penggunaan regresi robust pada data yang...
Post on 20-Jul-2021
8 Views
Preview:
TRANSCRIPT
i
PENGGUNAAN REGRESI ROBUST PADA DATA
YANG MENGANDUNG PENCILAN DENGAN
METODE MOMEN
Skripsi
Oleh:
NURMIATI NURDIN
H 121 09 279
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS HASANUDDIN
MAKASSAR
2013
ii
“Penggunaan Regresi Robust pada Data yang
Mengandung Pencilan dengan Metode Momen”
S K R I P S I
Diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada
Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Hasanuddin
Makassar
Oleh:
NURMIATI NURDIN
H 121 09 279
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS HASANUDDIN
MAKASSAR
2013
iii
iv
v
vi
KATA PENGANTAR
Alhamdulillahirabbil’alamin penulis panjatkan atas ke hadirat Allah SWT
atas limpahan rahmat, hidayah, nikmat dan ridho-Nya sehingga penulis dapat
menyelesaikan tugas akhir dengan judul “Penggunaan Regresi Robust pada
Data yang Mengandung Pencilan dengan Metode Momen” dengan segala
kekurangan dan kelebihan. Salam dan sholawat penulis juga hanturkan kepada
Baginda Rasulullah Muhammad SAW sebagai satu-satunya suri tauladan dalam
menjalankan kehidupan dunia dan akhirat.
Penyusunan skripsi ini tentunya tidak lepas dengan bantuan berbagai pihak
baik moriil maupun materiil. Oleh karena itu, penulis menyampaikan ucapan
terima kasih yang tulus serta penghargaan yang tak terhingga kepada Ayahanda
H. Nurdin dan Ibunda tercinta Hj. Bungatia yang telah mendidik penulis dengan
penuh kesabaran dengan cinta, kasih sayang dan penuh ketulusan hati. Serta
kepada Kakanda dan Adinda ku tercinta Bripka Ibrahim, Brigpol Amri,
Khaeruddin, S.T. dan Nurhijrah Nurdin yang selalu menjadi sahabat terbaik
dan memberi motivasi yang tiada hentinya.
Penghargaan yang tulus dan ucapan terima kasih dengan penuh keikhlasan
juga penulis ucapkan kepada :
1. Bapak Prof. Dr. dr. Ir. H. Idrus Andi Patturusi, Sp.B., Sp.BO. selaku
Rektor Universitas Hasanuddin beserta seluruh jajarannya.
vii
2. Bapak Prof. Dr. H. Abd. Wahid Wahab, M.Sc. selaku Dekan Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin dan para
staf Fakultas MIPA Universitas Hasanuddin yang telah membekali ilmu
dan kemudahan-kemudahan kepada penulis.
3. Ibu Dr. Hasmawati, M.Si. selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin dan staf
Jurusan Matematika (Pak Nasir dan Pak Sutamin, S.Sos.) yang telah
membekali ilmu dan kemudahan-kemudahan kepada penulis.
4. Bapak Andi Galsan Mahie, S.Si., M.Si. selaku Penasehat Akademik penulis
sekaligus sebagai Anggota Tim Penguji dalam penulisan tugas akhir ini.
Terima kasih atas atas segala masukan positif dan motivasi yang diberikan
selama penulis menjalani pendidikan.
5. Ibu Anna Islamiyati, S.Si., M.Si dan Bapak Drs. Raupong, M.Si. selaku
dosen pembimbing. Terima kasih telah meluangkan waktunya dengan penuh
kesabaran memberikan bimbingan, arahan dan saran kepada penulis dalam
penyusunan tugas akhir ini. Smoga Allah senantiasa membalas segala
kebaikan beliau dengan limpahan nikmat-Nya.
6. Bapak Prof. Dr. Syamsuddin Toaha, M.Sc. selaku Ketua Tim Penguji.
Terima kasih atas segala koreksi dan saran yang diberikan dalam penyusunan
tugas akhir ini.
7. Bapak Andi Kresna Jaya, S.Si., M.Si. selaku Sekretaris Tim Penguji. Terima
kasih telah memberikan kritikan membangun dalam penyempurnaan
penyusunan tugas akhir ini serta segala bentuk support yang telah diberikan.
viii
8. Seluruh Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin. Terima kasih atas ilmu yang telah
diberikan kepada penulis selama menjalani pendidikan.
9. Teman-teman terbaik EKSTRIM’09 yaitu Statistika 2009 (Uni, kiki, Ayu,
Yanti, Mimi, Fitri, Yuni, Anda, Evi, Isna, Ida, Tenri, Vinni, Iva, Risma, Niki,
Ira, Hesty, Whay, Yuli, Jumi, Jejen, Try, Naser, Endy, Iman, Fahrun, Mirsam,
Juned, Firman, Irzan, Ivin) dan Matematika 2009 (Dedel, Iche, Rina, Cia,
Nur, Icha, Fifik, Mery, Devita, Arni, Erika, Apri, Nida, Inggrid, Lesdi, Edi,
Taufik, Sadno, Faisal, Jamal, Ali, Fairus, Iksan). Terima kasih atas
kebersamaan dan persaudaraan terindah yang terjalin selama perkuliahan ini.
Ada banyak kenangan yang berkesan yang akan sulit untuk dilupakan.
10. Seluruh warga HIMATIKA tanpa terkecuali, yang telah mengajarkan arti
kebersamaan dalam berorganisasi. BRAVO HIMATIKA.
11. Seluruh pemain DRUM CORP PRAMUKA UNHAS tanpa terkecuali
terutama teman-teman seperjuangan dalam GPMB 2012. Terima kasih atas
kebersamaan termanis dan pengalaman yang telah diberikan. One Band One
Sound.
12. My Bestfriend Amma, Fika, Dian, Ayat, Yatto, Uga dan Ajju selaku teman
seperjuangan dari Parepare. Terima kasih atas persahabatan yang telah terjalin
dan motivasi yang diberikan kepada penulis selama ini. Selamat berjuang
meraih mimpi kawan.
13. Teman-teman KKN Gel. 82 Kab. Wajo, Kec. Sajoanging, Desa Sakkoli
(Ami, Martin, Komang, kak Nining, kak Eko, kak Roy, kak Diaz, Mas
ix
Roman, dan Apri). Terima kasih atas pengalaman termanis yang telah
diberikan.dan segala bentuk support yang telah diberikan.
14. Semua pihak yang tak sempat disebutkan satu persatu atas segala bentuk
bantuan dan perhatiannya hingga terselesaikannya tugas akhir ini.
Penulis menyadari bahwa tugas akhir ini masih jauh dari kesempurnaan
sehingga kritik dan saran yang membangun akan penulis terima dengan tangan
terbuka demi perbaikan lebih lanjut.
Akhir kata, Semoga tugas akhir ini dapat bermanfaat dan menambah ilmu
pengetahuan bagi semua pihak yang membacanya.
Amin Yaa Rabbal’alamin.
Makassar, April 2013
Penulis
x
PENGGUNAAN REGRESI ROBUST PADA DATA YANG
MENGANDUNG PENCILAN DENGAN METODE MOMEN
ABSTRAK
Analisis regresi merupakan sebuah alat statistika yang memberikan
tentang pola hubungan antara dua variabel atau lebih. Salah satu metode yang
umumnya digunakan dalam mengestimasi parameter pada analisis regresi linear
adalah metode kuadrat terkecil (OLS). Namun metode ini mempunyai kelemahan
apabila data terdeteksi mengandung outlier. Maka regresi robust disarankan dapat
mengatasi masalah outlier dalam data untuk mengestimasi parameter, salah
satunya adalah Metode Momen (MM) yang digunakan untuk data yang terdeteksi
outlier pada variabel bebas dan variabel terikat serta memiliki nilai breakdown
point yang tinggi.
Dalam skripsi ini dikaji tentang penggunaan Metode Momen dengan
metode iterasi Iteratively Reweighted Least Square (IRLS). Metode Momen
merupakan gabungan antara estimasi S dan estimasi M. Pada Metode Momen ini
digunakan fungsi pembobot Tukey Bisquare.
Kata Kunci : Analisis Regresi, OLS, Outlier, Breakdown Point, Regresi Robust,
Metode Momen, Tukey Bisquare.
xi
USING ROBUST REGRESSION ON DATA CONTAINING
OUTLIERS BY THE METHOD OF MOMENTS
ABSTRACT
Regression analysis is a statistical tool that provides about the
relationship between two or more variables. One of the methods commonly used
in estimating the parameters of the linear regression analysis is a Ordinary Least
Squares (OLS). But this method has a weakness if the data contains outliers
detected. Then the robust regression suggested to solve the problem of outliers in
the data to estimate the parameters, one of which is the Method of Moments (MM)
used for data detected outlier on the independent variable and the dependent
variable and also has a high value of the breakdown point.
In this thesis examined the use of method of moments with the Iteratively
Reweighted Least Square (IRLS). The method of moment is a combination of S-
estimates and M-estimates. At the Method of Moment is used Tukey Bisquare
weighting function.
Keywords : Regression Analysis, OLS, outlier, Breakdown Point, Robust
Regression, Method of Moments, Tukey Bisquare.
xii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ...................................................................................... i
LEMBAR KEOTENTIKAN ......................................................................... iii
LEMBAR PERSETUJUAN PEMBIMBING .............................................. iv
LEMBAR PENGESAHAN PENGUJI ......................................................... v
KATA PENGANTAR .................................................................................... vi
ABSTRAK ...................................................................................................... x
ABSTRACT .................................................................................................... xi
DAFTAR ISI ................................................................................................... xii
DAFTAR GAMBAR ...................................................................................... xv
DAFTAR TABEL .......................................................................................... xvi
DAFTAR LAMPIRAN................................................................................... xvii
BAB I PENDAHULUAN ........................................................................... 1
1.1 Latar Belakang ............................................................................ 1
1.2 Rumusan Masalah ....................................................................... 3
1.3 Batasan Masalah .......................................................................... 4
1.4 Tujuan Penelitian ........................................................................ 4
1.5 Manfaat Penelitian ....................................................................... 4
BAB II TINJAUAN PUSTAKA .................................................................. 5
2.1 Regresi ........................................................................................ 5
2.2 Model Regresi Linier Sederhana ................................................ 5
2.3 Model Regresi Linier Berganda .................................................. 6
xiii
2.4 Pencilan (Outlier) ........................................................................ 6
2.4.1 Defenisi Pencilan ................................................................ 6
2.4.2 Dampak Pencilan................................................................. 7
2.4.3 Tipe Pencilan ...................................................................... 7
2.4.4 Identifikasi Pencilan............................................................ 8
2.5 Metode Kuadrat Terkecil ............................................................ 11
2.6 Regresi Robust ............................................................................. 13
2.6.1 Breakdown Point ................................................................ 15
2.6.2 Fungsi Obyektif.................................................................. 15
2.6.3 Estimasi S .......................................................................... 16
2.6.4 Estimasi M ........................................................................ 17
2.6.5 Estimasi MM ..................................................................... 18
2.7 Uji Signifikansi Parameter .......................................................... 19
BAB III METODOLOGI PENELITIAN .................................................... 22
3.1 Sumber Data ................................................................................ 22
3.2 Identifikasi Variabel .................................................................... 22
3.3 Metode Analisis ........................................................................... 23
3.3 Diagram Alur Kerja ..................................................................... 24
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ....................................................... 25
4.1 Estimasi Parameter Regresi Robust Menggunakan
Metode Momen ........................................................................... 25
4.2 Pengolahan Data .......................................................................... 27
4.2.1 Identifikasi Pencilan ........................................................... 27
xiv
4.2.2 Regresi Robust Estimasi MM ............................................. 28
4.2.3 Koefesien Determinasi (𝑅2) ............................................... 30
4.2.2 Uji Signifikansi Parameter ................................................. 31
BAB V PENUTUP ......................................................................................... 35
5.1 Kesimpulan .................................................................................. 35
5.2 Saran ............................................................................................ 36
DAFTAR PUSTAKA..................................................................................... 37
LAMPIRAN..................................................................................................... 38
xv
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1 Diagram Alur Kerja .................................................................. 24
xvi
DAFTAR TABEL
Tabel 1 Hasil Iterasi Memperoleh Nilai Koefesien Parameter Robust .... 30
Tabel 2 Nilai 𝑇𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 Model Regresi Robust ........................................... 32
xvii
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1 Data IPK dan Nilai UAN .......................................................... 39
Lampiran 2 Nilai DfFITS dan Leverage Value (𝑖𝑖) .................................... 40
Lampiran 3 Output Program SAS 9.1 Estimasi-S ........................................ 41
Lampiran 4 Hasil Perhitungan Nilai Estimasi, Nilai Residual dan Nilai
Pembobot untuk Iterasi Pertama ............................................... 42
Lampiran 5 Hasil Perhitungan Nilai Estimasi, Nilai Residual dan Nilai
Pembobot untuk Iterasi Kedua .................................................. 43
Lampiran 6 Hasil Perhitungan Nilai Estimasi, Nilai Residual dan Nilai
Pembobot untuk Iterasi Ketiga ................................................. 44
Lampiran 7 Hasil Perhitungan Nilai Estimasi, Nilai Residual dan Nilai
Pembobot untuk Iterasi Keempat .............................................. 45
Lampiran 8 Hasil Perhitungan Nilai Estimasi, Nilai Residual dan Nilai
Pembobot untuk Iterasi Kelima ................................................ 46
Lampiran 9 Hasil Perhitungan Nilai Estimasi, Nilai Residual dan Nilai
Pembobot untuk Iterasi Keenam ............................................... 47
Lampiran 10 Hasil Perhitungan Nilai Estimasi, Nilai Residual dan Nilai
Pembobot untuk Iterasi Ketujuh ............................................... 48
Lampiran 11 Hasil Perhitungan Nilai Estimasi, Nilai Residual dan Nilai
Pembobot untuk Iterasi Kedelapan .......................................... 49
Lampiran 12 Hasil Perhitungan Nilai Estimasi, Nilai Residual dan Nilai
Pembobot untuk Iterasi Kesembilan ......................................... 50
xviii
Lampiran 13 Output Regresi Robust Estimasi MM ....................................... 51
Lampiran 14 Output Hasil Estimasi Menggunakan OLS ............................... 52
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Regresi linier adalah metode statistika yang digunakan untuk
membentuk model hubungan antara variabel terikat (dependent; respon; Y)
dengan satu atau lebih variabel bebas (independent; prediktor; X). Secara
umum regresi linear terdiri dari dua yaitu regresi linear sederhana dimana
terdapat satu variabel terikat 𝑌 dan satu variabel bebas X sedangkan regresi
linear berganda dimana terdapat satu variabel terikat Y dan beberapa
variabel bebas 𝑋. Regresi linear banyak digunakan dalam berbagai bidang
dalam hal analisis untuk melihat pengaruh suatu kondisi atau kejadian.
