statistika matematika 3

Peluang

Komponen Peluang

1. Observasi / eksperimen

2. Ruang Sampel

3. Ruang Kejadian

Observasi / Eksperimen

Definisi

Eksperimen merupakan suatu kegiatan darimana suatu gejala atau pengukuran di amati

Contoh

1. Melemparkan 2 buah dadu secara besamaan

2. Menyusun bilangan ratusan dari beberapa angka yang disediakan

3. Mengambil 2 buah bola didalam satu kotak

Ruang Sampel

Definisi

Ruang sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu eksperimen yang dilakukan

Notasi : Ruang sampel biasanya dinotasikan dengan .

Contoh

1. Ruang sampel dari melemparkan 3 buah uang logam adalah

2. Ruang sampel dari menyusun bilangan puluhan dari angka tanpa ada angka yang berulang adalah

Ruang Kejadian

Kejadian adalah himpunan bagian dari suatu ruang sampel

Notasi : Ruang kejadian biasanya dinotasikan dengan huruf besar, misalnya .

Contoh

Ruang sampel dari melemparkan 3 buah uang logam adalah , kejadian munculnya paling sedikit 2 gambar adalah

Peluang

Definisi

Bila suatu eksperimen menghasilkan titik sampel, dan jika terdapat titik sampel dari kejadian yang berada pada eksperimen , maka peluang munculnya kejadian adalah

Contoh

Peluang kejadian munculnya paling sedikit 2 gambar pada pelemparan 3 uang logam adalah

dan maka

Sifat-sifat Peluang

Misalkan ruang sampel dari suatu kejadian, sifat peluang dari suatu kejadian adalah

1. untuk

2. Jika merupakan kejadian-kejadian saling lepas dari ruang sampel , maka

Peluang 2 kejadian

Suatu kejadian dan adalah dua kejadian sembarang maka peluang gabungan dari kedua kejadian tersebut adalah

Contoh: Peluang seorang mahasiswa lulus matematika dan peluang lulus biologi , apabila peluang lulus kedua mata kuliah adalah , berapakah peluang lulus paling sedikit 1 mata kuliah?

Penyelesaian:

maka

Peluang 3 kejadian

Suatu kejadian dan adalah kejadian sembarang maka peluang gabungan dari kejadian tersebut adalah

Kejadian saling lepas

Definisi

Suatu kejadian dan dikatakan saling lepas apabila terjadinya kejadian tidak mungkin terjadi bersama-sama dengan kejadian

Peluang gabungan kejadian dan yang saling lepas adalah

Contoh Kejadian saling lepas

Berapakah peluang mendapatkan jumlah angka 7 dan 11 jika 2 dadu di lemparkan secara bersamaan?

Penyelesaian:

Misal kejadian untuk mendapatkan jumlah 7 dan kejadian untuk mendapatkan jumlah 11. maka

Peluang kejadian saling berkomplemen

Jika dan adalah kejadian yang saling berkomplemen, maka

Akibat :

Jika dimana adalah himpunan semesta, dan maka

Peluang Bersyarat

Peluang bersyarat terhadap , , adalah peluang terjadinya kejadian apabila kejadian telah terjadi. Maka besarnya peluang adalah

Dengan Contoh:

Peluang suatu penerbangan yang terjadwal teratur berangkat tepat waktu adalah , peluang sampai tepat waktu dan peluang berangkat serta sampai tepat waktu . Cari peluang bahwa pesawat

a. Sampai tepat waktu, apabila berangkat tepat waktu

b. Berangkat tepat waktu, apabila sampai tepat waktu

Kejadian saling Bebas

Definisi

Suatu kejadian dan dikatakan saling bebas apabila terjadinya kejadian tidak mempengaruhi terjadinya kejadian , dan sebaliknya. Dengan kata lain dan

Peluang kejadian dan yang saling bebas adalah

Contoh Kejadian saling bebas

Suatu kota kecil memiliki satu mobil pemadam kebakaran dan satu mobil ambulans untuk keadaan darurat. Peluang mobil pemadam kebakaran siap pada saat diperlukan adalah 0,98 dan peluang mobil ambulans siap waktu dipanggil adalah 0,92. Jika terjadi kecelakaan karena kebakaran gedung, maka peluang untuk kedua mobil tersebut siap adalah

Penyelesaian:

Misal untuk mobil pemadam kebakaran dan untuk mobil ambulans. maka dan

3 atau lebih Kejadian saling Bebas

Apabila dalam suatu percobaan terjadi maka

Apabila kejadian maka

Contoh

Tiga kartu di ambil satu demi satu tanpa pengembalian dari sekotak kartu berisi 52. cari peluang kejadian terjadi jika kejadian bahwa kartu pertama as berwarna merah, kejadian kartu kedua jack atau 10, dan kejadian kartu ketiga lebih besar dari 3, tetapi lebih kecil dari 7.Penyelesaian:

Sehingga

Aturan Bayes

Misalkan kejadian merupakan partisi dari ruang sampel dengan untuk . Maka untuk setiap kejadian anggota sehingga

Akibat (Teorema Bayes):

Misalkan kejadian merupakan partisi dari ruang sampel dengan untuk . Dan untuk setiap kejadian anggota dengan maka

Untuk