. Jika G adalah grup dan âð, ð â ðº, â (ð. ð)â1 = ðâ1ðâ1 .
Bukti:
Misalkan G adalah grup
Ambil sebarang ð, ð â ðº
Karena G grup â â ð â ðº [e=identitas]
Akan dibuktikan (ð. ð)â1 = ðâ1.ðâ1
Hal ini ekuivalen jika ditunjukkan
ðð (ðâ1ðâ1) = (ðâ1ðâ1) ðð = ð
pandang ðð (ðâ1ðâ1) = ð
ðð (ðâ1ðâ1) = [ ðð (ðâ1)] ðâ1 [assosiatif]
= [ð(ððâ1)] ðâ1 [assosiatif]
= (ae) ðâ1 [ððâ1 = ð]
= ððâ1 [ðð = ð]
= ð [ððâ1 = ð]
6
pandang (ðâ1ðâ1) ðð = ð
ðð (ðâ1ðâ1) = [(ðâ1 ðâ1)ð]ð [assosiatif]
= [ðâ1(ðâ1ð)]ð [assosiatif]
= (ðâ1ð)ð [ððâ1 = ð]
= ððâ1 [ðâ1ð = ðâ1]
= ð [ððâ1 = ð]
⎠Jadi, terbukti bahwa ðð (ðâ1ðâ1) = (ðâ1ðâ1) ðð = ð, ini berarti bahwa
(ð. ð)â1 = ðâ1. ðâ1. â
6. G = himpunan bilangan bulat, ð â ð = ð â ð âð, ð â ðº, Periksa apakah G
membentuk grup?
Bukti:
(i) Tidak Kosong
G â â sebab â 2 â G ⊠(terpenuhi)
(ii) Sifat tertutup
â ð, ð,â ðº berlaku ð â ð â ðº
Ambil sebarang ð, ð â ðº maka berlaku ð â ð â ðº ⊠(terpenuhi)
(iii) Sifat Assosiatif
âð, ð, ð â ðº berlaku ð â ð â ð = ð â ð â ð
Ambil sebarang ð, ð, ð â ðº
Perhatikan bahwa:
ð â ð â ð = ð â ð â ð
=
ð â ð â ð ⊠(i)
ð â ð â ð = ð â ð â ð
= ð â (ð + ð) ⊠(ii)
Dari (i) dan (ii) diperoleh ð â ð â ð â ð â ð â ð
Akibatnya G tidak memenuhi sifat assosiatif
⎠jadi, G = himpunan bilangan bulat, ð â ð = ð â ð âð, ð â ðº bukan Grup. â
7
7. G=himpunan bilangan bulat, ð â ð = ð + ð + ðð, â ð, ð â ðº Periksa apakah
G membentuk grup?
Bukti:
(i) Tidak Kosong
G â â sebab â 2 â G ⊠(terpenuhi)
(ii) Sifat tertutup
â ð, ð,â ðº berlaku ð â ð â ðº
Ambil sebarang ð, ð â ðº maka berlaku (ð + ð + ðð ) â ðº ⊠(terpenuhi)
(iii) Sfat Assosiatif,
âð, ð, ð â ðº berlaku ð â ð â ð = ð â ð â ð
Ambil sebarang ð, ð, ð â ðº
Perhatikan bahwa:
ð â ð â ð = ð â ð + ð + ðð
= ð + ð + ð + ðð + ð(ð + ð + ðð)
= ð + ð + ð + ðð + ðð + ðð + ððð
= ð + ð + ðð + ð + ðð + ðð + ððð
= ð + ð + ðð + ð + ð + ð + ðð ð
= ð + ð + ðð â ð
= ð â ð â ð ⊠(terpenuhi)
(iv) Unsur Identitas
âð â ðº âð â ðº â ð â ð = ð â ð = ð
Perhatikan bahwa:
ð â ð = ð â ð = ð
ð + ð + ðð = ð + ð + ðð = ð
ð 1 + ð = ð 1 + ð = ð â ð
ð 1 + ð = ð 1 + ð = 0
ð = 0
Sehingga ð = 0 â ðº [e=identitas] ⊠(terpenuhi)
8
(v) Unsur Invers
âð â ðº âðâ1 â ðº â ðâ1 â ð = ð â ðâ1 = ð
perhatikan bahwa:
ð â ð = ð â ð = 0
ð + ð + ðð = ð + ð + ðð = 0
ð 1 + ð = ð 1 + ð = âð
ð = âð
1+ð â G ⊠(tidak memiliki unsur invers)
⎠jadi, G=himpunan bilangan bulat, ð â ð = ð + ð + ðð, â ð, ð â ðº bukan
Grup. â
8. G = himpunan bilangan bulat tak negatif, ð â ð = ð + ð âð, ð â ðº Periksa
apakah G membentuk grup?
Bukti:
(i) Tidak Kosong
G â â sebab â 2 â G ⊠(terpenuhi)
(ii) Sifat tertutup
â ð, ð,â ðº berlaku ð â ð â ðº
Ambil sebarang ð, ð â ðº maka berlaku ð + ð â ðº ⊠(terpenuhi)
(iii) Sfat Assosiatif,
âð, ð, ð â ðº berlaku ð â ð â ð = ð â ð â ð
Ambil sebarang ð, ð, ð â ðº
Perhatikan bahwa:
ð â ð â ð = ð â ð + ð
= ð + ð + ð
= ð + ð + ð
= ð + ð â ð
= ð â ð â ð ⊠(terpenuhi)
9
(iv) Unsur Identitas
âð â ðº âð â ðº â ð â ð = ð â ð = ð
Perhatikan bahwa:
ð â ð = ð â ð = ð
ð + ð = ð + ð = ð
ð = 0
Sehingga ð = 0 â ðº [e=identitas] ⊠(terpenuhi)
(v) Unsur Invers
âð â ðº âðâ1 â ðº â ðâ1 â ð = ð â ðâ1 = ð
perhatikan bahwa:
ð â ð = ð â ð = 0
ð + ð = ð + ð = 0
ð = âð â G ⊠(tidak memiliki unsur invers)
⎠jadi, G = himpunan bilangan bulat tak negatif, ð â ð = ð + ð âð, ð â ðº
bukan Grup. â
9. G=himpunan bilangan rasional â 1, ð â ð = ð + ð + ðð âð, ð â ðº Periksa
apakah G membentuk grup? (Soal Quis I)
Bukti:
(i) Tidak Kosong
G â â sebab â 2 â G ⊠(terpenuhi)
(ii) Sifat tertutup
â ð, ð,â ðº berlaku ð â ð â ðº
Ambil sebarang 2 â ðº maka
Perhatikan bahwa:
2+b+2b=1
b(1+2)=-1
b= â1
3
10
perhatikan kembali
jika a=2 dan b=â1
3 maka diperoleh
a+b+ab=2â 1
3 +(2)(â
1
3)
=2â1
3â
2
3
=2-(1
3+
2
3)
=2 - (3
3)
=2-1
=1â G ⊠(tidak memenuhi sifat tertutup)
⎠jadi, G=himpunan bilangan rasional â 1, ð â ð = ð + ð + ðð âð, ð â ðº
bukan Grup. â
10. Jika (G,*) grup komutatif, buktikan ð â ð ð = ðððð , âð â ð, (Z himpunan
bilangan bulat).
Bukti
Misalkan (G,*) grup komutatif
Akan dibuktikan ðð ð = ðððð , âð â ð+, ditinjau dalam tiga kasus yakni:
(1) Kasus I: n>0
(2) Kasus II: n=0
(3) Kasus III: n<0
Perhatikan bahwa:
(1) Kasus I: n>0 akan dibuktikan menggunakan induksi matematika
(i) Untuk n = 1, maka ðð 1 = ð1ð1 = ðð (pernyataan benar)
(ii) Asumsikan bahwa ðð ð = ðððð (hipotesis induksi)
Akan ditunjukkan ðð ð+1 (juga benar)
ðð ð+1 = ðð ð .ðð
= ðððð .ðð
11
= ðð .ð. ððð [sifat komutatif]
= ð(ð+1). ð(ð+1) [benar]
Karena (i) dan (ii) dipenuhi maka dapat disimpulkan ðð ð =
ðððð , berlaku âð â ð+
(2) Kasus II: n=0
ðð 0 = ð = ð0 . ð0 = ð0ð0
(3) Kasus III: n<0
Jika ð â ð, maka ðð ð ðð â1 âð
(ðâ1.ðâ1)âð [ ðð â1=ðâ1. ðâ1]
ðâ1 âð(ðâ1)âð
(ðâ1)âð ðâ1 âð [komutatif]
ðððð
Sehingga ðð ð = ðððð , terbukti â ð, ð â ð
⎠jadi, Jika (G,*) grup komutatif, maka ð â ð ð = ðððð , âð â ð. â
11. Jika G grup dengan unsur identitas e, dan a2 = e, âð â ðº, buktikan G
komutatif! (Soal Quis I)
Bukti:
Misalkan (G,*) dan grup berlaku a2 = e
Akan dibuktikan a*b = b*a = e
Karena a2 = e a * a = e
a a a-1= ea-1 [kalikan kedua ruas dengan a-1]
a (a a-1)= ea-1 [assosiatif]
a e= a-1 [a a-1=e dan ea-1= a-1]
a= a-1 [ae=a]
Karena diperoleh a= a-1 akibatnya:
(a*b)(a*b) = e (a*b) = (a*b)-1
12
Berdasarkan teorema yang menyatakan jika G grup dan a,b â G, berlaku
(ðð)â1 = ðâ1.ðâ1
Sehingga:
ð â ð = ð â ð â1
ð â ð = ðâ1.ðâ1
Karena ð â ð = ðâ1 â ðâ1, maka ð â ð = ð â ð
⎠jadi, jika G grup dan a2 = e. â ð â ðº, maka G komutatif. â
12. Misalkan ðŽðŒ = cosðŒ âsinðŒsinðŒ cosðŒ
; ðŒ â â Buktikan ðŽðŒ dengan operasi
perkalian matriks membentuk grup. Apakah komutatif? (Soal Quis I)
Bukti:
Akan dibuktikan (ðŽðŒ ,Ã) merupakan grup
(i) Tidak Kosong
ðŽðŒ â â sebab â ðŽ30° = cos 30° âsin 30°
sin 30° cos 30° ; 30 â â
(ii) Sifat tertutup
â ðŽðœ , ðŽðŸ â ðŽðŒ berlaku ðŽðœ ð¥ ðŽðŸ â ðŽðŒ
Ambil sebarang ðŽðœ ,ðŽðŸ â ðŽðŒ
Perhatikan bahwa
ðŽðœ ð¥ ðŽðŸ = cosðœ â sinðœsinðœ cosðœ
à cos ðŸ â sin ðŸsin ðŸ cos ðŸ
= cosðœ cos ðŸ â sinðœ sin ðŸ â cosðœ sin ðŸ + sinðœ cos ðŸ
sinðœ cos ðŸ + cosðœ sin ðŸ â sinðœ sin ðŸ + cosðœ cos ðŸ
= cos(ðœ + ðŸ) â sin(ðœ + ðŸ)sin(ðœ + ðŸ) cos(ðœ + ðŸ)
= cos ð â sinðsinð cos ð
â ðŽð ⊠(terpenuhi)
Catatan: (ð = ðœ + ðŸ, ð â â)
13
(iii) Sifat asosiatif
âðŽðœ ,ðŽðŸ ,ðŽð â ðŽðŒ berlaku ðŽðœ â ðŽðŸ â ðŽð = (ðŽðœ â ðŽðŸ) â ðŽð
Jelas terpenuhi, sebab matriks 2x2 memenuhi sifat assosiatif.
(iv) Unsur Identitas
âðŽðœ â ðŽðŒ âð â ðŽðŒ â ð â ðŽðœ = ðŽðœ â ð = ðŽðœ
Unsur identitas pada matriks yaitu
ð = 1 00 1
â ð = cos 0 â sin 0sin 0 cos 0
Akan dibuktikan: ðŽðœ â ð = ð â ðŽðœ = ðŽðœ
Perhatikan bahwa:
cosðœ â sinðœsinðœ cosðœ
cos 0 â sin 0sin 0 cos 0
= cos 0 â sin 0sin 0 cos 0
cosðœ â sinðœsinðœ cosðœ
= cosðŒ â sinðŒsinðŒ cosðŒ
cos(ðœ + 0) â sin(ðœ + 0)sin(ðœ + 0) cos(ðœ + 0)
= cos(ðœ + 0) â sin(ðœ + 0)sin(ðœ + 0) cos(ðœ + 0)
= cosðœ â sinðœsinðœ cosðœ
⊠(terpenuhi)
(v) unsur invers
âðŽðœ â ðŽðŒâðŽðœâ1 â ðŽðŒ â ðŽðœ à ðŽðœ
â1 = ðŽðœâ1 à ðŽðœ = ð
ðŽðœâ1 =
1
det(ðŽðœ)ððððŽðœ
det(ðŽðœ) = cosðœ cosðœ â â sinðœ sinðœ
= cos2 ðœ + sin2 ðœ
= 1
ðŽðœâ1 =
1
1
cosðœ â sinðœsinðœ cosðœ
= cosðœ sinðœâ sinðœ cosðœ
â ðŽðœ
Akan dibuktikan ðŽðœ à ðŽðœâ1 = ðŽðœ
â1 à ðŽðœ = ð
14
Perhatikan bahwa:
cosðŒ â sinðŒsinðŒ cosðŒ
à cosðŒ sinðŒâsinðŒ cosðŒ
= cosðŒ â sinðŒsinðŒ cosðŒ
Ã
cosðŒ â sinðŒsinðŒ cosðŒ
= cos 0 â sin 0sin 0 cos 0
â cos2 ðŒ + sin2 ðŒ â sinðŒ cosðŒ + sinðŒ cosðŒsinðŒ cosðŒ â sinðŒ cosðŒ cos2 ðŒ + sin2 ðŒ
= cos2 ðŒ + sin2 ðŒ â sinðŒ cosðŒ + sinðŒ cosðŒsinðŒ cosðŒ â sinðŒ cosðŒ cos2 ðŒ + sin2 ðŒ
= cos 0 â sin 0sin 0 cos 0
â 1 00 1
= 1 00 1
= cos 0 â sin 0sin 0 cos 0
⊠(terpenuhi)
⎠jadi, ðŽðŒ merupakan grup.
Akan dibuktikan ðŽðŒ merupakan grup komutatif
âðŽðœ ,ðŽðŸ â ðŽðŒ , berlaku ðŽðœ ð¥ ðŽðŸ = ðŽðŸ ð¥ ðŽðœ â ðŽðŒ
Perhatikan bahwa:
ðŽðœ ð¥ ðŽðŸ = ðŽðŸ ð¥ ðŽðœ
cosðœ â sinðœsinðœ cosðœ
à cos ðŸ â sin ðŸsin ðŸ cos ðŸ
= cos ðŸ â sin ðŸsin ðŸ cos ðŸ
à cosðœ â sinðœsinðœ cosðœ
â cosðœ cos ðŸ â sinðœ sin ðŸ â cosðœ sin ðŸ â sinðœ cos ðŸ)sinðœ cos ðŸ + cosðœ sin ðŸ â sinðœ sin ðŸ + cosðœ cos ðŸ
=
cos ðŸ cosðœ â sin ðŸ sinðœ â sin ðŸ cosðœ â sin ðŸ cosðœsin ðŸ cosðœ â cos ðŸ sinðœ â sin ðŸ sinðœ + cos ðŸ cosðœ
â cos(ðœ + ðŸ) â sin(ðœ + ðŸ)sin(ðœ + ðŸ) cos(ðœ + ðŸ)
= cos(ðŸ + ðœ) â sin(ðŸ + ðœ)sin(ðŸ + ðœ) cos(ðŸ + ðœ)
â cos(ðœ + ðŸ) â sin(ðœ + ðŸ)sin(ðœ + ðŸ) cos(ðœ + ðŸ)
= cos(ðœ + ðŸ) â sin(ðœ + ðŸ)sin(ðœ + ðŸ) cos(ðœ + ðŸ)
[Sifat komutatif penjumlahan]
â cos ð â sinðsinð cos ð
= cos ð â sin ðsin ð cos ð
[ð = ðœ + ðŸ, ð â â] ⊠(terpenuhi)
⎠jadi, ðŽðŒ merupakan grup komutatif. â
15
13. Misalkan ðº = ð + ð 2 ; ðŒ, ð â ð} Buktikan G grup terhadap operasi
penjumlahan, Apakah G komutatif?