Dalam menaksir parameter model regresi ini maka penaksir yang umum
digunakan adalah penaksir kuadrat terkecil (ordinary least square). Hal ini
disebabkan oleh mudahnya penghitungan penaksir ini dan sifatnya sebagai
penaksir tak bias terbaik untuk parameter model regresi jika data yang
digunakan memenuhi asumsi klasik (Draper & Smith,1998: 34-38).
Pelanggaran asumsi yang sering terjadi pada data, biasanya
disebabkan oleh adanya data pencilan. Menurut Soemartini (2007) pencilan
adalah pengamatan yang jauh dari kelompok data yang mungkin
berpengaruh besar terhadap koefesien regresi. Beragam faktor yang dapat
menyebabkan adanya pencilan, diantaranya kekeliruan pada sistem
pengukuran (measurement system error), kesalahan input data (human
2
error) atau karena terjadinya peristiwa yang luar biasa (misalnya krisis atau
bencana).
Cara mengatasi pencilan diantaranya membuang data pencilan dari
proses analisis dengan pertimbangan sudah bisa terwakili oleh sebagian
besar data lainnya dan tidak mengurangi informasi serta beranggapan bahwa
bisa saja pencilan tersebut disebabkan kekeliruan, bukan data sebenarnya.
Dengan menghilangkan data pencilan diharapkan telah hilang pula
penyebab pelanggaran asumsi, sehingga peneliti dapat menggunakan
metode analisis standar.
Jika data pencilan merupakan data yang sangat berpengaruh dan
menyimpan informasi penting dari sebuah peristiwa, maka peneliti tidak
diperkenankan membuang data pencilan begitu saja. Data pencilan tersebut
tetap dipertahankan dalam analisis dengan melakukan transformasi terhadap
data dengan maksud agar asumsi terpenuhi. Namun seringkali transformasi
yang dilakukan terhadap data tidak dapat menghilangkan atau memperkecil
nilai leverage outlier yang akhirnya membiaskan pendugaan. Dalam
keadaan seperti ini, pendekatan yang biasa digunakan adalah regresi robust.
Regresi robust merupakan alat yang penting untuk menganalisis data
yang terkontaminasi oleh pencilan. Regresi robust digunakan untuk
mendeteksi pencilan dan memberikan hasil yang resisten terhadap adanya
pencilan (Chen 2000). Regresi robust terdiri dari 5 metode yaitu estimasi M
(M Estimation), estimasi LMS (Least Median of Square), estimasi LTS
3
(Least Trimmed Square), estimasi S (Scale Estimation) dan estimasi MM
(Method of Moment).
Penelitian tentang regresi robust dengan metode LTS telah dilakukan
oleh Nuraidah (2012), yang dimana metode LTS digunakan hanya ketika
variabel bebasnya terdapat pencilan.
Dalam penelitian ini penulis membahas menggunakan metode
estimasi-MM karena metode ini mempunyai kelebihan yaitu dapat
digunakan untuk data yang terdeteksi pencilan pada variabel bebas dan
variabel terikat .
Estimasi MM (Method of Moment), dikenalkan oleh Yohai (1987).
Metode ini menggabungkan estimasi S (estimasi dengan high breakdown
point) dan estimasi M.
Berdasarkan uraian dan penelitian sebelumnya tersebut maka penulis
tertarik untuk mengangkat judul “Penggunaan Regresi Robust Pada Data
yang Mengandung Pencilan dengan Metode Momen”
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah yang telah diuraikan, dapat
dirumuskan masalah sebagai berikut :
1. Bagaimana mengestimasi parameter regresi robust menggunakan
estimasi Metode Momen?
2. Bagaimana model regresi pada data indeks prestasi kumulatif pada
mahasiswa yang mengandung pencilan dengan regresi robust melalui
estimasi Metode Momen?
4
1.3 Batasan Masalah
Dalam penelitian ini dibatasi pada penggunaan estimasi Metode Momen
dalam penerapannya pada data yang mengandung pencilan dengan
menggunakan pembobot Tukey Bisquare.
1.4 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini berdasarkan permasalahan yang
telah dirumuskan sebelumnya adalah :
1. Untuk mengestimasi parameter regresi robust menggunakan estimasi
Metode Momen.
2. Untuk mendapatkan model regresi pada data indeks prestasi kumulatif
mahasiswa yang mengandung pencilan dengan regresi robust melalui
estimasi Metode Momen.
1.5 Manfaat Penelitian
Penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat akademisi maupun
praktisi bagi pengguna ilmu statistik sebagai gambaran dan alternatif
pertimbangan dalam menganalisis model regresi yang di dalamnya terdapat
data pencilan.
5
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Regresi
Analisis regresi merupakan sebuah alat statistika yang memberikan
penjelasan tentang pola hubungan antara dua variabel atau lebih. Dalam
analisis regresi, dikenal dua jenis variabel yaitu :
Variabel terikat disebut juga variabel dependent yaitu variabel yang
keberadaannya diperngaruhi oleh variabel lainnya dan dinotasikan
dengan 𝑌.
Variabel bebas disebut juga variabel independent yaitu variabel yang
tidak dipengaruhi oleh variabel lainnya dan dinotasikan dengan 𝑋.
2.2 Model Regresi Linier Sederhana
Bentuk hubungan yang paling sederhana antara variabel 𝑋 dengan
variabel 𝑌 adalah bentuk garis lurus atau berbentuk hubungan linier yang
disebut dengan regresi linier sederhana atau sering disebut regresi linier saja
dengan persamaan matematikanya sebagaimana diungkapkan (Walpole,
Ronald E, dkk. 1995) adalah sebagai berikut:
𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 + 𝜀𝑖 ; 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 (2.1)
di mana :
Yi : variabel terikat pada pengamatan ke-i
6
Xi : variabel bebas pada pengamatan ke-i
𝛽0 : intercept
𝛽1 : koefisien regresi
𝜀𝑖 : galat (error)
2.3 Model Regresi Linier Berganda
Hubungan fungsional atau hubungan kausal antara dua atau lebih
variable yang dinyatakan dalam suatu bentuk fungsi linier pada umumnya
dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan matematika yang dibahas dalam
analisis regresi. Untuk hubungan fungsional yang linier dapat dirumuskan
dalam bentuk persamaan regresi sebagai berikut:
𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖1 + 𝛽2𝑋𝑖2 + ⋯ + 𝛽𝑘𝑋𝑖𝑘 + 𝜀𝑖 ; 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 (2.2)
di mana :
Yi : variabel terikat pada pengamatan ke-i
Xik : variabel bebas pada pengamatan ke-i
𝛽0 : intercept
𝛽1, … , 𝛽𝑘 : koefisien-koefisien regresi atau koefisien kemiringan
𝜀𝑖 : galat (error)
2.4 Pencilan (Outlier)
2.4.1 Defenisi Pencilan (Outlier)
Pencilan adalah pengamatan yang jauh dari pusat data yang
mungkin berpengaruh besar terhadap koefesien regresi. Pencilan dapat
7
muncul karena kesalahan dalam memasukkan data, kesalahan pengukuran,
analisis, atau kesalahan-kesalahan lain. Pengaruh pencilan dalam analisis
data dapat dibedakan berdasarkan asal pencilan tersebut yaitu yang berasal
dari peubah respon (y-outliers; titik influence) atau berasal dari peubah
bebasnya (x-outliers; titik leverage).
2.4.2 Dampak Pencilan (Outlier)
Dampak keberadaan pencilan ini dapat mengganggu dalam proses
analisa data dan harus dihindari dalam banyak hal. Dalam kaitannya
dengan analisis regresi, pencilan dapat menyebabkan hal – hal berikut :
1. Galat yang besar dari model yang terbentuk atau 𝐸[𝑒] ≠ 0.
2. Varians pada data tersebut menjadi lebih besar.
3. Taksiran interval memiliki rentang yang lebar.
2.4.3 Tipe Pencilan (Outlier)
Tipe-tipe dari pencilan diantaranya adalah:
1. Pencilan regresi adalah sebuah pengamatan yang menyimpang dari
hubungan kelinearan ditentukan dari (𝑛 − 1) pengamatan yang
lainnya, atau paling tidak dari mayoritas pengamatan tersebut.
2. Pencilan galat adalah sebuah pengamatan yang memiliki standarisasi
galat yang besar ketika digunakan dalam perhitungan.
3. Pencilan 𝑥 adalah sebuah pengamatan yang menyimpang hanya pada
koordinat 𝑥 atau disebut titik leverage baik (good leverage points).
8
4. Pencilan 𝑦 adalah sebuah pengamatan yang menyimpang hanya pada
koordinat 𝑦 atau disebut pencilan vertical (vertical outliers).
5. Pencilan 𝑥 dan 𝑦 adalah sebuah pengamatan yang menyimpang pada
kedua koordinat atau disebut titik leverage jelek (bad leverage points).
(Puput, 2011 : 13).
2.4.4 Identifikasi Pencilan (Outlier)
Terdapat beberapa metode untuk mengidentifikasi adanya pencilan
yang berpengaruh dalam koefisien regresi antara lain :
1. Metode Grafis
Keuntungan dari metode ini yaitu mudah dipahami karena
menampilkan data secara grafis (gambar) dan tanpa melibatkan
perhitungan yang rumit. Sedangkan menurut Soemartini, kelemahan
dari metode ini adalah keputusan bahwa suatu data merupakan
pencilan sangat bergantung pada judgement peneliti, karena hanya
mengandalkan visualisasi grafis, untuk itu dibutuhkan seseorang yang
ahli dan berpengalaman dalam menginterpretasikan plot tersebut.
a. Scatter Plot
Metode ini dilakukan dengan cara memplot data dengan
pengamatan ke-i (𝑖 = 1,2, … , 𝑛). Selain itu, jika sudah
didapatkan model regresi maka dapat dilakukan dengan cara
memplot antara galat (𝑒) dengan nilai penaksir 𝑌(𝑌 ). Jika
terdapat satu atau beberapa data yang terletak jauh dari pola
9
kumpulan data keseluruhan maka hal ini mengindikasikan adanya
pencilan.
b. Box Plot
Metode ini mempergunakan nilai kuartil dan jangkauan untuk
mendeteksi pencilan. Dengan menggunakan nilai kuartil 1,2 dan 3
yang akan membagi sebuah urutan data menjadi beberapa bagian
IQR = Q3 – Q1 (2.3)
di mana :
Q1 : Kuartil ke 1
Q2 : Kuartil ke 2
Q3 : Kuartil ke 3
IQR : Jangkauan (Interquartile Range)
Data-data yang merupakan pencilan yaitu nilai yang kurang
dari 1,5xIQR terhadap kuartil 1 dan nilai yang lebih dari 1,5xIQR
terhadap kuartil 3.
2. Metode DfFITS (Difference fitted value FITS) atau Standardized
DfFITS
DfFITS merupakan suatu ukuran berpengaruh yang ditimbulkan
oleh pengamatan ke-i terhadap nilai taksiran 𝑦 𝑖 . Nilai 𝐷𝑓𝐹𝐼𝑇𝑆𝑖
diperoleh dari persamaan berikut:
(𝐷𝑓𝐹𝐼𝑇𝑆)𝑖 =𝑦 𝑖 − 𝑦 𝑖−1
𝑆𝑖−12 − 𝑖𝑖
(2.4)
10
di mana :
𝑦 𝑖 : nilai taksiran 𝑦𝑖
𝑦 𝑖−1 : nilai taksiran 𝑦𝑖 tanpa pengamatan ke-i
𝑆𝑖−12 : jumlah kuadrat galat tanpa pengamatan ke-i
𝑖𝑖 : elemen diagonal ke-i dari matriks 𝐻 = 𝑋𝑖𝑇(𝑋𝑇𝑋)−1𝑋𝑖
Suatu pengamatan ke-i data diidentifikasikan sebagai pencilan
apabila nilai :
𝐷𝑓𝐹𝐼𝑇𝑆𝑖 > 1 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 ≤ 30
𝐷𝑓𝐹𝐼𝑇𝑆𝑖 > 2 𝑝
𝑛
1/2
𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 > 30
dengan p banyaknya parameter dan n banyaknya pengamatan .
