sistem informasi manajemen -...
Post on 13-Mar-2019
271 Views
Preview:
TRANSCRIPT
PERTEMUAN XPERTEMUAN XPERKALIANPERKALIAN
JARAK DUA VEKTORJARAK DUA VEKTORSUDUT ANTARA DUASUDUT ANTARA DUA
VEKTORVEKTORPROJEKSI & KOMPONENPROJEKSI & KOMPONEN
DUA VEKTORDUA VEKTOR
PERKALIANPERKALIANJARAK DUA VEKTORJARAK DUA VEKTORSUDUT ANTARA DUASUDUT ANTARA DUA
VEKTORVEKTORPROJEKSI & KOMPONENPROJEKSI & KOMPONEN
DUA VEKTORDUA VEKTOR
PERKALIAN DUA VEKTORPERKALIAN DUA VEKTOR
2 jenis perkalian dua vektor :2 jenis perkalian dua vektor :a.a. Dot ProductDot Productb.b. Cross ProductCross Product
2 jenis perkalian dua vektor :2 jenis perkalian dua vektor :a.a. Dot ProductDot Productb.b. Cross ProductCross Product
DOT PRODUCTDOT PRODUCT Lambang :Lambang : uu .. vv Hasil : skalarHasil : skalar Definisi 1 (jika diketahui sudutDefinisi 1 (jika diketahui sudut
antara 2 vektor ):antara 2 vektor ):Jika u dan v adalah vektor di ruang 2 atauJika u dan v adalah vektor di ruang 2 atauruang 3, danruang 3, dan adalah sudut di antara uadalah sudut di antara udan v, maka hasil kali titik (dot product)dan v, maka hasil kali titik (dot product)atau hasil kali dalam Euclidis ( Euclideanatau hasil kali dalam Euclidis ( Euclideaninner product ) u.v didefinisikan oleh :inner product ) u.v didefinisikan oleh :
Lambang :Lambang : uu .. vv Hasil : skalarHasil : skalar Definisi 1 (jika diketahui sudutDefinisi 1 (jika diketahui sudut
antara 2 vektor ):antara 2 vektor ):Jika u dan v adalah vektor di ruang 2 atauJika u dan v adalah vektor di ruang 2 atauruang 3, danruang 3, dan adalah sudut di antara uadalah sudut di antara udan v, maka hasil kali titik (dot product)dan v, maka hasil kali titik (dot product)atau hasil kali dalam Euclidis ( Euclideanatau hasil kali dalam Euclidis ( Euclideaninner product ) u.v didefinisikan oleh :inner product ) u.v didefinisikan oleh :
0vu,jikaθ,cosvuu.v
0vu,jika,0u.v
Definisi 2 (Definisi 2 (Jika tidak diketahui sudutJika tidak diketahui sudutdiantaranyadiantaranya ))::Untuk u=(uUntuk u=(u11,u,u22) dan v=(v) dan v=(v11,v,v22) maka :) maka :u.v = uu.v = u11 vv11 + u+ u22 vv22
Untuk u=(uUntuk u=(u11,u,u2,2,uu33) dan v=(v) dan v=(v11,v,v22,v,v33) maka :) maka :u.v = uu.v = u11 vv11 + u+ u22 vv22+ u+ u33.v.v33
TEOREMATEOREMAJika v adalah vektor di RJika v adalah vektor di R22 atau Ratau R3,3, maka :maka :
Definisi 2 (Definisi 2 (Jika tidak diketahui sudutJika tidak diketahui sudutdiantaranyadiantaranya ))::Untuk u=(uUntuk u=(u11,u,u22) dan v=(v) dan v=(v11,v,v22) maka :) maka :u.v = uu.v = u11 vv11 + u+ u22 vv22
Untuk u=(uUntuk u=(u11,u,u2,2,uu33) dan v=(v) dan v=(v11,v,v22,v,v33) maka :) maka :u.v = uu.v = u11 vv11 + u+ u22 vv22+ u+ u33.v.v33
TEOREMATEOREMAJika v adalah vektor di RJika v adalah vektor di R22 atau Ratau R3,3, maka :maka :
v.vvatauvv.v2
TEOREMATEOREMA
Jika u,v dan w adalah vektor di RJika u,v dan w adalah vektor di R22atau Ratau R33 dan k adalah skalar, maka :dan k adalah skalar, maka :a.a. uu .. vv == vv.. uub.b. uu. (. (vv ++ ww) =) = uu..vv ++ uu..wwc. k (c. k (u.vu.v) = (k) = (k uu) .) .vv == uu . (k. (kvv))d.d. v .vv .v > 0 jika> 0 jika vv 0 dan0 dan v.vv.v = 0 jika= 0 jika
