pelat 2 arah(pelat cangkang)

21

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

Bab III . Perletakan pada pelat

Pada pelat dikenal juga beberapa perletakan yang dapat dilihat pada gambar 1. Pada

umumnya pelat yang banyak dipakai adalah dengan perletakan kaku (rigid). Namun tidak

tertutup kemungkinan dilapangan ada yang dipakai perletakan lainnya.

Kondisi perletakan bebas sisi tanpa

perletakan.

Perletakan sederhana

Perletakan kaku (rigid)

Perletakan elastis.

Gambar 1 : beberapa jenis perletakan pada pelat

Kondisi beban pada pelat ada beberapa jenis seperti pada Gambar 2.

Beban terbagi rata (uniformly

dis distributed load over entire area)

Beban terbagi rata ditempat tertentu

(uniformly distributed load over

part of area)

Line load (beban garis)

Beban terpusat (concentrated load)

Gambar 2 : Jenis-jenis beban yang bekerja pada pelat.

22


3.1 Pelat Isotropic dengan Lendutan kecil (2 arah)

Pada bab ini diperkenalkan pelat isotropic dengan lendutan kecil. Gaya dalam yang bekerja

pada pelat dapat dilihat pada gambar 3.

Persyaratan : - material elastis

- berlaku hukum Hooke

- tebal pelat konstant

- tebal pelat kecil disbanding sisi yang lain

- material homogen

- tidak bekerja gaya normal.

NX = NY = QXY = QYX = 0 persyaratan pelat.

Gambar 3 : Gaya dalam pada pelat dua arah dengan lendutan kecil.

Gaya dalam yang bekerja pada pelat adalah Mx, Mxy, Qx, My, Myx dan Qy. Keenam gaya

inilah yang hendak diketahui besarannya sehingga dapat ditentukan dimensi yang aman

terhadap struktur pelat. Pada hitungan pelat ini tidak diperkenankan ada gaya Normal

Z

Y

X

NY QY

QYX

MY MYX

QXY

QX

NX

MXY

MX

23


3.2 Persamaan Differential pelat.

Untuk menghitung gaya-gaya dalam pelat maka perlu ditetapkan persamaan differential pelat

yang mana pada persamaan ini dapat ditentukan persamaan lendutan. Dari persamaan

lendutan nantinya dapat dicari hubungannya dengan Momen an Gaya Lintang, sehingga gaya

dalam itu kesemuannya dapat dihitung. Gaya-gaya dalam pelat dapat dilihat di gambar 4.

Gambar 4: Momen Lentur, Gaya Lintang dan Momen Torsi yakni di sbx Mx,

Qx dan Mxy sedangkan di sb Y My, Qy dan Myx.

Dengan membuat persamaan keseimbangan kesb X, sb Y dan Z maka diperoleh sbb:

Y

X

QX

QY

MY

MYX

MXY

MX

Z

24


ΣX = 0 + - QX = 0 ……… III. .a

ΣY = 0 - + QY = 0 ……… III. .b

ΣZ = 0 + + q = 0 ……… III. .c

dimana : Mx = - D ( + ν. )

My = - D ( + ν. )

Mxy = - Myx = D (1-ν) .

Qx = - D ( + )

Qy = - D ( + . )

Persamaan III.a dan III.b dmasukkan ke III.c

+ + - = - q

MYX = - MXY

Maka : + - 2 . = q. …………………. III.f

III.d dimasukkan ke III.f, maka berlaku :

+ 2. + =

Ini adalah persamaan umum pelat dimana q : beban terbagi rata, D: kekauan Pelat

dan w adalah lendutan pelat.

δMYX

δY

δMX

δX

δMXY

δX

δMY

δY

δQX

δX

δQY

δY

δ2 w

δX2

δ2 w

δY2

δ2 w

δY2

δ2 w

δX2

δ2 w

δX.δY

……….. III.d

δ2MX

δX2

δ2MyX

δX.δY δ

2MY

δY2

δ2MXy

δX.δY

δ2MX

δX2

δ2MY

δY2

δ2MXy

δX.δY

δ4 w

δX2

δ4 w

δX2δY

2

δ4 w

δX4

q

D

δ2 w

δX2

δ2 w

δY2

δ2 w

δY2

δ2 w

δX2

……….. III.e

δ

δX

δ

δy

PERSAMAAN KIRCHOFF

25


3.3. Hubungan Momen dengan Lendutan.

εx = - ν. σx = ( εx + ν. εy )

εy = - ν. σy = ( εy + ν. εx )

εx = ; εy =

maka : σx = ( + ν )

σy = ( + ν. )

∫ σx.z. dy.dz = Mx. dy Mx = D( + ν. ) = -D ( + ν. )

