download modul matematika - statistika · pdf filestatistik dan statistika ... di kecamatan...

www.matematika-pas.blogspot.com E-learning matematika, GRATIS 1

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan

Penyusun : Dra. Yuli Winarsih ; Ismundari Puspitasari, S.Pd. Editor : Drs. Keto Susanto, M.Si. M.T. ; Istijab, S.H. M.Hum.

Imam Indra Gunawan, S.Si. STATISTIK DAN STATISTIKA

Banyak persoalan dinyatakan dan dicatat dalam bentuk bilangan atau angka-angka. Kumpulan angka-angka itu sering disusun atau disajikan dalam bentuk daftar atau tabel. Sering daftar atau tabel tersebut disertai dengan gambar-gambar, dan disebut dengan statistik. Jadi kata statistik telah dipakai untuk menyatakan kumpulan data, bilangan maupun non bilangan yang disusun dalam tabel dan atau diagram, yang menggambarkan suatu persoalan.

Dari hasil pengamatan atau penelitian, dalam laporannya sering diperlukan suatu uraian, penjelasan atau kesimpulan tentang persoalan yang diamati atau diteliti. Sebelum membuat kesimpulan, keterangan atau data yang terkumpul terlebih dahulu dipelajari, diolah atau dianalisis, dan berdasarkan pengolahan data inilah baru dibuat kesimpulan. Mulai dari pengumpulan data, pengolahan data dan pengambilan kesimpulan haruslah mengikuti cara-cara yang benar dan dapat dipertanggungjawabkan. Ini semua merupakan pengetahuan tersendiri yang dinamakan dengan statistika. Jadi statistika adalah pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan data, pengolahan atau penganalisisannya dan penarikan kesimpulan berdasarkan kumpulan data dan penganalisisan yang dilakukan. POPULASI DAN SAMPEL

Totalitas semua nilai yang mungkin, hasil menghitung ataupun mengukur, kuantitatif maupun kualitatif mengenai karakteristik tertentu dari semua anggota kumpulan yang lengkap dan jelas yang ingin dipelajari sifat- sifatnya disebut populasi. Sebagian yang diambil dari populasi disebut sampel. Jika kita ingin mempelajari sifat-sifat nilai matematika dari siswa SMK Bina Bangsa, maka nilai matematika semua siswa SMK Bina Bangsa merupakan populasi. Jika jumlah seluruh siswa SMK Bina Bangsa sebanyak1000 siswa, untuk mempelajari sifat-sifat nilai matematikanya tentu memerlukan waktu yang lama, dana yang tidak sedikit, tenaga yang tidak sedikit dan lain sebagainya. Untuk tetap dapat mempelajari sifat nilai matematika dari 1000 siswa tersebut dengan keterbatasan-keterbatasan yang telah disebutkan di muka, maka dilakukan dengan mengambil sebagian nilai dari 1000 siswa tersebut, yang dinamakan sampel. Pengambilan sampel ini haruslah yang representatif, dalam arti segala karakteristik populasi hendaknya tercerminkan pula dalam sampel yang diambil.

MACAM-MACAM DATA

Keterangan mengenai sesuatu hal disebut data atau data statistik. Data yang berbentuk kategori disebut data kualitatif sedangkan data yang berbentuk bilangan disebut data kuantitatif. Contoh data kualitatif adalah: baik, buruk, berhasil, gagal, senang, rusak, puas, dan sebagainya. Pada data kuantitatif, dari nilainya dikenal 2 golongan, yaitu data diskrit dan data kontinu. Data diskrit adalah data yang didapatkan dengan cara menghitung atau membilang, sedangkan data kontinu didapatkan dengan cara mengukur.



Contoh data diskrit adalah sebagai berikut: 1. Sebuah keluarga mempunyai anak 3 laki-laki dan 2 perempuan. 2. Di Kecamatan Gamping terdapat 5 SMP Negeri dan 1 SMA Negeri.

3. Di kelas I-A SMK Patriot terdapat 25 siswa laki-laki dan 15 siswa perempuan.

Contoh data kontinu adalah sebagai berikut: 1. Tinggi badan 5 orang siswa adalah: 160 cm, 163 cm, 159 cm, 170 cm, dan

167 cm. 2. Berat badan 3 orang siswa adalah: 45 kg, 50 kg, dan 53 kg. PENYAJIAN DATA DALAM BENTUK TABEL

Untuk keperluan laporan atau analisis yang lain, data yang dikumpulkan, baik data dari populasi ataupun sampel, perlu diatur, disusun, disajikan dalam bentuk yang jelas dan baik. Ada 2 macam penyajian data yang sering dipakai, yaitu tabel atau daftar dan grafik atau diagram. 1) Tabel baris-kolom

Hasil Ujian Nasional SMK “ A “ Tahun 2009

JURUSAN BANYAK SISWA

JUMLAH LULUS TIDAK LULUS

Listrik Elektronika Bangunan Gedung Mesin Otomotif

50 48 49 50 47

0 2 1 0 3

50 50 50 50 50

Jumlah 244 6 250

2) Tabel Distribusi Frekuensi Nilai Matematika Siswa Kelas XIIA SMK PUTRA MANDIRI

Nilai Matematika BANYAKNYA SISWA(f) 41 - 50 3 51-60 5

61 – 70 18 71 – 80 9 81 – 90 2 91 - 100 1

JUMLAH 38 PENYAJIAN DATA DALAM BENTUK DIAGRAM 1) Diagram batang

Berapa banyak siswa SMK D? Berapa banyak seluruh siswa SMK di kota Baru?

