pelat cangkang
Post on 02-Feb-2016
217 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
1. Turunkan dengan seksama dari mana persamaan pelat
Penyelesaian:
Dimana:
Persamaan (4) dan (5) disubsitusikan ke persamaan (3):
δ( δ Myxδy+ δ Mxδx )
δx+δ (−δ Mxyδx
+ δ Myδy )
δy+q=0
∂4w∂ x4
+ ∂4w∂ x2∂ y2
+ ∂4w∂ y4
= qD
∑ x=0⇒ δ Myxδy
+ δ Mxδx
−Qx=0 …(1 )
∑ y=0⇒ δ Mxyδx
− δ Myδy
−Qy=0 …(2)
∑ z=0⇒ δQxδx
+ δQyδy
+q=0 …(3 )
Qx=δ Myxδy
+δ Mxδx
…(4 )
Qy=−δ Mxyδx
+δ Myδx
…(5 )
Mx=−D(δ2w
δx2+υδ2w
δy2 ) ¿}My=−D(δ2w
δy2+υδ2w
δx2 ) ¿}¿¿⋯(6 )¿
δQxδx
+ δQyδy
+q=0
δ2Myxδxδy
+ δ2Mxδx2
− δ2Mxyδxδy
+ δ2Myδy2
=−q
Persamaan (6) disubsitusikan ke persamaan (7):
Maka diperolehlah :
Myx=−Mxy
δ2Mxδx2
−2δ2Mxyδxδy
+ δ2Myδy2
=−q ⋯(7 )
δ2(−D( δ2w
δx2+υδ2w
δy2 ))δx2
+
δ2(−D( δ2w
δy2+υ
δ2w
δx2 ))δx2
−2δ2D(1−υ )
δ2wδxδy
δxδy=−q
⇔
δ2(−D ( δ2w
δx2+υ
δ2w
δy2 ))δx2
+
δ2(−D ( δ2w
δy2+υ
δ2w
δx2 ))δx2
−2δ2D(1−υ )
δ2wδxδy
δxδy=−q
⇔
−Dδ2(( δ2w
δx2+υδ2w
δy2 ))δx2
+
−Dδ2(( δ2w
δy2+υ
δ2w
δx2 ))δx2
+(−D )2δ2(1−υ )
δ 2wδxδy
δxδy=−q
⇔
δ2(( δ2w
δx2+υ
δ2w
δy2 ))δx2
+
δ2(( δ2w
δy2+υδ2w
δx2 ))δx2
+2δ2(1−υ )
δ2wδxδy
δxδy=qD
⇔ δ4wδx4
+υ δ4wδx2 δy2
+ δ4wδy4
+υ δ4wδy2δx2
+(2−2υ ) δ
4wδxδy
δxδy= qD
⇔ δ4wδx4
+ δ4wδy4
+2υδ4wδy2 δx2
+ 2δ4wδy2 δx2
−2υδ4wδy2 δx2
= qD
δ4wδx4
+ 2δ4wδy2δx2
+ δ4wδy4
= qD
2. Pelat, tebal 12 cm, Fc = 30 Mpa, beban hidup 250 kg/m2. Hitung dan gambarkan Mx(max), My(max) dengan Wmax, dengan teori Hirschfeld, Navier, M. Levy, Stiglat/Wipper dan Pieper/Martins. Berikan masukan dan kesimpulan. Jika diketahui Ly = 4 m, Lx = 5 m dan kondisi perletakan sederhana.
Penyelesaian:a. Teori Hirschfeld
Beban mati (WD)Berat sendiri pelat = 0,12 x 24 = 2,88 kN/m2
Beban hidup (WL)WL = 250 Kg/m2 = 2,50 kN/m2 Beban Total (WU)WU = WD + WL = 2,88 + 2,50 = 5,38 kN/m2
Ly
Lx
ε= LyLx
=45=0 .8
k= ε 4
1+ε4= 0 .84
1+0 .84=0 ,291
I= 112bh3= 1
12(1000)(120 )3=144 x 106 mm4
E=4700√ fc '=4700√30= 25742 ,96 MPa
Arah Y
Arah X
Gambar Momen:
Lendutan
Lx = 5 m
Mx = 489,244 kgm
Ly = 4 m
762,884 kgm
P y=(1 – K)p =(1 – 0,291) 538 = 381,442 kg/m
M y=18Py Ly2=1
8381, 442 x ( 4 )2 =762,884 kgm
Px= K x p = 0,291 x 538 = 156,558 kg/m
M x=18Px Lx 2=1
8156 ,558 x (5)2=489 ,244 kgm
δ=5384
WuL4
EI
=5384
538 ( 4 )4
(23500 x 105 ) 1 ,44 x 10−4
=0 ,005299 m = 5 ,299 mm
δ= L480
= 4000480
=8 ,33 mm
δ ≤ δ = 5 ,299 mm ≤ 8 ,33 mm O .K !!