Bukti:
Akan dibuktikan G membentuk grup
(i) Tidak Kosong
G â â sebab â 2 + 4 2 ; 2,4 â ð} â G ⊠(terpenuhi)
(ii) Sifat tertutup
â ð¥,ðŠ â ðº berlaku ð¥ â ðŠ â ðº
Ambil sebarang ð¥,ðŠ â ðº
Pandang x= ð1 + ð1 2 ; ð1 , ð1 â ð}
y= ð2 + ð2 2 ; ð2 , ð2 â ð}
perhatikan bahwa
x*y = (ð1 + ð1 2) â (ð2 + ð2 2)
=(ð1 + ð1 2) + (ð2 + ð2 2)
=(ð1 + ð2) + (ð1 2 + ð2 2)
=(ð1 + ð2) + (ð1 + ð2) 2
Catatan:
[ð1 â ð Ëð2 â ð â (ð1 + ð2) â ð misalkan (ð1 + ð2) = ð3 â ð
ð1 â ð Ëð2 â ð â (ð1 + ð2) â ð misalkan (ð1 + ð2) = ð3 â ð]
= ð3 + ð3 2 [ ð3 , ð3 â ð]
= ð3 + ð3 2 â ðº
(iii) Sfat Assosiatif,
âð¥,ðŠ, ð§ â ðº berlaku ð¥ â ðŠ â ð§ = ð¥ â ðŠ â ð§
Ambil sebarang ð¥,ðŠ, ð§ â ðº
Pandang x= ð1 + ð1 2 ; ð1 , ð1 â ð}
y= ð2 + ð2 2 ; ð2 , ð2 â ð}
z= ð3 + ð3 2 ; ð3 , ð3 â ð}
16
Perhatikan bahwa:
ð¥ â ðŠ â ð§ = ð1 + ð1 2 â { ð2 + ð2 2 â (ð3 + ð3 2)}
= ð1 + ð1 2 â { ð2 + ð2 2 + (ð3 + ð3 2)}
= ð1 + ð1 2 + { ð2 + ð2 2 + (ð3 + ð3 2)}
= ð1 + ð1 2 + { ð2 + ð3 + (ð2 2 + ð3 2)}
= ð1 + ð1 2 + { ð2 + ð3 + (ð2 + ð3) 2}
= ð1 + ð2 + ð3 + {(ð1 + ð2) 2 + ð3 2}
= ð1 + ð2 + ð1 + ð2 2 + (ð3 + ð3 2)
= { ð1 + ð1 2 â ð2 + ð2 2 } + (ð3 + ð3 2)
= ð1 + ð1 2 â ð2 + ð2 2 â (ð3 + ð3 2)
= ð¥ â ðŠ â ð§ ⊠(terpenuhi)
(iv) Unsur Identitas
âð¥ â ðº âð â ðº â ð â ð¥ = ð¥ â ð = ð¥
Ambil sebarang ð¥,ðŠ â ðº
Pandang x= ð1 + ð1 2 ; ð1 , ð1 â ð}
y= ð2 + ð2 2 ; ð2 , ð2 â ð}
Perhatikan bahwa:
ð¥ â ðŠ = ðŠ â ð¥ = ðŠ
(ð1 + ð1 2) â ð2 + ð2 2 = ð2 + ð2 2 â (ð1 + ð1 2) = ð2 + ð2 2
(ð1 + ð1 2) + ð2 + ð2 2 = ð2 + ð2 2 + (ð1 + ð1 2) = ð2 + ð2 2
â(ð1 + ð1 2) = ð1 + ð1 2 = ð2 + ð2 2 â ð2 + ð2 2
â(ð1 + ð1 2) = ð1 + ð1 2 = ð2âð2) + (ð2 â ð2) 2
â (ð1 + ð1 2) = ð1 + ð1 2 = 0 + 0 2
â ð¥ = {0 + 0 2 ; 0 â ð} â ðº
Sehingga ð = {0 + 0 2 ; 0 â ð} â ðº [e=identitas] ⊠(terpenuhi)
17
(v) Unsur Invers
âð¥ â ðº âð¥â1 â ðº â ð¥â1 â ð¥ = ð¥ â ð¥â1 = ð
Ambil sebarang ð¥ â ðº
Pandang x= ð1 + ð1 2 ; ð1 , ð1 â ð}
perhatikan bahwa:
ð¥â1 â ð¥ = ð¥ â ð¥â1 = ð
â ð¥â1 â (ð1 + ð1 2) = ð1 + ð1 2 â ð¥â1 = 0 + 0 2
â ð¥â1 â (ð1 + ð1 2) = ð1 + ð1 2 â ð¥â1 = 0
â ð¥â1 = 0â ð1 + ð1 2
â ð¥â1 = â ð1 + ð1 2
â ð¥â1 = âð1 â ð1 2 [âð1 ,âð1 â ð]
â ð¥â1 = {âð1 â ð1 2} â ðº ⊠terpenuhi
⎠jadi, ðº = ð + ð 2 ; ðŒ, ð â ð} merupakan Grup.
Akan dibuktikan ðº = ð + ð 2 ; ðŒ, ð â ð} merupakan grup komutatif
â ð¥,ðŠ â ðº berlaku ð¥ â ðŠ = ðŠ â ð¥ â ðº
Ambil sebarang ð¥, ðŠ â ðº
Pandang x= ð1 + ð1 2 ; ð1 , ð1 â ð}
y= ð2 + ð2 2 ; ð2 , ð2 â ð}
perhatikan bahwa
x*y = (ð1 + ð1 2) â (ð2 + ð2 2)
=(ð1 + ð1 2) + (ð2 + ð2 2)
=(ð1 + ð2) + (ð1 2 + ð2 2)
=(ð2 + ð1) + (ð2 + ð1) 2
=(ð2 + ð1) + (ð2 2 + ð1 2)
= ð2 + ð2 2 +(ð1 + ð1 2)
=ðŠ â ð¥ ⊠(terbukti) ⎠jadi, ðº merupakan grup komutatif. â
18
14. Misalkan ð = ð ðð ð
: ðð â ðð â 0;ð, ð, ð,ð â â
Buktikan M dengan perkalian matriks membentuk grup, Apakah M
komutatif?
Bukti:
(i) Tidak Kosong
G â â sebab â 1 00 1
: 1 â 0; 0, 1 â â â M ⊠(terpenuhi)
(ii) Sifat tertutup
â ð,ð â ðº berlaku ð â ð â ðº
Ambil sebarang ð,ð â ðº
Pandang ð = ð1 ð1
ð1 ð1 : ð1ð1 â ð1ð1 â 0;ð1 , ð1, ð1 ,ð1 â â
ð = ð2 ð2
ð2 ð2 : ð2ð2 â ð2ð2 â 0;ð2 , ð2, ð2,ð2 â â
perhatikan bahwa
X*Y= ð1 ð1
ð1 ð1 â
ð2 ð2
ð2 ð2
= ð1 ð1
ð1 ð1 ð2 ð2
ð2 ð2
digunakan teorema ððð ðšð© = ððð ðš ððð(ð©)
diketahui det(ð) â 0 dan det(ð) â 0 maka
det ðð = det(ð)det(ð) â 0 ⊠(terpenuhi)
(iii) Sfat Assosiatif,
âð,ð,ð â ðº berlaku ð â ð â ð = ð â ð â ð
Jelas terpenuhi sebab matriks 2x2 bersifat assosiatif
(iv) Unsur Identitas
âð â ðº âð â ðº â ð â ð = ð â ð = ð
Ambil sebarang ð â ðº
Pandang ð = ð1 ð1
ð1 ð1 : ð1ð1 â ð1ð1 â 0;ð1 , ð1 , ð1 ,ð1 â â
19
Unsur identitas pada matriks yaitu ð = 1 00 1
Akan ditunjukkan ð â ð = ð â ð = ð
ð1 ð1
ð1 ð1
1 00 1
= 1 00 1
ð1 ð1
ð1 ð1 =
ð1 ð1
ð1 ð1 ⊠(terpenuhi)
(v) Unsur Invers
âð â ðº âðâ1 â ðº â ðâ1 â ð = ð â ðâ1 = ð
Ambil sebarang ð â ðº
Pandang ð = ð1 ð1
ð1 ð1 : ð1ð1 â ð1ð1 â 0;ð1 , ð1 , ð1 ,ð1 â â
ðâ1 =1
det(ð)ðððð
ðâ1 =1
ð1ð1âð1ð1 ð1 âð1
âð1 ð1
=
ð1
ð1ð1âð1ð1
âð1
ð1ð1âð1ð1âð1
ð1ð1âð1ð1
ð1
ð1ð1âð1ð1
â ð
Catatan: det (ðâ1) = ð1
ð1ð1âð1ð1
ð1
ð1ð1âð1ð1 â
âð1
ð1ð1âð1ð1
âð1
ð1ð1âð1ð1
=ð1ð1 â ð1ð1
ð1ð1 â ð1ð1â 0
Akan dibuktikan ðâ1 â ð = ð â ðâ1 = ð
Perhatikan bahwa:
ð1
ð1ð1 â ð1ð1
âð1
ð1ð1 â ð1ð1âð1
ð1ð1 â ð1ð1
ð1
ð1ð1 â ð1ð1
ð1 ð1
ð1 ð1 =
ð1 ð1
ð1 ð1
ð1
ð1ð1 â ð1ð1
âð1
ð1ð1 â ð1ð1âð1
ð1ð1 â ð1ð1
ð1
ð1ð1 â ð1ð1
= 1 00 1
ð1ð1âð1ð1
ð1ð1âð1ð1
ð1ð1âð1ð1
ð1ð1âð1ð1
ð1ð1âð1ð1
ð1ð1âð1ð1
ð1ð1âð1ð1
ð1ð1âð1ð1
=
ð1ð1âð1ð1
ð1ð1âð1ð1
ð1ð1âð1ð1
ð1ð1âð1ð1
ð1ð1âð1ð1
ð1ð1âð1ð1
ð1ð1âð1ð1
ð1ð1âð1ð1
= 1 00 1
⊠(terpenuhi)
⎠jadi, ð = ð ðð ð
: ðð â ðð â 0;ð, ð, ð,ð â â merupakan grup.
Akan dibuktikan apakah M merupakan grup komutatif:
20
Contoh penyangkal:
Ambil sebarang ð,ð â ðº
Pandang ð = 1 02 1
: 1 â 0; 1,0,2 â â
ð = 1 20 1
: 1 â 0; 1,0,2 â â
ðð = 1 02 1
1 20 1
= 1 22 5
⊠(i)
ðð = 1 20 1
1 02 1
= 5 22 1
⊠(ii)
Dari (i) dan (ii) diperoleh bahwa ðð â ðð,
⎠jadi,ð = ð ðð ð
: ðð â ðð â 0;ð, ð, ð,ð â â bukan grup komutatif. â
15. Misalkan †himpunan bilangan bulat dengan operasi * yang didefenisikan
ð â ð = ð + ð + 1 âð, ð â †. apakah (G,*) membentuk grup?
Bukti:
(i) Tidak Kosong
G â â sebab â 2 â G ⊠(terpenuhi)
(ii) Sifat tertutup
â ð, ð,â ðº berlaku ð â ð â ðº
Ambil sebarang ð, ð â ðº maka berlaku (ð + ð + 1 ) â ðº ⊠(terpenuhi)
(iii) Sfat Assosiatif,
âð, ð, ð â ðº berlaku ð â ð â ð = ð â ð â ð
Ambil sebarang ð, ð, ð â ðº
Perhatikan bahwa:
ð â ð â ð = ð â ð + ð + 1
= ð + ð + ð + 1 + 1
= ð + ð + 1 + ð + 1
= ð + ð + 1 â ð
= ð â ð â ð ⊠(terpenuhi)
21
(iv) Unsur Identitas
âð â ðº âð â ðº â ð â ð = ð â ð = ð
Perhatikan bahwa:
ð â ð = ð â ð = ð
ð + ð + 1 = ð + ð + 1 = ð
ð = ð = ð â (ð + 1)
ð = â1 â ðº
Sehingga ð = 1 â ðº [e=identitas] ⊠(terpenuhi)
(v) Unsur Invers
âð â ðº âðâ1 â ðº â ðâ1 â ð = ð â ðâ1 = ð
perhatikan bahwa:
ð â ð = ð â ð = â1
ð + ð + 1 = ð + ð + 1 = â1
ð = ð = â1â (ð + 1)
ð = â2 + ð â G ⊠(terpenuhi)
⎠jadi, ð â ð = ð + ð + 1 âð, ð â †merupakan grup. â
16. Misalkan â\{1} dengan operasi * yang didefenisikan ð â ð = ð + ð â
ðð âð, ð â â\{1}. Apakah â\{1},*) membentuk grup?