SMK A SMK B SMK C SMK D SMK E

1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200

1562

1019

432

818 743

Banyak Siswa 5 SMK di Kota Baru



2) Diagram Garis Pada tahun berapa terjadi kenaikan paling tinggi dalam penggunaan mesin jahit? 3)Diagram Lingkaran Jika dana keseluruhan Rp 540.000.000,00 maka berapa rupiah keperluan dana untuk pos B? Menyusun tabel distribusi frekuensi berkelompok berdasarkan aturan Sturgess Perhatikan nilai matematika untuk 80 orang siswa berikut ini:

79 49 48 21 81 98 87 80 80 84 90 70 91 93 82 78 70 71 92 38 56 81 74 73 68 72 85 51 65 93 83 86 90 35 83 73 74 43 86 88 92 93 76 71 90 72 67 75 30 91 61 72 97 91 88 81 70 74 99 95 80 59 71 77 63 60 83 26 60 67 89 63 76 63 88 70 66 88 79 75

Untuk membuat daftar distribusi frekuensi dengan panjang kelas yang sama, kita lakukan sebagai berikut:

1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980

700 600 500 400 300 200 100

Penggunaan Mesin Jahit di perusahaan konveksi Tahun 1971 s/d 1980

Pos A28%

Pos B18% Pos C

14%

Pos D 22%

Pos E 10%

Pos F8%

Keperluan dana masing-masing pos suatu instansi



a. Tentukan jangkauan; j = Data maks – data min = 99 – 21 = 78. b. Tentukan banyak kelas; Menurut aturan Sturgess, banyak kelas k = 1 + (3,3) log n = 1 + (3,3)log 80 = 1 + (3,3)(1,9031) = 7,2802. ≈ 8 (selalu bilangan bulat hasil pembulatan ke atas)

c. Tentukan panjang interval kelas ; 1075,9878

≈===kji

nilai i selalu bilangan bulat hasil pembulatan ke atas. d. Pilih ujung bawah kelas interval pertama. Untuk ini bisa diambil sama dengan data

terkecil atau nilai data yang lebih kecil dari data terkecil tetapi selisihnya harus kurang dari panjang kelas yang telah ditentukan. Selanjutnya daftar diselesaikan dengan menggunakan harga-harga yang telah dihitung.

e. Dengan i = 10 dan memulai dengan data terkecil, maka interval kelas pertama berbentuk 21–30, kelas kedua 31–40, kelas ketiga 41–50, dan seterusnya.

f. Dengan menggunakan tabulasi dapat dibuat table distribusi frekuensi berdasarkan hasil diatas.

Nilai Ujian Tabulasi Frekuensi21 – 30 31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90

91 – 100

/// // /// //// //// //// //// //// //// //// //// // //// //// //// //// //// //// //

32 3 5

14 22 19 12

Jumlah ( ∑ ) 80Istilah-istilah dari tabel distribusi frekuensi berkelompok diatas adalah : *Kelas (k) Ada 8 kelas yaitu : 21 – 30 ; 31 – 40;

.........;..........;..........; .........;..........;.......... *Panjang interval kelas (i) i = ..... *Banyak data (n, ∑ f ) n = ∑ f = ...... *Batas bawah (Bb) Kelas 51 – 60 batas bawahnya 51 Kelas 71 – 80 batas bawahnya .......

*Batas atas (Ba) Kelas 61 – 70 batas atasnya 70 Kelas 91 – 100 batas atasnya ....... *Tepi bawah (Ltb) Kelas 81– 90 tepi bawahnya 80,5 Kelas 51– 60 tepi bawahnya ....... *Tepi atas (Lta) Kelas 51– 60 tepi atasnya 60,5 Kelas 91– 100 tepi atasnya .......

Latihan 1 Buatlah tabel distribusi frekuensi kelompok data berikut : 27 34 54 57 3 33 27 21 4 10 35 20 39 28 33 43 40 37 18 36 12 14 29 30 9 24 53 19 20 7 26 22 50 25 1 25 56 46 19 47



4) Histogram dan polygon frekuensi Adalah diagram dari tabel distribusi frekuensi. Histogram dari tabel distribusi frekuensi diatas adalah :

Tengah-tengah tiap sisi atas yang berdekatan kita hubungkan dan sisi terakhir

dihubungkan dengan setengah jarak kelas interval pada sumbu datar. Bentuk yangdidapat dinamakan polygon frekuensi. 5) Ogive Poligon frekuensi yang merupakan garis patah-patah dapat didekati oleh sebuah lengkungan halus yang bentuknya sesuai dengan bentuk polygon tersebut. Lengkungan yang didapat dinamakan kurva frekuensi atau biasa disebut dengan ogive. RATAAN / RATA-RATA HITUNG / MEAN Rataan dari sekumpulan data adalah jumlah seluruh data dibagi banyak data. a. Untuk data tunggal : x1 , x2 , x3 , x4 , …., xn rataannya dirumuskan :

nx

nxxxxx

x in ∑=+++++

=.....4321

b. Untuk data dalam tabel distribusi frekuensi, rataannya dirumuskan : ∑∑=

fxfx .