b. Metode NavierElastis Beton
Kekakuan Pelat
Lendutan Maksimx y m n a = Lx b = Ly mn
2,5 2 1 1
5 4
0,04 0,0625 1 0,2 0,25 95,1814402,5 2 3 3 0,36 0,5625 9 0,6 0,75 0,1305642,5 2 5 5 1 1,5625 25 1 1,25 0,0060922,5 2 7 7 1,96 3,0625 49 1,4 1,75 0,0008092,5 2 9 9 3,24 5,0625 81 1,8 2,25 0,0001792,5 2 11 11 4,84 7,5625 121 2,2 2,75 0,0000542,5 2 13 13 6,76 10,5625 169 2,6 3,25 0,0000202,5 2 15 15 9 14,0625 225 3 3,75 0,0000082,5 2 17 17 11,56 18,0625 289 3,4 4,25 0,0000042,5 2 19 19 14,44 22,5625 361 3,8 4,75 0,0000022,5 2 21 21 17,64 27,5625 441 4,2 5,25 0,0000012,5 2 23 23 21,16 33,0625 529 4,6 5,75 0,0000012,5 2 25 25 25 39,0625 625 5 6,25 0,000000
2,5 227 27 29,16 45,5625 729 5,4
6,750,000000
95,319174
E=6000√30=32863 ,35N /mm2=3 ,29×109 kg/m2
D= Eh3
12 (1−v2 )=
3 ,29×109×(0 ,12)3
12(1−0,22 )=493 .500 kgm
Momen Maximumx y m n a = Lx b = Ly Wmn
2,5 2 1 1
5 4
0,04 0,0625 0,001734097 0,2 0,25 0,0000910402,5 2 3 3 0,36 0,5625 2,37873E-06 0,6 0,75 0,0000011242,5 2 5 5 1 1,5625 1,10982E-07 1 1,25 0,0000001462,5 2 7 7 1,96 3,0625 1,47396E-08 1,4 1,75 0,0000000382,5 2 9 9 3,24 5,0625 3,26301E-09 1,8 2,25 0,0000000142,5 2 11 11 4,84 7,5625 9,78853E-10 2,2 2,75 0,0000000062,5 2 13 13 6,76 10,5625 3,59264E-10 2,6 3,25 0,0000000032,5 2 15 15 9 14,0625 1,52239E-10 3 3,75 0,0000000022,5 2 17 17 11,56 18,0625 7,18423E-11 3,4 4,25 0,0000000012,5 2 19 19 14,44 22,5625 3,68597E-11 3,8 4,75 0,0000000012,5 2 21 21 17,64 27,5625 2,02189E-11 4,2 5,25 0,000000000
2,5 2 23 23 21,16 33,0625 1,1714E-11 4,6 5,75 0,000000000
2,5 2 25 25 25 39,0625 7,10286E-12 5 6,25 0,0000000002,5 2 27 27 29,16 45,5625 4,47601E-12 5,4 6,75 0,000000000
0,000092376
Momen Arah X
Wmaks=16q0
π6 D
sinmπxa
. sinnπyb
m .n . (m2
a2+ n
2
b2 )2=1 ,737 mm
x y m n a = Lx b = Ly Wmn
2,5 2 1 1
5 4
0,04 0,0625 0,001734097 0,2 0,25 0,0001222542,5 2 3 3 0,36 0,5625 2,37873E-06 0,6 0,75 0,0000015092,5 2 5 5 1 1,5625 1,10982E-07 1 1,25 0,0000001962,5 2 7 7 1,96 3,0625 1,47396E-08 1,4 1,75 0,0000000512,5 2 9 9 3,24 5,0625 3,26301E-09 1,8 2,25 0,0000000192,5 2 11 11 4,84 7,5625 9,78853E-10 2,2 2,75 0,0000000082,5 2 13 13 6,76 10,5625 3,59264E-10 2,6 3,25 0,0000000042,5 2 15 15 9 14,0625 1,52239E-10 3 3,75 0,0000000022,5 2 17 17 11,56 18,0625 7,18423E-11 3,4 4,25 0,0000000022,5 2 19 19 14,44 22,5625 3,68597E-11 3,8 4,75 0,0000000012,5 2 21 21 17,64 27,5625 2,02189E-11 4,2 5,25 0,0000000012,5 2 23 23 21,16 33,0625 1,1714E-11 4,6 5,75 0,0000000012,5 2 25 25 25 39,0625 7,10286E-12 5 6,25 0,0000000002,5 2 27 27 29,16 45,5625 4,47601E-12 5,4 6,75 0,000000000
0,000124048
Momen Arah Y
Gambar Momen:
Mx=π2D [(m /a)2+υ (n/b )2] . amn sin (mπx /a) . sin (nπy /b )Mx=448 ,973Kgm
My=π 2D [(n/b )2+υ (m /n )2] . amn sin (mπx /a) . sin (nπy /b )My=602 ,9092kgm
Ly = 4 m My= 602,9092 kgm Lx = 5 m
