permutasi & kombinasi - arumprimandari.files.wordpress.com · dapat dipilih 5𝑃2=5∙4=20....

PERMUTASI & KOMBINASIARUM H. PRIMANDARI

ATURAN PENGALIANATURAN 1

ATURAN 2

MENGHITUNG TITIK SAMPEL

Dasar dari prinsip menghitung titik sampel sering di diartikan sebagai aturanpengalian.

Aturan 1:

Jika suatu operasi dapat dilakukan dalam n1 cara, dan dari setiap caratersebut, operasi kedua dapat dilakukan dengan n2 cara, maka dua operasitersebut dapat dilakukan secara bersama dalam n1n2 cara.

CONTOH 1:

Perhatikan𝑛1 = 4; 𝑛2 = 3

Sehingga seorangpembeli dapat memilihdari:𝑛1𝑛2 = 4 ∙ 3 = 12kemungkinan

Aturan 2:

Jika suatu operasi dapat dilakukan dalam n1 cara, dan setiap dari caratersebut operasi keduanya dapat dilakukan dalam n2 cara, dan setiap dari duacara pertama tersebut operasi ketiganya dapat dilakukan dalam n3 cara, danseterusnya, maka rangkaian dari k operasi dapat dilakukan dengan:

𝑛1 ∙ 𝑛2 ∙ 𝑛3 ∙∙∙ 𝑛𝑘

Contoh:

Yoland memiliki 6 pasang sepatu, 4 tas, 5 jam tangan, dan 12 gelang. Ketikadia ingin berpergian, maka pilihan asseccoris yang tersedia adalah:

6 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 12 = 1440

PERMUTASIDEFINISI

TEOREMA

DEFINISI

Permutasi adalah penyusunan dari semua atau bagian himpunan obyek.

Permutasi memperhatikan urutan dari obyek yang disusun.

Definisi 1:

Untuk sembarang bilangan bulat non-negatif n, n! disebut n faktorial, didefinisikan:𝑛! = 𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 ∙∙∙ 2 ∙ 1

dengan kasus khusus 0! = 1.

Teorema 1:

Banyaknya permutasi dari n obyek adalah n!

PERMUTASI

Secara umum, n obyek yang berbeda dan diambil r obyek dalam sekaliwaktu, dapat disusun:

𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 ∙∙∙ (𝑛 − 𝑟 + 1) cara

Teorema 2:

Banyaknya permutasi dari n obyek berbeda yang diambil sebanyak r obyekdalam sekali waktu adalah:

𝑛𝑃𝑟=𝑛!

𝑛 − 𝑟 !

CONTOH 2

Seorang ketua dan bendahara untuk club research kebencanaan akandipilih dari 6 calon. Jika setiap calon berpeluang untuk menjadi ketuaatau bendahara, maka terdapat berapa kemungkinan susunanpengurus jika:

a) Tidak terdapat pembatasan

b) A bersedia menjadi pengurus, hanya jika dia menjadi ketua

c) B dan C hanya akan menjadi pengurus bersama atau tidak sama sekali

d) D dan E tidak menjadi pengurus bersama

JAWAB CONTOH 2

a) Jika tidak ada pembatasan 6𝑃2 = 6 ∙ 5 = 30

b) (i) Jika A menjadi ketua maka terdapat 5𝑃1 = 5 cara memilihbendahara; (ii) Jika A tidak menjadi ketua, maka terdapat 5 calon yang dapat dipilih 5𝑃2 = 5 ∙ 4 = 20. Total cara memilih 5 + 20 = 25

c) (i) Banyaknya pilihan apabila B dan C menjadi pengurus adalah 2; (ii) Banyaknya pilihan apabila B dan C tidak menjadi pengurus adalah 4𝑃2 =4 ∙ 3 = 12. Total cara memilih 2 + 12 = 14

d) Banyaknya cara jika D dan E menjadi pengurus bersama adalah 14, sehingga banyak cara D dan E tidak menjadi pengurus bersama adalah30 − 14 = 16

PERMUTASI SIKLIS

Teorema 3:

Banyaknya permutasi dari n obyek yang disusun secara melingkar (adalah:

1) 𝑛 − 1 ! Ketika arah putaran diperhatikan

2)1

2𝑛 − 1 ! Ketika arah putaran tidak diperhatikan

Contoh 3:

Tedapat 5 orang yang akan duduk mengelilingi meja bundar. Banyak susunanmereka duduk adalah:

5 − 1 ! = 4! = 24

PERMUTASI

Teorema 4:

Banyaknya permutasi berbeda dari n obyek yang memiliki sebanyak n1

sejenis, n2 sejenis, …, nk sejenis adalah𝑛!

𝑛1! ∙ 𝑛2! ∙ 𝑛3! ∙∙∙ 𝑛𝑘!

Contoh 4:

Suatu seminar mengundang tamu VIP dari beberapa kalangan, yaitu 7 kaprodi, 6 praktisi industri, 8 praktisi perbankan, 4 badan pemerintahan. Susunan mereka duduk dalam satu baris adalah:

7 + 6 + 8 + 4 !

7! ∙ 6! ∙ 8! ∙ 4= 4.41724E+12

Banyak cara mempartisi suatu himpunan dari n obyek pada rhimpunan bagian yang disebut sel.