20,5 30,5 40,5 50,5 60,5 70,5 80,5 90,5 100,5

30

25

20

15

10

5

0

Nilai

Frek

uens

i

20,5 30,5 40,5 50,5 60,5 70,5 80,5 90,5 100,5

30

25

20

15

10

5

0

Nilai

Frek

uens

i

Nilai

Frek

uens

i

20,5 30,5 40,5 50,5 60,5 70,5 80,5 90,5 100,5

30

25

20

15

10

5

0



Contoh soal 1 Tentukan rataan dari data : a. 2, 6, 7, 5, 5, 4, 10, 8, 6, 9 b.

Nilai Banyak siswa(Frek) 6 2 7 3 8 4 9 1

c.

Berat (kg) Frek 1 – 5 3 6 – 10 4 11 – 15 2 16 – 20 1

Latihan 2 Tentukan rataan dari data berikut : 1. a. Nilai lima kali ulangan Niko sbb: 8, 10, 9, 8, 8 b. Data 10 penyumbang gempa Sumbar sbb : * 5 orang masing-masing Rp 400.000,00 * 2 orang masing-masing Rp 800.00,00 * sisanya masing-masing Rp 600.000,00 2.

Nilai 5 6 7 8 9 10 Frek 3 2 6 4 3 2

3. Jika rataan dari data berikut adalah 7,55 maka tentukan

nilai p

Nilai 5 6 7 8 9 10 Frekuensi 2 p 3 5 4 2

4. Nilai Frek

86 – 88 5 89 – 91 8 92 – 94 10 95 – 97 15

98 – 100 2

Menentukan rataan dengan menggunakan rataan sementara dan coding Untuk menghindari perkalian yang lumayan besar, maka ada cara cepat menentukan rataan yaitu menggunakan rataan sementara dan coding. Keterangan : ox : rataan sementara d : simpangan ( oi xxd −= ) i : panjang interval kelas c : coding Kedua cara tersebut mengharuskan untuk menentukan rataan sementara dulu (biasanya dipilih yang mempunyai frekuensi paling banyak untuk menghindari perkalian yang lumayan besar).

Jawab:

a. 2,610

96810455762=

+++++++++== ∑

nx

x i

b. Nilai(x) Frek(f) f.x

6 2 12 7 3 21 8 4 32 9 1 9 ∑ 10 74

c. Berat (kg) Frek(f) xi f.x

1 – 5 3 3 9 6 – 10 4 8 32 11 – 15 2 13 26 16 – 20 1 18 18

∑ 10 85

4,71074.

===∑∑

fxfx

∑∑=

fxfx .

1085

=

5,8=

Cara rataan sementara Cara Coding

∑∑+=

fdf

xx o.

∑∑⋅+=

fcf

ixx o.

; dimana i

xxc oi −=



Contoh soal 2 Tentukan rataan data berikut : a.

Nilai Banyak siswa(Frek) 6 2 7 3 8 4 9 1

(menggunakan rataan sementara)

b. Nilai Frek

86 – 88 5 89 – 91 8 92 – 94 10 95 – 97 15 98 – 100 2

(menggunakan rataan sementara dan coding) Latihan3

Latihan 2

Dengan menggunakan rumus ∑∑=

fxf

x.

; rataan sementara; dan coding, tentukan rataan dari data berikut !

Dari ketiga cara diatas, cara manakah yang paling mudah dalam menghitung tanpa kalkulator? Berat Frek

32 – 43 13 42 – 53 15 52 – 63 17 62 – 73 12 72 – 83 13 82 – 93 14

92 – 103 11

Jawab: a.

Nilai(x) Frek(f) d = xi – x0 f.d 6 2 –1 –2 7 3 0 0 8 4 1 4 9 1 2 2 ∑ 10 74 4

c.

Nilai Frek xi d = xi – x0 f.d i

xxc oi −= f.c

86 – 88 5 87 –9 –45 –3 –15 89 – 91 8 90 –6 –48 –2 –16 92 – 94 10 93 –3 –30 –1 –10 95 – 97 15 96 0 0 0 0

98 – 100 2 99 3 6 1 2 ∑ 40 –117 –39

Cara rataan sementara Misal xo = 96 (karena frek paling banyak)

∑∑+=

fdf

xx o.

4011796 −

+=

= 93,075 ≈ 93,08

Misal rataan sementara x0 = 7

∑∑+=

fdf

xx o.

