teori group

Download Teori Group

Post on 11-Apr-2017

324 views

Category:

Education

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • 1

    Struktur Aljabar I

    TEORI GRUP

    MUH. ALFIANSYAH

    Email: muhalfiansyah95@yahoo.com

    PENDIDIKAN MATEMATIKA

    UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR

    mailto:muhalfiansyah95@yahoo.com

  • 2

    GRUP

    1. Buktikan unsur identitas suatu grup adalah tunggal.

    Bukti:

    Misalkan G adalah grup

    Misalkan 1 dan 2 adalah unsur identitas di G

    Akan dibuktikan 1 = 2

    Perhatikan bahwa:

    1 adalah unsur identitas di G dan 2 G 12 = 21 = 2 (i)

    2 adalah unsur identitas di G dan 1 G 21 = 12 = 1 (ii)

    Dari (i) dan (ii) diperoleh 1 = 21 = 12 = 2 .

    1 = 2 , dengan demikian unsur identitas suatu grup adalah tunggal.

    Struktur Pembuktian Grup

    Misalkan G adalah suatu himpunan

    (i) Buktikan G .

    (ii) Buktikan G bersifat tertutup terhadap operasi biner *.

    (iii) Buktikan G bersifat assosiatif terhadap operasi biner *.

    (iv) Buktikan G memiliki unsur identitas terhada operasi biner *.

    (v) Buktikan G memiliki unsur invers terhada operasi biner *.

    Catatan

    Jika (i) & (ii) terpenuhi maka disebut Grupoid.

    Jika (i), (ii) & (iii) terpenuhi maka disebut Semigrup.

    Jika (i), (ii), (iii) & (iv) terpenuhi maka disebut Monoid.

  • 3

    2. Buktikan unsur invers suatu grup adalah tunggal.

    Bukti:

    Misalkan G adalah grup, dan e G [e=identitas]

    Ambil sebarang a G

    Misalkan 1 dan 2 invers dari a

    Akan dibuktikan 1 = 2

    Perhatikan bahwa:

    1 adalah invers dari a 1 = 1 = [e=identitas] (i)

    2 adalah invers dari a 2 = 2 = [e=identitas] (ii)

    dari (ii) diperoleh 2 = 1 2 = 1 iii

    dari (i) diperoleh 1 = (1)2 = 2 iv

    Karena diketahui G grup maka jelas G memenuhi sifat assosiatif sehingga

    dari (iii) dan (iv) diperoleh bahwa:

    1 = 1 2 = (1)2 = 2

    1 = 2, dengan demikian unsur invers suatu grup adalah tunggal.

    3. Buktikan invers dari invers suatu anggota dalam grup adalah anggota itu

    sendiri.

    Bukti:

    Misalkan G grup

    Ambil sebarang a G dan e G [e=identitas]

    Misalkan 1 adalah invers dari a akan dibuktikan (1)1

    Perhatikan bahwa:

    1 adalah invers dari a 1 = 1 =

    Pandang 1 =

    1 =

    (1)1(1) = (1)1 [Kedua ruas dikalikan (1)1]

  • 4

    [(1)1(1)] = (1)1 [hukum assosiatif]

    = (1)1 [ (1)1(1) = ]

    = (1)1 [ = ]

    Pandang 1 =

    1 =

    (1) (1)1 = (1)1 [Kedua ruas dikalikan (1)1]

    1 1 1 = (1)1 [hukum assosiatif]

    = (1)1 [ (1)(1)1 = ]

    = (1)1 [ = ]

    Jadi, terbukti bahwa (1)1 = .

    4. Buktikan bahwa setiap grup memenuhi hukum pencoretan.

    Bukti:

    Misalkan G grup

    Ambil sebarang , , G

    Akan dibuktikan

    (i) = = [Pencoretan kiri]

    (ii) = = [Pencoretan kanan]

    Akan ditunjukkan bagian (i) pandang =

    1

    =

    1() = 1() [Kedua ruas dikalikan 1]

    (1) = (1) [hukum assosiatif]

    = [ (1) = ]

    = [e=identitas]

  • 5

    Akan ditunjukkan bagian (ii) pandang =

    1

    =

    ()1 = ()1 [Kedua ruas dikalikan 1]

    (1) = (1) [hukum assosiatif]

    = [ (1) = ]

    = [e=identitas]

    karena i dan ii terbukti Jadi, G memenuhi hukum pencoretan.

    5. Jika G adalah grup dan , , (. )1 = 11 .

    Bukti:

    Misalkan G adalah grup

    Ambil sebarang ,

    Karena G grup [e=identitas]

    Akan dibuktikan (. )1 = 1.1

    Hal ini ekuivalen jika ditunjukkan

    (11) = (11) =

    pandang (11) =

    (11) = [ (1)] 1 [assosiatif]

    = [(1)] 1 [assosiatif]

    = (ae) 1 [1 = ]

    = 1 [ = ]

    = [1 = ]

  • 6

    pandang (11) =

    (11) = [(1 1)] [assosiatif]

    = [1(1)] [assosiatif]

    = (1) [1 = ]

    = 1 [1 = 1]

    = [1 = ]

    Jadi, terbukti bahwa (11) = (11) = , ini berarti bahwa

    (. )1 = 1. 1.

    6. G = himpunan bilangan bulat, = , , Periksa apakah G

    membentuk grup?

    Bukti:

    (i) Tidak Kosong

    G sebab 2 G (terpenuhi)

    (ii) Sifat tertutup

    , , berlaku

    Ambil sebarang , maka berlaku (terpenuhi)

    (iii) Sifat Assosiatif

    , , berlaku =

    Ambil sebarang , ,

    Perhatikan bahwa:

    =

    =

    (i)

    =

    = ( + ) (ii)

    Dari (i) dan (ii) diperoleh

    Akibatnya G tidak memenuhi sifat assosiatif

    jadi, G = himpunan bilangan bulat, = , bukan Grup.

