tautologi dan ekivalensi logis

TAUTOLOGI DAN EKUIVALEN LOGIS

Tautologi Tautologi mempunyai persyaratan :

Jika pada tabel kebenaran untuk semua pasangan nilai variabel-variabel proposisionalnya yang ada bernilai benar

Tautologi adalah suatu ekspresi logika yang selalu bernilai benar didalam tabel kebenarannya, tanpa mempedulikan nilai kebenaran dari proposisi-proposisi yang berada didalamnya.

(A V ~ A) selalu bernilai T

KONTRADIKSI Kontradiksi merupakan kebalikan dari

tautologi, dimana ekspresi logika selalu bernilai SALAH didalam tabel kebenarannya, tanpa mempedulikan nilai kebenaran dari proposisi-proposisi yang berada didalamnya.

(A ~A) selalu bernilai F

CONTINGENT (Formula Campuran) Contingent adalah suatu ekspresi logika yang

mempunyai nilai benar dan salah didalam tabel kebenarannya, tanpa mempedulikan nilai kebenaran dari proposisi-proposisi yang berada didalamnya.

(A V B)

Contoh Tentukan apakah ekspresi logika ini adalah

tautologis, kontradiksi atau contingent

KONTRADIKSI

Contoh Tentukan apakah ekspresi logika ini adalah

tautologis, kontradiksi atau contingent

Contoh Tentukan apakah ekspresi logika ini adalah

tautologis, kontradiksi atau contingent

EKUIVALEN LOGIS Suatu ekspresi logika disebut ekuivalen logis

apabila : Ekspresi logikanya adalah tautologis Ekspresi logikanya adalah kontradiksi Ekspresi logikanya adalah contingent, tetapi

urutan T dan F pada tabel kebenaran tetap pada urutan yang sama

Contoh Dewi sangat cantik dan peramah Dewi peramah dan sangat cantik

Ekspresi logika A B, B A (A B) ≡ (B A)

Contoh

Badu tidak pandai, atau dia tidak jujur Adalah tidak benar jika Badu pandai dan jujur

~A v ~B ~(A B)

A B A B ~A v ~B ~(A B)

F F F T T

F T F T T

T F F T T

T T T F F

KOMUTATIF (A B) ≡ (B A) Pada perangkai Konjungsi (), variable kedua

proposisional dapat saling berganti tempat tanpa merubah nilai kebenaran

Hal ini disebut KOMUTATIF

Sifat komutatif berlaku juga untuk perangkai Disjungsi (V) dan Ekuivalensi ()

ASOSIATIF ((A B) C) ≡ (A (B C)) Apabila tanda kurung suatu ekspresi logika

bisa dipindahkan dan tidak merubah nilai kebenarannya maka disebut asosiatif.

Asosiatif lainnya dapat terjadi pada perangkai yang sama, misalnya Disjungsi (V) dan Ekuivalensi ()

ASOSIATIF Penggunaan tanda kurung yang terlalu banyak

sangat tidak disarankan, dapat mengakibatkan redundansi, yang akan mengakibatkan kesalahan proses

(A v ~B) (~A C) (A v ~B) ~A C , tidak mengubah nilai

kebenaran

ASOSIATIF Penambahan tanda kurung juga

dimungkinkan untuk mempermudah pembacaan ekuivalen logisnya.

(~A v ~B) A C A (~A v ~B) C (A (~A v ~B)) C

Hukum-hukum Logika

A1 A

A0 A

A1 1

A0 0

AA 1

AA 0

AA A

AA A

A A

Hukum-hukum Logika(AB)C A(BC)

(AB)C A(BC)

A(BC) (AB)(AC)

A(BC) (AB)(AC)

A(AB) A

A(AB) A

A(AB) ABA(AB) AB

(AB) A B

(AB) A B

Hukum-hukum Logika

A B ABA B (AB)

A B (AB)(AB)

A B (AB)(BA)

(AB)(AB) A

(AB)(AB) A

(AB)(AB) B

(AB)(AB) B

PENYEDERHANAAN Operasi penyederhanaan dilakukan dengan

menggunakan hukum-hukum logika yang ada.

Penyederhanaan dilakukan guna untuk memepermudah pengerjaan ekspresi logika.

Penyederhanaan dilakukan sampai ekspresi logika tersebut menjadi bentuk yang paling sederhana (tidak bisa disederhanakan lagi)

Contoh

(A v 0) (A v ~A)

= A (A v ~A) Zero of v

= A 1 Tautologi

= A Identity of

Contoh

(A ~B) v (A B C)

(A ~B) v (A (B C)) Tambah Kurung

A (~B v (B C)) Distributif

A ((~B v B) (~B v C)) Distributif

A (1 (~B v C)) Tautologi

A (~B v C)) Identity of

Contoh Penyederhanaan juga dapat digunakan untuk

membuktikan ekuivalen atau kesamaan secara logis

(A B) (B A)

(~A v B) (~B v A) A B = ~A v B

(B v ~A) (A v ~B) Komutatif

(A v ~B) (B v ~A) Komutatif

Contoh Sederhanakan ekspresi logika berikut ini

((A v B) ~A) ~B

COntoh

((A v B) ~A) ~B

~((A v B) ~A) v ~B A B = ~A v B

(~(A v B) v ~~A) v ~B De Morgan’s Law

((~A ~B) v ~~A) v ~B De Morgan’s Law

((~A ~B) v A) v ~B Law of Double Negation

(A v (~A ~B)) v ~B Komutatif

(A v ~B) v ~B Absorption

A v (~B v ~B) Asosiatif

A v ~B Indempoten