1047 +=

= 7,4

Cara coding Misal xo = 96 (karena frek paling banyak)

∑∑⋅+=

fcf

ixx o.

4039396 −

⋅+=

925,296 −= = 93,075 ≈ 93,08



MODUS (Mo) Adalah data (nilai) yang sering muncul (frekuensinya paling banyak).Nilai Modus bisa

lebih dari satu nilai (Multi modus) Cara menentukan Modus :

Keterangan : Ltb : Tepi bawah kelas modus i : panjang interval kelas d1 : selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya

d2 : selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya Contoh soal 3 Tentukan Modus dari data : a. 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7 b.

Nilai Frek 6 5 7 10 8 15 9 4

c. Berat (kg) Frek

11 – 15 10 16 – 20 15 21 – 25 10 26 – 30 20 31 – 35 5

Latihan 4

Tentukan Modus dari data berikut : 1. a. 11, 12, 12, 14, 15, 15, 15, 16, 20 b. 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 10 c. 1 , 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 8 d. 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 9, 9

2. . Berat (kg) 11 12 13 14 15 Frekuensi 1 6 4 3 2

3. a.

Panjang (cm) Frek 51 – 60 10 61 – 70 13 71 – 80 15 81 – 90 12

91 – 100 5 b.

Tinggi (cm) Frek 21 – 23 4 24 – 26 3 27 – 29 4 30 – 32 2

1. Data tunggal dan Tabel distribusi frekuensi tunggal Mo = nilai (data) yang sering muncul (frek. paling banyak) 2. Tabel distrubusi frekuensi kelompok (i) Tentukan kelas modus (ii) Rumus

idd

dLtbMo ⋅

++=

21

1

Jawab: a. Mo = 3 b. Mo = 8 c. Kelas Modus : 26 – 30 d1 = 20 – 10 = 10 d2 = 20 – 5 = 15

idd

dLtbMo21

1+

+=

51510

105,25 ⋅+

+=

25,25 += = 27,5



MEDIAN (Me) Adalah nilai tengah dari data urut.

Cara menentukan Modus :

Keterangan : n : banyak data (=∑ f ) i : panjang interval kelas xk : data ke k xk + 1 : data ke k + 1

Ltb : tepi bawah kelas Median fk : frekuensi komulatif sebelum kelas

Median fMe : frekuensi kelas Median

Contoh soal 4 Tentukan Median dari data : a. a. 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9 b. 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 8, 8, 9, 10 c.

Nilai Frek 6 2 7 5 8 10 9 11

d. Berat (kg) Frek

61 – 70 6 71 – 80 16 81 – 90 10 91 – 100 8

1. Data tunggal (i) Data diurutkan

(ii) Letak : data ke )1(21

+= n

(iii)Jika Median terletak pada urutan antara k dan (k+1) danδ adalah bagian desimalnya, maka Median dirumuskan

)( 1 kkk xxxMe −+= +δ 2. Tabel distribusi frekuensi tunggal (i) tentukan frekuensi komulatif (ii) sama seperti (ii) dan (iii) data tunggal 3. Tabel distrubusi frekuensi kelompok (i) tentukan frekuensi komulatif

(ii) Letak : kelas yang memuat data ke n21

=

(iii) Rumus

if

fnLtbMe

Me

k⋅

−+= 2

1

Jawab:

a. Letak : data ke215)110(

21)1(

21

=+⋅=+⋅= n

Me = Data ke 5 + 21 (Data ke 6 – data ke 5)

= 4 + 21 (5– 4) = 4,5

b. Letak : data ke 6)111(21)1(

21

=+⋅=+⋅= n

Me = Data ke 6 = 5 c.

Nilai Frek fk Data ke- 6 2 2 1 – 2 7 5 7 3 – 7 8 10 17 8 – 17 9 11 28 18 – 28 ∑ 28

Letak : data ke )1(21

+⋅= n

2114)128(

21

=+⋅=

Me = data ke14+21

(data ke15–data ke14)

= 8 + 21

(8– 8) = 8



Latihan 5 Tentukan Median dari data berikut : 1. a. 8, 5, 4, 3, 7, 10, 9, 7, 6, 8, 7

b. 7, 3, 1, 5, 8, 9, 10, 3, 4, 6, 5, 8, 1, 2, 6, 7, 9, 3, 2, 5, 11, 7

2. a. Nilai Frek

6 2 7 4 8 3 9 1

b. Nilai Frek

6 4 7 6 8 3 9 5 10 2

3. a.

Panjang (cm) Frek 41 – 45 4 46 – 50 6 51 – 55 10 56 – 60 18 61 – 65 12

b.