  • 7

    7. G=himpunan bilangan bulat, = + + , , Periksa apakah

    G membentuk grup?

    Bukti:

    (i) Tidak Kosong

    G sebab 2 G (terpenuhi)

    (ii) Sifat tertutup

    , , berlaku

    Ambil sebarang , maka berlaku ( + + ) (terpenuhi)

    (iii) Sfat Assosiatif,

    , , berlaku =

    Ambil sebarang , ,

    Perhatikan bahwa:

    = + +

    = + + + + ( + + )

    = + + + + + +

    = + + + + + +

    = + + + + + +

    = + +

    = (terpenuhi)

    (iv) Unsur Identitas

    = =

    Perhatikan bahwa:

    = =

    + + = + + =

    1 + = 1 + =

    1 + = 1 + = 0

    = 0

    Sehingga = 0 [e=identitas] (terpenuhi)

  • 8

    (v) Unsur Invers

    1 1 = 1 =

    perhatikan bahwa:

    = = 0

    + + = + + = 0

    1 + = 1 + =

    =

    1+ G (tidak memiliki unsur invers)

    jadi, G=himpunan bilangan bulat, = + + , , bukan

    Grup.

    8. G = himpunan bilangan bulat tak negatif, = + , Periksa

    apakah G membentuk grup?

    Bukti:

    (i) Tidak Kosong

    G sebab 2 G (terpenuhi)

    (ii) Sifat tertutup

    , , berlaku

    Ambil sebarang , maka berlaku + (terpenuhi)

    (iii) Sfat Assosiatif,

    , , berlaku =

    Ambil sebarang , ,

    Perhatikan bahwa:

    = +

    = + +

    = + +

    = +

    = (terpenuhi)

  • 9

    (iv) Unsur Identitas

    = =

    Perhatikan bahwa:

    = =

    + = + =

    = 0

    Sehingga = 0 [e=identitas] (terpenuhi)

    (v) Unsur Invers

    1 1 = 1 =

    perhatikan bahwa:

    = = 0

    + = + = 0

    = G (tidak memiliki unsur invers)

    jadi, G = himpunan bilangan bulat tak negatif, = + ,

    bukan Grup.

    9. G=himpunan bilangan rasional 1, = + + , Periksa

    apakah G membentuk grup? (Soal Quis I)

    Bukti:

    (i) Tidak Kosong

    G sebab 2 G (terpenuhi)

    (ii) Sifat tertutup

    , , berlaku

    Ambil sebarang 2 maka

    Perhatikan bahwa:

    2+b+2b=1

    b(1+2)=-1

    b= 1

    3

  • 10

    perhatikan kembali

    jika a=2 dan b=1

    3 maka diperoleh

    a+b+ab=2 1

    3 +(2)(

    1

    3)

    =21

    3

    2

    3

    =2-(1

    3+

    2

    3)

    =2 - (3

    3)

    =2-1

    =1 G (tidak memenuhi sifat tertutup)

    jadi, G=himpunan bilangan rasional 1, = + + ,

    bukan Grup.

    10. Jika (G,*) grup komutatif, buktikan = , , (Z himpunan

    bilangan bulat).

    Bukti

    Misalkan (G,*) grup komutatif

    Akan dibuktikan = , +, ditinjau dalam tiga kasus yakni:

    (1) Kasus I: n>0

    (2) Kasus II: n=0

    (3) Kasus III: n0 akan dibuktikan menggunakan induksi matematika

    (i) Untuk n = 1, maka 1 = 11 = (pernyataan benar)

    (ii) Asumsikan bahwa = (hipotesis induksi)

    Akan ditunjukkan +1 (juga benar)

    +1 = .

    = .

  • 11

    = .. [sifat komutatif]

    = (+1). (+1) [benar]

    Karena (i) dan (ii) dipenuhi maka dapat disimpulkan =

    , berlaku +

    (2) Kasus II: n=0

    0 = = 0 . 0 = 00

    (3) Kasus III: n

  • 12

    Berdasarkan teorema yang menyatakan jika G grup dan a,b G, berlaku

    ()1 = 1.1

    Sehingga:

    = 1

    = 1.1

    Karena = 1 1, maka =

    jadi, jika G grup dan a2 = e. , maka G komutatif.

    12. Misalkan = cos sinsin cos

    ; Buktikan dengan operasi

    perkalian matriks membentuk grup. Apakah komutatif? (Soal Quis I)

    Bukti:

    Akan dibuktikan ( ,) merupakan grup

    (i) Tidak Kosong

    sebab 30 = cos 30

    sin 30

    sin 30 cos 30 ; 30

    (ii) Sifat tertutup

    , berlaku

    Ambil sebarang ,

    Perhatikan bahwa

    = cos sinsin cos

    cos sin sin cos

    = cos cos sin sin cos sin + sin cos

    sin cos + cos sin sin sin + cos cos

    = cos( + ) sin( + )sin( + ) cos( + )

    = cos sinsin cos

    (terpenuhi)

    Catatan: ( = + , )

  • 13

    (iii) Sifat asosiatif

    , , berlaku = ( )

    Jelas terpenuhi, sebab matriks 2x2 memenuhi sifat assosiatif.

    (iv) Unsur Identitas

    = =

    Unsur identitas pada matriks yaitu

    = 1 00 1

    = cos 0 sin 0sin 0 cos 0

    Akan dibuktikan: = =

    Perhatikan bahwa:

    cos sinsin cos

    cos 0 sin 0sin 0 cos 0

    = cos 0 sin 0sin 0 cos 0