Bukti:
(i) Tidak Kosong
â\{1} â â sebab â 2 â G ⊠(terpenuhi)
(ii) Sifat tertutup
â ð, ð,â ðº berlaku ð â ð â â\{1}
Ambil sebarang ð, ð â ðº maka berlaku ð + ð â ðð â â\{1} âŠ
(terpenuhi)
(iii) Sfat Assosiatif,
âð, ð, ð â â\{1} berlaku ð â ð â ð = ð â ð â ð
22
Ambil sebarang ð, ð, ð â â\{1}
Perhatikan bahwa:
ð â ð â ð = ð â ð + ð â ðð
= ð + ð + ð â ðð â ð ð + ð â ðð
= ð + ð + ð â ðð â ðð â ðð + ððð
= ð + ð â ðð + ð â ðð â ðð + ððð
= ð + ð â ðð + ð â ð ð + ð â ðð
= ð + ð â ðð â ð
= ð â ð â ð ⊠(terpenuhi)
(iv) Unsur Identitas
âð â ðº âð â â\{1} â ð â ð = ð â ð = ð
Perhatikan bahwa:
ð â ð = ð â ð = ð â ð + ð â ðð = ð + ð â ðð = ð
â ð â ðð = ð â ðð = ð â ð
â ð(1â ð) = ð(1â ð) = 0
â ð = ð = 0
â ð = 0 â â\{1}
Sehingga ð = 0 â ðº [e=identitas] ⊠(terpenuhi)
(v) Unsur Invers
âð â â\{1} âðâ1 â â\{1} â ðâ1 â ð = ð â ðâ1 = ð
perhatikan bahwa:
ð â ð = ð â ð = 0 â ð + ð â ðð = ð + ð â ðð = 0
â ð â ðð = ð â ðð = âð
â ð 1â ð = ð 1â ð = âð
â ð =âð
1âð â â\{1} ⊠(terpenuhi)
⎠jadi, ð â ð = ð + ð â ðð âð, ð â â\{1} merupakan grup. â
23
17. Misalkan G grup dengan e unsur identitas di G dengan ðŠâ1ð¥â1ðŠð¥ = ð,
buktikan G merupakan grup komutatif! (Soal UTS)
Bukti:
Misalkan G grup dan ð â ðº, [e=identitas]
Akan dibuktikan G komutatif dengan cara menunjukkan ð¥ðŠ = ðŠð¥
Perhatikan bahwa:
ðŠâ1ð¥â1ðŠð¥ = ð â ðŠâ1ð¥â1ðŠð¥ = ð [e=identitas]
â (ðŠâ1ð¥â1)(ðŠð¥) = ð [assosiatif]
â (ð¥ðŠ)â1(ðŠð¥) = ð [(ð¥ðŠ)â1 = ðŠâ1ð¥â1, sifat grup]
â (ð¥ðŠ)(ð¥ðŠ)â1(ðŠð¥) = ð¥ðŠ ð [kalikan kedua ruas dengan ð¥ðŠ ]
â { ð¥ðŠ ð¥ðŠ â1}(ðŠð¥) = ð¥ðŠ [assosiatif, ð¥ðŠ ð = ð¥ðŠ]
â ð(ðŠð¥) = ð¥ðŠ [ ð¥ðŠ ð¥ðŠ â1 = ð]
â ðŠð¥ = ð¥ðŠ [ð(ðŠð¥) = ðŠð¥]
⎠jadi, grup G dengan ðŠâ1ð¥â1ðŠð¥ = ð [e=identitas] merupakan grup
komutatif. â
18. Misalkan M adalah himpunan matriks real 2x2 yang tak singular,
didefenisikan operasi M adalah ðŽ â ðµ = ðŽðœðµ,âðŽ,ðµ â ð, dengan
ðœ = 1 00 â1
, periksa apakah (M,*) membentuk grup? (Soal UTS)
Bukti:
(i) Tidak Kosong
M â â sebab â 1 00 1
: 0, 1 â â â M ⊠(terpenuhi)
(ii) Sifat tertutup
â ð,ð â ð berlaku ð â ð â ð
Ambil sebarang ð,ð â ð
Pandang ð = ð1 ð1
ð1 ð1 : ð1ð1 â ð1ð1 â â;ð1 , ð1, ð1 ,ð1 â â
24
ð = ð2 ð2
ð2 ð2 : ð2ð2 â ð2ð2 â â;ð2 , ð2, ð2 ,ð2 â â
perhatikan bahwa
X*Y= ð1 ð1
ð1 ð1 â
ð2 ð2
ð2 ð2
= ð1 ð1
ð1 ð1
1 00 1
ð2 ð2
ð2 ð2
digunakan teorema ððð ðšð© = ððð ðš ððð(ð©)
diketahui det(ð) â â, det(ð) â â serta det ðœ = â1 â â maka
det ððœð = det(ð) det ðœ det(ð) â â ⊠(terpenuhi)
(iii) Sfat Assosiatif,
âð,ð,ð â ðº berlaku ð â ð â ð = ð â ð â ð
Ambil sebarang ð,ð,ð â ð
Perhatikan bahwa:
ð â ð â ð = ð â (ððœð)
= ððœ(ððœð)
= (ððœð)ðœð
= (ð â ð)ðœð
= ð â ð â ð ⊠(terpenuhi)
(iv) Unsur Identitas
âð â ðº âðž â ðº â ðž â ð = ð â ðž = ð
Ambil sebarang ð,ð â ðº
Perhatikan bahwa:
ð â ð = ð â ððœð = ð
â (ððœ)â1ððœð = (ððœ)â1ð [Kalikan (ððœ)â1 pada kedua ruas]
â { ððœ â1(ððœ)}ð = (ððœ)â1ð [assosiatif]
â ð = ðœâ1ðâ1ð [ ððœ â1 ððœ = ðž
ðž = ððð¡ðððð ððððð¡ðð¡ðð serta (ððœ)â1 = ðœâ1ðâ1]
â ð = ðœâ1(ðâ1ð) [assosiatif]
25
â ð = ðœâ1E [ðâ1ð = ðž ðž = ððð¡ðððð ððððð¡ðð¡ðð ]
â ð = ðœâ1 [ðœâ1E=ðœâ1]
â ð = ðœâ1 = ðœ
Perhatikan ðœâ1 = ðœ:
Dketahui: ðœ = 1 00 â1
ðœâ1 =1
det(ðœ)ððððœ
=1
â1 â1 00 1
= 1 00 â1
= ðœ
Sehingga unsur identitasnya adalah ðœâ1 = ðœ âŠ(terpenuhi)
(v) Unsur Invers
âð â ðº âðâ1 â ðº â ðâ1 â ð = ð â ðâ1 = ðž
Ambil sebarang ð,ð â ðº
Perhatikan bahwa:
ð â ð = ðœ â ððœð = ðœ
â (ððœ)ð = ðœ [Assosiatif]
â (ððœ)â1(ððœ)ð = (ððœ)â1ðœ [kalikan (ððœ)â1 kedua ruas]
â { ððœ â1(ððœ)}ð = ðœâ1ðâ1ðœ [Assosiatif, (ððœ)â1 = ðœâ1ðâ1]
â ðžð = ðœâ1ðâ1ðœ [ ððœ â1 ððœ = ðž]
[ðž = ððð¡ðððð ððððð¡ðð¡ðð ]
â ð = ðœâ1ðâ1ðœ [ðžð = ð] âŠ(terpenuhi)
⎠jadi, M dengan defenisi ðŽ â ðµ = ðŽðœðµ,âðŽ,ðµ â ð, dengan ðœ =
1 00 â1
merupakan grup. â
26
19. Misalkan â+ himpunan bilangan rasional positif dengan defenisi operasi
ð â ð =ðð
2,âð, ð â â+, apakah (â+,â) membentuk grup, jika tidak berikan
contoh penyangkal! (Soal UTS)
Bukti:
(i) Tidak Kosong
â+ â â sebab â 2 â â+ ⊠(terpenuhi)
(ii) Sifat tertutup
â ð, ð â â+ berlaku ð â ð â â+
Ambil sebarang ð, ð â â+ maka berlaku ðð
2â â+ ⊠(terpenuhi)
(iii) Sfat Assosiatif,
âð, ð, ð â ðº berlaku ð â ð â ð = ð â ð â ð
Ambil sebarang ð, ð, ð â ðº
Perhatikan bahwa:
ð â ð â ð = ð â ðð
2
=ð ðð2
2
=
ððð22
=
ðð2
ð
2
= ðð
2 â ð
= ð â ð â ð ⊠(terpenuhi)
(iv) Unsur Identitas
âð â ðº âð â ðº â ð â ð = ð â ð = ð
Perhatikan bahwa:
ð â ð = ð â ð = ð
27
ðð
2=ðð
2= ð
ðð = ðð = 2ð
ð =2ð
ð
ð = 2
Sehingga ð = 2 â â+ [e=identitas] ⊠(terpenuhi)
(v) Unsur Invers
âð â ðº âðâ1 â ðº â ðâ1 â ð = ð â ðâ1 = ð
perhatikan bahwa:
ð â ð = ð â ð = 2
ðð
2=ðð
2= 2
ðð = ðð = 4
ð =ð
4 â â+ ⊠(terpenuhi)
⎠jadi, â+ himpunan bilangan rasional positif dengan defenisi operasi
ð â ð =ðð
2,âð, ð â â+ adalah Grup. â
20. Misalkan ðº = †ð¥ †= {(ð, ð) ⣠ð, ð â â€} didefenisikan operasi biner * pada
G, yaitu â ð, ð , (ð,ð) â ðº berlaku ð, ð â ð,ð = (ð + ð, ð + ð), Apakah G
merupakan grup terhadap operasi *?
Bukti:
(i) Tidak Kosong
ðº â â sebab â {(1, 2) ⣠1,2 â â€} â ðº ⊠(terpenuhi)
(ii) Sifat tertutup
â ð¥,ðŠ â ðº berlaku ð¥ â ðŠ â ðº
Ambil sebarang ð, ð , (ð,ð) â ðº maka berlaku (ð + ð, ð + ð) â ðº âŠ
(terpenuhi)
28
(iii) Sfat Assosiatif,
âð¥,ðŠ, ð§ â ðº berlaku ð¥ â ðŠ â ð§ = ð¥ â ðŠ â ð§
Ambil sebarang ð¥,ðŠ, ð§ â ðº
Pandang: ð¥ = ð, ð â ðº
ðŠ = ð,ð â ðº
ð§ = ð, ð â ðº
Perhatikan bahwa:
ð¥ â ðŠ â ð§ = ð¥ â { ð,ð â ð, ð }
= ð¥ â (ð + ð,ð + ð)
= (ð, ð) â (ð + ð,ð + ð)
= (ð + ð + ð, ð + ð + ð)
= ð + ð, ð + ð â (ð,ð)
= ð + ð, ð + ð â ð§
= ð, ð â ð,ð â ð§
= ð¥ â ðŠ â ð§ ⊠(terpenuhi)
(iv) Unsur Identitas
âð¥ â ðº âð â ðº â ð â ð¥ = ð¥ â ð = ð¥
Ambil sebarang ð¥,ðŠ,ðº
Pandang: ð¥ = ð, ð â ðº
ðŠ = ð,ð â ðº
Perhatikan bahwa:
ð¥ â ðŠ = ðŠ â ð¥ = ðŠ
ð, ð â ð,ð = ð,ð â ð, ð = (ð,ð)
ð + ð, ð + ð = ð + ð,ð + ð = (ð ,ð)
ð, ð = ð, ð = (0,0)
ð¥ = (0,0)
Sehingga ð = (0,0) â ðº [e=identitas] ⊠(terpenuhi)
29
(v) Unsur Invers
âð¥ â ðº âð¥â1 â ðº â ð¥â1 â ð¥ = ð¥ â ð¥â1 = ð
Ambil sebarang ð¥,ðŠ,ðº
Pandang: ð¥ = ð, ð â ðº
ðŠ = ð,ð â ðº
Perhatikan bahwa:
ð¥ â ðŠ = ðŠ â ð¥ = ð
ð, ð â ð,ð = ð,ð â ð, ð = (0,0)
ð + ð, ð + ð = ð + ð,ð + ð = (0 ,0)
ð, ð = ð, ð = (âð,âð)
ð¥ = (âð,âð) â ðº ⊠(terpenuhi)
⎠jadi, ðº adalah Grup. â
21. Misalkan G = {-1, 1}. Tunjukan bahwa G adalah suatu grup abel terhadap
perkalian biasa (G, Ã).
Bukti:
Daftar Cayley G = {-1, 1} terhadap (G, Ã) sebagai berikut:
x 1 -1
1 1 -1
-1 -1 1
(i) Tidak Kosong
ðº â â sebab â 1 â ðº ⊠(terpenuhi)
(ii) Sifat tertutup
â ð¥,ðŠ â ðº berlaku ð¥ â ðŠ â ðº
Perhatikan tebel diatas G tertutup terhadap operasi perkalian biasa
sebab:
-1 Ã -1 = 1 â G -1 Ã 1 = -1 â G
1 Ã -1 = -1 â G 1 Ã 1 = 1 â G
30
(iii) Sfat Assosiatif,
âð¥,ðŠ, ð§ â ðº berlaku ð¥ â ðŠ â ð§ = ð¥ â ðŠ â ð§
Ambil sebarang ð¥,ðŠ, ð§ â ðº
ð¥ â ðŠ â ð§ = ð¥ â (ðŠ à ð§)
= ð¥ à ðŠ à ð§
= (ð¥ à ðŠ) à ð§
= ð¥ à ðŠ â ð§
= ð¥ â ðŠ â ð§ ⊠(terpenuhi)
(iv) Unsur Identitas
âð¥ â ðº âð â ðº â ð â ð¥ = ð¥ â ð = ð¥
Ambil sebarang ð¥,ðŠ â ðº
Perhatikan bahwa:
ð¥ â ðŠ = ðŠ â ð¥ = ð¥
ð¥ à ðŠ = ðŠ à ð¥ = ð¥
ðŠ = ðŠ = 1
Sehingga ð = 1 â ðº [e=identitas] ⊠(terpenuhi)
(v) Unsur Invers
âð¥ â ðº âð¥â1 â ðº â ð¥â1 â ð¥ = ð¥ â ð¥â1 = ð
Perhatikan kembali tebel diatas (1) adalah invers di G sebab:
Ambil 1 â ðº Diketahui ð = 1 maka
1 Ã 1 = 1
Perhatikan kembali tebel diatas (-1) adalah invers di G sebab:
Ambil â1 â ðº Diketahui ð = 1 maka
â1 Ã (â1) = 1
⧠Sehingga 1,â1 â ðº masing-masing invers di G ⊠(terpenuhi)
⎠jadi, G = {-1, 1} merupakan grup terhadap (G, Ã). â
***
31
GRUP SIKLIK
âð â ðº, ð ð â ~
âð â ðº, ð â ð, ð ð = ~
â ð â ð,â ð ð â ~
Tingkat & Orde
Defenisi Pangkat: Misalkan G grup dan ð â ðº, didefenisikan ð1 =
ð; ðð+1 = an = a . â
Order dari anggota grup: misalkan ðº grup, ð â ðº dan ð unsur identitas di
ðº. jika ð = {ð â ð;ðð = ð} â â , maka tingkat (order) dari a adalah
minimum {nâ ð; an = ð}. â
Notasi ð ð = ð; ð ð = 1. â
Catatan:
1. Order dari ð â ðº adalah bilangan bulat positif terkecil m sehingga
ðð = ð, e adalah identitas di G
2. Jika m bilangan bulat positif sehingga ðð = ð dinotasikan ð ð = ð
3. Jika tidak terdapat m bilangan bulat positif terkecil sedemikian
sehingga ðð = ð, maka ð ð = 0 ðð¡ðð¢ 0 ð = ~
4. Untuk G grup sebarang dan e identitas di G, mempunyai order satu
ð ð = 1.
Suatu grup G disebut:
Periodik (berkala)
Aperiodik
Campuran
â ð â ðº, ð ð = ~ dan
32
1. Misalkan ðº = {1,â1, ð,âð} dengan ð menyatakan imaginer, tunjukkan bahwa
(ðº, ð¥) merupakan periodik, ð2 = â1.
Bukti:
ðº = {1,â1, ð,âð} dengan identitas ð = 1
1ð = 1 â¹ 11 = 1 â¹ ð 1 = 1
(â1)ð = 1 â¹ (â1)2 = 1 â¹ ð â1 = 2
ðð = 1 â¹ ð4 = 1 â¹ ð ð = 4
(âð)ð = 1 â¹ (âð)4 = 1 â¹ ð âð = 4
⎠Jadi, ð ð â ~ sehingga merupakan grup periodik .â
2. (Q\{0}, Ã) adalah grup dengan identitas 1, tunjukkan (Q\{0}, Ã) merupakan
grup campuran!
Bukti:
Diketahui unsur identitas dari (Q\{0}, Ã) adalah ð = 1
Grup Siklik
Defenisi Siklik: Misalkan G adalah grup, dan †= {x | x bilangan bulat}. G
disebut grup siklik jika ada g â G sedemikian sehingga G = {gn | n â â€}.
Elemen g pada G disebut generator dari grup siklik tersebut. â
Defenisi Grup Siklik Terhadap Perkalian: Grup (G, .) disebut siklik, â ð â ðº
â G ={an | n â †}. Elemen a disebut generator dari grup siklik tersebut. â
Defenisi Grup Siklik Terhadap Penjumlahan: Grup (G, +) disebut siklik,
â ð â ðº â G ={na | n â †}. Elemen a disebut generator dari grup siklik
tersebut. â
Dalam hal ð â ðº yang membentuk grup siklik G, a disebut generator/
monogenic dari G dan ditulis ð . â
33
Untuk menunjukkan (Q\{0}, Ã) merupakan grup campuran maka perlu
ditunjukkan dua syarat dipenuhi yaitu sebagai berikut:
a. â ð â ðº, ð ð = ~ dan
Ambil 2 â (Q\{0}, Ã) â¹ 2ð = 1 â¹ 20 = 1 â¹ ð 2 = ~
b. â ð â ð,â ð ð â ~
Ambil â1 â (Q\{0}, Ã) â¹ (â1)ð = 1 â¹ (â1)2 = 1 â¹ ð â1 = 2
⎠Jadi, (Q\{0}, Ã) merupakan grup campuran .â
3. Misalkan Q+ adalah bilangan rasional positif tunjukkan grup (Q+,Ã)
merupakan grup aperiodik.
Bukti:
Misalkan grup (Q+,Ã), unsur identitasnya adalah 1
âð â ð+ dengan ð â 1
â®(2)ð = 1 â¹ 20 = 1 â¹ ð 2 = ~
â®(ð)ð = 1 â¹ð0 = 1 â¹ ð ð = ~
⎠Jadi, (Q+,Ã) merupakan grup aperiodik .â
4. Misalkan M(â) = ð ðð ð
,ð, ð, ð,ð â â , pandang M2 â = {x; x â
M â , x â 0 membentuk grup dengan (M2 â ,Ã). Tunjukkan (M2 â ,Ã)
adalah grup campuran!