Tinggi (cm) Frek 21 – 23 4 24 – 26 3 27 – 29 4 30 – 32 2

KUARTIL (Q) Adalah nilai yang membagi data urut menjadi empat bagian yang sama. Ada tiga nilai kuartil yaitu kuartil bawah (Q1) , kuartil tengah (Q2 = Me), dan kuartil atas (Q3). Cara menentukan Kuartil :

Keterangan : c = 1, 2, 3 Qc : Kuartil ke c n : banyak data (=∑ f ) i : panjang interval kelas xk : data ke k

xk + 1 : data ke k + 1 Ltb : tepi bawah kelas Kuartil ke c fk : frekuensi komulatif sebelum kelas

Kuartil ke c Qcf : frekuensi kelas Kuartil ke c

Data ke 204021

21

=⋅=⋅= n

Kelas Me : 71 – 80

if

fnLtbMe

Me

k⋅

−+= 2

1

1016

62021

5,70 ⋅−⋅

+=

101645,70 ⋅+=

= 70,5 + 2,5 = 73

d. Berat (kg) Frek fk Data ke

61 – 70 6 6 1 – 6 71 – 80 16 22 7 – 22 81 – 90 10 32 23 – 32 91 – 100 8 40 33 – 40

∑ 40



+= nc dimana c = 1, 2, 3

(iii) Jika Kuartil ke c ( Qc ) terletak pada urutan antara k dan (k+1) dan δ adalah bagian desimalnya, maka Qc dirumuskan

)( 1 kkkc xxxQ −+= +δ 2. Tabel distribusi frekuensi tunggal (i) tentukan frekuensi komulatif (ii) sama seperti (ii) dan (iii) data tunggal

3. Tabel distrubusi frekuensi kelompok (i) tentukan frekuensi komulatif (ii)Letak : kelas yang memuat

data ke nc4

=

(iii) Rumus : if

fnc

LtbQQc

kc ⋅

−+= 4



Contoh soal 5 Tentukan Q1 , Q2 , Q3 dari data berikut : a. 1, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 9, 9, 10 b.

Nilai Frek 6 3 7 2 8 4 9 1

c. Berat (kg) Frek

51 – 60 8 61 – 70 10 71 – 80 11 81 – 90 8 91 – 100 3

Jawab: a. Data tunggal:1,3,3,3,4,5,5,6,6,7,9,9,10 Kuartil bawah (Q1)

Letak :data ke213)113(

41)1(

41

=+⋅=+⋅= n

Q1 = Data ke 3 + 21 (Data ke 4 – data ke 3)

= 3 + 21 (3– 3) = 3

Kuartil tengah (Q2 = Me)

Letak : data ke 7)113(21)1(

42

=+⋅=+⋅= n

Q2 = Data ke 7 = 5 Kuartil Atas (Q3)

Letak:datake2110)113(

43)1(

43

=+⋅=+⋅= n

Q3 = Datake10 + 21 (Data ke11 – data ke10)

= 7 + 21 (9–7) = 8

b Nilai Frek fk Data ke-

6 3 3 1 – 3 7 2 5 4 – 5 8 4 9 6 – 9 9 1 10 10 ∑ 10

Kuartil bawah (Q1)

Letak: data ke432)110(

41)1(

41

=+⋅=+⋅= n


= 6 + 43 (6–6)

= 6

Kuartil tengah (Q2 = Me)


21)1(

42

=+⋅=+⋅= n


= 7 + 21 (8–7) = 7,5

Kuartil Atas (Q3)


43)1(

43

=+⋅=+⋅= n


= 8 + 41 (8–8) = 8

c. Berat (kg) Frek fk Data ke-

51 – 60 8 8 1 – 8 61 – 70 10 18 9 – 18 71 – 80 11 29 19 – 29 81 – 90 8 37 30 – 37 91 – 100 3 40 38 – 40

∑ 40 Kuartil bawah (Q1)

Data ke 104041

41

=⋅=⋅= n

Kelas Q1 : 61 – 70

if

fnLtbQ

Q

k⋅

−+=

11

41

1010

84041

5,60 ⋅−⋅

+=

101025,70 ⋅+=

5,72=



Kuartil tengah (Q2=Me)

Data ke 204021

42

=⋅=⋅= n

Kelas Q2 : 71 – 80

if

fnLtbQ

Q

k⋅

−+=

2

42

2

1011

184042

5,70 ⋅−⋅

+=

101125,70 ⋅+=

= 70,5 + 1,82 = 72,32

Kuartil atas (Q3)

Data ke 304043

43

=⋅=⋅= n

Kelas Q2 : 81 – 90

if

fnLtbQ

Q

k⋅

−+=

3

43

3

108

294043

5,80 ⋅−⋅

+=

10815,80 ⋅+=

= 80,5 + 1,25 = 81,75

Latihan 6 Tentukan Q1 , Q2 , Q3 dari data berikut : 1. a. 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 9, 10 b. 6, 3, 3, 10, 9, 6, 7, 5, 4, 8, 8, 7, 6, 5, 6

c. 7, 8, 1, 5, 3, 9, 3, 10, 4, 6, 5, 8, 1, 2, 6, 7, 9, 3, 2, 5, 11, 7

2. a. Nilai Frek

6 5 7 4 8 6 9 3 10 2

b. Nilai Frek

5 10 6 4 7 9 8 7 9 5 10 5

3. Panjang (cm) Frek

41 – 45 30 46 – 50 20 51 – 55 10 56 – 60 25 61 – 65 15

4.