3. Nilai Pengaruh (Leverage Point)
Metode yang digunakan dalam mengidentifikasi pencilan terhadap
variabel 𝑋 adalah nlai pengaruh (Leverage Point). Nilai pengaruh
𝑖𝑖 dari penamatan 𝑋𝑖 , 𝑌𝑖 menunjukan besarnya peranan 𝑌𝑖
terhadap 𝑌 𝑖 dan didefinisikan sebagai:
𝑖𝑖 = 𝑋𝑖𝑇(𝑋𝑇𝑋)−1𝑋𝑖 ; 𝑖: 1,2, . . . , 𝑛 (2.5)
dengan 𝑋𝑖 = 𝑋𝑖1 𝑋𝑖2 ⋯ 𝑋𝑖𝑘 adalah vektor baris yang berisi
nilai-nilai dari peubah variabel bebas dalam pengamatan ke-i. Nilai 𝑖𝑖
berada diantara 0 dan 1 dengan rumus
𝑖𝑖 = 𝑘
𝑛
𝑖=1
(2.6)
dengan k=p-1. Sehingga dapat dituliskan menjadi
2 𝑖𝑖 =2 𝑖𝑖
𝑛𝑖=1
𝑛=
2𝑘
𝑛=
2(𝑝 − 1)
𝑛 (2.7)
11
Suatu pengamatan ke-i data diidentifikasikan sebagai pencilan
apabila nilai 𝑖𝑖 > 2 𝑖𝑖 .Sehingga pengamatan ke-i dikatakan pencilan
terhadap X.
2.5 Metode Kuadrat Terkecil
Metode kuadrat terkecil (Ordinary Least Square = OLS) merupakan
suatu metode untuk mendapatkan garis regresi yang baik yaitu sedekat
mungkin dengan datanya sehingga nanti menghasilkan prediksi yang baik
(Widarjono, 2005).
Dasar dari penaksiran koefisien regresi linier dalam regresi linier
berganda adalah metode kuadrat terkecil yaitu meminimumkan jumlah
kuadrat galat sedemikian sehingga didapat koefisien-koefisien regresi yang
tak bias. Akan ditaksir koefisien-koefisien regresi dengan menggunakan
metode kuadrat terkecil yaitu dengan meminimumkan jumlah kuadrat galat
𝜀𝑖2𝑛
𝑖=1 .
Estimator OLS memberikan hasil cukup baik saat semua asumsi
klasik dalam regresi dipenuhi, akan tetapi metode ini memiliki kelemahan
yang sangat sensitif terhadap pencilan. Pengaruh pencilan dapat
menyebabkan estimasi OLS mempunyai nilai variansi yang sangat besar dan
mengakibatkan distribusi galat 𝑒𝑖 tidak lagi berdistribusi normal. Dengan
demikian maka pengujian statistik untuk melihat signifikansi hasil estimasi
parameter regresi dan untuk pembuatan selang kepercayaan yang didasarkan
12
pada distribusi normal tidak dapat dilakukan karena menjadi tidak dapat
diandalkan lagi (Rosseeuw, 1987).
Model regresi berganda dalam bentuk matriks dapat dituliskan sebagai
berikut :
𝒚 = 𝑿𝜷 + 𝜺 (2.8)
dengan,
𝒚 =
𝑦1
𝑦2
⋮𝑦𝑛
, 𝑿 =
1 𝑥11 𝑥12 ⋯ 𝑥1𝑘
1 𝑥21 𝑥22 ⋯ 𝑥2𝑘
⋮1
⋮𝑥𝑛1
⋮ ⋱ ⋮𝑥𝑛2 ⋯ 𝑥𝑛𝑘
, 𝜷 =
𝛽0
𝛽1
⋮𝛽𝑘
, 𝑑𝑎𝑛 𝜺 =
𝜀1
𝜀2
⋮𝜀𝑛
di mana 𝑝 = 𝑘 + 1
Dalam hal ini y adalah variabel bebas X adalah matriks konstanta, β
adalah vektor parameter dan ε adalah vektor galat yang bersifat acak normal
bebas dengan nilai ekspektasi, 𝐸 𝜺 = 0 dan matriks varians
kovarians,𝜎2 𝜺 = 𝜎2𝐼𝑘 .
Untuk mendapatkan penaksir 𝑦 yaitu 𝒚 = 𝑿𝜷 diperlukan nilai
penaksir untuk parameter β yaitu 𝜷 . Salah satu prosedur penaksir yang
sering digunakan adalah metode kuadrat terkecil. Pada dasarnya, metode ini
meminimumkan jumlah kuadrat simpangan 𝑦 dari nilai ekspektasinya yaitu
meminimumkan :
𝑆 𝜷 = 𝜺𝒊𝟐
𝑛
𝑖=1
= 𝜺𝑇𝜺 = 𝒚 − 𝑿𝜷 𝑇(𝒚 − 𝑿𝜷) (2.9)
dan 𝑆 𝜷 dapat dinyatakan sebagai berikut :
𝑆 𝜷 = 𝒚𝑇𝒚 − 𝜷𝑇𝑿𝑇𝒚 − 𝒚𝑇𝑿𝜷 + 𝜷𝑇𝑿𝑇𝑿𝜷 (2.10)
13
= 𝒚𝑇𝒚 − 2𝜷𝑇𝑿𝑇𝒚 + 𝜷𝑇𝑿𝑇𝑿𝜷
Karena 𝜷𝑇𝑿𝑇𝒚 adalah sebuah matriks (1 𝑥 1) atau sebuah skalar dan
transposenya adalah (𝜷𝑇𝑿𝑇𝒚)𝑇 = 𝒚𝑇𝑿 𝜷 merupakan skalar juga penaksir
kuadrat terkecil harus memenuhi,
𝜕𝑆
𝜕𝜷 𝜷
= −2𝑿𝑇𝒚 + 2𝑿𝑇𝑿𝜷 = 0 (2.11)
maka penaksir kuadrat terkecil dari β adalah
𝜷 = 𝑿𝑇𝑿 −1 𝑿𝑇𝒚 (2.12)
2.6 Regresi Robust
Regresi robust merupakan metode regresi yang digunakan ketika
distribusi dari galat tidak normal dan atau adanya beberapa pencilan yang
berpengaruh pada model (Ryan, 1997). Metode ini merupakan alat penting
untuk menganalisa data yang dipengaruhi oleh pencilan sehingga dihasilkan
model yang robust atau resistant terhadap pencilan. Suatu estimasi yang
resistant adalah relatif tidak terpengaruh oleh perubahan besar pada bagian
kecil data atau perubahan kecil pada bagian besar data. Metode ini
dikembangkan oleh Rousseuw dan Leroy (1987).
Metode robust lebih didekatkan pada parameter rata-rata dan
variansikovariansi dari suatu penaksir tertentu, yaitu dengan
menstandarisasikan penaksir untuk parameter rata-rata dan variansi-
kovariansi sedemikian sehingga menghasilkan penaksir yang konsisten
terhadap parameter-parameter tersebut. Dalam hal ini, dilakukan dengan
14
bentuk pembatasan nilai pada penaksiran untuk parameter-parameternya.
Dengan ke-robust-an, penaksirannya tidak akan menyimpang terlalu jauh.
Menurut Chen (2002:1) metode-metode estimasi dalam regresi robust
diantaranya adalah:
1. Estimasi M (Maximum likelihood type) yang dikenalkan oleh Huber
(1973) adalah metode yang sederhana baik dalam penghitungan
maupun secara teoritis. Estimasi ini menganalisis data dengan
mengasumsikan bahwa sebagian besar yang terdeteksi pencilan pada
variabel independen.
2. Estimasi LTS (Least Trimmed Squares) adalah metode dengan high
breakdown point yang dikenalkan oleh Rousseeuw (1984). Breakdown
point adalah ukuran proporsi minimal dari banyaknya data yang
terkontaminasi pencilan dibandingkan seluruh data pengamatan.
3. Estimasi S (Scale) juga merupakan metode dengan high breakdown
point yang dikenalkan oleh Rousseeuw and Yohai (1984). Dengan nilai
breakdown yang sama, metode ini mempunyai efisiensi yang lebih
tinggi dibanding estimasi LTS.
4. Estimasi MM (Method of Moment), dikenalkan oleh Yohai (1987).
Metode ini menggabungkan estimasi S (estimasi dengan high
breakdown point) dan estimasi M.
15
2.6.1 Breakdown Point
Breakdown point adalah salah satu cara yang digunakan untuk
mengukur ke-robust-an (kekekaran) suatu estimator. Breakdown point
merupakan proporsi minimal dari banyaknya pencilan dibandingkan
seluruh data pengamatan.
Dengan kata lain, breakdown point sebagai suatu ukuran
ke-robuts-an dari suatu penaksir. Semakin besar nilai persen dari
breakdown point pada suatu penaksir, maka penaksir tersebut semakin
robust.
Regresi robust yang mempunyai breakdown point adalah regresi
robust dengan metode estimasi S, LTS, LMS, dan MM. Metode estimasi
MM mempunyai breakdown point 50%. Breakdown point 50% adalah
breakdown point yang tinggi.
2.6.2 Fungsi Obyektif
Fungsi obyektif adalah fungsi yang digunakan untuk mencari fungsi
pembobot pada regresi robust. Fungsi pembobot yang digunakan yaitu
fungsi pembobot Tukey Bisquare.
Diberikan suatu fungsi obyektif sebagai berikut:
𝜌 𝑒𝑖∗ =
𝑟2
6 1 − 1 −
𝑒𝑖∗
𝑟
2
3
, 𝑒𝑖∗ < 𝑟
𝑟2
6, 𝑒𝑖
∗ ≥ 𝑟
(2.13)
dengan fungsi influence yaitu:
16
𝜓 𝑒𝑖∗ = 𝜌′(𝑒𝑖
∗) =𝜕 𝜌 𝑒𝑖
∗
𝜕𝑒𝑖∗ = 𝑒𝑖
∗ 1 − 𝑒𝑖
∗
𝑟
2
2
, 𝑒𝑖∗ < 𝑟
0, 𝑒𝑖∗ ≥ 𝑟
2.14
Sehingga diperoleh fungsi pembobot
𝑤𝑖 = 𝑤 𝑒𝑖∗ =
𝜓 𝑒𝑖∗
𝑒𝑖∗ = 1 −
𝑒𝑖∗
𝑟
2
2
, 𝑒𝑖∗ < 𝑟
0, 𝑒𝑖∗ ≥ 𝑟
2.15
di mana:
𝑒𝑖∗ : galat yang distandarisasi
𝑟 : 4,685
Nilai 𝑟 pada fungsi objektif, influence dan pembobot adalah tunning
constant. Kelly (2006) menyatakan permasalahan dalam estimasi regresi
robust adalah perlu dilakukan pemilihan tunning constant agar estimasi
yang diperoleh lebih spesifik dan memimimumkan jumlah kuadrat galat.
Menurunkan tunning constant akan menaikan pembobot terhadap galat
yang besar. Menaikkan tunning constant akan menurunkan pembobot
terhadap galat yang besar. Semakin besar 𝑟 maka estimasi robust akan
mendekati least square.
2.6.3 Estimasi S
Jika data terkontaminasi pencilan pada variabel X, estimasi M tidak
dapat bekerja dengan baik. Estimasi M tidak dapat mengidentifikasi bad
observation yang berarti tidak dapat membedakan good leverage point dan
bad leverage point. Good leverage merupakan pengamatan yang berada di
ruang distribusi tetapi sudah tidak berada di daerah mayoritas data
17
sedangkan bad leverage merupakan pengamatan yang tidak berada baik
dalam ruang distribusi pengamatan maupun daerah mayoritas. Untuk
mengatasi hal tersebut, estimasi high breakdown sangat diperlukan (Chen,
2002:5). Salah satu estimasi yang mempunyai nilai high breakdown adalah
estimasi S. Bentuk estimator S adalah:
)16.2(,...,,ˆminˆ21 ns eee
di mana :
𝜌 : fungsi obyektif
neee ,...,, 21 : nilai galat hingga pengamatan ke-n
𝜎
: estimator skala robust yaitu
𝜎 = 𝑛 𝑒𝑖
2 − 𝑒𝑖𝑛𝑖=1 2𝑛
𝑖=1
𝑛(𝑛 − 1) (2.17)
2.6.4 Estimasi M
M-Estimation merupakan metode regresi robust yang sering
digunakan. M-Estimation dipandang dengan baik untuk mengestimasi
parameter yang disebabkan oleh x-outlier dan memiliki breakdown point
1/𝑛. Estimator M yang meminimumkan fungsi 𝜌 (fungsi obyektif) dari
galatnya.Bentuk estimatornya yaitu:
𝛽 𝑀 =𝑚𝑖𝑛𝛽
𝜌 𝑒𝑖∗
𝑛
𝑖=1
; 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 (2.18)
di mana :
𝜌 : fungsi obyektif
18
𝑒𝑖∗ : galat yang distandarisai yaitu
𝑒𝑖
𝜎 𝑠
𝜎 : estimator skala robust yang memenuhi:
𝜎 =𝑀𝐴𝑅
0.6745=
1𝑛
𝑦𝑖−𝑦 𝑖 𝑛𝑖
0.6745 (2.19)
dengan MAR adalah Median Absolute Residual.