vv = 0= 0
Jika u,v dan w adalah vektor di RJika u,v dan w adalah vektor di R22atau Ratau R33 dan k adalah skalar, maka :dan k adalah skalar, maka :a.a. uu .. vv == vv.. uub.b. uu. (. (vv ++ ww) =) = uu..vv ++ uu..wwc. k (c. k (u.vu.v) = (k) = (k uu) .) .vv == uu . (k. (kvv))d.d. v .vv .v > 0 jika> 0 jika vv 0 dan0 dan v.vv.v = 0 jika= 0 jika
vv = 0= 0
CROSS PRODUCTCROSS PRODUCT
DigunakanDigunakan khususkhusus untuk vektor di Runtuk vektor di R33
Lambang :Lambang : uu xx vv Hasil : vektorHasil : vektor Definisi :Definisi :
DigunakanDigunakan khususkhusus untuk vektor di Runtuk vektor di R33
Lambang :Lambang : uu xx vv Hasil : vektorHasil : vektor Definisi :Definisi :
21
21
31
31
32
32
vv
uu,
vv
uu,
vv
uuu x v
TEOREMATEOREMA Jika u dan v adalah vektor di RJika u dan v adalah vektor di R33 maka :maka :
a.a. uu . (. (uu xx vv) =) = 00b.b. v.v. ((uu xx vv) =) = 00c.c. uu xx vv == -- ((vv xx uu ))d.d. uu x (x (vv ++ ww) = () = (uu xx vv) + () + ( uu xx ww))e.e. ((uu++vv) x) x ww=(=(uu xx ww) + () + ( vv xx ww))f.f. k (k (uu xx vv)=(k)=(k uu) x) x vv==uu x kx kvvg.g. uu xx 00==00 xx uu== 00h.h. uu xx uu==00i.i. u . (v x w) = w. (u x v ) = v. (w x u)u . (v x w) = w. (u x v ) = v. (w x u)
Jika u dan v adalah vektor di RJika u dan v adalah vektor di R33 maka :maka :
a.a. uu . (. (uu xx vv) =) = 00b.b. v.v. ((uu xx vv) =) = 00c.c. uu xx vv == -- ((vv xx uu ))d.d. uu x (x (vv ++ ww) = () = (uu xx vv) + () + ( uu xx ww))e.e. ((uu++vv) x) x ww=(=(uu xx ww) + () + ( vv xx ww))f.f. k (k (uu xx vv)=(k)=(k uu) x) x vv==uu x kx kvvg.g. uu xx 00==00 xx uu== 00h.h. uu xx uu==00i.i. u . (v x w) = w. (u x v ) = v. (w x u)u . (v x w) = w. (u x v ) = v. (w x u)
SUDUT ANTARA 2 VEKTORSUDUT ANTARA 2 VEKTOR
Jika u dan v adalah vektor tak nol,Jika u dan v adalah vektor tak nol,dandan adalah sudut antara vektor uadalah sudut antara vektor udan v, maka :dan v, maka :
Jika u dan v adalah vektor tak nol,Jika u dan v adalah vektor tak nol,dandan adalah sudut antara vektor uadalah sudut antara vektor udan v, maka :dan v, maka :
vuu.vθcos
TEOREMATEOREMAJika u dan v adalah vektor vektor takJika u dan v adalah vektor vektor taknol dannol dan adalah sudut di antaraadalah sudut di antarakedua vektor tersebut, maka :kedua vektor tersebut, maka : lancip, jika dan hanya jika u.vlancip, jika dan hanya jika u.v 00 tumpul, jika dan hanya jika u.vtumpul, jika dan hanya jika u.v 00 == /2 , jika dan hanya jika u.v = 0/2 , jika dan hanya jika u.v = 0
Jika u dan v adalah vektor vektor takJika u dan v adalah vektor vektor taknol dannol dan adalah sudut di antaraadalah sudut di antarakedua vektor tersebut, maka :kedua vektor tersebut, maka : lancip, jika dan hanya jika u.vlancip, jika dan hanya jika u.v 00 tumpul, jika dan hanya jika u.vtumpul, jika dan hanya jika u.v 00 == /2 , jika dan hanya jika u.v = 0/2 , jika dan hanya jika u.v = 0
PROJ (U,V) & KOMP (U,V)PROJ (U,V) & KOMP (U,V) Dot product, berguna bila diinginkanDot product, berguna bila diinginkan
untuk menguraikan vektor ke dalamuntuk menguraikan vektor ke dalampenjumlahan dua vektor yang salingpenjumlahan dua vektor yang salingtegak lurus.tegak lurus.