Bukti:
Unsur identitas dari (M2 â ,Ã) = 1 00 1
Ambil sebarang A2 â â M2 â
Pandang (A2 â ,Ã) = â1 00 â1
Perhatikan bahwa:
34
(A2 â )ð =
1 00 1
â¹ (A2 â )2 =
â1 00 â1
â1 00 â1
= 1 00 1
â¹ ð A2 â = 2
Ambil sebarang B2 â â M2 â
Pandang (B2 â ,Ã) = 2 00 2
Perhatikan bahwa:
(B2 â )ð =
1 00 1
â¹ â(B2 â )ð =
1 00 1
â¹ ð B2 â = ~
⎠Jadi, (M2 â , Ã) merupakan grup campuran .â
5. Misalkan G himpunan bilangan bulat modulo empat yaitu G = {0 , 1 , 2 , 3 },
pandang grup (G, +4), tunjukkan G merupakan grup siklik!
Bukti:
Misalkan (G, +4) adalah grup
Akan ditunjukkan G membentuk grup siklik
Perhatikan bahwa:
a. 0 = {ð 0 ;ð â â€},
0 â ðº
0 = {0 }
b. 1 = {ð 1 ;ð â â€},
1 â ðº
1+41 = 0.4 + 2 = 2 atau 2 ððð 4 = 2 â ðº
1+41+41 = 0.4 + 3 = 3 atau 3 ððð 4 = 3 â ðº
1+41+41+41 = 1.4 + 0 = 0 atau 4 ððð 4 = 0 â ðº
1 = {0 , 1 , 2 , 3 }
c. 2 = {ð 2 ;ð â â€},
2 â ðº
2+42 = 1.4 + 0 = 0 atau 4 ððð 4 = 0 â ðº
2 = {0 , 2 }
35
d. 3 = {ð 3 ;ð â â€},
3 â ðº
3+43 = 1.4 + 2 = 2 atau 6 ððð 4 = 2 â ðº
3+43+43 = 2.4 + 1 = 1 atau 9 ððð 4 = 3 â ðº
3+43+43+43 = 3.4 + 0 = 0 atau 12 ððð 4 = 0 â ðº
3 = {0 , 1 , 2 , 3 }
⎠Jadi, G merupakan grup siklik dengan generator 1 = 3 = {0 , 1 , 2 , 3 } .â
6. Diketahui matriks ð = 1 00 1
, â1 00 â1
, 0 1â1 0
, 0 â11 0
, (ð,Ã)
adalah sebuah grup, apakah M merupakan grup siklik?
Bukti:
Diketahui (ð,Ã) adalah sebuah grup
Misalkan
ðŽ = 1 00 1
,ðµ = â1 00 â1
,ð¶ = 0 1â1 0
ððð ð· = 0 â11 0
Perhatikan tabel dibawah ini:
à A B C D
A A B C D
B B A D C
C C D B A
D D C A B
Dari tabel diperoleh bahwa identitas di M yaitu A
Akan ditunjukkan G membentuk grup siklik, Perhatikan bahwa:
a. ðŽ = { ðŽ ð ;ð â â€}
ðŽ â ð
ðŽ = {A}
b. ðµ = { ðµ ð ;ð â â€}
ðµ â ð
36
ðµ2 = ðŽ â ð [Perhatikan tabel]
ðµ = {A, B}
c. ð¶ = { ð¶ ð ;ð â â€}
ð¶ â ð
ð¶2 = ðµ â ð [Perhatikan tabel]
ð¶3 = (ð¶2) ð¶ = ðµð¶ = ð· â ð [Perhatikan tabel]
ð¶4 = (ð¶3) ð¶ = ð·ð¶ = ðŽ â ð [Telah diperoleh ð¶3 = ð·, perhatikan
tabel]
ð¶ = {A, B, C, D}
d. ð· = { ð· ð ;ð â â€}
ð· â ð
ð·2 = ðµ â ð [Perhatikan tabel]
ð·3 = (ð·2) ð· = ðµð· = ð¶ â ð [Perhatikan tabel]
ð·4 = (ð·3) ð· = ð¶ð· = ðŽ â ð [Telah diperoleh ð¶3 = ð·, perhatikan
tabel]
ð· = {A, B, C, D}
⎠Jadi, jadi M merupakan grup siklik dengan generator ð¶ = ð· =
{A, B, C, D} .â
7. Misalkan G himpunan bilangan bulat modulo empat yaitu G =
{0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }, pandang grup (G, +6), tunjukkan G merupakan grup siklik!
Bukti:
Misalkan (G, +6) adalah grup
Akan ditunjukkan G membentuk grup siklik
Perhatikan bahwa:
a. 0 = {ð 0 ;ð â â€},
0 â ðº
0 = {0 }
37
b. 1 = {ð 1 ;ð â â€},
1 â ðº
1+61 = 0.6 + 2 = 2 atau 2 ððð 6 = 2 â ðº
1+61+61 = 0.6 + 3 = 3 atau 3 ððð 6 = 3 â ðº
1+61+61+61 = 0.6 + 4 = 4 atau 4 ððð 6 = 4 â ðº
1+61+61+61+61 = 0.6 + 5 = 5 atau 5 ððð 6 = 5 â ðº
1+61+61+61+61+61 = 1.6 + 0 = 0 atau 6 ððð 6 = 0 â ðº
1 = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }
c. 2 = {ð 2 ;ð â â€},
2 â ðº
2+62 = 0.6 + 4 = 4 atau 4 ððð 6 = 4 â ðº
2+62+62 = 1.6 + 0 = 0 atau 6 ððð 6 = 0 â ðº
2 = {0 , 2 , 4 }
d. 3 = {ð 3 ;ð â â€},
3 â ðº
3+63 = 1.6 + 0 = 0 atau 6 ððð 6 = 0 â ðº
3 = {0 , 3 }
e. 4 = {ð 4 ;ð â â€},
4 â ðº
4+64 = 1.6 + 2 = 2 atau 8 ððð 6 = 2 â ðº
4+64+64 = 2.6 + 0 = 0 atau 12 ððð 6 = 0 â ðº
2 = {0 , 2 , 4 }
f. 5 = {ð 5 ;ð â â€},
5 â ðº
5+65 = 1.6 + 4 = 4 atau 10 ððð 6 = 4 â ðº
5+65+65 = 2.6 + 3 = 3 atau 15 ððð 6 = 3 â ðº
5+65+65+65 = 3.6 + 2 = 2 atau 20 ððð 6 = 2 â ðº
5+65+65+65+65 = 4.6 + 1 = 1 atau 24 ððð 6 = 1 â ðº
38
5+65+65+65+65+65 = 5.6 + 0 = 0 atau 30 ððð 6 = 0 â ðº
5+65+65+65+65+65+65 = 5.6 + 5 = 5 atau 35 ððð 6 = 5 â ðº
5 = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }
⎠Jadi, G merupakan grup siklik dengan generator 1 = 5 = {0 , 1 , 2 , 3 } .â
8. ðº = â1,1 , (ðº,Ã) adalah grup, tunjukkan G membentuk grup siklik!
Bukti:
a. 1 = { 1 ð ;ð â â€}
= { ⊠, 1 â2, 1 â1, 1 0, 1 1,⊠}
= {1}
b. â1 = { â1 ð ;ð â â€}
= { ⊠, â1 â2, â1 â1, â1 0, â1 1,⊠}
= {1,â1}
⎠Jadi, G merupakan grup siklik dengan generator â1 = {â1,1} .â
9. Misalkan bilangan bulat membentuk grup dibawah operasi penjumlahan.
Buktikan bilangan bulat dengan operasi jumlah membentuk grup siklik!
Bukti:
Misalkan (â€, +) adalah grup
Akan ditunjukkan (â€, +) membentuk grup siklik. Perhatikan bahwa:
a. 1 = {ð(1);ð â â€}
= { ⊠, â2 1 , â1 1 , 0 1 , 1 1 , 2(1),⊠}
= { ⊠,â2,â1, 0, 1, 2 ⊠}
b. â1 = {ð(â1);ð â â€}
= { ⊠, â2 â1 , â1 â1 , 0 â1 , 1 â1 , 2(â1),⊠}
= { ⊠,â2,â1, 0, 1, 2 ⊠}
⎠Jadi, (â€, +) merupakan grup siklik dengan generator 1 = â1 = †.â
39
10. Misalkan ðº = {1,â1, ð,âð} i bilangan imaginer, tunjukkan (G, x) membentuk
grup. Apakah G juga siklik
Bukti:
Misalkan (G, x) adalah grup
Akan ditunjukkan (G, x) membentuk grup siklik. Perhatikan bahwa:
a. 1 = {(1)ð ;ð â â€}
= { ⊠, (1)â1, (1)0, (1)1,⊠}
= {1}
b. â1 = {(â1)ð ;ð â â€}
= { ⊠, (â1)â1, (â1)0, (â1)1,⊠}
= {â1, 1}
c. ð = {(ð)ð ;ð â â€}
= { ⊠, (ð)0 , (ð)1, (ð)2, (ð)3 ⊠}
= {1, ð,â1,âð}
Catatan: ð2 = â1
ð3 = ð2ð = â1 ð = âð
d. âð = {(âð)ð ;ð â â€}
= { ⊠, (âð)0, (âð)1 , (âð)2, (âð)3,⊠}
= {1,âð,â1, ð}
Catatan: ð2 = â1
(âð)3 = âð 2 âð = { â1 ð}2 = { â1 â1 }ð = ð
⎠Jadi, (ðº,Ã) merupakan grup siklik dengan generator ð = âð =
{1,â1, ð,âð} .â
11. Misalkan ðº =< 1 > grup siklik dan ð¡ ð = ð. Buktikan bahwa ðð generator
dari G untuk 1 †ð †ð, jika dan hanya jika m dan n relatif prima?
Bukti:
Misalkan ðº =< 1 > grup siklik dan ð¡ ð = ð
40
Digunakan teorema ð,ð = 1 ⺠âð¥,ðŠ â †â ðð¥ + ððŠ = 1
â¹) bukti dari arah kiri ke kanan
ðð generator dari G untuk 1 †ð †ð, â¹m dan n relatif prima
Karena ð generator dari G dan dan ð ð = ð maka ðð = ð,
Diketahui ðð generator dari G dan ð â ðº maka
ðð ð¥ = ð â¹ ððð¥ = ð [teorema ðð ð = ððð ]
â¹ ððð¥ ðâ1 = ððâ1 [masing-masing dikali ðâ1]
â¹ ððð¥â1 = ð0 [ððâ1 = ð0]
â¹ ððð¥â1 = ð [ð0 = ð]
â¹ ððð¥â1 = ðð [ðð = ð]
Karena ðð¥ â 1 kelipatan dari n yaitu order dari ð misalkan ððŠ
sedemikian sehingga ðð¥ â 1 = ððŠ â¹ ðð¥ + ððŠ = 1 (terbukti relatif
prima)
âž) bukti dari arah kanan ke kiri
ð dan ð relatif prima â¹ ðð generator dari G untuk 1 †ð †ð
Diketahui m dan n relatif prima maka dari teorema diperoleh
ð,ð = 1 â¹ âð¥,ðŠ â †â ðð¥ + ððŠ = 1 sehingga:
ðð ð¥ = ððð¥
= ðððŠâ1
= ððâððŠ
= ð(ðð)âðŠ
= ð(ð)âðŠ
= ð
Artinya a dapat dinyatakan sebagai perpangkatan bulat dari ðð dan
karena a sebagai generator dari G, maka setiap elemen G dapat
dinyatakan sebagai perpangkatan bulat dari ðð akibatnya ðº = ðð
⎠Jadi, ðð generator dari G untuk 1 †ð †ð, jika dan hanya jika m dan n
relatif prima .â
41
12. Buktikan bahwa jika G grup siklik terhingga dengan generator a maka
ð ðº = ð¡ ð (ð ðº = orde grup G, yaitu banyaknya anggota yang berada di
G.
Bukti:
Misalkan G grup hingga dan ð ðº = ð
ð â ðº dan ð¡ ð = ð yaitu ðð = ð
Dibentuk ðŽ = {ð, ð2,⊠, ðð = ð}
Jelas elemen di A tidak ada yang sama, sebab jika ada yang sama sebut
ðð = ðð dengan 0 < ð < ð < ð â¹ ððâð = ð dengan 0 < ð â ð < ð hal ini
tidak mungkin terjadi sebab ð¡ ð = ð; ð â â€+ ð¡ððððððð â ðð = ð â¹ ð¡ ð =
ð
⎠jadi, G grup siklik terhingga dengan generator a maka ð ðº = ð¡ ð .â
13. Buktikan bahwa jika G grup terhingga berorde n dan ada ðððº dengan t(a) =
n, maka G siklik.
Bukti:
Misalkan G grup terhingga dan ð ðº = ð
ðððº dengan t(a) = n yaitu ðð = ð,
Misalkan dibentuk subgrup dari G yaitu ðŽ = {ð, ð2, ð3,âŠðð = ð}.
Elemen dari A tidak ada yang sama sebab jika ada yang sama, Misalnya
ðð¡ = ðð dengan 0 < ð < ð¡ < ð maka
ðð¡âð = ð dengan 0 < ð¡ â ð < ð. Hal ini tidak mungkin,
sebab ð¡ ð = ð; ð â â€+ ð¡ððððððð â ðð = ð â¹ ð¡ ð = ð
karena A sub grup dari G dan ð ðº = ð, maka G = A. A adalah suatu grup
siklik dengan generator a, maka demikian pula G.
⎠jadi, G grup terhingga berorde n dan ada ðððº dengan t(a) = n, maka G
siklik.â
42
14. Berapa banyakkah generator yang terdapat pada grup siklik berorde 10?
Bukti:
Untuk mencari banyaknya generator maka dapat digunakan teorema pada
soal no.11, Karena grup siklik mempunyai orde 10 dan bilangan bulat positif
mempunyai orde 10 dan bilangan bulat positif yang kurang dari 10 dan
saling prima dengan 10 adalah 1, 3, 7, 9, maka generator-generator dari
grup Siklik yang berorde 10 adalah ð1, ð3, ð7, ð9
⎠banyaknya generator adalah 4. â
15. Buktikan Jika a suatu anggota grup G dengan o(a) = n dan e unsur identitas di G:
ðð = ð ð kelipatan dari n.
Bukti:
Misal ð â ðº, G grup, ð identitas di G dan ð ð = ð
â¹) bukti dari arah kiri ke kanan
Akan ditunjukkan
ðð = ðâ¹ ð kelipatan dari n
perhatikan bahwa:
ð ð = ð dan ð â â€+ â ðð = ð akibatnya ð ⥠ð
Kasus I: ð = ð â¹ ððððð ð ⣠ð
Kasus II: ð > ð
Berdasarkan algoritma pembagian âð, ð â â€+ â ð = ðð + ð; 0 †ð < ð
Perhatikan bahwa:
ðð = ððð+ð [ð = ðð + ð]
= ððððð [teorema ðð+ð = ðððð ]
= (ðð)ððð [teorema ððð = (ðð)ð ]
= (ð)ððð [ðð = ð]
= ððð [(ð)ð = ð]
= ðð [ððð = ðð]
43
Diperoleh ðð = ðð = ð padahal 0 †ð < ð dan ð ð = ð maka haruslah
ð = 0 sedemikian sehingga diperoleh ð = ðð. Jadi, ð ⣠ð
âž) bukti dari arah kanan ke kiri
ð kelipatan dari ðâ¹ ðð = ð
ð,ð â â€+ ⧠ð ⣠ð â¹ âð â â€+ â ð = ðð
ðð = ððð [ð = ðð]
= (ðð)ð [teorema ððð = (ðð)ð ]
= (ð)ð [ðð = ð]
= ð [(ð)ð = ð]
⎠ðð = ð ð kelipatan dari n. â
16. Jika G grup siklik maka G abelian.
Bukti:
Misalkan G grup siklik.