𝑦𝑖 : variabel terikat pada pengamatan ke-i
𝑦 𝑖 : penaksir 𝑦𝑖
Dalam mengestimasi parameter regresi robust M metode iterasi
diperlukan, karena galat tidak dapat dihitung sampai diperoleh model yang
cocok dan parameter regresi juga tidak dapat dihitung tanpa mengetahui
nilai galat. Iteratively Reweighted Least Squares (IRLS) adalah metode
iterasi yang banyak digunakan.
2.6.5 Estimasi MM
Estimasi MM menggabungkan estimasi high breakdown point dan
efisiensi statistik yang dikenalkan oleh Yohai (1987). Langkah pertama
dalam estimasi ini adalah mencari estimator S, kemudian menetapkan
parameter-parameter regresi menggunakan estimasi M. Estimasi S
menjamin nilai breakdown point tinggi dan estimasi M membuat estimator
mempunyai efisiensi tinggi. Pada umumnya digunakan fungsi Tukey
Bisquare baik pada estimasi S maupun estimasi M.
19
Bentuk dari metode estimasi MM:
𝛽 𝑀𝑀 =𝑚𝑖𝑛𝛽
𝜌 𝑒𝑖
𝜎 =
𝑚𝑖𝑛𝛽
𝜌 𝑦𝑖 − 𝑥𝑖𝑗 𝛽𝑗
𝑘𝑗=0
𝜎
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
(2.20)
di mana :
𝜌 : fungsi obyektif
𝑒𝑖 : galat untuk pengamatan ke-i
𝜎 : estimator skala robust
Metode MM juga menggunakan IRLS (Iteratively Reweighted Least
Square) untuk mencari estimasi parameter regresi.
Prosedur estimasi parameter pada model regresi linier ganda dengan
regresi robust estimasi MM:
1. Menghitung estimator awal koefisien 𝛽 𝑗(1)
dan galat ei(1)
dari regresi
robust dengan high breakdown point (estimasi S) dengan bobot Tukey
Bisquare .
2. Menghitung skala estimasi 𝜎 dan dihitung pula pembobot awal wi(1)
menggunakan galat ei(1)
pada langkah pertama.
3. Menghitung koefisien regresi menggunakan galat ei(1)
dengan skala
estimasi wi(1)
pada langkah kedua.
4. Menghitung bobot baru wi(2)
dengan skala estimasi dari iterasi awal.
5. Mengulang langkah 2, 3, 4 (dengan skala estimasi tetap konstan) sampai
mendapatkan 𝑒𝑖(𝑚)
𝑛𝑖=1 konvergen (selisih 𝛽 𝑗
(𝑚+1) dan 𝛽 𝑗
(𝑚) mendekati
0, dengan 𝑚 banyaknya iterasi).
20
2.7 Uji Signifikansi Parameter
Pengujian signifikansi parameter dalam model regresi bertujuan untuk
mengetahui hubungan antara variabel bebas dan variabel terikat. Disamping
itu juga untuk mengetahui kelayakan parameter dalam menerangkan model.
Terdapat dua tahap pengujian yaitu uji simultan dan uji parsial (individu).
a. Uji Simultan (Uji F)
Uji simultan merupakan pengujian secara bersama semua
parameter dalam model regresi. Hipotesis yang digunakan adalah
sebagai berikut :
𝐻0 ∶ 𝛽1 = 𝛽2 = ⋯ = 𝛽𝑘 = 0
𝐻1 ∶ 𝐴𝑑𝑎 𝛽𝑗 ≠ 0 ; 𝑗 = 1,2, … , 𝑘
Statistik uji yang digunakan untuk Weighted Least Square (WLS)
adalah :
𝐹𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 =
)1/()ˆ(
)/()ˆ(
1
2
1
2
knyyw
kyyw
n
i
iii
n
i
ii
(2.21)
di mana:
𝑤𝑖 : Nilai pembobot untuk pengamatan ke-i
𝑦 𝑖 : Penaksir 𝑦 untuk pengamatan ke-i
𝑦 𝑖 : Rataan dari 𝑦 untuk pengamatan ke-i
Kriteria pengambilan keputusannya adalah:
Tolak 𝐻0 jika 𝐹𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 ≥ 𝐹𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙
Terima 𝐻0 jika 𝐹𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 < 𝐹𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙
21
Nilai 𝐹𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 dapat dilihat menggunakan Microsoft Office Excel
dengan fungsi = 𝐹𝐼𝑁𝑉(𝛼; 𝑛 − 𝑘 − 1).
b. Uji Parsial (Uji T)
Uji parsial merupakan pengujian secara individu parameter
dalam model regresi yang bertujuan untuk mengetahui parameter
model regresi telah signifikan atau tidak. Hipotesis yang digunakan
adalah sebagai berikut :
𝐻0: 𝛽𝑗 = 0 ; 𝑗 = 1,2, … , 𝑘
𝐻1: 𝛽𝑗 ≠ 0
Statistik uji yang digunakan untuk Weighted Least Square (WLS)
adalah :
𝑡𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 =𝛽 𝑗
𝑆𝑒(𝛽 𝑗 ) (2.22)
di mana:
𝛽 𝑗 : Penaksir parameter model regresi
𝑆𝑒(𝛽 𝑗 ) : Standard error dari 𝛽𝑗
Kriteria pengambilan keputusannya adalah:
Tolak 𝐻0 jika 𝑡𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 ≥ 𝑡𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙
Terima 𝐻0 jika 𝑡𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 ≥ 𝑡𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙
Nilai 𝑇𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 dapat dilihat menggunakan Microsoft Office Excel
dengan fungsi = 𝑇𝐼𝑁𝑉(𝛼; 𝑛 − 𝑘 − 1).
22
BAB III
METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Sumber Data
Data yang digunakan dalam penelitian ini merupakan data sekunder
yang dikumpulkan melalui pengambilan sampel nilai Ujian Nasional dan
Indeks Prestasi Kumulatif selama tiga semester pada 150 orang mahasiswa
jurusan matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Universitas
Hasanuddin angkatan tahun 2010, 2011 dan 2012. Yang dimana setiap
angkatannya mewakili 50 orang mahasiswa sebagai sampel. Dalam
penelitian ini diasumsikan bahwa kondisi yang terjadi antara tiga tahun
angkatan itu dianggap sama.
3.2 Identifikasi Variabel
Variabel yang digunakan dalam penelitian ini adalah :
𝑦𝑖 = Variabel terikat yaitu indeks prestasi kumulatif
𝑥𝑖𝑗 = Variabel bebas yaitu,
𝑥𝑖1 = Nilai bahasa Indonesia
𝑥𝑖2 = Nilai bahasa Inggris
𝑥𝑖3 = Nilai Matematika
𝑥𝑖4 = Nilai Fisika
𝑥𝑖5 = Nilai Kimia
𝑥𝑖6 = Nilai Biologi
23
3.3 Metode Analisis
Adapun langkah-langkah yang dilakukan berdasarkan tujuan
penelitian adalah sebagai berikut :
1. Melakukan pengambilan data sekunder.
2. Mengidentifikasi adanya pencilan pada data menggunakan metode
DfFITS dan Leverage Point.
3. Melakukan estimasi MM yaitu langkahnya sebagai berikut:
1. Menghitung estimator awal koefisien 𝛽 𝑗(1)
dan galat 𝑒𝑖 1
dari regresi
robust dengan high breakdown point (estimasi S) dengan bobot
Tukey Bisquare .
2. Menghitung skala estimasi 𝜎 dan dihitung pula pembobot awal wi(1)
menggunakan galat 𝑒𝑖 1
pada langkah pertama.
3. Menghitung koefisien regresi menggunakan galat 𝑒𝑖 1
dengan skala
estimasi wi(1)
pada langkah kedua.
4. Menghitung bobot baru wi(2)
dengan skala estimasi dari iterasi awal.
5. Mengulang langkah 2, 3, 4 (dengan skala estimasi tetap konstan)
sampai mendapatkan 𝑒𝑖(𝑚)
𝑛𝑖=1 konvergen (selisih 𝛽 𝑗
(𝑚+1) dan 𝛽 𝑗
(𝑚)
mendekati 0, dengan 𝑚 banyaknya iterasi).
4. Uji signifikansi parameter antara variabel IPK dengan nilai-nilai Ujian
Akhir Nasional.
24
3.4 Diagram Alur Kerja
Menghitung estimator awal dan galat 𝑒𝑖(1)
Mulai
Input data yang
mengandung pencilan
Menghitung skala estimasi 𝜎 dan
pembobot awal wi(1)
Menghitung bobot baru wi(2)
dengan skala
parameter dari literasi awal
Apakah selisih
𝛽 𝑗(𝑚+1)
dan 𝛽 𝑗(𝑚)
mendekati nol
(konvergen) ?
Tidak
Ya
Model regresi dari estimasi MM
Kesimpulan
Selesai
Gambar 1 Diagram Alur Kerja
25
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
Dalam bab ini akan dibahas tentang estimasi MM (Method of Moment)
dalam penerapannya pada data yang mengandung pencilan. Data yang digunakan
adalah data sekunder mengenai pengaruh nilai Ujian Nasional terhadap Indeks
Prestasi Kumulatif selama tiga semester mahasiswa jurusan Matematika Fakultas
MIPA Universitas Hasanuddin.
4.1 Estimasi Parameter Regresi Robust Menggunakan Metode Momen
Secara umum persamaan (2.2) merupakan model regresi linier
berganda untuk data ke-𝑖 dan data 𝑛 pengamatan yang dapat dituliskan
sebagai berikut:
𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖1 + 𝛽2𝑋𝑖2 + ⋯ + 𝛽𝑘𝑋𝑖𝑘 + 𝜀𝑖 = 𝑿𝜷 + 𝜀𝑖
Taksiran modelnya yaitu:
𝑌 𝑖 = 𝛽 0 + 𝛽 1𝑋𝑖1 + 𝛽 2𝑋𝑖2 + ⋯ + 𝛽 𝑘𝑋𝑖𝑘 = 𝑿𝜷 (4.1)
Estimasi parameter menggunakan OLS menjadi kurang baik apabila
distribusi galatnya tidak normal dan mengandung pencilan. Salah satu cara
untuk mengatasinya adalah menggunakan regresi robust. Salah satu metode
regresi robust yang digunakan adalah Metode Momen, yang diperkenalkan
oleh Yohai pada tahun 1978 (Chen,2002).
Pada umumnya, estimasi MM meminimumkan fungsi obyektif
dengan persamaan:
26
𝜌 𝑒𝑖
𝑛
𝑖=1
= 𝜌 𝑌𝑖 − 𝑿𝜷
𝑛
𝑖=1
(4.2)
Selanjutnya dari persamaan (4.2) dicari turunan parsial pertama dari
𝜌 terhadap 𝛽𝑗 , 𝑗 = 0,1, … , 𝑘 dan disamakan dengan 0, diperoleh:
𝜓 𝑌𝑖 − 𝑿𝜷 𝑿𝑻 = 0
𝑛
𝑖=1
(4.3)
dengan 𝜓 = 𝜌′ dan 𝜓 merupakan fungsi influence yang digunakan untuk
memperoleh pembobot. Kemudian galatnya distansarisasi, sehingga pers
(4.3) menjadi
𝜓 𝑌𝑖 − 𝑿𝜷
𝜎 𝑿𝑻 = 0
𝑛
𝑖=1
(4.4)
Didefenisikan suatu fungsi pembobot 𝑤𝑖 =𝜓(𝑒𝑖
∗)
𝑒𝑖∗ dengan 𝑒𝑖
∗ adalah
galat yang distandarisasi sehingga 𝑒𝑖∗ =
𝑒𝑖
𝜎 . Maka pers. (4.4) dapat ditulis
menjadi:
𝑤𝑖 𝑌𝑖 − 𝑿𝜷
𝜎 𝑿𝑻 = 0
𝑛
𝑖=1
𝑿𝑻𝑤𝑖𝑌𝑖 − 𝑿𝑻𝑤𝑖𝑿𝜷 = 0
𝑛
𝑖=1
(4.5)
𝑿𝑻𝑤𝑖𝑌𝑖
𝑛
𝑖=1
− 𝑿𝑻𝑤𝑖𝑿𝜷
𝑛
𝑖=1
= 0
Dalam bentuk matriks persamaan (4.5) dapat dituliskan menjadi :
𝑿𝑇𝑾𝑿𝜷 = 𝑿𝑇𝑾𝒀 (4.6)
(2.9)
27
dimana 𝑊 adalah matriks diagonal yang berukuran n x n dengan elemen
diagonalnya 𝑤1, 𝑤2, … , 𝑤𝑛 (n banyaknya pengamatan). Pers. (4.6) dikalikan
dengan 𝑿𝑇 𝑾 𝟏 𝑿 −1
pada kedua ruas maka didapatkan estimasi
parameter sebagai berikut:
𝜷 = 𝑿𝑇𝑾 𝑿 −1𝑿𝑇𝑾𝒀 (4.7)
Pada langkah selanjutnya dihitung kembali bobot 𝑤𝑖 yang baru
menggunakan 𝛽 𝑗 dari hasil sebelumnya dan skala parameter 𝜎 𝑠 konstan.