∫ σy.z. dx.dz = My. Dx My = D( + ν. ) = -D ( + ν. )

σn = σx. cos2

α + σy . sin2 α

τnt = ½ (σy – σz) . sin2 α

σx

E σy

E

σy

E σx

E

E

1 – ν 2

E

1 – ν 2

z

rx

z

ry

Ez

1 – ν2

1

rx 1

ry

Ez

1 – ν 2

1

ry

1

rx

1

rx

1

ry δ

2 w

δX2

δ2 w

δY2 -h

/2

h/2

-h/2

h/2 1

ry 1

rx δ

2 w

δY2

δ2 w

δX2

X

Y

dx

dy

α σx

σy

σn

Z Mn

Mnt τnt

h/2

26


Mn = ∫σn. z. dz = Mx. cos2

α + My. sin2 α

Mnt = -∫τnt.z. dz = ½ sin2 α (Mx – My)

= D(1-ν).

Mxy = D (1-ν)

3.4 Kondisi Batas (Boundary Coditions)

Kondisi perletakan pada pelat ada beberapa tipe. Dan penyelesaian lendutan akan sangat

bergantung kepada konsdisi perletakan pelat tersebut.

- Perletakan Rigid.

(w) = 0 ; ( ) = 0

- Perletakan sederhana.

(w) = 0 ; ( + v. ) = 0 ; (Δw) = 0

- Bebas

(Mx) = 0 ; (Mxy) = 0 ; Qx = 0

-h/2

-h/2

h/2

δ w2

δn. δt

δ w2

δx. δy

δw

δx x = a x = a

x = a

δ2w

δx2

δ2w

δy2 x = a x = a x = a

x = a x = a (x = a)

27


3.5 Pelat dengan tumpuan sederhana.

Dalam bab ini akan diturunkan dulu penyelesaian pelat dengan persamaan yang paling

senderhana yakni dengan beban sinussiodal dengan perletakan pelat sederhana.

3.5. 1 Beban Sinusoidal

Beban sinussoidal adalah yang paling simpel mengerjakan persamaan lendutannya, demikian

juga untuk mendapatkan gaya dalamnya.

Suatu pelat yang dibebani beban sinussoidal dapat dilihat digambar 5 dibawah, dimana

perletakan sederhana dengan lebar pelat a kearah x dan b kearah y. Dimana beban sinusoidal

adalah sebesar

+ 2. + = . Sin . Sin

Syarat batas w = 0, Mx = 0, untuk x = 0, dan x = a

w = 0, My = 0, untuk y = 0, dan y = b

q0

a

b

Y

X

δ4 w

δ x4

δ4 w

δx2δy

2

δ4 w

δ y4

q0

D

πx

a πy

b

Gambar 5:Pelat dengan beban

sinussoidal

28


Persamaan pelat dengan beban sinussoidal adalah sbb:

w = C. Sin . Sin

Dimana C : koefisien yang harus dicari dengan syarat batas.

w = C. Sin . Sin = C. . Cos . Sin

= - C. ( )2. Sin . Sin

= - C. ( )3. Cos . Sin

= - C. ( )4. Sin . Sin

dst, didapat …….. dan

dan dimasuk persamaan pelat diatas maka didapat

π4 ( + )

2 . C = C =

+ )

w = . Sin . Sin

+ )2

Persamaan ini adalah persamaan lendutan dengan beban sinussoidal.

Momen

Mx = - D ( + ν . )

Mxy = - Myx = D (1-ν)

My = - D ( + ν . )

πx

a πy

b

πx

a πy

b δ w

δ x

π

a

πx

a

πy

b

δ2 w

δ x2

π

a πx

a πy

b

δ3 w

δ x3

π

a πx

a πy

b

δ4 w

δ x4

π

a πx

a πy

b

1

a2

1

b2

q0

D

q0

π4. D (

1

a2

1

b2

q0

π4. D (

1

b2

1

a2

πx

a πy

b

δ2 w

δ x2

δ2 w

δ y2

δ2 w

δ y2

δ2 w

δ x2

δ2 w

δx.δy

δ4 w

δ y4

δ4 w

δ x 2

δ y2

29


Mx = .( + ). Sin . Sin

+ )2

My = . ( + ). Sin . Sin

+ )2

Mxy = . Cos . Cos

+ ) ab

(Mx)max. = .( + )

x = + )

wmax =

y = + ) (My)max. =

Gaya Lintang :

Qx = + = - D ( + )

Qy = - = - D ( + )

Qx = . Cos . Sin

πa ( + )

Qy = . Sin . Cos

πb ( + )

q0

1

b2

1

a2

π2 (

ν

b2

1

a2

πx

a πy

b

q0

1

b2

1

a2

π2 (

1

b2

ν

a2

πx

a πy

b

q0 (1-ν)