Karena G siklik maka ðº =< ð > untuk suatu ð â ðº.
Misalkan ðº = ðð k â â€
Akan ditunjukkan bahwa ð¥ðŠ = ðŠð¥ untuk setiap ð¥,ðŠ â ðº.
Ambil sebarang ð â ðº.
Karena x, y dalam G maka
ð¥ = ðð dan ðŠ = ðð ; Untuk suatu ð,ð â â€, sehingga
ðððð = ðð+ð dan
ðŠð¥ = ðððð [ð¥ = ðð dan ðŠ = ðð ]
= ðð+ð [ðððð = ðð+ð ]
= ðð+ð [sifat komutatif †dibawah operasi penjumlahan]
= ðððð [ðð+ð = ðððð ]
= ð¥ðŠ [ð¥ = ðð dan ðŠ = ðð ]
⎠Terbukti G grup abelian. â
***
44
KOMPLEKS & SUBGRUP
17. Jika ð,ð ððð ð kompleks dari grup G maka ðð ð = ð(ðð)
Bukti :
Untuk membuktikan ðð ð = ð ðð harus dibuktikan ðð ð â ð ðð &
ðð ð â ð ðð
â¹) Akan dibuktikan ðð ð â ð ðð
Ambil ð â XY Z , berarti ð = ð¥ðŠ ð§ dengan ð¥ â X,ðŠ â Y, ð§ â
Z dan ð¥, ðŠ, ð§ â G.
karena ð,ð ððð ð kompleks dari grup G, sehingga dipenuhi sifat
asosiatif yaitu : ð = ð¥ðŠ ð§ = ð¥ ðŠð§ â ð ðð .
Diperoleh âð â ðð ð â ð â ð ðð
Jadi ðð ð â ð(ðð) ⊠(i)
Pendahuluan
â â ð» â ðº,ðº grup â¹ H Kompleks dari ðº . â
Misalkan M dan N kompleks dari grup (G,*) maka hasil kali kompleks MN
adalah himpunan m*n dengan ð â ð dan ð â ð. Secara matematis
dinotasikan : ðð = {ð â ð ⣠ð â ð dan ð â ð}. â
Jika M kompleks dari grup G maka ðâ1 = {ðâ1 ⣠ð â ð}. â
â â ð» â ðº,ðº grup, H subgrup dari G, apabila H membentuk gerup
dibawah operasi yang sama di dalam G. â
Grup yang memiliki elemen lebih dari satu dijamin memiliki minimal dua
subgrup yaitu G sendiri dan {e}, e adalah unsur identitas di G.
⧠G dan {e} disebut subgrup trivial atau subgrup improper.
⧠Jika ada H subgrup dari G dan H â G dan H â {e} maka H disebut
subgrup proper. â
Subgrup biasa disimbolkan dengan " †". â
45
â) Akan dibuktikan ðð ð â ð(ðð) â ð(ðð) â ðð ð
Ambil ð â X(YZ), berarti ð¡ = ð¥ ðŠð§ dengan ð¥ â X, ðŠ â Y, ð§ â
Z dan ð¥, ðŠ, ð§ â G.
karena ð,ð ððð ð kompleks dari grup G, sehingga dipenuhi sifat
asosiatif yaitu : ð = ð¥ ðŠð§ = ð¥ðŠ ð§ â (ðð)ð.
Diperoleh âð¡ â ð ðð â ð¡ â (ðð)ð
Jadi ð(ðð) â ðð ð ⊠(ii)
⎠Dari i dan ii dapat disimpulkan bahwa ðð ð = ð(ðð) .â
2. Misalkan â â ð» â ðº,ðº grup dan ð â ðº [e=identitas]. himpunan H
merupakan subgrup dari G jika dan hanya jika memenuhi sifat :
a. ð, ð â ð» â ðð â ð»
b. ð â ð» â ðâ1 â ð»
Bukti :
â¹) bukti dari kiri ke kanan
a. ð» grup (sebab ð» subgrup dari G) maka ð» mmnuhi sifat tertutup di
bawah operasi dalam G.
b. Ambil sebarang ð â ð»
Karena ð» grup maka ð mempunyai invers ðâ² dalam ð»,
Berdasarkan sifat ketunggalan dari suatu invers maka ðâ² = ðâ1
yaitu invers dari ð dalam G.
â) bukti dari kanan ke kiri
Akan dibuktikan bahwa jika H memenuhi sifat:
a. â â ð» â ðº
b. âð, ð â ð» â ðð â ð»
c. âð â ð» â ðâ1 â ð», maka H merupakan grup
46
Syarat a sampai c merupakan tiga syarat supaya suatu himpunan
merupakan grup. Syarat lain yang harus dipenuhi adalah
(i) Hukum assosiatif
Karena (ab) c = a (bc) untuk semua anggota dalam G maka tentu
saja juga berlaku untuk semua anggota dalam S â G.
(ii) Unsur Identitas
Diketahui ð â ð» ⧠ðâ1 â ð» â ððâ1 = ð â ð» [e=identitas]
⎠jadi, dapat disimpulkan ð» †ðº.â
3. Misalkan H kompleks tidak kosong dari grup G. H merupakan subgrup dari G
jika dan hanya jika untuk setiap ð â ð», ð â ð» menyebabkan ððâ1 â ð».
Bukti:
Misalkan â â ð» â ðº,ðº grup
â¹) bukti dari kiri ke kanan
Diketahui ð» subgrup dari G sehingga ð» juga merupakan grup terhadap
operasi yang berlaku di G
Akan ditunjukkan âð, ð â ð»,berlaku ððâ1 â ð», perhatikan:
Ambil sebarang ð, ð â ð», karena ð» grup maka terdapat ðâ1 â ð»
sehingga ð, ðâ1 â ð» dan ð» memenuhi sifat tertutup maka ððâ1 â ð»
â) bukti dari kanan ke kiri
ð, ð â ð» berlaku ððâ1 â ð» Akan ditunjukkan H subgrup yakni H
merupakan grup, perhatikan bahwa :
Ambil sebarang ð â ð» maka ððâ1 â ð» (diketahui)
ððâ1 = ð maka ð â ð» [e=identitas] ⊠(*1)
ð,ð â ð» maka ððâ1 = ðâ1 â ð» (diketahui) ⊠(*2)
Ambil sebarang ð, ð â ð», karena ð» grup maka terdapat ðâ1 â ð»,
jika ð ðâ1 â ð» maka ð (ðâ1)â1 â ð»
47
Karena ð (ðâ1)â1 = ðð â ðð â ð», jadi dapat disimpulkan bahwa H
memenuhi sifat tertutup ... (*3)
Jelas bahwa H mempunyai sifat asosiatif karena H âG maka âð¥, ðŠ, ð§ â ð»
pasti ð¥,ðŠ, ð§ â ðº dan G adalah grup maka berlaku ð¥ ðŠð§ = ð¥ðŠ ð§ ⊠(*4)
Dari (*1), (*2),(*3), dan (*4) terbukti H merupakan grup yang
berarti H subgrup dari G.
4. Tunjukkan bahwa ð\{0 , ð¥) merupakan subgrup dari (R\{0),x)
Bukti:
a) Akan ditunjukkan (R\{0),x) membentuk grup.
Perhatikan bahwa:
(i) Tidak Kosong
R\{0} â â sebab â 2 â R\{0} ⊠(terpenuhi)
(ii) Sifat tertutup
â ð, ð,â R\{0} berlaku ð â ð â R\{0}
Ambil sebarang ð, ð â R\{0} maka berlaku ð à ð â R\{0}âŠ
(terpenuhi)
(iii) Sfat Assosiatif,
âð, ð, ð â R\{0} berlaku ð â ð â ð = ð â ð â ð
Ambil sebarang ð, ð, ð â R\{0}
Perhatikan bahwa:
ð â ð â ð = ð â ð Ã ð
= ð Ã (ð Ã ð)
= (ð Ã ð) Ã ð
= ð Ã ð â ð
= ð â ð â ð ⊠(terpenuhi)
(iv) Unsur Identitas
âð â R\{0} âð â R\{0} â ð â ð = ð â ð = ð
48
Perhatikan bahwa:
ð Ã ð = ð Ã ð = ð
ð = ð =ð
ð ; ð â R\{0}
ð = 1
Sehingga ð = 1 â R\{0} [e=identitas] ⊠(terpenuhi)
(v) Unsur Invers
âð â R\{0} âðâ1 â R\{0} â ðâ1 â ð = ð â ðâ1 = ð
perhatikan bahwa:
ð Ã ð = ð Ã ð = 1
ð = ð =1
ð ; ð â R\{0}
ð =1
ð â R\{0} ⊠(tidak memiliki unsur invers)
⎠jadi, (R\{0),x) membentuk grup.
b) Untuk membuktikan ð\{0 , ð¥) merupakan subgrup dari (R\{0),x)
digunakan teorema ââ â ð» â ðº,ðº grup, H †G ⺠ð, ð â ð» â ððâ1 â ð»"
berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan:
ð\{0} â â
ð\{0} â ð \{0}
âð¥, ðŠ â ð\{0} â¹ ð¥ðŠâ1 â ð\{0}
Perhatikan bahwa:
ð\{0} â â sebab â 2 â Q\{0} ⊠(terpenuhi)
ð\{0} â ð \{0} jelas ⊠(terpenuhi)
Ambil searang ð¥,ðŠ â ð\{0}
Perhatikan bahwa:
ð¥ðŠâ1 â ð\{0} sebab ð¥ â ð\{0} & ðŠâ1 â ð\{0} ⊠(terpenuhi)
⎠jadi, ð\{0 , ð¥) †(R\{0),x). â
49
5. Buktikan bahwa (ðð , +) dengan ðð = ðð ; ð â ð merupakan subgrup
dari grup (ð, +)!
Bukti:
Diketahui (ð, +) membentuk grup
Untuk membuktikan (ðð , +) merupakan subgrup dari (ð, +) digunakan
teorema ââ â ð» â ðº,ðº grup, H †G ⺠ð, ð â ð» â ððâ1 â ð»".
Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan:
a. ðð â â
Perhatikan bahwa:
ðð â â sebab â (2ð ; 2 â ð) â ðð ⊠(terpenuhi)
b. ðð â ð
Ambil sebarang ð¥ â ðð ⊠(i)
Pandang: ð¥ = ð1ð; ð1 â ð,ð â ð
Perhatikan bahwa:
ð¥ = ð1ð; ð1 â ð,ð â ð
ð¥ = ð1ð â ð (memenuhi sifat tertutup sebab diketahui ð membentuk
grup) ⊠(ii)
Dari (i) dan (ii), sehingga disimpulkan bahwa ðð â ð ⊠(terpenuhi)
c. âð¥, ðŠ â ðð â¹ ð¥ðŠâ1 â ðð
Ambil sebarang ð¥,ðŠ â ðð
Pandang:
ð¥ = ð1ð; ð1 â ð
ðŠ = ð2ð; ð2 â ð
perhatikan bahwa:
ð¥ðŠâ1 = (ð1ð) + (âð2ð)
= ð1ðâ ð2ð [ð1 ,ð2 â ð]
= (ð1 â ð2)ð â ðð ⊠(terpenuhi)
⎠jadi, ðð †ð. â
50
6. ð = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 merupakan grup, buktikan (M,+8) dengan
ð = 0, 2, 4, 6, 8 subgrup dari (P, +8)
Bukti:
Misalkan (P, +8) merupakan grup
Untuk membuktikan (M,+8) merupakan subgrup dari (P, +8) digunakan
teorema ââ â ð» â ðº,ðº grup higga, H †G ⺠ð, ð â ð» â ðð â ð»".
Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan:
a. P grup hingga
ð = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 jelas merupakan grup hingga ⊠(terpenuhi)
b. ð â â
ð â â sebab â 2 â ð ⊠terpenuhi
c. ð â ð
ð â ð jelas sebab 0, 2, 4, 6, 8 â 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
d. âð, ð â ð â ðð â ð
Ambil sebarang ð, ð â ð akan ditunjukkan ðð â ð
Karena M adalah subset P yang hingga maka cukup dibuktikan M
tertutup terhadap operasi +8.
Perhatikan tabel dibawah ini:
+8 0 2 4 6
0 0 2 4 6
2 2 4 6 0
4 4 6 0 2
6 6 0 2 4
Dari tabel diatas terlihat bahwa operasi +8 tertutup dalam M âŠ
(terpenuhi)
⎠Jadi, (M, +8) †(P, +8).â
51
7. Dengan operasi perkalian tunjukkan ð2 ð¹ Ã ð2 ð¹ merupakan subgrup
dari grup (ð2 ð¹ ,Ã) dengan pendefenisian
ð2 ð¹ = ð ðð ð
; ð, ð, ð,ð â â,ðð â ðð = 1
ð2 ð¹ = ð ðð ð
; ð,ð,ð,ð â â, ðð â ðð = â2
Bukti:
Untuk membuktikan ð2 ð¹ Ã ð2 ð¹ merupakan subgrup dari
(ð2 ð¹ , ) digunakan teorema "ðº grup , â â ð» â ðº ððð â â ðŸ â ðº , HK †G
⺠ð»ðŸ = ðŸð»".
Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan:
a. ð2 ð¹ â â & ð2 ð¹ â â
Perhatikan bahwa:
ð2 ð¹ â â sebab â 1 02 1
; 1, 0, 2 â â, 1â 0 = 1 â ð2 ð¹
ð2 ð¹ â â sebab â 1 22 2
; 1, 2 â â, 2â 4 = â2 â ð2 ð¹
b. ð2 ð¹ â ð2 ð¹ & ð2 ð¹ â ð2 ð¹
Perhatikan bahwa:
det (ð2 ð¹ ) = ðð â ðð = 1 â det (ð2 ð¹ ) = ðð â ðð â ð¹
det (ð2 ð¹ ) = ðð â ðð = â2 â det (ð2 ð¹ ) = ðð â ðð â ð¹
c. ð2 ð¹ ð2 ð¹ = ð2 ð¹ ð2 ð¹
Perhatikan bahwa:
ð2 ð¹ ð2 ð¹ = ð ðð ð
ð ðð ð
digunakan teorema ððð ðšð© = ððð ðš ððð(ð©)
karena diketahui det (ð2 ð¹ ) = 1 & det (ð2 ð¹ ) = â2 maka
det(ð2 ð¹ ð2 ð¹ ) = det (ð2 ð¹ )det (ð2 ð¹ )
= 1 â2
= â2 ⊠(i)
52
ð2 ð¹ ð2 ð¹ = ð ðð ð
ð ðð ð
digunakan teorema ððð ðšð© = ððð ðš ððð(ð©)
karena diketahui det (ð2 ð¹ ) = 1 & det (ð2 ð¹ ) = â2 maka
det( ð2 ð¹ ð2 ð¹ ) = det (ð2 ð¹ )det (ð2 ð¹ )
= â2 1
= â2 ⊠(ii)
Dari (i) dan (ii) disimpulkan bahwa ð2 ð¹ ð2 ð¹ = ð2 ð¹ ð2 ð¹
⎠jadi, ð2 ð¹ à ð2 ð¹ †(ð2 ð¹ ,Ã) .â
8. Misalkan (ð2 ð¹ ,Ã) grup
ð2 ð¹ = ð ðð ð
; ð, ð, ð,ð â â, ðð â ðð â â
ð»2 ð¹ = ð ð0 ð
; ð, ð,ð â â,ðð â â
Apakah ð»2 ð¹ merupakan subgrup dari ð2 ð¹
Bukti:
Diketahui (ð2 ð¹ ,Ã) membentuk grup
Untuk membuktikan ð»2 ð¹ merupakan subgrup dari ð2 ð¹
digunakan teorema ââ â ð» â ðº,ðº grup, H †G ⺠ð, ð â ð» â ððâ1 â ð»".
Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan:
a. ð»2 ð¹ â â
Perhatikan bahwa:
ð»2 ð¹ â â sebab â 1 20 1
; 1, 0, 2 â â, 1 â 0 â ð»2 ð¹
b. ð»2 ð¹ â â ð2 ð¹
perhatikan bahwa:
det (ð»2 ð¹ ) = ðð â 0 â det (ð2 ð¹ ) = ðð â ðð â 0
c. â ð2 ð¹ ,ð2 ð¹ â ð»2 ð¹ â¹ ð2 ð¹ ð2 ð¹ â1â ð»2 ð¹
Ambil sebarang ð2 ð¹ ,ð2 ð¹ â ð»2 ð¹
53
Pandang:
ð2 ð¹ = ð ð0 ð
;ð, ð,ð â ð¹,ðð â 0
ð2 ð¹ = ð ð0 ð
; ð,ð, h, â ð¹, ðð â 0
Invers dari ð2 ð¹ adalah
ð2 ð¹ â1
=1
ððð¡ ð2 ð¹ ððð ð2 ð¹
=1
ðð ð âð0 ð
ket: ðð â 0
=
1
ð
âð
ðð
01
ð
â ð»2 ð¹
ððð¡ ð2 ð¹ â1
= 1
ð
1
ð =
1
ðð
Karena ðð â 0 akibatnya 1
ððâ 0 sehingga ððð¡ ð2 ð¹
â1â 0
Akan ditunjukkan ð2 ð¹ ð2 ð¹ â1â ð»2 ð¹
ð2 ð¹ ð2 ð¹ â1
= ð ð0 ð
1
ð
âð
ðð
01
ð
digunakan teorema ððð ðšð© = ððð ðš ððð(ð©)
karena diketahui det (ð2 ð¹ ) â 0 & det (ð2 ð¹ )â1 â 0 maka
ððð¡ ð2 ð¹ ð2 ð¹ â1 = ððð¡ ð2 ð¹ ððð¡ ð2 ð¹
â1â 0
sehingga dapat disimpulkan ð2 ð¹ ð2 ð¹ â1â ð»2 ð¹
⎠jadi, ð» ð¹ †ð2 ð¹ .â
9. Tunjukkan ð = {3ð ; ð â ð} merupakan grup bagian dari grup (R, x)!
Bukti:
misalkan (ð¹, Ã) membentuk grup
54
Untuk membuktikan ð merupakan subgrup dari ð¹
digunakan teorema ââ â ð» â ðº,ðº grup, H †G ⺠ð, ð â ð» â ððâ1 â ð»".
Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan:
a. ð â â
Perhatikan bahwa:
ð â â sebab â(32; 2 â ð) â ð ⊠(terpenuhi)
b. ð â ð¹
Ambil sebarang ð¥ â ð
Pandang ð¥ = 3ð ; ð â ð
Perhatikan bahwa: ð¥ = (3ð ; ð â ð) â ð¹
ð¥ â ð ⧠ð¥ = (3ð ; ð â ð) â ð¹ â¹ ð â ð¹ ⊠(terpenuhi)
c. âð, ð â ð â¹ ððâ1 â ð
Ambil sebarang ð, ð â ð
Pandang: ð = (3ð ;ð â ð) â ðº
ð = (3ð ;ð â ð) â ðº
Akan dibuktikan bahwa ððâ1 â ð
Perhatikan bahwa:
ððâ1 = (3ð) 1
3ð
= (3ð) 3âð
= 3ðâð [ð â ð ⧠ð â ð â¹ ðâ ð â ð]
= (3ðâð) â ðº ⊠(terpenuhi)
⎠jadi, ð = {3ð ; ð â ð} †(R, x) .â
10. Misalkan ðº = {1,â1, ð,âð} dengan operasi perkalian maka {ðº,Ã}
membentuk grup. Pandang ð» = {1,â1} apakah H subgrup dari G?
Bukti:
Misalkan ðº = {1,â1, ð,âð} dengan operasi perkalian, {ðº,Ã} merupakan grup
55
Untuk membuktikan ð» merupakan subgrup dari G digunakan teorema
ââ â ð» â ðº,ðº grup higga, H †G ⺠ð, ð â ð» â ðð â ð»".
Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan:
a. G grup hingga
ðº = {1,â1, ð,âð} jelas merupakan grup hingga ⊠(terpenuhi)
b. ð» â â
ð» â â sebab â 1 â ð» ⊠terpenuhi
c. ð» â ðº
ð» â ðº jelas sebab {1,â1} â {1,â1, ð,âð}
d. âð, ð â ð â ðð â ð
Ambil sebarang ð, ð â ð akan ditunjukkan ðð â ð
Karena H adalah subset G yang hingga maka cukup dibuktikan H tertutup
terhadap operasi Ã.
Perhatikan tabel dibawah ini:
à 1 -1
1 1 -1
-1 -1 1
Dari tabel diatas terlihat bahwa operasi à tertutup dalam H âŠ
(terpenuhi)
⎠Jadi, (H, Ã) †(G, Ã).â
11. (ð, +) merupakan grup, pandang 2ð = {2ð§; ð§ â ð} maka 2ð merupakan
subgrup dari Z!
Bukti:
Misalkan (ð, +) merupakan grup
Untuk membuktikan 2ð merupakan subgrup dari Z
digunakan teorema ââ â ð» â ðº,ðº grup, H †G ⺠ð, ð â ð» â ððâ1 â ð»".
Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan:
56
a. 2ð â â
Perhatikan bahwa:
2ð â â sebab â(2 1 = 2; 1 â ð) â ð ⊠(terpenuhi)
b. 2ð â ð
Ambil sebarang ð¥ â 2ð
Pandang ð¥ = 2ð§; ð§ â ð
Perhatikan bahwa: ð¥ = (2ð§; ð§ â ð) â ð sebab ð§ â ð, 2 â ð ⧠ð memenuhi
sifat tertutup karena ð membentuk grup.
ð¥ â 2ð ⧠ð¥ = ð¥ = (2ð§; ð§ â ð) â ð â¹ 2ð â ð ⊠(terpenuhi)
c. âð, ð â 2ð â¹ ððâ1 â 2ð
Ambil sebarang ð, ð â 2ð
Pandang: ð = (2ð§1; ð§1 â ð) â 2ð
ð = (2ð§2; ð§2 â ð) â 2ð
Akan dibuktikan bahwa ððâ1 â 2ð
Perhatikan bahwa:
ððâ1 = 2ð§1 + â2ð§2
= 2ð§1 â 2ð§2
= 2(ð§1 â ð§2) [ð§1 â ð ⧠ð§2 â ð â¹ ð§1 â ð§2 â ð]
= 2(ð§1 â ð§2) â 2ð ⊠(terpenuhi)
⎠jadi, 2ð †ð.â
12. Misalkan H, K kompleks sebarang dari grup G, Apakah HK = KH?
(jika âyaâ tunjukkan, jika âtidakâ berikan contoh penyangkal)
Bukti:
ð»ðŸ â ðŸð»
Contoh penyangkal
Misalkan M adalah himpunan matriks real 2x2 dan (M,*) membentuk grup
57
ð = ð ðð ð
, ð, ð, ð,ð â â,ðð â ðð â 0
Ambil sebarang ð1 ,ð2 â M
Pandang:
ð1 = 1 02 1
; 1,0,2 â â, 1 â 0
ð2 = 1 20 1
; 1,0,2 â â, 1 â 0
Perhatikan bahwa:
ð1ð2 = 1 02 1
1 20 1
= 1 22 5
⊠(i)
ð2ð1 = 1 20 1
1 02 1
= 5 22 1
⊠(ii)
Dari (i) dan (ii) diperoleh bahwa ð1ð2 â ð2ð1 ,
13. Misalkan G grup dan H, K, L masing-masing subset dari H. Buktikan
ð» ðŸ ⪠ð¿ = ð»ðŸ ⪠ð»ð¿, Apakah ð» ðŸ â© ð¿ = ð»ðŸ â© ð»ð¿?
Bukti:
I. ð» ðŸ ⪠ð¿ = ð»ðŸ ⪠ð»ð¿
Untuk membuktikan ð» ðŸ ⪠ð¿ = ð»ðŸ ⪠ð»ð¿ mka akan diperlihatkan
bahwa ð» ðŸ ⪠ð¿ â ð»ðŸ ⪠ð»ð¿ dan ð» ðŸ ⪠ð¿ â ð»ðŸ ⪠ð»ð¿
Akan ditunjukkan ð» ðŸ ⪠ð¿ â ð»ðŸ ⪠ð»ð¿
Ambil sebarang ð¥ â ð» ðŸ ⪠ð¿ ⊠(i)
Perhatikan bahwa:
ð¥ â ð» ðŸ ⪠ð¿ â¹ ð¥ = h (k âš l) , untuk ð â ð», ð â ðŸ dan ð â ð¿
ð¥ = ð (ð âš ð)
ð¥ = ðð [misalkan (ð âš ð) = ð]
ð¥ = ðð [untuk ð â ð», ð â ðŸ dan ð â ð¿]
ð¥ = ðð [untuk ðð â ð»ðŸ atau ðð â ð»ð¿]
ð¥ â ð»ðŸ atau ð¥ â ð»ð¿
ð¥ â ð»ðŸ ⪠ð»ð¿ ⊠(ii)
58
Berdasarkan (i) dan (ii) disimpulkan bahwa ð» ðŸ ⪠ð¿ â ð»ðŸ ⪠ð»ð¿ âŠ(iii)
Akan ditunjukkan ð» ðŸ ⪠ð¿ â ð»ðŸ ⪠ð»ð¿
Ambil sebarang ðŠ â ð»ðŸ ⪠ð»ð¿ ⊠(iv)
ðŠ â ð»ðŸ ⪠ð»ð¿ â¹ ðŠ = ðð ðð¡ðð¢ ðŠ = ðð, untuk ð â ð», ð â ðŸ dan ð â ð¿
ðŠ = ðð ðð¡ðð¢ ðŠ = ðð
ðŠ = ð(ð âš ð)
ðŠ â ð» ðŸ ⪠ð¿ ⊠(v)
Berdasarkan (iv) dan (v) disimpulkan bahwa ð» ðŸ ⪠ð¿ â ð»ðŸ ⪠ð»ð¿âŠ(vi)
⎠berdasarkan iii dan vi dapat disimpulkan bahwa ð» ðŸ ⪠ð¿ = ð»ðŸ ⪠ð»ð¿
II. Apakah ð» ðŸ â© ð¿ = ð»ðŸ â© ð»ð¿?
ð» ðŸ â© ð¿ â ð»ðŸ â© ð»ð¿
Contoh penyangkal:
Misalkan G = {1, -1, i, -i} grup; H,K dan L masing-masing subset dari G
Pandang H = {-1, 1} â G, K = {1, i} â G dan L ={-1, i} â G perhatikan:
K â© L = {i}
H (K ⩠L) = {(-1,1),(i)}= {-i,i} ⊠(i)
HK = {(-1, 1), (1, i)} = {-1, 1, -i, i}
HL = {(-1, 1), (-1, i)} = {1, -1, -i, i}
HK ⩠HL = {1, -1, -i, i} ⊠(ii)
⎠berdasarkan i dan ii dapat disimpulkan bahwa H(K â© L) â HK â© HL. â
14. Misalkan ð» â ðº,ð» â â dan G grup. Buktikan H subgrup dari G âºð»ð»â1 =
ð»
Bukti:
Misalkan ð» â ðº,ð» â â
â¹) akan dibuktikan H subgrup dari G â¹ð»ð»â1 = ð»
Untuk membuktikan ð»ð»â1 = ð» maka perlu ditunjukkan a) ð»ð»â1 â ð»
b) ð»ð»â1 â ð»
59
ambil sebarang ð¥ â ð»ð»â1 ⊠(i)
ð¥ â ð»ð»â1 maka ð¥ = ððâ1; untuk suatu ð, ð â ð»
Karena H subgrup G dan ð, ð â ð» maka ððâ1 â ð» akibatnya ð¥ â ð» ⊠(ii)
dari (i) dan (ii) disimpulkan ð»ð»â1 â ð» âŠ(iii)
ambil sebarang ð â ð» âŠ(iv)
karena H subgrup G, maka âð â ð» [e=identitas]
catatan: ð â ð» = ðâ1 â ð»â1 [e=identitas]
Sehingga dapat dituliskan ððâ1 = ð â ð»ð»â1 ⊠(v)
Dari (iv) dan (v) disimpulkan ð» â ð»ð»â1 atau ð»ð»â1 â ð» ⊠(vi)
⎠dari (iii) dan (vi) disimpulkan bahwa ð»ð»â1 = ð»
âž) akan dibuktikan ð»ð»â1 = ð» â¹ H subgrup dari G
ambil sebarang ðŠ â ð»ð»â1
ðŠ â ð»ð»â1 â¹ ðŠ = ððâ1;ð, ð â ð»
Diktahui ð»ð»â1 = ð» maka
ðŠ â ð» atau y= ððâ1 â ð»
⎠Karena ððâ1 â ð» dan diketahui ð» â ðº,ð» â â â¹ ð» †ðº.
⎠jadi, ð» â ðº,ð» â â , H †G âºð»ð»â1 = ð». â
15. Misalkan G grup dan H, K masing-masing komplex dari G.
Buktikan: HK subgrup dari G jika dan hanya jika HK = KH
Bukti:
Misalkan ðº grup , â â ð» â ðº ððð â â ðŸ â ðº
â¹) akan dibuktikan HK †G â¹ HK = KH
Untuk membuktikan HK=KH maka perlu ditunjukkan ð»ðŸ â ðŸð» dan
ðŸð» â ð»ðŸ
(i) Ambil sebarang ð¥ â ð»ðŸ
Diketahui HK †G maka ð¥ memiliki unsur invers sehingga ð¥â1 â ð»ðŸ
60
Pandang ð¥â1 = ð1ð1; untuk suatu ð1 â ð», ð1 â ðŸ
Perhatikan bahwa:
ð¥ = ð¥â1 â1 [sifat grup]
= ð1ð1 â1 [ð¥â1 = ð1ð1]
= ð1â1ð1
â1 [ ð1ð1 â1 = ð1
â1ð1â1]
= ð1â1ð1
â1 [diketahui HK †G maka unsur invers jelas
dipenuhi sehingga ð1â1 â ðŸ, ð1
â1 â ð»]
= ð1â1ð1
â1 â ðŸð» [memenuhi sifat tertutup sebab HK †G]
⎠ð¥ â ð»ðŸ â ð¥ = ð1â1ð1
â1 â ðŸð» â¹ ð»ðŸ â ðŸð»
(ii) Ambil sebarang ð2 â ð» dan ð2 â ðŸ
Karena HK †G maka unsur invers jelas dipenuhi sehingga
ð1â1 â ðŸ, ð1
â1 â ð»
Tulis ð1â1ð1
â1â ð»ðŸ
Perhatikan bahwa:
ð1ð1 â ðŸð»
ð1ð1 = ð1â1ð1
â1 â1
â ð»ðŸ [sifat grup ð¥ = ð¥â1 â1]
⎠ð1ð1 â ðŸð» â ð1ð1 = ð1â1ð1
â1 â1
â ð»ðŸ â¹ðŸð» â ð»ðŸ
⎠HK †G â¹ HK = KH. â
16. Buktikan: Jika H, K subgrup dari G, maka ð» ðŸ juga subgrup dari G
Bukti:
Misalkan G grup, H †G, K †G
Untuk membuktikan ð» 🠆G
digunakan teorema ââ â ð» â ðº,ðº grup, H †G ⺠ð, ð â ð» â ððâ1 â ð»".
Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan:
a. ð» â© ðŸ â â
61
Karena H †G, K †G maka jelas â â ð» â ðº ððð â â ðŸ â ðº
Sehingga jelas ð» â© ðŸ â â ⊠(terpenuhi)
b. ð» â© ðŸ G
Karena H †G, K †G maka memiliki unsur identitas yang sama di G
Misalkan e adalah unsur identitas tulis ð â ð» â© ðŸ
karena ð â ð» â© ðŸ ⧠ð â ðº â¹ð» â©ðŸ G ⊠(terpenuhi)
c. ð¥ðŠâ1 â ð» â© ðŸ
Ambil sebarang ð¥,ðŠ â ð» â© ðŸ
karena ð¥,ðŠ â ð» â© ðŸ, maka:
ð¥ â ð» â© ðŸ ð¥ â ð» ⧠ð¥ â ðŸ
ðŠ â ð» â© ðŸ ðŠ â ð» ⧠ðŠ â ðŸ
Perhatikan bahwa:
ðŠ â ð» dan H subgrup G maka â ðŠâ1 â ð»
ðŠ â ðŸ dan K subgrup G maka â ðŠâ1 â ðŸ
Sehingga
ð¥ â ð» ⧠ðŠâ1 â ð» â¹ ð¥ðŠâ1 â ð» ⊠(i)
ð¥ â ðŸ ⧠ðŠâ1 â ðŸ â¹ ð¥ðŠâ1 â ðŸ âŠ(ii)
Dari (i) dan (ii) maka ð¥ðŠâ1 â ð» â© ðŸ ⊠(terpenuhi)
⎠H â© K †G. â
17. Buktikan: Teorema 4.9 (Tahmir, S. 2004: 73)
Teorema 4.9: Irisan sebarang keluarga subgrup dari grup G juga merupakan
subgrup dari G.
Bukti:
Misalkan ð»1,ð»2,ð»3,⊠masing-masing sebarang keluarga subgrup dari grup
G. Akan dibuktikan ð»1 â© ð»2 â© ð»3 â© âŠ
Misalkan ð»ð = ð»1 ,ð»2,ð»3,⊠; ð = 1,2,3, ..
Untuk membuktikan ð»ð †G
62
digunakan teorema ââ â ð» â ðº,ðº grup, H †G ⺠ð, ð â ð» â ððâ1 â ð»".
Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan:
a. ð»ð â â
diketahui G grup sehingga â ð â ðº dan diketahui H †G maka
ð»ð â â sebab â ð â ð»ð [e=identitas] ⊠(terpenuhi)
b. ð»ð G
ð»ð G jelas dipenuhi sebab ð»ð = ð»1 ,ð»2,ð»3,⊠; ð = 1,2,3, .. adalah
himpunan sebarang keluarga subgrup dari G ⊠(terpenuhi)
c. âð¥, ðŠ â ð»ð â¹ ð¥ðŠâ1 â ð»ð
Ambil sebarang ð¥, ðŠ â ð»ð
ð¥ â ð»ð ; ð = 1,2,3, ..
ðŠ â ð»ð ; ð = 1,2,3, ..
Karena ð»ð ; ð = 1,2,3, .. adalah sebarang keluarga subgrup dari G maka
â ðŠâ1 â ð»ð ; ð = 1,2,3, .. [memiliki unsur invers]
Perhatikan bahwa ð¥ â ð»ð & ðŠâ1 â ð»ð ; ð = 1,2,3, .. maka
ð¥ðŠâ1 â ð»ð ; ð = 1,2,3, . .. [memenuhi sifat tertutup sebab ð»ð ; ð = 1,2,3, ..
adalah sebarang keluarga subgrup dari G] ⊠(terpenuhi)
⎠Hi †G ; ð = 1,2,3, . ... â
18. Jika H, K subgrup dari grup H, apakah ð» ⪠ðŸ juga subgrup dari G?
Bukti:
ð» ⪠ðŸ bukan subgrup dari G
contoh penyangkal
misalkan (ð, +) adalah grup dan (2Z, +) dan (3Z, +) adalah subgrup dari G
ð, + . akan dibuktikan 2Z atau 3Z subgrup Z
2ð = { âŠâ 2, 0, 2,⊠}
3ð = { âŠâ 3, 0, 3,⊠}
2ð ⪠3ð = ⊠,â3,â2, 0, 2, 3, 4,âŠ
63
Perhatikan bahwa:
4 â 2ð ⪠3ð
3 â 2ð ⪠3ð
4 + 3 = 7 (2ð ⪠3ð)
Sehingga 72ð ⪠3ð bukan subgrup Z sebab tidak memenuhi sifat tertutup.
⎠Jadi jika H, K subgrup dari grup G, maka ð» ⪠ðŸ bukan subgrup dari G. â
19. Misalkan G grup dan ð» = {ð â ðº, ð¥ð = ðð¥,âð¥ â ðº}
Buktikan bahwa H subgrup dari G.
Bukti:
Untuk membuktikan ð» †G
digunakan teorema ââ â ð» â ðº,ðº grup, H †G ⺠ð, ð â ð» â ððâ1 â ð»".
Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan:
a. ð» â â
ð» â 0 sebab G adalah grup maka âð â ðº, e unsur identitas dari G
â ðð = ðð = ð â ð».
b. ð» â ðº
ð â ðº, ð¥ â ðº dan ð¥ð â ðº, sedangkan ð¥ð = ðð¥ â ð», maka ð» ðº.
c. âð¥, ðŠ â ð» â¹ ð¥ðŠâ1 â ð»
Ambil sebarang ð¥, ðŠ â ð», maka ð¥ð = ðð¥ dan ðŠð = ððŠ, selanjutnya
perhatikan bahwa:
ð¥ðŠâ1 ð = ð¥ðŠâ1 ðð [e=identitas]
= ð¥ðŠâ1 ð ðŠðŠâ1 [e= ðŠðŠâ1]
= ð¥ðŠâ1 ððŠ ðŠâ1 [sifat asosiatif]
= ð¥ðŠâ1 ðŠð ðŠâ1 [ðŠð = ððŠ]
= ð¥ ðŠðŠâ1 (ð ðŠâ1) [sifat asosiatif]
= ð¥ðððŠâ1 [ðŠðŠâ1 = e]
= (ð¥ð)ððŠâ1 [sifat asosiatif]
64
= ð¥ððŠâ1 [ð¥ð = ð¥]
= ð¥ð ðŠâ1 [sifat asosiatif]
= ðð¥ ðŠâ1 [ð¥ð = ðð¥]
= ð(ð¥ðŠâ1) [sifat asosiatif]
Sehingga ð¥ðŠâ1 â ð»
⎠Jadi H adalah subgrup dari G. â
20. Jika G grup komutatif dengan unsur identitas e, dan ð» = {ð â ðº:ð2 = ð}.
Buktikan H subgrup dari G.
Bukti:
Untuk membuktikan ð» †G
digunakan teorema ââ â ð» â ðº,ðº grup, H †G ⺠ð, ð â ð» â ððâ1 â ð»".
Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan:
a. ð» â â
ð» â 0 sebab ð â ðº â ð2 = ð â ð» [e=identitas].
b. ð» â ðº
Karena ð â ðº dan berlaku ð2 = ð â ð» [e = identitas] maka ð» â ðº
c. âð,ð â ð» â¹ ððâ1 â ð»
Ambil sebarang ð,ð â ð»
Perhatikan bahwa:
ð â ð»; ð2 = ð â¹ ðð = ð
â¹ðððâ1 = ððâ1 [kalikan kedua ruas ðâ1]
â¹ð(ððâ1) = ðâ1 [sifat assosiatif, ððâ1 = ðâ1]
â¹ðð = ðâ1 [ððâ1 = ð]
â¹ð = ðâ1 â ð» [ðð = ð]
ð â ð»; ð2 = ð â¹ ðð = ð
â¹ ðððâ1 = ððâ1 [kalikan kedua ruas ðâ1]
â¹ ð(ððâ1) = ðâ1 [sifat assosiatif, ððâ1 = ðâ1]
65
â¹ ðð = ðâ1 [ððâ1 = ð]
â¹ ð = ðâ1 â ð» [ðð = ð]
Akan dibuktikan (ððâ1)2 = ð
(ððâ1)2 = (ððâ1)(ððâ1)
= (ððâ1)(ðâ1ð) [sifat komutatif]
= ð(ðâ1ðâ1)ð [sifat assosiatif]
= ð(ðâ1)2ð [ðâ1ðâ1 = (ðâ1)2]
= ð(ð)2ð [ðâ1 = ð]
= ððð [ð2 = ð]
= ð(ðð) [sifat assosiatif]
= ðð [ðð = ð]
= ð2 [ðð = ð2]
= ð [ð2 = ð]
⎠Jadi, ð» = ð â ðº: ð2 = ð adalah subgrup dari G. â
21. Jika ð,ð masing-masing subgrup dari grup G, dan untuk setiap ð¥ â ðº,
ð¥â1ðð¥ = ð dan ð¥â1ðð¥ = ð. Buktikan, Jika ð â©ð = {ð} maka ðð = ðð
untuk ð â ð, ð â ð (e unsur identitas di G).
Bukti:
Diketahui: ð,ð †ðº, ð¥ â ðº
ð¥â1ðð¥ = ð
ð¥â1ðð¥ = ð
Akan dibuktikan: ð â©ð = {ð} â¹ðð = ðð untuk
Ambil sebarang ð,ð dengan ð â ð, ð â ð
Perhatikan bahwa:
ð †ðº dan ð †ðº â¹ â â ð â ðº dan â â ð â ðº â ð,ð â ðº
Karena ð¥â1ðð¥ = ð, ð â ð, ð â ðº maka
ðâ1ðð = ð atau ðâ1ðð â ð âŠâŠ (1)
66
karena ð¥â1ðð¥ = ð, ð â ð, ð â ðº maka
ðâ1ðð = ð atau ðâ1ðð â ð âŠâŠ (2)
Perhatikan ðâ1ðâ1ðð = ðâ1(ðâ1ðð) = (ðâ1ðâ1ð)ð âŠâŠ (3)
Dari (1) ðâ1ðð â ð dan ðâ1 â ð maka (ðâ1ðâ1ð)ð â ð âŠâŠ (4)
Dari (2) ðâ1ðð â ð dan ðâ1 â ð maka ðâ1(ðâ1ðð) â ð âŠâŠ (5)
Dari (4) dan (5) dapat disimpulkan bahwa:
ðâ1ðâ1ðð â ð â© ð = {ð}
Jadi: ð = ðâ1ðâ1ðð
Akan dibuktikan: ðð = ðð
ðð = ðð (ð) [kalikan e, e=indentitas]
= ðð ðâ1ðâ1ðð [ð = ðâ1ðâ1ðð]
= ðð ðâ1ðâ1)(ðð [sifat assosiatif]
= ðð ðð â1(ðð) [ðâ1ðâ1 = ðð â1 , sifat grup]
= {ðð ðð â1}(ðð) [sifat assosiatif]
= ð(ðð) [ðð ðð â1 = ð]
= ðð [ð(ðð) = ðð]
⎠Jadi, ð â©ð = {ð} maka ðð = ðð untuk ð â ð, ð â ð (e unsur identitas
di G). â
22. Diketahui G grup abelian dan ð»,ðŸ subgrup di ðº. Buktikan bahwa
ð»ðŸ = {ðð;ð â ð»,ð â ðŸ} merupakan subgrup di G.
Bukti:
Misalkan G grup, H †G, K †G
Untuk membuktikan ð»ðŸ †G
digunakan teorema ââ â ð» â ðº,ðº grup, H †G ⺠ð, ð â ð» â ððâ1 â ð»".
Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan:
a. ð»ðŸ â â
67
Diketahui: G grup â¹ âð â ðº [e=identitas]
H †G â¹ âð â ð» âŠâŠ (1)
K †G â¹ âð â ðŸ âŠâŠ (2)
Dari (1) dan (2) maka ð»ðŸ = {ð} akibatnya ð»ðŸ â â
b. ð»ðŸ â ðº
H †G â¹ â â ð» â ðº & K †G â¹ â â ðŸ â ðº sehingga ð»ðŸ â ðº
c. âð, ð â ð»ðŸ â¹ ððâ1 â ð»ðŸ
Ambil sebarang ð, ð â ð»ðŸ
Pandang: ð = ð1ð1 untuk suatu ð1 â ð», ð1 â ðŸ
ð = ð2ð2 untuk suatu ð2 â ð»,ð2 â ðŸ
Keterangan: H †G â¹ â ð1â1,ð2
â1 â ð»
K †G â¹ âð1â1 ,ð2
â1 â ðŸ
Akan ditunjukkan ððâ1 â ð»ðŸ
ððâ1 = ð1ð1 ð2ð2 â1
= ð1ð1 (ð2â1ð2
â1) [sifat grup, ð2ð2 â1 = ð2
â1ð2â1]
= ð1(ð1ð2â1)ð2
â1 [sifat assosiatif]
= ð1(ð3)ð2â1 [ð1 â ðŸ ⧠ð2
â1 â ðŸ â¹ ð1ð2â1 â ðŸ âŠ
⊠Memenuhi sifat tertutup dan misalkan ð1ð2â1 = ð3 â ðŸ]
= ð1(ð3ð2â1) [sifat assosiatif]
= ð1ð2â1ð3 [sifat komutatif]
= (ð1ð2â1)ð3 [sifat assosiatif]
= ð3ð3 [ð1 â ð» ⧠ð2â1 â ð» â¹ ð1ð2
â1 â ð» âŠ
⊠Memenuhi sifat tertutup dan misalkan ð1ð2â1 = ð3 â ð»]
= ð3ð3 [ð3 â ðŸ, ð3 â ð»]
= ð3ð3 â ð»ðŸ
⎠jadi, HK †G â
68
23. Jika H subgrup dari G dan ð â ðº. Misalkan ðð»ðâ1 = {ðððâ1;ð â ð»} maka
tunjukkan bahwa ðð»ðâ1 subgrup dari G!
Bukti:
Misalkan G grup, H †G, ð â ðº
Untuk membuktikan ðð»ðâ1 †G
digunakan teorema ââ â ð» â ðº,ðº grup, H †G ⺠ð, ð â ð» â ððâ1 â ð»".
Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan:
a. ðð»ðâ1 â â
Diketahui H †G â¹ âð â ð» [e=identitas]
Perhatikan bahwa: ðð»ðâ1 = {ðððâ1 = ð;ð â ð»} akibatnya ðð»ðâ1 â â
b. ðð»ðâ1 â ðº
Diketahui ð â ðº dan H †G artinya â â ð» â ðº â¹ jelas ðð»ðâ1 â ðº
c. â ð, ð â ðð»ðâ1 â¹ ððâ1 â ðð»ðâ1
Ambil sebarang ð, ð â ðð»ðâ1
Pandang: ð = ðð1ðâ1 ; untuk suatu ð1 â ð»
ð = ðð2ðâ1 ; untuk suatu ð2 â ð»
H †G â¹ âð1â1, ð2
â1 â ð»
Akan ditunjukkan ððâ1 â ðð»ðâ1
ððâ1 = ðð1ðâ1 ðð2ð
â1 â1
= ðð1ðâ1 ðð2
â1ðâ1
= ðð1(ðâ1ð)ð2â1ðâ1 [sifat assosiatif]
= ðð1ðð2â1ðâ1 [ðâ1ð = ð]
= ð(ð1ð)ð2â1ðâ1 [sifat assosiatif]
= ðð1ð2â1ðâ1 [ð1ð = ð1]
= ð(ð1ð2â1)ðâ1 [sifat assosiatif]
= ðð3ðâ1 [ð1 â ð», ð2
â1 â ð» â¹ ð1ð2â1 â ð» âŠ
⊠misalkan ð3=ð1ð2â1 â ð»]
69
= ðð3ðâ1 [ð3 â ð»]
= ðð3ðâ1 â ðð»ðâ1
⎠jadi, ðð»ðâ1 †G â
24. Himpunan ð» = 1
2ð;ð â ð dengan operasi perkalian merupakan subgrup
dari grup (Q\{0},*).
Bukti:
Misalkan (Q\{0},*) grup
Untuk membuktikan ð» †G
digunakan teorema ââ â ð» â ðº,ðº grup, H †G ⺠ð, ð â ð» â ððâ1 â ð»".
Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan:
a. ð» â â
ð» â â sebab â 1
4=
1
22 ; 2 â ð â ð»
b. ð» â ðž\{ð}
Ambil sebarang ð¢ â ð»
Pandang ð¢ = 1
2ð€;ð€ â ð â ð»
Perhatikan bahwa
1
2ð€;ð€ â ð â¹ 2ð€ â ðž\{ð}
Sehingga 1
2ð€â ðž\{ð}
ð¢ â ð» ⧠ð¢ =1
2ð€â ðž\{ð} â¹ð» â ðž\{ð}
c. â ð, ð â ð» â¹ ððâ1 â ð»
Ambil sebarang ð, ð â ð»
Pandang: ð = 1
2ð ; ð â ð â ð»
ð = 1
2ð¡; ð¡ â ð â ð»
70
Akan ditunjukkan ððâ1 â ð»
ððâ1 = 1
2ð
1
2ð¡ â1
= 1
2ð
1
12ð¡
=1
2ð
2ð¡
=1
2ð âð¡â ð»
Karena ð â ð ⧠ð¡ â ð â¹ ð â ð¡ â ð
⎠jadi, ð» †G â
***
71
KOSET & SUBGRUP NORMAL
Pendahuluan
Misalkan G suatu grup dan H subgrup dari G. jika ð â ðº sebarang, maka
kompleks dari G yang dinyatakan oleh Ha dan aH yang didefenisikan
sebagai berikut:
ð»ð = ðð;ð â ð» [kosest kanan]
ðð» = {ðð;ð â ð»} [koset kiri]
Subgrup Normal
Bila G suatu grup dan N subgrup dari G dinamakan subgrup normal dari
G jika untuk setiap g G dan n N maka g n g-1 N
atau ekivalen dengan pernyataan
N merupakan subgrup normal dari G jika g N g-1 = {gng-1 / n N} N
untuk setiap gG
Subgrup N merupakan subgrup normal dalam grup G, jika dan hanya jika
untuk setiap g G maka g N g-1 = N
Perhatikan
g N g-1 = N tidak boleh diartikan g n g-1 = n, tetapi g n g-1 = n' untuk suatu
n' N.
Dalam suatu grup G, N merupakan subgrup normal jika dan hanya jika
koset kanan dari N dalam G sama dengan koset kiri dari N dalam G.
Dalam suatu grup G, N merupakan subgrup normal jika dan hanya jika
perkalian dua koset kanan dari N dalam G, lagi merupakan koset
kanan dari N dalam G.
72
1. Jika H subgrup dari G
Buktikan: aH=bH jika dan hanya jika ðâ1ð â ð»,âð, ð â ðº.
Bukti:
Misalkan G grup dan ð» †ðº
Akan dibuktikan ðð» = ðð» ðâ1ð â ð»,âð, ð â ðº
â¹) bukti dari kiri ke kanan
Akan ditunjukkan ðð» = ðð» ðâ1ð â ð»,âð, ð â ðº
Ambil sebarang ð, ð â ðº â ðð» = ðð»
Karena ð â ð»(ð unsur identitas) maka
ð ð â ðð» atau ð â ðð»
Karena ðð» = ðð» ð â ðð» [ð â ðð»]
ðâ1ð â ðâ1(ðð») [kalikan ðâ1 dari kiri]
ðâ1ð â (ðâ1ð)ð» [sifat assosiatif]
ðâ1ð â ðð» [ðâ1ð = ð]
ðâ1ð â ð» [ðð» = ð»]
â¹) bukti dari kanan ke kiri
Akan ditunjukkan ðâ1ð â ð» ðð» = ðð» ,âð, ð â ðº
Misalkan ðâ1ð â ð» akan ditunjukkan ðð» = ðð»
ðâ1ð â ð» ðâ1ðð» = ð» [Menurut teorema ðð» = ð»; ð â ð» ]
ððâ1ðð» = ðð» [kalikan ð dari arah kiri]
(ððâ1)ðð» = ðð» [sifat assosiatif]
(ðð)ð» = ðð» [ððâ1 = ð & sifat assosiatif]
ðð» = ðð» [ðð = ð]
⎠Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa ðð» = ðð» ðâ1ð â
ð»,â ð, ð â ðº.â
2. Jika H subgrup dari G
Buktikan: Ha=Hb jika dan hanya jika ðâ1ð â ð»,âð, ð â ðº.
73
Bukti:
Misalkan G grup dan ð» †ðº
Akan dibuktikan ð»ð = ð»ð ðâ1ð â ð»,âð, ð â ðº
â¹) bukti dari kiri ke kanan
Akan ditunjukkan ð»ð = ð»ð ðâ1ð â ð»,âð, ð â ðº
Ambil sebarang ð, ð â ðº â ð»ð = ð»ð
Karena ð â ð»(ð unsur identitas) maka
ð ð â ð»ð atau ð â ð»ð
Karena ð»ð = ð»ð ð â ð»ð [ð â ð»ð]
ððâ1 â (ð»ð)ðâ1 [kalikan ðâ1 dari kanan]
ððâ1 â ð»(ððâ1) [sifat assosiatif]
ððâ1 â ð»ð [ððâ1 = ð]
ððâ1 â ð» [ð»ð = ð»]
â¹) bukti dari kanan ke kiri
Akan ditunjukkan ððâ1 â ð» ð»ð = ð»ð ,âð, ð â ðº
Misalkan ððâ1 â ð» akan ditunjukkan ð»ð = ð»ð
ððâ1 â ð» ð»ððâ1 = ð» [Menurut teorema ðð» = ð»; ð â ð» ]
ð»ððâ1ð = ð»ð [kalikan ð dari arah kanan]
ð»ð(ðâ1ð) = ð»ð [sifat assosiatif]
ð»(ðð) = ð»ð [ðâ1ð = ð & sifat assosiatif]
ð»ð = ð»ð [ðð = ð]
⎠Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa ð»ð = ð»ð ððâ1 â
ð»,â ð, ð â ðº.â
3. Buktikan, jika H subgrup dari G, maka G merupakan gabungan semua koset
kanan (kiri) dari H di G.
Bukti:
Misalkan G grup dan ð» †ðº
74
Akan dibuktikan ðº = ð»ð ⪠ð»ð
H †ðº ð» â â
ð»ð = ðð;ð â ð» [defenisi]
ð»ð = ðð;ð â ð» [defenisi]
ð, ð â ðº
ð â ð» ð â ðº [H †ðº]
ð â ðº,ð â ðº ðð â ðº
ð â ðº,ð â ðº ðð â ðº
Misalkan diambil sebarang ð¥ â ð»ð ⪠ð»ð
ð¥ â ð»ð ⪠ð»ð ð¥ â ðð ⪠ðð ð¥ â ðº [ðð â ðº ⧠ðð â ðº]
⎠Jadi jika H subgrup dari G, maka merupakan gabungan semua koset kanan
(kiri) dari H di G.â
4. Misalkan H dan M masing-masing sungrup normal dari grup G. Buktikan
ð» â©ð ⎠ðº.
Bukti:
Misalkan G grup, ð» ⎠ðº & ð ⎠ðº
Akan ditunjukkan bahwa ð» â©ð ⎠ðº
Perhatikan bahwa:
G grup maka jelas ðº â â , Ambil sebarang ð¡ â ðº dan
Ambil sebarang ð â ð» â©ð
ð â ð» â©ð â¹ ð â ð» ⧠ð â ð
Diketahui ð» ⎠ðº & ð ⎠ðº sehingga:
ð» ⎠ðº â¹ ðð»ðâ1 = ð» atau ðð¡ðâ1 â ð»; ð â ð», ð¡ â ðº âŠâŠâŠ.. (i)
ð ⎠ðº â¹ ðððâ1 = ð atau ðððâ1 â ð; ð â ð, ð¡ â ðº âŠâŠâŠ.. (ii)
Berdasarkan (i) dan (ii) diperoleh ðð¡ðâ1 â ð» â©ð
⎠ðð¡ðâ1 â ð» â©ð; ð â ð» â©ð dan ð¡ â ðº berdasarkan defenisi akibatnya
ð» â©ð ⎠ðº.â
75
5. Misalkan G grup, N dan H masing-masing subgrup dari G, dan normal di G.
buktikan:
a) ðð» = {ðð:ð â ð, ð â ð»} subgrup dari G
b) ð» subgrup normal dari ð
Bukti:
Misalkan G grup, ð» †ðº,ð ⎠ðº
a) Akan dibuktikan ðð» = {ðð:ð â ð,ð â ð»} †ðº
Untuk membuktikan ðð» = {ðð:ð â ð, ð â ð»} †ðº
digunakan teorema ââ â ð» â ðº,ðº grup, H †G ⺠ð, ð â ð» â ððâ1 â ð»".
Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan:
d. ðð» â â
Diketahui ð» †ðº â¹ âð1 â ð» [ð1=identitas]
ð1 â ð» ⧠ð» †ðº â¹ ð1 â ðº
Diketahui ð †ðº â¹ âð2 â ð [ð2=identitas]
ð2 â ð ⧠ð †ðº â¹ ð2 â ðº
ð1 â ðº dan ð2 â ðº sementara diketahui G grup berdasarkan sifat
ketunggalan unsur identitas pada grup akibatnya ð1 = ð2, misalkan
ð = ð1 = ð2 [e=identitas]
Sekarang perhatikan:
ðð» = {ð = ð1ð2: ð1 â ð, ð2 â ð»} sehingga âð â ðð» akibatnya
ðð» â â
e. ðð» â ðº
Pada bagian (a) diperoleh ð â ðð»; ð â ð dan ð â ð»
Diketahui bahwa ð» †ðº,ð ⎠ðº maka jelas ð â ðº
Akibatnya pasti ðð» â ðº
f. Ambil sebarang ð¥, ðŠ â ðð»
Pandang ð¥ = ð1ð1;ð1 â ð dan ð1 â ð»
ðŠ = ð2ð2;ð2 â ð dan ð2 â ð»
76
ð1 ,ð2 â ð ⧠ð †ðº â¹ ð1,ð2 â ðº
ð1,ð2 â ð ⧠ð †ðº â¹ ð1â1,ð2
â1 â ðº
ð1 ,ð2 â ð» ⧠ð» †ðº â¹ ð1 ,ð2 â ðº
ð1, ð2 â ð» ⧠ð» †ðº â¹ ð1â1,ð2
â1 â ðº
Adit ð¥yâ1 â ðð»
ð¥yâ1 = (ð1ð1)(ð2ð2)â1
= (ð1ð1) (ð2â1ð2
â1) [(ð2ð2)â1 = ð2â1ð2
â1]
= (ð1ð1ð2â1) ð2
â1 [assosiatif]
= (ð1ð1ð2â1) (ð2ð2
â1ð2â1) [ð2, ð2
â1 â ðº,ð2â1 â ð,ð ⎠ðº]
= (ð1ð1)(ð2â1 ð2) (ð2
â1ð2â1) [assosiatif]
= (ð1ð1)(ð) (ð2â1ð2
â1) [ð2â1ð2 = ð, ð = ððððð¡ðð¡ðð ]
= ð1(ð1ð) (ð2â1ð2
â1) [assosiatif]
= (ð1ð1) (ð2â1ð2
â1) [ð1ð = ð1]
= ð1ð1 (ð1â1ð2
â1ð1)(ð2
â1) [ð1 ,ð1â1 â ðº,ð2
â1 â ð,ð ⎠ðº]
= ð1 (ð1ð1â1)ð2
â1ð1ð2
â1 [assosiatif]
= ð1 (ð)ð2â1ð1ð2
â1 [ð1ð1â1 = ð; ð = ððððð¡ðð¡ðð ]
= (ð1ð)ð2â1ð1ð2
â1 [assosiatif]
= ð1ð2â1ð1ð2
â1 [ð1ð = ð1; ð = ððððð¡ðð¡ðð ]
= (ð1ð2â1)(ð1ð2
â1)
[ð1 ,ð2â1 â ð â¹ ð1ð2
â1 â ð misalkan ð1ð2â1 = ð3 â ð
ð1 ,ð2â1 â ð» â¹ ð1ð2
â1 â ð» misalkan ð1ð2â1 = ð3 â ð»]
= ð3ð3 â ðð»
⎠telah dibuktikan ðð» â â ,ðð» â ðº & â ð¥,ðŠ â ðð» â¹ ð¥yâ1 â ðð»
sehingga hipotesis dinyatakan benar yakni ðð» †ðº.â
b) Akan dibuktikan H ⎠NH
Digunakan teorema âð» †ðº adalah normal ⺠ð¥ð»ð¥â1 â ð»,âð¥ â ðº.
Berdasarkan teorema diatas akan ditunjukkan:
77
a. NH membentuk grup
Pada bagian (a) telah ditunjukkan bahwa ðð» †ðº sehingga jelas NH
membentuk grup.
b. H subgrup dari NH
Digunakan teorema ââ â ð» â ðº,ðº grup, H †G ⺠ð, ð â ð» â ððâ1 â
ð»".
Dari teorema diatas maka yang diambil sebagai hipotesis adalah H
subgrup dari NH. Untuk itu akan ditunjukkan:
(i) ð» â â
Diketahui H †G â¹â e â H [e=identitas] akibatnya ð» â â
(ii) ð» â ðð»
Diketahui N †G â¹â e â N [e=identitas]
Pandang ð» = ðð1 = ð1; ð1 â ð», ð â ð
sementara ð1 = ðð1 â Nð» akibatnya ð» â ðð»
(iii) âð, ð â ð» â¹ ððâ1 â ð»
Ambil sebarang ð, ð â ð»
Pandang ð = ð1; ð1 â ð»
ð = ð2; ð2 â ð»
Akan ditunjukkan ððâ1 â ð»
ððâ1 = ð1 ð2â1 [ð1,ð2
â1 â ð» â¹ ð1 ð2â1 â ð»]
= ð1 ð2â1 [Misalkan ð1,ð2
â1 = ð3 â ð»]
= ð3 â ð»
Karena (i), (ii) & (iii) terpenuhi maka hipotesis dinyatakan benar
yakni H †ðð»
c. âð¥ â ðð» â¹ ð¥ð»ð¥â1 â ð»
Ambil sebarang ð¥ â ðð»
Pandang ð¥ = ðð; ð â ð, ð â ð»
Invers dari x adalah ð¥â1 = (ðð)â1
78
= ðâ1ðâ1 [dijamin sebab NH membentuk grup]
= ðâ1ðâ1 [ðâ1 â ð»,ðâ1 â ð]
Ambil sebarang ð1 â ð», akan dibuktikan ð¥ð»ð¥â1 â ð»
ð¥ð»ð¥â1 = ðð (ð1)(ðâ1ðâ1)
= ð(ðð1)(ðâ1ðâ1) [assosiatif]
= ð(ðð1)(ðâ1ðâ1) [ð, ð1 â ð» â¹ ðð1 â ð»]
= (ðð3)(ðâ1ðâ1) [misalkan ðð1 = ð3 â ð»]
= ð(ð3ðâ1)ðâ1 [assosiatif]
= ð(ð3ðâ1)ðâ1 [ð3, ðâ1 â ð» â¹ ð3ð
â1 â ð»]
= ð(ð4)ðâ1 [misalkan ð3ðâ1 = ð4 â ð»]
= ðð4(ð4â1ðâ1ð4) [ð4 â ð»,ðâ1 â ð & ð normal]
= ð(ð4ð4â1)ðâ1ð4 [assosiatif]
= (ðð)ðâ1ð4 [ð4ð4â1 = ð; ð = ððððð¡ðð¡ðð ]
= (ððâ1)ð4 [ðð = ð, assosiatif]
= ðð4 [ððâ1 = ð]
= ð4 â ð» [ðð4 = ð4; ð = ððððð¡ðð¡ðð ]
⎠Karena telah dibuktikan ðð» membentuk grup ð» â ðð» & â ð¥ â ðð» â¹
ð¥ð»ð¥â1 â ð», maka hipotesis dinyatakan benar yakni ð» ⎠ðð».â
***
REFERENSI
Defila, F. 2012. âDiktat Kuliah, Struktur Aljabar 1 (Teori Grup)â. Padang. STKIP Sumater Barat (Tidak diterbitkan)
Herstein, I.N. 1975. Topics In Algebra, Second Edition. Inc New York. John Wiley & Sons.
Isnarto. 2008. âBuku Ajar Pengantar Struktur Aljabar 1â. Semarang. Universitas Negeri Semarang (Tidak diterbitkan)
Tahmir, S. 2004. Teori Grup. Makassar: Andira Publisher
top related