Untuk 𝑤𝑖(𝑚)
bobot yang diberikan, dapat diperoleh estimator
𝜷 𝒋 𝒎+𝟏
= 𝑿𝑇 𝑾 𝒎 𝑿 −1
𝑋′𝑾 𝒎 𝒀 sampai
n
i
m
ie0
)( konvergen (selisih
nilai 𝛽 𝑗𝑚 dan 𝛽 𝑗
𝑚+1 mendekati 0) dengan m banyaknya iterasi.
4.2 Pengolahan Data
Data yang digunakan adalah data sekunder yang dikumpulkan melalui
pengambilan sampel nilai Ujian Nasional dan Indeks Prestasi Kumulatif
selama tiga semester mahasiswa jurusan Matematika Fakultas MIPA
Universitas Hasanuddin (Lampiran 1).
Untuk menganalisis data tersebut, berikut adalah langkah-langkah
pengolahan datanya:
4.2.1 Identifikasi Pencilan
Untuk mendeteksi pencilan dapat menggunakan metode DfFITS untuk
mengidentifikasi pencilan di variabel 𝑌 dan Leverage Value (𝑖𝑖) untuk
mengidentifikasi pencilan di variabel 𝑋.
28
a. Metode DfFITS
Suatu data dikatakan terdeteksi adanya pencilan pada variabel
terikat apabila nilai |𝐷𝑓𝐹𝐼𝑇𝑆| > 2 𝑝
𝑛= 0.432. Data yang terdeteksi
pencilan yaitu data ke-1, 6, 24, 86, dan 122 (Lampiran 2).
b. Leverage Value (𝑖𝑖)
Suatu data dikatakan terdeteksi adanya pencilan pada variabel
bebas apabila nilai 𝑖𝑖 > 2𝑘
𝑛= 0.080. Data yang terdeteksi pencilan
yaitu data ke- 5, 7, 25, 27, 40, 90, 100, 111, 122, 124, 131, 133, 138,
139, 142, 143 dan 144 (Lampiran 2).
4.2.2 Regresi Robust Estimasi MM (Method of Momen)
Hasil identifikasi pencilan dapat disimpulkan bahwa terdapat
pencilan pada data. Selanjutnya, untuk mengatasi permasalahan tersebut
digunakan regresi robust dengan estimasi MM (Method of Moment).
Adapun langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut :
6. Menghitung estimator awal koefisien 𝛽 𝑗(1)
dan galat 𝑒𝑖 1
dari metode
estimasi S.
Dengan menggunakan program SAS 9.1 (Lampiran 3) maka didapatkan
parameter - parameter regresi awalnya sebagai berikut :
𝛽 0(1)
= 1.1744
𝛽 1(1)
= 0.0272
𝛽 2(1)
= 0.0988
29
𝛽 3(1)
= 0.0475
𝛽 4(1)
= −0.0564
𝛽 5(1)
= 0.1152
𝛽 6(1)
= 0.0419
Nilai parameter diatas merupakan parameter iterasi awal. Selanjutnya
estimator dari metode S ini akan digunakan mencari nilai galat ei(1)
Dengan 𝑒𝑖(1)
= 𝑌𝑖 − 𝑌 𝑖(1)
.
7. Galat ei(1)
pada langkah pertama digunakan untuk menghitung skala
estimasi 𝜎 𝑠 dan dihitung pula pembobot awal wi(1)
dengan bobot Tukey.
Berdasarkan lampiran 3 didapatkan nilai scale yang dijadikan sebagai
nilai 𝜎 yaitu 0.2827 dan 𝜓(𝑒𝑖∗) dihitung sesuai fungsi pembobot Tukey
Bisquare. Hasil perhitungan pembobotnya dapat dilihat di Lampiran 4
sampai Lampiran 12.
8. Galat ei(1)
dengan skala estimasi wi(1)
pada langkah kedua digunakan
dalam iterasi awal untuk menghitung koefisien regresi. Nilai wi(1)
akan
dijadikan menjadi matriks diagonal dengan ukuran 𝑛𝑥𝑛 dimana 𝑛 = 150
dengan wi merupakan elemen diagonalnya kemudian dimasukkan
kedalam persamaan berikut:
𝜷 𝑗(2)
= 𝑿𝑻 𝑾 1 𝑿 −1
𝑿𝑻 𝑾 1 𝒚 (4.8)
Untuk mendapatkan nilai estimasi parameter kedua, yaitu:
30
𝜷 𝑗(2)
=
𝛽 0
𝛽 1𝛽 2
𝛽 3
𝛽 4𝛽 5
𝛽 6
=
1.307030.032560.092290.04262
−0.050970.108100.03359
9. Selanjutnya mengulang langkah 2 dan 3 untuk menghitung bobot baru
wi(2)
dengan skala estimasi 𝜎 𝑠tetap konstan) sampai mendapatkan
𝑒𝑖(𝑚)
𝑛𝑖=1 konvergen (selisih 𝜷 𝑗
(𝑚+1) dan 𝜷 𝑗
(𝑚) mendekati 0, dengan 𝑚
banyaknya iterasi).
Hasil iterasi selengkapnya dapat dilihat pada tabel berikut:
Tabel 1 Hasil Iterasi Memperoleh Nilai Koefesien Parameter Robust
𝛽 0 𝛽 1 𝛽 2 𝛽 3 𝛽 4 𝛽 5 𝛽 6
Iter
asi
(m
)
0 1.1744 0.0272 0.0988 0.0475 -0.0564 0.1152 0.0419
1 1.30703 0.03256 0.09229 0.04262 -0.05097 0.10811 0.03359
2 1.32601 0.03311 0.09204 0.04235 -0.05068 0.10710 0.03202
3 1.32914 0.03318 0.09210 0.04235 -0.05069 0.10696 0.03168
4 1.32973 0.03318 0.09213 0.04236 -0.05071 0.10693 0.03161
5 1.32985 0.03319 0.09213 0.04236 -0.05071 0.10693 0.03159
6 1.32988 0.03319 0.09214 0.04236 -0.05071 0.10693 0.03159
7 1.32989 0.03319 0.09214 0.04237 -0.05071 0.10693 0.03158
8 1.32989 0.03319 0.09214 0.04237 -0.05071 0.10693 0.03158
9 1.32989 0.03319 0.09214 0.04237 -0.05071 0.10693 0.03158
Berdasarkan Tabel 1 diatas, terlihat bahwa selisih estimasi parameter
pada iterasi ke-9 dan ke-8 sama dengan nol. Hal ini menunjukkan bahwa
31
estimasi parameter telah konvergen, sehingga diperoleh model regresi
robust sebagai berikut:
𝑦 = 1.32989 + 0.03319𝑋1 + 0.09214𝑋2 + 0.04237𝑋3 − 0.05071𝑋4 + 0.10693𝑋5 + 0.03158𝑋6 (4.9)
4.2.3 Koefesien Determinasi (𝑹𝟐)
Menggunakan nilai 𝑅2 dapat diketahui tingkat signifikansi atau
kesesuaian hubungan antara variabel bebas dengan variabel terikat dalam
model regresi yang dihasilkan. Maka diperoleh nilai 𝑅2 dari regresi robust
sebesar 0.1429 = 14.29% (Lampiran 13) yang lebih besar dibandingkan
dengan nilai 𝑅2 yang diperoleh dari metode OLS yaitu sebesar
0.075 = 7.5 % (Lampiran 14). Hal ini berarti pengaruh nilai Ujian Nasional
terhadap Indeks Prestasi Kumulatif mahasiswa jurusan Matematika FMIPA
UNHAS sebesar 14.29 %. Sisanya yaitu 85.71% dipengaruhi oleh variabel-
variabel lain.
4.2.4 Uji Signifikansi Parameter
a. Uji Simultan (Uji F)
Uji simultan merupakan pengujian secara bersama semua
parameter dalam model regresi. Hipotesis yang digunakan adalah
sebagai berikut :
𝐻0: 𝛽1 = 𝛽2 = ⋯ = 𝛽6 = 0
𝐻1: 𝛽1 ≠ 𝛽2 ≠ ⋯ ≠ 𝛽6 ≠ 0
dengan statistik uji seperti pada pers. (2.21) untuk model regresi
robust didapatkan nilai 𝐹𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 = 23.8 dan nilai
32
𝐹𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 = 𝐹(𝛼 ;𝑘;𝑛−𝑘−1) = 𝐹0,05;6;143 = 2.162
Karena nilai 𝐹𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 lebih besar dari nilai 𝐹𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 , maka 𝐻0 ditolak
artinya terdapat pengaruh nilai Indeks Prestasi Kumulatif mahasiswa
jurusan Matematika FMIPA UNHAS terhadap nilai-nilai Ujian
Nasional yang meliputi nilai bahasa Indonesia(𝑋1), bahasa
Inggris(𝑋2), Matematika(𝑋3), Fisika(𝑋4), Kimia(𝑋5) dan
Biologi(𝑋6).
b. Uji Parsial (Uji T)
Uji parsial merupakan pengujian parameter secara individu
dalam model regresi yang bertujuan untuk mengetahui variabel-
variabel mana yang berpengaruh terhadap nilai IPK mahasiswa
jurusan Matematika selama tiga semester untuk angkatan 2010, 2011
dan 2012. Hipotesis yang digunakan adalah sebagai berikut :
𝐻0: 𝛽𝑗 = 0 ; 𝑗 = 1,2, … ,6
𝐻1: 𝛽𝑗 ≠ 0
dengan statistik uji seperti pada pers. (2.22) diperoleh hasil sebagai
berikut :
33
Tabel 2 Nilai 𝑻𝒉𝒊𝒕𝒖𝒏𝒈 Model Regresi
Robust
Variabel Nilai 𝒕𝒉𝒊𝒕𝒖𝒏𝒈
𝑋1 1.1366
𝑋2 2.7836
𝑋3 1.5350
𝑋4 -1.5229
𝑋5 2.5219
𝑋6 1.0288
dan diperoleh nilai
𝑡𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 = 𝑡(𝛼 ;𝑛−𝑘−1) = 𝑡0.05;143 = 1.977
Berdasarkan Tabel 2 dapat dilihat bahwa variabel nilai bahasa
Indonesia(𝑋1), Matematika(𝑋3), Fisika(𝑋4), dan Biologi(𝑋6)
mempunyai nilai 𝑡𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 kurang dari 𝑡𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 maka 𝐻0 diterima, artinya
variabel nilai bahasa Indonesia(𝑋1), Matematika(𝑋3), Fisika(𝑋4), dan
Biologi(𝑋6) tidak signifikan terhadap nilai IPK. Sebaliknya variabel
nilai bahasa Inggris(𝑋2) dan Kimia(𝑋5) mempunyai nilai 𝑡𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔
lebih besar dari 𝑡𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 maka 𝐻0 ditolak, artinya nilai bahasa
Inggris(𝑋2) dan Kimia(𝑋5) signifikan terhadap nilai IPK. Maka kita
mendapatkan suatu model baru yaitu :
𝑦 = 1.32989 + 0.09214𝑋2 + 0.10693𝑋5 (4.10)
Makna yang dapat diterangkan dari pers. (4.9) adalah sebagai berikut:
1. 𝛽0 = 1.32989
Apabila nilai bahasa Inggris dan Kimia sama dengan 0.
Maka nilai IPK adalah sebesar 1.32989.
34
2. 𝛽2 = 0.09214
Angka tersebut menunjukkan koefesien untuk nilai bahasa
Inggris. Angka sebesar 0.09214 menunjukkan tanda positif yang
berarti apabila nilai bahasa Inggris meningkat satu satuan
sedangkan variabel lainnya dianggap konstan, maka
mengakibatkan nilai IPK naik sebesar 0.09214 satuan.
3. 𝛽5 = 0.10693
Angka tersebut menunjukkan koefesien untuk nilai Kimia.
Angka sebesar 0.10693 menunjukkan tanda positif yang berarti
apabila nilai Kimia meningkat satu satuan sedangkan variabel
lainnya dianggap konstan, maka mengakibatkan nilai IPK naik
sebesar 0.10693 satuan.
35
BAB V
PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan hasil penelitian yang telah dilakukan dan berdasarkan
penjelasan yang telah diberikan, maka dapat diambil beberapa kesimpulan
sebagai berikut:
1. Estimasi MM (Method of Moment) merupakan salah satu estimasi
pada regresi robust yang dapat digunakan untuk data yang terdeteksi
pencilan pada variabel bebas dan variabel terikat.
2. Model regresi robust yang didapatkan dari estimasi MM yaitu:
𝑦 = 1.32989 + 0.03319𝑋1 + 0.09214𝑋2 + 0.04237𝑋3 − 0.05071𝑋4 + 0.10693𝑋5 + 0.03158𝑋6
3. Hasil perhitungan koefisien determinasi model regresi menggunakan
estimasi MM lebih besar yaitu 14.29 % dibandingkan dengan
koefisien determinasi model regresi menggunakan metode kuadrat
terkecil yaitu 7.5 % , sehingga model regresi robust dikatakan lebih
baik dibandingkan dengan model regresi menggunakan metode
kuadrat terkecil.