Nilai Ujian masuk Frek 51 – 60 12 61 – 70 18 71 – 80 25 81 – 90 15

91 – 100 10 Tabel diatas menunjukan nilai 80 peserta ujian masuk penerimaan karyawan baru PT. Panasonic,Tbk. a. Jika perusahaan hanya menerima 55 karyawan baru,

tentukan berapa nilai minimal karyawan yang diterima! b. Jika yang memiliki nilai 85 ke atas di terima tentukan

berapa orang karyawan yang diterima!

DESIL (D) Adalah nilai yang membagi data urut menjadi sepuluh bagian yang sama. Ada sembilan nilai desil yaitu D1, D2,D 3, ….., D9. Cara menentukan Desil hampir sama seperti cara menentukan kuartil, yaitu :



+= nc dimana

c = 1, 2, 3, 4, ..., 9 (iii) Jika Desil ke c ( Dc ) terletak pada urutan

antara k dan (k+1) dan δ adalah bagian desimalnya, maka Dc dirumuskan

)( 1 kkkc xxxD −+= +δ

2. Tabel distribusi frekuensi tunggal (i) tentukan frekuensi komulatif (ii) sama seperti (ii) dan (iii) data tunggal 3. Tabel distrubusi frekuensi kelompok (i) tentukan frekuensi komulatif

(ii) Letak : kelas yang memuat data ke nc10

=

(iii) Rumus : if

fnc

LtbDDc

kc

−+= 10



Keterangan : c = 1, 2, 3, 4, ..., 9 Dc : Desil ke c n : banyak data (=∑ f ) i : panjang interval kelas xk : data ke k

xk + 1 : data ke k + 1 Ltb : tepi bawah kelas Desil ke c fk : frekuensi komulatif sebelum kelas

Desil ke c Dcf : frekuensi kelas Desil ke c

PERSENTIL (P) Adalah nilai yang membagi sekumpulan data urut menjadi 100 bagian yang sama. Ada 99 Persentil yaitu P1 , P2 ,P3 , P4 , P5 , ..., P99. Cara menentukan Persentil hampir sama seperti cara menentukan Kuartil yaitu :

Keterangan : c = 1, 2, 3, 4, 5, ..., 99 Pc : Persentil ke c n : banyak data (=∑ f ) i : panjang interval kelas xk : data ke k

xk + 1 : data ke k + 1 Ltb : tepi bawah kelas Persentil ke c fk : frekuensi komulatif sebelum kelas

Persentil ke c Pcf : frekuensi kelas Persentil ke c

Contoh soal 6 Tentukan Desil ke 3 (D3) dan Persentil ke 90 (P90) dari data berikut :

Nilai Frek 5 6 6 18 7 20 8 16 9 12 10 8

Jawab : Tabel distribusi frekuensi tunggal

Nilai Frek fk Data ke- 5 6 6 1 – 6 6 18 24 7 – 24 7 20 44 25 – 44 8 16 60 45 – 60 9 12 72 61 – 72 10 8 80 73 – 80 ∑ 80

Desil ke 3 (D3)

Letak: datake10324)180(

103)1(

103

=+⋅=+⋅= n

D3 = Data ke 24 + 103 (Data ke 25 – data ke 24)

= 6 + 103 (7–6) = 6,3

Persentil ke 90 (P90)

Letak:datake10972)180(

109)1(

10090

=+⋅=+⋅= n

P90= Data ke 72 + 109 (Data ke 73 – data ke 72)

= 9 + 109 (10–9) = 9,9



+= nc

dimana c = 1, 2, 3, 4, 5,..., 99 (iii) Jika Persentil ke c ( Pc ) terletak pada urutan

antara k dan (k+1) dan δ adalah bagian desimalnya, maka Pc dirumuskan

)( 1 kkkc xxxP −+= +δ

2. Tabel distribusi frekuensi tunggal (i) tentukan frekuensi komulatif (ii) sama seperti (ii) dan (iii) data tunggal 3. Tabel distrubusi frekuensi kelompok (i) tentukan frekuensi komulatif

(ii) Letak : kelas yang memuat data ke nc100

=

(iii) Rumus : if

fnc

LtbPPc

kc

−+= 100



Latihan 7 1. Diketahui data : 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9 Tentukan : a. Desil ke 8 (D8) b.Persentil ke 25 (P25)

2. Tentukan Desil ke 6 (D6) dan Persentil ke 40 (P40) dari data berikut :

Berat (kg) Frek 51 – 60 15 61 – 70 10 71 – 80 30 81 – 90 25

91 – 100 20

SIMPANGAN RATA-RATA (SR) Cara menentukan Simpangan rata-rata : Keterangan : x : rata-rata / rataan / mean

xxi − : harga mutlak dari xxi − ( nilai positif dari xxi − )

∑ − xxf i : jumlah dari xxf i −

n = ∑ f : banyak data Contoh soal 7 Tentukan simpangan dari data berikut : 2, 3, 3, 4, 7, 7, 9 Jawab :

57

9774332=

++++++== ∑

nx

x i

n

xxSR

i∑ −=

7

59575754535352 −+−+−+−+−+−+−=

7

4221223 ++++++=

= 2,285 ≈ 2,29 Latihan 8 Tentukan Simpangan Rata-rata dari data : 1.