Mx = 448,973 kgm
c. Metode M. LevyElastis Beton
Kekakuan Pelat
Lendutan Maximum
Momen Maximum
Arah X
Arah Y
E=6000√30=32863 ,35N /mm2=3 ,29×109 kg/m2
D= Eh3
12 (1−v2 )=
3 ,29×109×(0 ,12)3
12(1−0,22 )=493 .500 kgm
Wmaks= 5qa4
384D−4qa4
π5D
(−1 )m−1
2
m5.αm .tgh αm+2
2 cosh αm⇒m=1
Wmaks=5(538 )(5)4
384 (493500 )−
4(538 )54
π5 493500
(−1)1−12
15.1 ,256. tgh 1,256+22 cosh1 ,256
⇒αm=mπ (4 )2×5
=1 ,256
Wmaks=8 ,872×10−3−7 ,215×10−3=1 ,65×10−3 m=1 ,65 mm
Mx=qx (a−x )
2−qa2 π2 ∑
m=1,3,5
m2 [2υ Bm−(1−υ )Am ]sinhmπxa
Am=2(αm tanhαm+ 2¿
π5m5 cosh αm=
2(1,256 tanh1 ,256+2 )3 ,145 15 cosh1 ,256
=0 ,0106 ¿
Bm= 2
π5m5 cosh αm= 2
3 ,145 15 cosh 1 ,256=0 ,00345
Mx=(538)(2,5 )(5−2,5)2
−538(5)23 ,142(12 )[2(0,2 )0 ,00345−(1−0,2)0 ,0106 ] sinh1π 2,55
Mx=1681 ,25+2164 ,9=3846 ,15 kgm
Gambar Momen:
d. Metode Stiglat/ WipperMomen Maximum
Berdasarkan tabel 2 Bab VI Hilfstafeln, diperoleh:
Momen Maximum Arah X
Lx = 5 m
Mx = 3846,15kgm
Ly = 4 m -
2786,1kgm
My=υqx (a−x )
2−qa2 π2 ∑
m=1,3,5
m2 [2 Bm+(1−υ )Am ]sinhmπxa
My=0,2(538)2(4−2 )2
−(538)( 4 )23 ,142(12 ) [2(0 ,00345)+(1−0,2)0 ,0106 ]sinh1π 24
My=215 ,2−3001 ,3=−2786 ,1 kgm
υ=0,2
lxly
=54=1,25
α xf=22 ,35 ¿ }¿¿ interpolasi ¿
maxMx=538(5) .(4 )( 122,35
+ 0,237 ,55 )=538 ,74 kgm
Momen Maximum Arah Y
Gambar Momen:
LendutanK= Eh3
12 (1−μ2 )=
25742,96(0,123)12 (1−0,22)
=3,86144Mpa=386144Kgm
W=P a4(5+μ)64 K (1+μ)
=538 (22 )(5+0,2)
64 (386144 )(1+0,2)=1,509 x10−3m
e. Metode Pieper/ MartinsBerdasarkan tabel 3 Bab VI Hilfstafeln, diperoleh:
Ly = 4 m 382,84 kgm
Lx = 5 m
Mx = 538,74 kgm
maxMy=538(5 ).( 4 )( 137 ,55
+ 0,222 ,35 )=382 ,84 kgm
f x=17 ,95 ¿}¿¿ interpolasi ¿
Momen maximum arah X
Momen maximum arah Y
Gambar momen:
LendutanK= Eh3
12 (1−μ2 )=
25742,96(0,123)12 (1−0,22)
=3,86144Mpa=386144Kgm
W=P a4(5+μ)64 K (1+μ)
=538 (22 )(5+0,2)
64 (386144 )(1+0,2)=1,509 x10−3m
Tabel AkumulasiMetode Momen Maksimum Lendutan Keteranga
Lx = 5 m
Mx = 749,303kgm
Ly = 4 m
448,33 kgm
M xf=q . L
x2
f x=
538 . (5 )2
17 ,95=749 ,303 Kgm
M yf=q . Lx2
f y=
538 . (5)2
30=448 ,33 Kgm
(mm) W= L480
(mm) nMx (Kgm) My (Kgm)Hirschfeld 8,333Navier 8,333M. Levy 8,333Stiglat 382,84 538,74 1,509 8,333Pieper 448,33 749,30 1,509 8,333
Kesimpulan1) Momen terbesar dihasilkan oleh perhitungan dengan menggunakan metode Hirschfeld dibandingkan dengan metode yang lainnya.2) Dengan menggunakan metode Hirschfeld, konstruksi lebih aman dalam perencanaan, momen Mx dan My lebih besar dibandingkan dengan metode lainnya. Sedangkan lendutan dari perhitungan dengan menggunakan metode Hirschfeld relatif lebih kecil dari perhitungan metode lainnya.3) Dengan menggunakan momen yang besar dari hasil perhitungan metode Hirschfeld maka konstruksi tidak akan ekonomis karena jumlah tulangan pelat yang digunakan akan lebih banyak.