4. Berdasarkan uji signifikansi parameter yang dilakukan yaitu uji-F dan
uji-T didapatkan bahwa terdapat pengaruh nilai Indeks Prestasi
Kumulatif mahasiswa jurusan Matematika FMIPA UNHAS terhadap
nilai Ujian Nasional yang meliputi nilai bahasa Indonesia(𝑋1), nilai
bahasa Inggris(𝑋2), nilai Matematika(𝑋3), nilai Fisika(𝑋4), nilai
36
Kimia(𝑋5) dan nilai Biologi(𝑋6) . Serta dengan 𝛼 = 0.05 diperoleh
koefisien regresi 𝑋2 𝑑𝑎𝑛 𝑋5 signifikan. Maka kita mendapatkan suatu
model baru yaitu :
𝑦 = 1.32989 + 0.09214𝑋2 + 0.10693𝑋5
5.2 Saran
Penelitian ini membahas tentang penggunaan regresi robust pada
data yang mengandung pencilan dengan Metode Momen. Untuk
penelitian selanjutnya dapat dilakukan penelitian atau kajian lebih dalam
mengenai sifat-sifat teoritis pada beberapa estimator robust, salah satunya
least median square (LMS) ataupun melakukan pendekatan lain untuk
mengatasi data yang mengandung pencilan.
37
DAFTAR PUSTAKA
Chen, Colin .2002. Robust Regression and Outlier Detection with the Robustreg
Procedure. SUGI paper 265-27. SAS Institute : Cary, NC
Drapper, N. R.,& Smith, H. 1996. Applied Regression Analysis, 2nd edition. New
York: John Wiley & Sons. Chapman and Hall.
Hasanah, Isma. Regresi Robust Untuk Mengatasi Outlier Pada Regresi Linier
Berganda. Jurnal Universitas Jenderal Soedirman.
Kelly, M. (2006). “A Tour Around PROC ROBUSTREG”. Paper ST01. Dublin:
Quintiles Ireland Ltd.
Kurniawati, Lina Dewi. 2012. Kekekaran Regresi Linier Ganda Dengan Estimasi
MM (Method Of Moment) Dalam Mengatasi Pencilan. Yogyakarta : UNY.
Montgomery, D. C., & Peck, E. A. 1992. Introduction to Linear Regression Analysis.
New York : A Wiley-Interscience Publication.
Rousseeuw, R. J. & A. M. Leroy. 1987. Robust Regression and Outlier Detection.
New York: By John Wiley and Sons, Inc.
Soemartini. 2007. Outlier (Pencilan). Bandung: UNPAD.
Puput,Nuraidah. 2011. Estimasi Parameter Dalam Regresi Linear Berganda Dengan
Metode Least Median Square (LMS). Makassar : Universitas Hasanuddin.
Walpole, Ronald. E and Myres, Raymond. H. 1995. Ilmu Peluang dan Statistika
untuk Insinyur dan Ilmuan Edisi ke-4. Bandung : Institut Teknologi
Bandung.
Yohai, V. J. (1987). High Breakdown Point and High Efficiency Robust Estimates
for Regression. Annals of Statistics, Vol. 15, No.20, 642-656.
38
L
A
M
P
I
R
A
N
39
Lampiran 1
Data IPK dan Nilai UAN
𝒊 𝒙𝒊𝟏 𝒙𝒊𝟐 𝒙𝒊𝟑 𝒙𝒊𝟒 𝒙𝒊𝟓 𝒙𝒊𝟔 𝒚𝒊
1 9.00 8.00 9.75 8.50 8.50 7.75 1.30
2 7.40 8.60 9.00 9.25 9.25 8.75 3.41
3 6.80 8.00 8.75 8.00 8.75 8.75 3.30
4 8.20 6.80 8.50 9.00 8.25 9.00 3.55
5 7.80 7.80 8.25 6.00 8.25 6.25 3.67
6 8.80 7.20 6.50 7.00 7.50 6.50 1.42
7 8.25 8.00 8.50 7.25 7.75 5.25 3.03
8 7.00 8.60 7.00 9.75 8.00 6.50 3.50
9 8.80 8.00 7.90 7.60 8.00 7.40 3.16
10 8.00 8.40 8.00 7.25 7.75 8.25 3.60
11 6.40 8.20 8.00 7.25 8.50 8.00 3.18
12 7.60 9.00 9.25 8.75 8.50 8.75 3.85
13 8.20 8.20 7.50 8.25 8.00 7.25 3.00
14 8.80 8.00 8.75 8.25 8.75 9.00 3.54
15 7.80 8.60 9.00 7.25 8.50 8.50 3.67
16 6.20 7.80 7.00 8.00 8.25 8.25 3.51
17 7.60 7.60 8.50 8.00 8.00 7.00 3.00
18 5.20 8.20 8.25 7.50 8.50 8.75 3.06
19 8.80 7.40 9.25 7.75 7.75 7.00 3.13
20 8.00 7.20 8.75 8.25 9.50 8.25 3.28
21 8.80 7.40 8.50 7.75 8.50 8.00 3.51
22 9.20 8.20 9.25 7.75 9.00 7.25 3.16
23 9.00 8.20 9.00 9.25 8.00 9.00 3.24
24 8.20 8.00 9.50 8.25 8.25 8.75 1.15
25 6.20 8.00 4.50 8.25 8.75 8.00 3.40
26 8.80 8.00 7.90 8.90 7.70 8.00 3.20
27 5.60 6.50 8.60 6.70 7.40 8.25 3.43
28 6.40 8.20 8.00 7.25 8.50 7.60 3.18
29 7.60 9.00 8.00 8.75 8.50 8.70 3.43
30 7.25 8.25 7.75 8.25 7.50 8.50 2.65
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
147 8.20 7.25 8.50 6.80 8.00 7.25 3.23
148 7.20 8.40 9.00 8.00 9.00 8.80 3.76
149 8.00 6.00 8.40 7.25 7.60 7.70 3.63
150 9.20 7.80 9.00 8.25 8.00 7.80 3.22
40
Lampiran 2
Nilai DfFITS dan Leverage Value (𝒉𝒊𝒊)
Obs. Nilai
DfFITS |DfFITS|
Nilai Leverage
Value
1 -1.2435 1.2435 0.0368
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
5 0.2503 0.2503 0.0811
6 -1.4667 1.4667 0.0770
7 -0.1676 0.1676 0.0898
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 24 -1.1059 1.1059 0.0222
25 0.0424 0.0424 0.1135
26 -0.0178 0.0178 0.0259
27 0.1828 0.1828 0.0886
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 40 0.3089 0.3089 0.1117
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 86 0.4930 0.4930 0.0651
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
90 0.2656 0.2656 0.1418
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 100 0.2437 0.2437 0.1079
109 -0.0412 0.0412 0.0045
111 -0.1451 0.1451 0.0947
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
122 -0.6029 0.6029 0.1025
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 131 0.1989 0.1989 0.0889
132 0.1409 0.1409 0.0552
133 0.1101 0.1101 0.0818
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
138 0.1379 0.1379 0.1311
139 -0.3802 0.3802 0.0895
140 0.0076 0.0076 0.0379
141 -0.1051 0.1051 0.0468
142 0.3667 0.3667 0.1968
143 -0.0156 0.0156 0.1066
144 -0.0830 0.0830 0.1042
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
149 0.3344 0.3344 0.0532
150 -0.0300 0.0300 0.0234
41
Lampiran 3
Output Program SAS 9.1 Estimasi-S
Data Set WORK.MAHASISWA
Dependent Variable y
Number of Independent Variables 6
Number of Observations 150
Method S Estimation
Number of Observations Read 150
Number of Observations Used 150
Parameter Estimates
Standard 95% Confidence Chi-
Parameter DF Estimate Error Limits Square Pr > ChiSq
Intercept 1 1.1744 0.6025 -0.0065 2.3553 3.80 0.0513
X1 1 0.0272 0.0319 -0.0353 0.0897 0.73 0.3934
X2 1 0.0988 0.0361 0.0281 0.1695 7.51 0.0062
X3 1 0.0475 0.0299 -0.0111 0.1062 2.53 0.1120
X4 1 -0.0564 0.0363 -0.1276 0.0147 2.42 0.1201
X5 1 0.1152 0.0462 0.0247 0.2057 6.22 0.0126
X6 1 0.0419 0.0340 -0.0246 0.1084 1.52 0.2172
Scale 0 0.2827
42
Lampiran 4
Hasil Perhitungan Nilai Estimasi, Nilai Residual dan Nilai Pembobot
untuk Iterasi Pertama
𝒊 𝒀 𝒆𝒊
(𝟏)
= 𝒀𝒊 − 𝒀 𝒊(𝟏)
𝒆𝒊
∗ =𝒆𝒊
(𝟏)
𝝈 𝒔 |𝒆𝒊
∗| 𝝍(𝒆𝒊∗) 𝒘𝒊
(𝟏)=
𝝍(𝒆𝒊∗)
𝒆𝒊∗
1 3.4973 -2.1973 -7.7724 7.7724 0 0
2 3.5634 -0.1534 -0.5426 0.5426 -0.5281 0.9734
3 3.4888 -0.1888 -0.6679 0.6679 -0.6410 0.9598
4 3.2929 0.2571 0.9093 0.9093 0.8421 0.9261
5 3.4230 0.2471 0.8739 0.8739 0.8141 0.9316
6 3.1754 -1.7554 -6.2095 6.2095 0 0
7 3.2968 -0.2668 -0.9438 0.9438 -0.8688 0.9205
8 3.1910 0.3090 1.0929 1.0929 0.9772 0.8941
9 3.3824 -0.2224 -0.7868 0.7868 -0.7430 0.9444
10 3.4315 0.1685 0.5961 0.5961 0.5769 0.9679
11 3.4441 -0.2641 -0.9343 0.9343 -0.8615 0.9220
12 3.5620 0.2880 1.0187 1.0187 0.9246 0.9077
13 3.3239 -0.3239 -1.1458 1.1458 -1.0128 0.8839
14 3.5396 0.0004 0.0015 0.0015 0.0015 1.0000
15 3.5902 0.0798 0.2823 0.2823 0.2803 0.9928
16 3.2911 0.2189 0.7745 0.7745 0.7327 0.9461
17 3.2995 -0.2995 -1.0593 1.0593 -0.9537 0.9004
18 3.4407 -0.3807 -1.3467 1.3467 -1.1333 0.8416
19 3.3333 -0.2033 -0.7190 0.7190 -0.6855 0.9535
20 3.4938 -0.2138 -0.7561 0.7561 -0.7173 0.9486
21 3.4259 0.0841 0.2974 0.2974 0.2950 0.9920
22 3.5777 -0.4177 -1.4774 1.4774 -1.1982 0.8110
23 3.4339 -0.1939 -0.6857 0.6857 -0.6567 0.9576
24 3.4908 -2.3408 -8.2802 8.2802 0 0
25 3.2251 0.1749 0.6187 0.6187 0.5973 0.9654
26 3.2997 -0.0997 -0.3526 0.3526 -0.3487 0.9887
27 3.1977 0.2323 0.8217 0.8217 0.7720 0.9394
28 3.4274 -0.2474 -0.8751 0.8751 -0.8151 0.9314
29 3.5006 -0.0705 -0.2496 0.2496 -0.2481 0.9943
30 3.3097 -0.6597 -2.3335 2.3335 -1.3193 0.5654
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
148 3.5820 0.1780 0.6297 0.6297 0.6072 0.9642
149 3.1731 0.4570 1.6164 1.6164 1.2545 0.7761
150 3.4059 -0.1859 -0.6576 0.6576 -0.6319 0.9610
43
Lampiran 5
Hasil Perhitungan Nilai Estimasi, Nilai Residual dan Nilai Pembobot
untuk Iterasi Kedua
𝒊 𝒀 𝒆𝒊
(𝟐)
= 𝒀𝒊 − 𝒀 𝒊(𝟐)
𝒆𝒊
∗ =𝒆𝒊
(𝟐)
𝝈 𝒔 |𝒆𝒊
∗| 𝝍(𝒆𝒊∗) 𝒘𝒊