1

b2

1

a2

π2 (

πx

a

πy

b

a

2

a

2

q0

π4. D (

1

b2

1

a2

q0

π2 (

1

b2

1

a2

ν

b2

1

a2

q0

π

2 (

1

b2

1

a2 + )

.( 1

b2

ν

a2 + )

δ Myx

δy δ Mx

δx

δ

δx

δ2 w

δx2

δ2 w

δy2

δ My

δy δ Mxy

δx

δ

δx δ

2 w

δx2

δ2 w

δy2

q0

1

a2

1

b2

πx

a

πy

b

q0

1

a2

1

b2

πx

a

πy

b

30


Vx = (Qx - ) = - ( + ) . Sin

+

Vy = (Qy - ) =- ( + ). Sin

+

R = 2 (Mxy)x=a, y=b =

+ 2

contoh soal: Beban sinusoidal

Diketahui suatu pelat dengan modulus elastisitas E = 31 900 N/mm2, Tebal pelat h = 12

cm, υ = 0,2, qO=300 kg/m2

Hitung dan gambarkanlah a) Lendutan di y=2m, b) Momen MX di y= 2m , c) MY di x = 3m,

d) MXY di x= 0 m dan e) Vx pada x=0

a

b

R R

R

Y

X

Vy

Vx

δMxy

δy

q0

π a ( 1

a2

1

b2 )

1

a2

2 - ν

b2

πy

b x = a

δMxy

δy

q0

π b ( 1

a2

1

b2 )2

1

b2

2 - ν

a2

πx

a y = b

2 q0 (1-ν)

π2.a b ( 1

b2 ) 1

a2

31


Persamaan lendutan adalah

w = . Sin . Sin

+ )2

Dimana 2

3

112

EhD

kgmNmmxmmmmN

D 500.47810785.41

./.

)2,01(12

120.31900 932

2

3

4sin

6sin

4

1

6

1*478500*14.3

3002

22

4

yxw

= 0.0079 4

sin6

sinyx

x

y

a=6 m

b= 4 m

qo

0

q0

π4. D (

1

b2

1

a2

πx

a πy

b

32


Lendutan dihitung dengan M-Exel pada y = 2 m.

x y koef sin sin w (mm)

-

2.000

0.00079

-

1.000

-

1.000

2.000

0.00079

0.500

1.000

0.396

2.000

2.000

0.00079

0.866

1.000

0.685

3.000

2.000

0.00079

1.000

1.000

0.791

4.000

2.000

0.00079

0.866

1.000

0.685

5.000

2.000

0.00079

0.500

1.000

0.396

6.000

2.000

0.00079

0.000

1.000

0.000

Gambar lendutan

Lendutan maximum terjadi di tengah bentang yakni 0.791 mm

-

(0.396)

(0.685) (0.791)

(0.685)

(0.396)

(0.000)

w (mm)

w (mm)

33


Persamaan Mx

Dihitung dengan M-Exel

x y koef sin sin MX (y=2m)

-

2.000

150.450

-

1.000

-

1.000

2.000

150.450

0.500

1.000

(75.225)

2.000

2.000

150.450

0.866

1.000

(130.294)

3.000

2.000

150.450

1.000

1.000

(150.450)

4.000

2.000

150.450

0.866

1.000

(130.294)

5.000

2.000

150.450

0.500

1.000

(75.225)

6.000

2.000

150.450

0.000

1.000

(0.000)

Gambar bidang Momen pada y = 2 m, dimana Mx maximum adalah 150,450 kgm.

-

(75.225)

(130.294)

(150.450)

(130.294)

(75.225)

(0.000)

Mx pada y= 2

Series1

4sin

6sin*45,150

yxMx

34


Persamaan My

My dihitung dengan M-Exel

x y koef sin sin MY (x=2m) (kgm)

3.000

-

253.860

1.000

-

-

3.000

1.000

253.860

1.000

0.707

(179.506)

3.000

2.000

253.860

1.000

1.000

(253.860)

3.000

3.000

253.860

1.000

0.707

(179.506)

3.000

4.000

253.860

1.000

0.000

(0.000)

Momen dihitung dengan M-Exel My maximum adalah 253.860 kgm.

-

(179.506)

(253.860)

(179.506)

(0.000)

My pada x=3

4sin

6sin*86.253

yxMy

35


Persamaan Mxy

Mxy dihitung M-Exel didapat

x y koef cos cos Mxy (Kgm)

-

-

11.234

1.000

1.000

11.234

-

1.000

11.234

1.000

0.707

7.944

-

1.500

11.234

1.000

0.383

4.299

-

2.000

11.234

1.000

0.000

0.000

-

2.500

11.234

1.000

(0.383)

(4.299)

-

3.000

11.234

1.000

(0.707)

(7.944)

-

4.000

11.234

1.000

(1.000)

(11.234)

Gambar Mxy pada x=0.Mxy max adalah 11.234 pada (X,Y)=(0,0) dan pada (X,Y)=(0,4).