Teorema 5:

Banyaknya cara mempartisi suatu himpunan n obyek pada r seldengan sebanyak n1 elemen untuk sel pertama, n2 elemen untuk selkedua, dan seterusnya adalah

𝑛𝑛1, 𝑛2, … , 𝑛𝑟

=𝑛!

𝑛1! 𝑛2! ∙∙∙ 𝑛𝑟!

dimana 𝑛1 + 𝑛2 +⋯+ 𝑛𝑟 = 𝑛

CONTOH 5

Terdapat 7 mahasiswa yang mengikuti seminar. Untuk keperluanakomodasi kamar hotel, terdapat 1 kamar untuk diisi 3 orang dandua kamar untuk diisi 2 orang. Ada berapa banyak cara menyusunpembagian kamar?

73,2,2

=7!

3! 2! 2!= 210

KOMBINASIDEFINISI

TOREMA

KOMBINASI

Kombinasi merupakan banyaknya cara memilih r obyek dari n obyek tanpamemperhatikan urutan.

Teorema 6:

Banyaknya kombinasi dari n obyek yang berbeda yang diambil sebanyak r obyek dalam sekali waktu adalah

𝑛𝑟

=𝑛!

𝑟! 𝑛 − 𝑟 !

Atau𝑛𝑟

=𝑛𝑃𝑟

𝑟!

LATIHAN

1. Suatu merk sepatu mengeluarkan 5 model sepatu yang berbeda dengan masing-masing tersedia dalam 4 warna. Jika toko A ingin men-display dua pasang sepatu di ruang display-nya, maka ada berapa banyak cara memilihsepatu-sepatu tersebut?

2. Dalam studi bahan bakar ekonomis, setiap 3 mobil balap diuji menggunakan 5 merek bahan bakar yang berbeda. Pengujian dilakukan pada 8 lokasi uji yang berbeda. Jika dalam studi tersebut mempekerjakan 2 pengemudi, dansetiap uji dilakukan sekali untuk setiap kondisi yang berbeda, maka berapa banyak uji yang diperlukan?

3. Seorang saksi mata dari kecelakaan tabrak-lari mengatakan pada polisi bahwa nomor plat motor penabrak adalahplat Yogyakarta dengan bagian akhir adalah QZ. Nomor plat (yang terdiri dari 4 digit angka) diawali oleh angka 4, diikuti angka 1. Dia tidak dapat mengingat 2 nomor plat setelahnya. Tentukan banyak maksimum plat nomor yang harus diperiksa oleh polisi.

4. Terdapat 6 orang yang mengantri tiket bis.

a) Ada berapa banyak cara 6 orang tersebut mengantri?

b) Jika terdapat 3 orang yang memaksa selalu berdekatan, maka ada berapa banyak cara mengantri?

c) Jika terdapat 2 orang yang menolak untuk saling berdekatan, maka ada berapa banyak cara mengantri?

5. Suatu soal pilihan ganda terdiri atas 5 soal dengan 5 pilihan jawabanyang salah satunya benar.

a) Dalam berapa banyak cara seorang mahasiswa memilih satu jawaban untuk setiapsoal?

b) Dalam berapa banyak cara seorang mahasiswa memilih satu jawaban untuk setiapsoal, dan jawaban tersebut semua salah?

6. Sebuah kelompok terdiri dari 6 mahasiswa dan 7 mahasiswi. Adaberapa cara kita bisa memilih panitia yang terdiri dari:

a) 3 mahasiswa dan 4 mahasiswi.

b) 4 orang paling sedikitnya 1 mahasiswi.

7. Di dalam LINE, terdapat beberapa stiker yang menggambarkan emosi gembira dengan karakter LINE, yaituCony, Brown, Leonard, Sally, dan James.

a. Jika Alfa menginginkan mengirim emosi gembira yang berbeda pada 2 orang, maka ada berapa banyak cara menulis pesannya?

b. Jika Alfa mengirim pesan pada 3 orang berbeda, dan menginginkan menggunakan stiker tersebut secara berbeda pada masing-masing orang, maka ada berapa macam cara menulis pesannya?

c. Jika Raihan (salah satu dari 3 orang di soal b.) hanya menyukai stiker Brown, maka ada berapa banyak pilihan Alfa mengirim stikerpada ketiga orang tersebut?

d. Jika orang terakhir yang dikirim pesan oleh Alfa hanya menyukai stiker Sally atau James, maka ada berapa banyak pilihan Alfa mengirim stiker pada ketiga orang tersebut?

8. Terdapat 9 butir manik-manik berbeda warna yang akan diambil 7 butir untuk membuat sebuah gelang. Ada berapa banyak variasi gelang yang dapat dibuat?

9. Terdapat 12 mahasiswa yang mengambil TA (tugas akhir) yang belum mendapatkan dosen pembimbing. Ternyata, hanya ada 3 dosen yang masih tersedia kuota untuk bimbingan. Dosen A dapat membimbing 5 mahasiswa, dosen B dapat membimbing 4 mahasiswa, dan dosen C dapat membimbing 3 mahasiswa. Ada berapa banyak kemungkinan dalam menyusun pembimbingan?