(𝟐)=
𝝍(𝒆𝒊∗)
𝒆𝒊∗
1 3.5000 -2.2000 -7.7820 7.7820 0 0
2 3.5477 -0.1377 -0.4872 0.4872 -0.4767 0.9785
3 3.4718 -0.1718 -0.6078 0.6078 -0.5875 0.9666
4 3.2994 0.2506 0.8866 0.8866 0.8242 0.9297
5 3.4285 0.2415 0.8542 0.8542 0.7983 0.9346
6 3.2075 -1.7875 -6.3228 6.3228 0 0
7 3.3209 -0.2909 -1.0291 1.0291 -0.9322 0.9058
8 3.2132 0.2868 1.0143 1.0143 0.9215 0.9084
9 3.3947 -0.2347 -0.8301 0.8301 -0.7788 0.9382
10 3.4292 0.1708 0.6043 0.6043 0.5844 0.9670
11 3.4313 -0.2513 -0.8889 0.8889 -0.8260 0.9293
12 3.5462 0.3038 1.0746 1.0746 0.9645 0.8975
13 3.3384 -0.3384 -1.1969 1.1969 -1.0458 0.8737
14 3.5326 0.0074 0.0262 0.0262 0.0262 0.9999
15 3.5732 0.0968 0.3424 0.3424 0.3387 0.9893
16 3.2884 0.2216 0.7839 0.7839 0.7407 0.9448
17 3.3104 -0.3104 -1.0981 1.0981 -0.9807 0.8931
18 3.4153 -0.3553 -1.2569 1.2569 -1.0825 0.8612
19 3.3487 -0.2187 -0.7737 0.7737 -0.7321 0.9462
20 3.4886 -0.2086 -0.7379 0.7379 -0.7017 0.9510
21 3.4314 0.0786 0.2779 0.2779 0.2760 0.9930
22 3.5791 -0.4191 -1.4826 1.4826 -1.2005 0.8098
23 3.4362 -0.1962 -0.6939 0.6939 -0.6638 0.9566
24 3.4826 -2.3326 -8.2510 8.2510 0 0
25 3.2332 0.1668 0.5900 0.5900 0.5715 0.9685
26 3.3161 -0.1161 -0.4108 0.4108 -0.4045 0.9847
27 3.1914 0.2386 0.8439 0.8439 0.7900 0.9362
28 3.4179 -0.2379 -0.8414 0.8414 -0.7880 0.9365
29 3.4913 -0.0613 -0.2167 0.2167 -0.2157 0.9957
30 3.3106 -0.6606 -2.3369 2.3369 -1.3187 0.5643
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
148 3.5611 0.1989 0.7035 0.7035 0.6721 0.9554
149 3.1900 0.4400 1.5563 1.5563 1.2318 0.7915
150 3.4164 -0.1964 -0.6948 0.6948 -0.6646 0.9565
44
Lampiran 6
Hasil Perhitungan Nilai Estimasi, Nilai Residual dan Nilai Pembobot
untuk Iterasi Ketiga
𝒊 𝒀 𝒆𝒊
(𝟑)
= 𝒀𝒊 − 𝒀 𝒊(𝟑)
𝒆𝒊
∗ =𝒆𝒊
(𝟑)
𝝈 𝒔 |𝒆𝒊
∗| 𝝍(𝒆𝒊∗) 𝒘𝒊
(𝟑)=
𝝍(𝒆𝒊∗)
𝒆𝒊∗
1 3.5010 -2.2010 -7.7856 7.7856 0 0
2 3.5458 -0.1358 -0.4804 0.4804 -0.4703 0.9791
3 3.4699 -0.1699 -0.6011 0.6011 -0.5814 0.9674
4 3.2990 0.2510 0.8878 0.8878 0.8252 0.9295
5 3.4312 0.2388 0.8447 0.8447 0.7907 0.9360
6 3.2120 -1.7920 -6.3388 6.3388 0 0
7 3.3262 -0.2962 -1.0477 1.0477 -0.9455 0.9025
8 3.2166 0.2834 1.0024 1.0024 0.9128 0.9105
9 3.3969 -0.2369 -0.8379 0.8379 -0.7851 0.9371
10 3.4296 0.1704 0.6028 0.6028 0.5830 0.9672
11 3.4305 -0.2505 -0.8862 0.8862 -0.8239 0.9297
12 3.5448 0.3052 1.0795 1.0795 0.9679 0.8966
13 3.3407 -0.3407 -1.2053 1.2053 -1.0510 0.8720
14 3.5315 0.0085 0.0302 0.0302 0.0301 0.9999
15 3.5721 0.0979 0.3464 0.3464 0.3426 0.9891
16 3.2880 0.2220 0.7854 0.7854 0.7419 0.9446
17 3.3126 -0.3126 -1.1059 1.1059 -0.9861 0.8917
18 3.4127 -0.3527 -1.2477 1.2477 -1.0770 0.8632
19 3.3516 -0.2216 -0.7840 0.7840 -0.7407 0.9448
20 3.4877 -0.2077 -0.7346 0.7346 -0.6989 0.9514
21 3.4322 0.0778 0.2752 0.2752 0.2733 0.9931
22 3.5804 -0.4204 -1.4870 1.4870 -1.2025 0.8087
23 3.4361 -0.1961 -0.6936 0.6936 -0.6636 0.9566
24 3.4818 -2.3318 -8.2484 8.2484 0 0
25 3.2334 0.1666 0.5893 0.5893 0.5708 0.9686
26 3.3181 -0.1181 -0.4176 0.4176 -0.4110 0.9842
27 3.1911 0.2389 0.8452 0.8452 0.7911 0.9360
28 3.4177 -0.2377 -0.8409 0.8409 -0.7876 0.9366
29 3.4903 -0.0603 -0.2133 0.2133 -0.2124 0.9959
30 3.3109 -0.6609 -2.3379 2.3379 -1.3185 0.5640
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
148 3.5589 0.2011 0.7112 0.7112 0.6788 0.9544
149 3.1920 0.4380 1.5494 1.5494 1.2290 0.7932
150 3.4182 -0.1982 -0.7009 0.7009 -0.6699 0.9557
45
Lampiran 7
Hasil Perhitungan Nilai Estimasi, Nilai Residual dan Nilai Pembobot
untuk Iterasi Keempat
𝒊 𝒀 𝒆𝒊
(𝟒)
= 𝒀𝒊 − 𝒀 𝒊(𝟒)
𝒆𝒊
∗ =𝒆𝒊
(𝟒)
𝝈 𝒔 |𝒆𝒊
∗| 𝝍(𝒆𝒊∗) 𝒘𝒊
(𝟒)=
𝝍(𝒆𝒊∗)
𝒆𝒊∗
1 3.5012 -2.2012 -7.7865 7.7865 0 0
2 3.5455 -0.1355 -0.4794 0.4794 -0.4694 0.9792
3 3.4697 -0.1697 -0.6002 0.6002 -0.5806 0.9674
4 3.2988 0.2512 0.8887 0.8887 0.8259 0.9293
5 3.4320 0.2380 0.8420 0.8420 0.7885 0.9364
6 3.2128 -1.7928 -6.3415 6.3415 0 0
7 3.3274 -0.2974 -1.0519 1.0519 -0.9485 0.9017
8 3.2172 0.2828 1.0003 1.0003 0.9111 0.9109
9 3.3973 -0.2373 -0.8394 0.8394 -0.7864 0.9368
10 3.4298 0.1702 0.6021 0.6021 0.5824 0.9672
11 3.4306 -0.2506 -0.8864 0.8864 -0.8240 0.9297
12 3.5447 0.3053 1.0798 1.0798 0.9682 0.8966
13 3.3412 -0.3412 -1.2069 1.2069 -1.0520 0.8717
14 3.5313 0.0087 0.0309 0.0309 0.0309 0.9999
15 3.5721 0.0979 0.3465 0.3465 0.3427 0.9891
16 3.2879 0.2221 0.7856 0.7856 0.7421 0.9446
17 3.3131 -0.3131 -1.1076 1.1076 -0.9873 0.8913
18 3.4124 -0.3524 -1.2467 1.2467 -1.0764 0.8634
19 3.3522 -0.2222 -0.7860 0.7860 -0.7424 0.9445
20 3.4875 -0.2075 -0.7340 0.7340 -0.6984 0.9515
21 3.4323 0.0777 0.2747 0.2747 0.2728 0.9931
22 3.5808 -0.4208 -1.4884 1.4884 -1.2031 0.8083
23 3.4360 -0.1960 -0.6933 0.6933 -0.6633 0.9567
24 3.4817 -2.3317 -8.2481 8.2481 0 0
25 3.2333 0.1667 0.5896 0.5896 0.5711 0.9686
26 3.3183 -0.1183 -0.4186 0.4186 -0.4119 0.9841
27 3.1910 0.2390 0.8453 0.8453 0.7912 0.9359
28 3.4179 -0.2379 -0.8415 0.8415 -0.7881 0.9365
29 3.4902 -0.0602 -0.2129 0.2129 -0.2121 0.9959
30 3.3110 -0.6610 -2.3381 2.3381 -1.3185 0.5639
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
148 3.5587 0.2013 0.7121 0.7121 0.6796 0.9543
149 3.1922 0.4378 1.5486 1.5486 1.2287 0.7934
150 3.4185 -0.1985 -0.7021 0.7021 -0.6709 0.9556
46
Lampiran 8
Hasil Perhitungan Nilai Estimasi, Nilai Residual dan Nilai Pembobot
untuk Iterasi Kelima
𝒊 𝒀 𝒆𝒊
(𝟏)
= 𝒀𝒊 − 𝒀 𝒊(𝟓)
𝒆𝒊
∗ =𝒆𝒊
(𝟓)
𝝈 𝒔 |𝒆𝒊
∗| 𝝍(𝒆𝒊∗) 𝒘𝒊
(𝟓)=
𝝍(𝒆𝒊∗)
𝒆𝒊∗
1 3.5013 -2.2013 -7.7867 7.7867 0 0
2 3.5455 -0.1355 -0.4793 0.4793 -0.4693 0.9792
3 3.4696 -0.1696 -0.6000 0.6000 -0.5805 0.9675
4 3.2987 0.2513 0.8890 0.8890 0.8262 0.9293
5 3.4321 0.2379 0.8414 0.8414 0.7880 0.9365
6 3.2129 -1.7929 -6.3421 6.3421 0 0
7 3.3276 -0.2976 -1.0528 1.0528 -0.9492 0.9016
8 3.2174 0.2826 0.9998 0.9998 0.9108 0.9110
9 3.3974 -0.2374 -0.8398 0.8398 -0.7867 0.9368
10 3.4298 0.1702 0.6020 0.6020 0.5823 0.9673
11 3.4306 -0.2506 -0.8865 0.8865 -0.8241 0.9297
12 3.5447 0.3053 1.0799 1.0799 0.9682 0.8966
13 3.3413 -0.3413 -1.2072 1.2072 -1.0522 0.8716
14 3.5312 0.0088 0.0310 0.0310 0.0310 0.9999
15 3.5721 0.0979 0.3464 0.3464 0.3426 0.9891
16 3.2879 0.2221 0.7857 0.7857 0.7421 0.9445
17 3.3132 -0.3132 -1.1080 1.1080 -0.9875 0.8913
18 3.4124 -0.3524 -1.2465 1.2465 -1.0763 0.8634
19 3.3523 -0.2223 -0.7865 0.7865 -0.7428 0.9444
20 3.4875 -0.2075 -0.7339 0.7339 -0.6983 0.9515
21 3.4324 0.0776 0.2746 0.2746 0.2727 0.9931
22 3.5809 -0.4209 -1.4888 1.4888 -1.2033 0.8082
23 3.4360 -0.1960 -0.6932 0.6932 -0.6632 0.9567
24 3.4817 -2.3317 -8.2480 8.2480 0 0
25 3.2333 0.1667 0.5897 0.5897 0.5711 0.9686
26 3.3184 -0.1184 -0.4187 0.4187 -0.4120 0.9841
27 3.1910 0.2390 0.8453 0.8453 0.7912 0.9359
28 3.4180 -0.2380 -0.8417 0.8417 -0.7883 0.9365
29 3.4902 -0.0602 -0.2129 0.2129 -0.2120 0.9959
30 3.3110 -0.6610 -2.3381 2.3381 -1.3185 0.5639
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
148 3.5587 0.2013 0.7122 0.7122 0.6797 0.9543
149 3.1922 0.4378 1.5485 1.5485 1.2286 0.7934
150 3.4185 -0.1985 -0.7023 0.7023 -0.6711 0.9556
47
Lampiran 9
Hasil Perhitungan Nilai Estimasi, Nilai Residual dan Nilai Pembobot
untuk Iterasi Keenam
𝒊 𝒀 𝒆𝒊
(𝟔)
= 𝒀𝒊 − 𝒀 𝒊(𝟔)
𝒆𝒊
∗ =𝒆𝒊
(𝟔)
𝝈 𝒔 |𝒆𝒊
∗| 𝝍(𝒆𝒊∗) 𝒘𝒊
(𝟔)=
𝝍(𝒆𝒊∗)
𝒆𝒊∗
1 3.5013 -2.2013 -7.7868 7.7868 0 0
2 3.5455 -0.1355 -0.4792 0.4792 -0.4693 0.9792
3 3.4696 -0.1696 -0.6000 0.6000 -0.5805 0.9675
4 3.2987 0.2513 0.8891 0.8891 0.8262 0.9293
5 3.4322 0.2378 0.8412 0.8412 0.7879 0.9366
6 3.2129 -1.7929 -6.3422 6.3422 0 0
7 3.3277 -0.2977 -1.0530 1.0530 -0.9493 0.9015
8 3.2174 0.2826 0.9997 0.9997 0.9107 0.9110
9 3.3974 -0.2374 -0.8399 0.8399 -0.7867 0.9368
10 3.4298 0.1702 0.6019 0.6019 0.5822 0.9673
11 3.4306 -0.2506 -0.8865 0.8865 -0.8241 0.9297
12 3.5447 0.3053 1.0799 1.0799 0.9682 0.8966
13 3.3413 -0.3413 -1.2073 1.2073 -1.0523 0.8716
14 3.5312 0.0088 0.0311 0.0311 0.0311 0.9999
