penapisan pada domain frekuensi (2)

Dr. Fitri ArniaMultimedia Signal Processing Research

Group (MuSig)Jurusan Teknik Elektro-UNSYIAH

Penapisan Pada Domain Frekuensi (2)

OutlineLatar BelakangKonsep DasarSampling dan Transformasi Fourier dari

Fungsi TersampelTransformasi Fourier Diskrit (TFD) 1

VariabelTFD 2 VariabelSifat-sifat TFD 2 VariabelDasar Penapisan pada Domain Frekuensi

Menurunkan TFD dari Fungsi Kontinyu F~ merupakan besaran analog

n

Tnjn

n

tj

n

tj

tj

ef

dteTnttf

dteTnttf

dtetfF

2

2

2

2~~

Penyamplingan F~Ambil nilai sampling dalam 1

periode dari

Dengan interval

F~

Tsampai

10

1,2,1,0

MmTMm

Cont

1,2,1,0

MmTMm

Masukkan persamaan di atas ke , diperoleh

F~

1,2,1,01

0

/2

MmefFM

n

Mmnjnm

Discrete Fourier Transform (Transformasi Fourier

Diskrit)

Transformasi Fourier Diskrit

1,,2,1,0

1,2,1,0

1

0

/2

1

0

/2

MxexfuF

MmefF

M

x

Muxj

M

n

Mmnjnm

Transformasi Fourier Diskrit Balik

1,,2,1,01

1,2,1,01

1

0

/2

1/2

MxeuFM

xf

MneFM

f

M

u

Muxj

M

om

Mmnjmn

Hubungan antara sampling dan Interval FrekuensiJika f(x) terdiri dari M cuplikan yang

diambil dengan jarak ∆T satu sama lain, durasi sekumpulan {f(x)}, x = 0,1,2,…M-1 adalah T = M ∆T

Dan spasi pada domain frekuensi ∆u adalah ∆u = 1/(M ∆T) = 1/T

Range frekuensi yang ditempati semua M komponen dari DFT adalah Ω = M∆u = 1/ ∆T Resolusi

Frekuensi

Perhitungan DFTCarilah Inverse DFT (Transformasi

Fourier Diskrit balik) dari gambar di bawah ini:

OutlineLatar BelakangKonsep DasarSampling dan Transformasi Fourier dari

Fungsi TersampelTransformasi Fourier Diskrit (TFD) 1

VariabelTFD 2 VariabelSifat-sifat TFD 2 VariabelDasar Penapisan pada Domain Frekuensi

Pulsa Diskrit 2-D

“Kotak” dan Spektrumnya

Deretan Pulsa 2-D

Transformasi Fourier 2-D

Aliasing Pada Citra (1)Kita hanya bisa mencuplik citra

pada durasi tertentu (segiempat pada 1-D), akibatnya, FT dari fungsi kotak (fungsi sinc) akan selalu “ada” sampai tak terhingga.

Hal yang sama terjadi pada citra.Akibatnya: Aliasing juga tak

terhindari.

Aliasing pada Citra (2)Ada 2 macam:

Spatial Aliasing (karena undersampling)

Temporal Aliasing (video), “wagon wheel” effect.

Desimasi/Interpolation

Spatial Aliasing

a. Citra Asli dengan efek aliasing yang

minim

b. Citra yang telah dikecilkan (desimasi) dan diinterpolasi. Efek

aliasing tampak

c. Citra (a.) yang diblurkan dengan filter

3x3 sebelum di kecilkan

Spatial Aliasing (Jaggies)

a. Citra Asli b. Citra dengan “jaggies”. Karena di

kecilkan sampai 25%

c. Citra yang di low pass filter (5x5)

sebelum di dengan kecilkan.

OutlineLatar BelakangKonsep DasarSampling dan Transformasi Fourier dari

Fungsi TersampelTransformasi Fourier Diskrit (TFD) 1

VariabelTFD 2 VariabelSifat-sifat TFD 2 VariabelDasar Penapisan pada Domain Frekuensi

Sifat 1: Periodik dan Translasi(1)

0/2 0 uuFexf Mxuj

Seperti pada kasus 1-D, TFD dan TFDB pada 2-D juga periodik dengan periode tak terbatas.

Perkalian dengan exp (domain waktu) = translasi (domain frekuensi)

Sifat 1: Periodik dan Translasi(2)

2/1 MuFxf x

Jika u0 = M/2, maka suku exp –nya menjadi: ejx

Untuk x bil. bulat, ejx = (-1)x, sehingga

Sifat 1: Periodik dan Translasi(3)

F(u-M/2)

Sifat 1: Periodik dan Translasi 2-D(1)

F(0,0)

N

-M

-N

M

N/2

M/2

Sifat 2: Spektrum Fourier dan Sudut Fasa

vujevuFvuF ,|,|,

Pada umumnya TFD 2-D adalah kompleks, karena itu dapat dinyatakan dalam bentuk polar sbb:

Magnitudenya: , disebut juga spektrum (Fourier) frekuensi.

Sudut fasanya:

2122 ,,|,| vuIvuRvuF

vuRvuIvu,,arctan,

vuIvuR

vuFvuP

,,

|,|,22

2

Dan spektrum dayanya adalah:

Spektrum Frekuensi (Fourier)

a. Citra asli b. Spektrum

Fourier

c. Spektrum Fourier setelah citra asli di kalikan dengan (-1)x+y

d. Spektrum pada gambar (c ) yang dinormalisasi

Spektrum Frekuensi (Fourier)a. b. Spektrum

dari gambar (a)

b.d. Spektrum dari gambar (c)

Fasa Fourier

Fasa dan Spektrum Fourier

Fasa woman Citra fasa woman

Citra Magnitude

woman

Fasa woman + magnitude

strip

Fasa strip + magnitude

woman

woman

Terimakasih