Nilai Frek 6 10 7 4 8 3 9 2 10 1

2.

Berat (kg) Frek 1 – 3 4 4 – 6 2 7 –9 4

10 – 12 2

1. Data tunggal : n

xxSR

i∑ −=

2. Data dalam tabel distrubusi frekuensi : ∑

∑ −=

f

xxfSR

i



RAGAM/VARIAN (R) DAN SIMPANGAN BAKU (S) Cara menentukan Ragam dan Simpangan baku :

Keterangan : x : rata-rata / rataan / mean

( )∑ −2xxi : jumlah dari ( )2xxi −

( )∑ −2xxf i : jumlah dari ( )2xxf i −

n = ∑ f : banyak data Contoh soal 8 Tentukan Ragam dan Sipangan baku dari data :

Nilai Frek 6 10 7 4 8 3 9 2 10 1

Jawab : Latihan 9 Tentukan Ragam dan Sipangan baku dari data : 1. 2, 3, 3, 4, 7, 7, 9

RUMUS-RUMUS YANG LAIN

Disamping rumus-rumus diatas ada juga rumus-rumus yang lain yaitu :

1. Data tunggal : ( )

nxx

R i∑ −=

2 ; RagamS =

2. Data dalam tabel distrubusi frekuensi : ( )∑

∑ −=

fxxf

R i2

; RagamS =

Nilai(x) Frek(f) f.x ( )2xxi − ( )2xxf i − 6 10 60 1 10 7 4 28 0 0 8 3 24 1 3 9 2 18 4 8 10 1 10 9 9 ∑ 20 140 30

7

20140

==⋅

=∑∑

fxf

x

( )5,1

2030

2==

−=

∑∑

fxxf

R i

5,1== RagamS

a. Jangkauan data (j) = rentang j = Data terbesar – data terkecil b.Hamparan (H) = Jangkauan antar kuartil H = Q3 – Q1 c. Simpangan Kuartil (Qd) = jangkauan

semi antar kuartil

( )1321 QQQd −=

d. Langkah (L)

( )1323 QQL −=

e. Pagar Dalam & Pagar Luar Pagar Dalam = Q1 – L Pagar Luar = Q3 + L f. Jangkauan Persentil 1090 PPJP −=

2. Berat (kg) Frek

1 – 3 4 4 – 6 2 7 –9 4

10 – 12 2



ANGKA BAKU (NILAI STANDART) Bimbim mendapatkan nilai ulangan Matematika 80 dengan rata-rata nilai

kelas = 70 dan simpangan bakunya 8. Untuk pelajaran Akuntansi ia mendapat nilai 90 dengan rata-rata nilai kelas = 80 dan simpangan bakunya 12. Yang manakah data yang paling baik? Pada nilai pelajaran Matematika/Akuntansi?

Untuk menjawab itu maka diperlukan pengubahan data mentah ke nilai baku

(nilai standart) yang dirumuskan : s

xxz i −=

Keterangan : z : angka baku / nilai standart xi : data mentah/nilai mentah x : rataan/mean s : simpangan baku. Untuk permasalahan di atas :

Nilai standart matematika = 25,18

7080=

−=

−=

sxx

z i (Nilai matematika menyimpang

1,25 diatas nilai rata-rata kelas)

Nilai standart akuntansi = 83,012

8090=

−=

−=

sxx

z i (Nilai akuntansi menyimpang

0,83 diatas nilai rata-rata kelas) Tampak bahwa nilai matematika Bimbim lebih baik dari nilai akuntansinya. KOEFISIEN VARIASI (VARIABILITAS) Untuk menentukan homogen (seragam) atau tidaknya sekumpulan data maka

dapat di lihat dari nilai koefisien variasinya. Dirumuskan : %100×=xsv

Keterangan : v : koefisian variasi/variabilitas x : rataan/mean

s : simpangan baku Semakin kecil nilai v, maka data semakin homogen (seragam). Sebaliknya semakin

besar nilai v maka dat semakin heterogen. UKURAN KEMIRINGAN KURVA (SKEWNESS) Miring tidaknya kurva distribusi frekuensi dapat ditentukan dari koefisien

kemiringan kurva (µ) yang dirumuskan :

1. Koefisien kemiringan Karl Pierson1 (KP1) = sMox −

=µ

2. Koefisien kemiringan Karl Pierson2 (KP2) = s

Mex )(3 −=µ

3. Koefisien kemiringan Bawley = 13

1223QQ

QQQ−

+⋅−=µ

µ = 0 kurva simetris MeMox ==

µ > 0 kurva positif (condong ke kanan)

xMeMo <<

µ < 0 kurva negatif (condong ke kiri)

xMeMo >>



UKURAN KERUNCINGAN KURVA (KURTOSIS) Runcing tidaknya kurva distribusi frekuensi dapat ditentukan dari koefisien

keruncingan kurva (α) yang dirumuskan :

)1090(2

13PP

QQJPdQ

−−

==α

Keteranga : α : koefisien keruncingan. Q3 : Kuartil atas Qd : simpangan kuartil P10 : Persentil ke 10 JP : jangkauan persentil

KORELASI

Hubungan antara dua variabel yang menjadi pengamatan disebut korelasi. Nilai yang dapat mengukur derajat hubungan kedua variabel tersebut disebut koefisien variasi (r). Sedangkan nilai yang dapat mengukur tingkat korelasi disebut koefisien penentu (KP).