3. Soal 2, jika perletakan seluruh sisinya jepit. Hitung dan gambarkan Mx(max), My(max) dengan Wmax, dengan teori Hirschfeld, Stiglat/Wipper, dan Pieper /Martins. Berikan Masukan dan kesimpulan.Penyelesaian:a. Teori Hirschfeld
ε= LyLx
=45=0 .8
k= ε 4
1+ε4= 0 .84
1+0 .84=0 ,291
Beban mati (WD)Berat sendiri pelat = 0,12 x 24 = 2,88 kN/m2
Beban hidup (WL)WL = 250 Kg/m2 = 2,50 kN/m2 Beban Total (WU)WU = WD + WL = 2,88 + 2,50 = 5,38 kN/m2
Arah Y
Arah XPx = K x p = 0,291 x 538 = 156,558 kg/m
I= 112bh3= 1
12(1000)(120 )3=144 x 106 mm4
E=4700√ fc '=4700√25= 23 .500 MPa
Py =(1 – K )p =(1 – 0,291 ) 538 = 381,442 kg/m
M jepit=112Py Ly2=
112
381 ,442 x (4 )2
=508 ,589 kgm
M lapangan=124
Py Ly2=124
381 ,442 x (4 )2
=254 ,295 kgm
M jepit=112Px Lx2=
112
156 ,558 x (5 )2
=326 ,162 kgm
M lapangan=124
Px Lx2=124
156 ,558 x (5)2
=163 ,081 kgm
Gambar momen:
Lx = 5m
Mx = 163,081 kgm
Mx = 326,162 kgm
Ly = 4 m
My = 254,295 kgm
My = 508,589kgm
Lendutan
b. Metode Stiglat/ WipperMomen Maximum
Berdasarkan tabel 2 Bab VI Hilfstafeln, diperoleh:
Momen Lapangan Arah X
Momen Lapangan Arah Y
Berdasarkan tabel 2 Bab VI Hilfstafeln, diperoleh:
δ=1384
WuL4
EI
=1384
538 ( 4 )4
(23 . 500 x 105 ) 1 ,44 x 10−4
=0 ,00106 m= 1 ,06 mm
δ= L480
= 4000480
=8 ,33 mm
δ ≤ δ = 1 ,06 mm≤ 8 ,33 mm O .K !!
υ=0,2
lxly
=54=1,25
α xf=46 ,3 ¿ }¿¿ interpolasi ¿
max lapangan Mx=538(5 ).( 4 )( 146 ,3
+ 0,287 ,3 )=257 ,05 kgm
max lapangan My=538(5 ). (4 )( 187 ,3
+ 0,246 ,3 )=169 ,73 kgm
α xs=−18 ,7 ¿ }¿¿ interpolasi ¿
Momen Tumpuan Arah X
Momen Tumpuan Arah Y
c. Metode Pieper/ MartinsBerdasarkan tabel 3 Bab VI Hilfstafeln, diperoleh:
Momen Lapangan arah X
Momen Lapangan arah Y
Berdasarkan tabel 3 Bab VI Hilfstafeln, diperoleh:
Momen maximum arah X
max tumpuan Mx=538(5) .(4 )( 1−18 ,7
+ 0,2−22,2 )=−154 ,48 kgm
max tumpuan My=538(5 ).( 4 )( 1−22 ,2
+ 0,2−18 ,7 )=−599 ,76 kgm
f x=24 ,2¿ }¿¿ interpolasi ¿
M xf=q . L
x2
f x=
538 . (5 )2
24 ,2=555 ,785 Kgm
M yf=q . L
x2
f y=
538 . (5 )2
41 ,95= 320 ,62 Kgm
S x=15 ¿}¿¿ interpolasi ¿
M xs=−q . L
x2
s x=−
538 . (5 )2
15=−896 ,667 Kgm
Momen maximum arah YM ys=−
q .Lx2
s y=−
538 . (5)2
17 ,75=−757 ,75Kgm
top related