Perhatikan gambar di bawah ini :Perhatikan gambar di bawah ini :
Dot product, berguna bila diinginkanDot product, berguna bila diinginkanuntuk menguraikan vektor ke dalamuntuk menguraikan vektor ke dalampenjumlahan dua vektor yang salingpenjumlahan dua vektor yang salingtegak lurus.tegak lurus.
Perhatikan gambar di bawah ini :Perhatikan gambar di bawah ini :
w1 v
uw2
Jika u dan v adalah vektor vektor takJika u dan v adalah vektor vektor taknol dalam Rnol dalam R22 atau Ratau R33, maka u dapat, maka u dapatdituliskan :dituliskan : uu == ww11 ++ ww22
di manadi mana ww11 adalah kelipatan skalaradalah kelipatan skalardaridari vv, dan, dan ww22 tegak lurus kepadategak lurus kepada vv..
Dikatakan :Dikatakan :ww11 adalahadalah projeksi ortogonalprojeksi ortogonal daridari uupadapada vvww22 adalahadalah komponenkomponen daridari uu yangyangortogonal kepadaortogonal kepada vv
Jika u dan v adalah vektor vektor takJika u dan v adalah vektor vektor taknol dalam Rnol dalam R22 atau Ratau R33, maka u dapat, maka u dapatdituliskan :dituliskan : uu == ww11 ++ ww22
di manadi mana ww11 adalah kelipatan skalaradalah kelipatan skalardaridari vv, dan, dan ww22 tegak lurus kepadategak lurus kepada vv..
Dikatakan :Dikatakan :ww11 adalahadalah projeksi ortogonalprojeksi ortogonal daridari uupadapada vvww22 adalahadalah komponenkomponen daridari uu yangyangortogonal kepadaortogonal kepada vv
Menentukan vektorMenentukan vektor ww11 dandan ww22 ::KarenaKarena ww11 adalah kelipatan skalaradalah kelipatan skalardaridari vv, maka dapat ditulis dalam, maka dapat ditulis dalambentukbentuk ww11 = k= kvv . Jadi :. Jadi :u = wu = w11 + w+ w22 = kv + w= kv + w22
Dengan definisi dari dot productDengan definisi dari dot productmaka didapatkan :maka didapatkan :u.vu.v == ((kkv + wv + w22).v).v = k += k + ww22..vvKarenaKarena ww22 tegak lurus kepada v,tegak lurus kepada v,maka diperolehmaka diperoleh ww22.v.v == 00 sehinggasehinggapers menjadi :pers menjadi :
Menentukan vektorMenentukan vektor ww11 dandan ww22 ::KarenaKarena ww11 adalah kelipatan skalaradalah kelipatan skalardaridari vv, maka dapat ditulis dalam, maka dapat ditulis dalambentukbentuk ww11 = k= kvv . Jadi :. Jadi :u = wu = w11 + w+ w22 = kv + w= kv + w22
Dengan definisi dari dot productDengan definisi dari dot productmaka didapatkan :maka didapatkan :u.vu.v == ((kkv + wv + w22).v).v = k += k + ww22..vvKarenaKarena ww22 tegak lurus kepada v,tegak lurus kepada v,maka diperolehmaka diperoleh ww22.v.v == 00 sehinggasehinggapers menjadi :pers menjadi :
2
v
dan karena wdan karena w11 = kv, maka didapat := kv, maka didapat :
yaitu projeksi ortogonalyaitu projeksi ortogonal uu padapada vv
2
v
u.vk
vv
u.vv)(u,proj
vv
u.vw
2
21
dan karena wdan karena w11 = kv, maka didapat := kv, maka didapat :
yaitu projeksi ortogonalyaitu projeksi ortogonal uu padapada vv
vv
u.vv)(u,proj
vv
u.vw
2
21
Dengan substitusiDengan substitusi uu == ww11 ++ ww22 untukuntukmendapatkanmendapatkan ww22 maka didapatmaka didapatrumus berikut :rumus berikut :
yaitu komponen dariyaitu komponen dari uu yang tegakyang tegaklurus padalurus pada vv
vvu.v
uw 22
Dengan substitusiDengan substitusi uu == ww11 ++ ww22 untukuntukmendapatkanmendapatkan ww22 maka didapatmaka didapatrumus berikut :rumus berikut :
yaitu komponen dariyaitu komponen dari uu yang tegakyang tegaklurus padalurus pada vv
vvu.v
uw 22
Jadi :Jadi :
vv
u.v-uv)(u,Komp
vv
u.vv)Proj(u,
2
2
vv
u.v-uv)(u,Komp
vv
u.vv)Proj(u,
2
2
top related