Koefisien korelasi Karl Pierson= ( )( )( )( ) ( )( )2222 ∑∑∑∑

∑∑∑−−

−=

YYnXXn

YXXYnr

Koefisien penentu (KP) KP = r2 x 100% Contoh soal 9

Matematika 7 6 5 8 9 8 6 Bahasa Inggris 5 4 6 5 8 8 7

Data nilai matematika dan Bahasa Inggris suatu kelompok belajar. Tentukan koefisien korelasi dan koefisien penentunya ! Jawab: Misal: nilai Matematika = X ; nilai bahasa Inggris = Y ; n = 7

X Y X2 Y2 XY 7 5 49 25 35 6 4 36 16 24 5 6 25 36 30 8 5 64 25 40 9 8 81 64 72 8 8 64 64 64 6 7 36 49 42

∑ X = 49 ∑ Y = 49 ∑ X2 = 355 ∑ Y2 = 279 ∑ XY = 307 Koefisien korelasi :

( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) 45,0

873642

432797493557

43493077222222

==−⋅−⋅

⋅−⋅=

−−

−=

∑∑∑∑

∑∑∑YYnXXn

YXXYnr

α > 3 kurva runcing Leptokurtis

α= 3 kurva sedang Mesokurtis

α < 3 kurva tumpul Platikurtis



Koefisien penentu: KP = r2 x 100% = 0,452 x 100 % = 20,25 % = 0,2025 Latihan 10 1.Diketahui data sebagai berikut : 2, 3, 3, 4, 7, 7, 9

Tentukan : a. Jangkauan e. Pagar dalam & pagar luar b. Hamparan f. koefisien variasi c. Simpangan kuartil g. Angka baku dari data : 9 d. Langkah

2. Dari sekelompok data diketahui Q1 = 30 ; Q2 = 42 ; Q3 = 50. Tentukan koefisien kemiringan kurva! 3. Dari sekelompok data diketahui Mo = 34 ; s = 2 ; koefisien kemiringan = 2,5. Tentukan rata-rata data tersebut! 4. Dari sekelompok data diketahui Q1 = 20 ; Q3 = 40 ; P10 = 15 ; P90 = 48. Tentukan koefisien keruncingan kurva! 5.Tentukan koefisien korelasi dan koefisien penentu dari data berikut :

Donat Cokelat 2 3 5 4 9 6 Donat keju 4 2 6 7 5 7

== oOo == DAFTAR PUSTAKA Kusrini, Modul Statistika SMK, Depdiknas, Jakarta, 2004 Masrihani, Tuti, dkk., Matematika Program Keahlian Akuntansi dan Penjualan SMK

dan MAK Kelas XII, Penerbit Erlangga, Jakarta, 2008



Untuk apa Statistika dipelajari?

Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan mempresentasikandata. Singkatnya, statistika adalah ilmu yang berkenaan dengan data. Istilah 'statistika' (bahasa Inggris: statistics) berbeda dengan 'statistik' (statistic). Statistika merupakan ilmu yang berkenaan dengan data, sedang statistik adalah data, informasi, atau hasil penerapan algoritma statistika pada suatu data. Dari kumpulan data, statistika dapat digunakan untuk menyimpulkan atau mendeskripsikan data; ini dinamakanstatistika deskriptif. Sebagian besar konsep dasar statistika mengasumsikan teori probabilitas (teori peluang). Beberapa istilah statistika antara lain: populasi,sampel, unit sampel, dan probabilitas(peluang).

Statistika banyak diterapkan dalam berbagai disiplin ilmu, baik ilmu-ilmu alam (misalnya astronomi dan biologi) maupun ilmu-ilmu sosial (termasuk sosiologi dan psikologi), maupun di bidang bisnis, ekonomi, dan industri). Statistika juga digunakan dalam pemerintahan untuk berbagai macam tujuan; sensus penduduk merupakan salah satu prosedur yang paling dikenal. Aplikasi statistika lainnya yang sekarang popular adalah prosedur jajak pendapat atau polling (misalnya dilakukan sebelum pemilihan umum), serta jajak cepat (perhitungan cepat hasil pemilu) atau quick count. Di bidang komputasi, statistika dapat pula diterapkan dalam pengenalan pola maupun

kecerdasan buatan (Artificial Intellegence)

download modul matematika - statistika · pdf filestatistik dan statistika ... di kecamatan...

Documents