15 3.5721 0.0979 0.3464 0.3464 0.3426 0.9891
16 3.2879 0.2221 0.7857 0.7857 0.7421 0.9445
17 3.3132 -0.3132 -1.1081 1.1081 -0.9876 0.8913
18 3.4124 -0.3524 -1.2465 1.2465 -1.0763 0.8634
19 3.3524 -0.2224 -0.7866 0.7866 -0.7429 0.9444
20 3.4875 -0.2075 -0.7339 0.7339 -0.6983 0.9515
21 3.4324 0.0776 0.2746 0.2746 0.2727 0.9931
22 3.5809 -0.4209 -1.4889 1.4889 -1.2033 0.8082
23 3.4360 -0.1960 -0.6932 0.6932 -0.6632 0.9567
24 3.4817 -2.3317 -8.2480 8.2480 0 0
25 3.2333 0.1667 0.5897 0.5897 0.5712 0.9686
26 3.3184 -0.1184 -0.4187 0.4187 -0.4121 0.9841
27 3.1910 0.2390 0.8454 0.8454 0.7912 0.9359
28 3.4180 -0.2380 -0.8418 0.8418 -0.7883 0.9365
29 3.4902 -0.0602 -0.2129 0.2129 -0.2120 0.9959
30 3.3110 -0.6610 -2.3381 2.3381 -1.3185 0.5639
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
148 3.5587 0.2013 0.7122 0.7122 0.6797 0.9543
149 3.1922 0.4378 1.5485 1.5485 1.2286 0.7934
150 3.4185 -0.1985 -0.7023 0.7023 -0.6711 0.9556
48
Lampiran 10
Hasil Perhitungan Nilai Estimasi, Nilai Residual dan Nilai Pembobot
untuk Iterasi Ketujuh
𝒊 𝒀 𝒆𝒊
(𝟕)
= 𝒀𝒊 − 𝒀 𝒊(𝟕)
𝒆𝒊
∗ =𝒆𝒊
(𝟕)
𝝈 𝒔 |𝒆𝒊
∗| 𝝍(𝒆𝒊∗) 𝒘𝒊
(𝟕)=
𝝍(𝒆𝒊∗)
𝒆𝒊∗
1 3.5013 -2.2013 -7.7868 7.7868 0 0
2 3.5455 -0.1355 -0.4792 0.4792 -0.4692 0.9792
3 3.4696 -0.1696 -0.6000 0.6000 -0.5805 0.9675
4 3.2986 0.2514 0.8891 0.8891 0.8262 0.9293
5 3.4322 0.2378 0.8412 0.8412 0.7878 0.9366
6 3.2129 -1.7929 -6.3422 6.3422 0 0
7 3.3277 -0.2977 -1.0531 1.0531 -0.9494 0.9015
8 3.2174 0.2826 0.9997 0.9997 0.9107 0.9110
9 3.3974 -0.2374 -0.8399 0.8399 -0.7868 0.9368
10 3.4298 0.1702 0.6019 0.6019 0.5822 0.9673
11 3.4306 -0.2506 -0.8865 0.8865 -0.8241 0.9297
12 3.5447 0.3053 1.0799 1.0799 0.9682 0.8966
13 3.3413 -0.3413 -1.2073 1.2073 -1.0523 0.8716
14 3.5312 0.0088 0.0311 0.0311 0.0311 0.9999
15 3.5721 0.0979 0.3464 0.3464 0.3426 0.9891
16 3.2879 0.2221 0.7857 0.7857 0.7421 0.9445
17 3.3133 -0.3133 -1.1081 1.1081 -0.9876 0.8913
18 3.4124 -0.3524 -1.2465 1.2465 -1.0763 0.8634
19 3.3524 -0.2224 -0.7866 0.7866 -0.7429 0.9444
20 3.4875 -0.2075 -0.7339 0.7339 -0.6983 0.9515
21 3.4324 0.0776 0.2746 0.2746 0.2727 0.9931
22 3.5809 -0.4209 -1.4889 1.4889 -1.2033 0.8082
23 3.4360 -0.1960 -0.6932 0.6932 -0.6631 0.9567
24 3.4817 -2.3317 -8.2480 8.2480 0 0
25 3.2333 0.1667 0.5897 0.5897 0.5712 0.9686
26 3.3184 -0.1184 -0.4187 0.4187 -0.4121 0.9841
27 3.1910 0.2390 0.8454 0.8454 0.7912 0.9359
28 3.4180 -0.2380 -0.8418 0.8418 -0.7883 0.9365
29 3.4902 -0.0602 -0.2129 0.2129 -0.2120 0.9959
30 3.3110 -0.6610 -2.3381 2.3381 -1.3185 0.5639
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
148 3.5587 0.2013 0.7122 0.7122 0.6797 0.9543
149 3.1922 0.4378 1.5485 1.5485 1.2286 0.7935
150 3.4186 -0.1986 -0.7023 0.7023 -0.6711 0.9556
49
Lampiran 11
Hasil Perhitungan Nilai Estimasi, Nilai Residual dan Nilai Pembobot
untuk Iterasi Kedelapan
𝒊 𝒀 𝒆𝒊
(𝟖)
= 𝒀𝒊 − 𝒀 𝒊(𝟖)
𝒆𝒊
∗ =𝒆𝒊
(𝟖)
𝝈 𝒔 |𝒆𝒊
∗| 𝝍(𝒆𝒊∗) 𝒘𝒊
(𝟖)=
𝝍(𝒆𝒊∗)
𝒆𝒊∗
1 3.5013 -2.2013 -7.7868 7.7868 0 0
2 3.5455 -0.1355 -0.4792 0.4792 -0.4692 0.9792
3 3.4696 -0.1696 -0.6000 0.6000 -0.5805 0.9675
4 3.2986 0.2514 0.8891 0.8891 0.8262 0.9293
5 3.4322 0.2378 0.8412 0.8412 0.7878 0.9366
6 3.2130 -1.7930 -6.3422 6.3422 0 0
7 3.3277 -0.2977 -1.0531 1.0531 -0.9494 0.9015
8 3.2174 0.2826 0.9997 0.9997 0.9107 0.9110
9 3.3974 -0.2374 -0.8399 0.8399 -0.7868 0.9368
10 3.4298 0.1702 0.6019 0.6019 0.5822 0.9673
11 3.4306 -0.2506 -0.8865 0.8865 -0.8242 0.9297
12 3.5447 0.3053 1.0799 1.0799 0.9682 0.8966
13 3.3413 -0.3413 -1.2073 1.2073 -1.0523 0.8716
14 3.5312 0.0088 0.0311 0.0311 0.0311 0.9999
15 3.5721 0.0979 0.3464 0.3464 0.3426 0.9891
16 3.2879 0.2221 0.7857 0.7857 0.7421 0.9445
17 3.3133 -0.3133 -1.1081 1.1081 -0.9876 0.8912
18 3.4124 -0.3524 -1.2465 1.2465 -1.0763 0.8634
19 3.3524 -0.2224 -0.7866 0.7866 -0.7429 0.9444
20 3.4875 -0.2075 -0.7339 0.7339 -0.6983 0.9515
21 3.4324 0.0776 0.2746 0.2746 0.2727 0.9931
22 3.5809 -0.4209 -1.4889 1.4889 -1.2033 0.8082
23 3.4360 -0.1960 -0.6932 0.6932 -0.6631 0.9567
24 3.4817 -2.3317 -8.2480 8.2480 0 0
25 3.2333 0.1667 0.5897 0.5897 0.5712 0.9686
26 3.3184 -0.1184 -0.4187 0.4187 -0.4121 0.9841
27 3.1910 0.2390 0.8454 0.8454 0.7912 0.9359
28 3.4180 -0.2380 -0.8418 0.8418 -0.7883 0.9365
29 3.4902 -0.0602 -0.2129 0.2129 -0.2120 0.9959
30 3.3110 -0.6610 -2.3381 2.3381 -1.3185 0.5639
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
148 3.5587 0.2013 0.7122 0.7122 0.6797 0.9543
149 3.1922 0.4378 1.5485 1.5485 1.2286 0.7935
150 3.4186 -0.1986 -0.7023 0.7023 -0.6711 0.9556
50
Lampiran 12
Hasil Perhitungan Nilai Estimasi, Nilai Residual dan Nilai Pembobot
untuk Iterasi Kesembilan
𝒊 𝒀 𝒆𝒊
(𝟗)
= 𝒀𝒊 − 𝒀 𝒊(𝟗)
𝒆𝒊
∗ =𝒆𝒊
(𝟗)
𝝈 𝒔 |𝒆𝒊
∗| 𝝍(𝒆𝒊∗) 𝒘𝒊
(𝟗)=
𝝍(𝒆𝒊∗)
𝒆𝒊∗
1 3.5013 -2.2013 -7.7868 7.7868 0 0
2 3.5455 -0.1355 -0.4792 0.4792 -0.4692 0.9792
3 3.4696 -0.1696 -0.6000 0.6000 -0.5805 0.9675
4 3.2986 0.2514 0.8891 0.8891 0.8262 0.9293
5 3.4322 0.2378 0.8412 0.8412 0.7878 0.9366
6 3.2130 -1.7930 -6.3422 6.3422 0 0
7 3.3277 -0.2977 -1.0531 1.0531 -0.9494 0.9015
8 3.2174 0.2826 0.9997 0.9997 0.9107 0.9110
9 3.3974 -0.2374 -0.8399 0.8399 -0.7868 0.9368
10 3.4298 0.1702 0.6019 0.6019 0.5822 0.9673
11 3.4306 -0.2506 -0.8865 0.8865 -0.8242 0.9297
12 3.5447 0.3053 1.0799 1.0799 0.9682 0.8966
13 3.3413 -0.3413 -1.2073 1.2073 -1.0523 0.8716
14 3.5312 0.0088 0.0311 0.0311 0.0311 0.9999
15 3.5721 0.0979 0.3464 0.3464 0.3426 0.9891
16 3.2879 0.2221 0.7857 0.7857 0.7421 0.9445
17 3.3133 -0.3133 -1.1081 1.1081 -0.9876 0.8912
18 3.4124 -0.3524 -1.2465 1.2465 -1.0763 0.8634
19 3.3524 -0.2224 -0.7866 0.7866 -0.7429 0.9444
20 3.4875 -0.2075 -0.7339 0.7339 -0.6983 0.9515
21 3.4324 0.0776 0.2746 0.2746 0.2727 0.9931
22 3.5809 -0.4209 -1.4889 1.4889 -1.2033 0.8082
23 3.4360 -0.1960 -0.6932 0.6932 -0.6631 0.9567
24 3.4817 -2.3317 -8.2480 8.2480 0 0
25 3.2333 0.1667 0.5897 0.5897 0.5712 0.9686
26 3.3184 -0.1184 -0.4187 0.4187 -0.4121 0.9841
27 3.1910 0.2390 0.8454 0.8454 0.7912 0.9359
28 3.4180 -0.2380 -0.8418 0.8418 -0.7883 0.9365
29 3.4902 -0.0602 -0.2129 0.2129 -0.2120 0.9959
30 3.3110 -0.6610 -2.3381 2.3381 -1.3185 0.5639
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
148 3.5587 0.2013 0.7122 0.7122 0.6797 0.9543
149 3.1922 0.4378 1.5485 1.5485 1.2286 0.7935
150 3.4186 -0.1986 -0.7023 0.7023 -0.6711 0.9556
51
Lampiran 13
Output Regresi Robust Estimasi MM
Data
The ROBUSTREG Procedure
Model Information
Data Set IN.ABC
Dependent Variable Y
Number of Independent Variables 6
Number of Observations 150
Method MM Estimation
Number of Observations Read 150
Number of Observations Used 150
Data
The ROBUSTREG Procedure
Diagnostics Summary
Observation
Type Proportion Cutoff
Outlier 0.0200 3.0000
Goodness-of-Fit
Statistic Value
R-Square 0.1429
AICR 106.7603
BICR 134.2688
Deviance 9.5677
52
Lampiran 14
Output Hasil Estimasi Menggunakan OLS
Regression Variables Entered/Removed
b
Model Variables Entered Variables Removed Method
1 X6, X4, X5, X2, X1, X3a . Enter
a. All requested variables entered.
b. Dependent Variable: Y
Model Summaryb
Model R R Square Adjusted R
Square Std. Error of the
Estimate
1 .275a .075 .037 .40058
a. Predictors: (Constant), X6, X4, X5, X2, X1, X3
b. Dependent Variable: Y
ANOVAb
Model Sum of Squares df Mean Square F Sig.
1 Regression 1.871 6 .312 1.943 .078a
Residual 22.947 143 .160
Total 24.818 149
a. Predictors: (Constant), X6, X4, X5, X2, X1, X3
b. Dependent Variable: Y
Coefficientsa
Model Unstandardized Coefficients
Standardized Coefficients t Sig.
B Std. Error Beta
1 (Constant) 1.695 .757 2.239 .027
X1 -.009 .041 -.019 -.218 .828
X2 .096 .046 .170 2.062 .041
X3 .015 .038 .034 .390 .697
X4 -.047 .046 -.089 -1.038 .301
X5 .109 .059 .150 1.839 .068
X6 .040 .042 .081 .960 .339
a. Dependent Variable: Y
top related