Pada (X,Y)=(0,2) Mxy adalah 0.

11.234

7.944

4.299

0.000

4.299

7.944

11.234

Mxy pada x=0

Series1

4cos

6cos234.11

yxMxy

36


Persamaan Vx

Vx pada x=0 atau x=a adalah

y (m) Vx (kg/m)

0 0.0

1 155.4

2 219.8

3 155.4

4 0.0

0.0

-155.4

-219.8

-155.4

0.0

Vx pada x=0 atau x= 6

37


Persamaan Vy pada y=0 dan y=b

Setelah dihitung dengan M-Exel didapat

X (m) VY (kg/m)

0 -

1 307

2 532

3 614

4 532

5 307

6 0

Gambar Vy adalah

-

(307)

(532)

(614)

(532)

(307)

0

Vy pada y=0 dan y=4 m

38


Reaksi pada sudut pelat, yang disebut juga gaya angkat.

R=248 kg

R

R R

R

39


Tugas 2:

Sebuah pelat dengan a m dan b m, dimana mengalami beban sinusoidal dengan qo

=300 kg/m2, dimana pelat E= dari tabel , fc’= 29 MPa

Hitung dan gambarkanlah a) Lendutan di y=1/2 a b) Momen MX di y= ½ a , c) MY di x =

½ b, d) MXY di x= 0 m , e) Vx f) Vy dan g) R.

Nim

akhir

a(m) b(m)

1,2 4 4

3.4 4 5

5.6 4 6

7,8 4 7

9,0 4 8

40


3.5.2 Pelat dengan tumpuan sederhana dengan Beban terbagi rata Cara Navier.

Dengan metode Navier

q = f (x,y)

f (x,y) = ∑ ∑ amn . sin . sin

Persamaan diatas dikalikan dengan sin . dy dan diintegralkan dari 0 ke b.

b

yn

b

yn

a

xma

b

xnyxf

m n

mn

bb '

1 10

'

0

sinsinsinsin*),(

∫sin . sin . dy = 0 n ≠ n'

∫sin . sin . dy = n = n'

∫f(x,y) . sin . dy = ∑ amn'. sin

∫ ∫f(x,y). sin . sin . dx. dy = . am'n'

am'n' = ∫ ∫f(x,y). sin . sin . dx. dy

maka : w = ∑ ∑ . Sin . Sin

+ 2

f(x,y) = q0 untuk beban merata

m =1 n =1

~ ~ mπx

a

nπy

b

n'πy

b

nπy

b

n'πy

b 0

b

nπy

b

n'πy

b 0

b b

2

0

b n'πy

b

b

2 m =1

~ mπx

a

m'πx

a

n'πy

b

ab

4 0

a

0

b

4

ab

a

0

b

0

m'πx

a

n'πy

b

1

π4D

~ ~

m =1 n =1

amn

m2

a2

( n2

b2 )

m'πy

a

n'πy

b

41


amn = ∫ ∫Sin . Sin . dx. dy =

w = ∑ ∑

dimana m = 1, 3, 5 …… dan n = 1, 3, 5, …….

Penjelasan:

4 q0

ab

a

0

b

0

mπx

a nπy

b

16 q0

π4.m.n

16 q0

π6D

~

m =1

~

n =1

Sin mπx

a .Sin nπy

b

m.n. ( m2

a2

+ n

2

b2 )2

42


No beban catatan

1 Terbagi rata

2 Segitiga

Dimana m dan

n=1,3,5…

3 Beban terbagi rata

ditempat tertentu

m,n, ganjil

4 Beban terpusat

m,n ganjil

x

y

c

d

p

a

b

43


5 Beban setengah

terbagi rata

6 Beban garis

m,n=1,2,3….

Beban terbagi rata:

Untuk tengah bentang x = dan y =

wmax. = ∑ ∑

Pelat bujur sangkar a = b wmax. = = 0,00416

ν = 0,3

maka : wmax. = 0,0454.

16 q0

π6D

~

m =1

~

n =1

(-1) m + n

2 -1

m. n . ( m2

a2

n2

b2 )2 +

a

2

b

2

4 q0. a4

π6.

D

q0. a4

D

q0. a4

E h3

x

y

44


Secara umum persamaan pelat adalah

Untuk poission ration v = 0 isilah tabel dibawah

1 0.0416

2 ……..

3 ………

4 ………

5 ………

6 ………

7 ………

contoh soal:Navier

Diketahui mutu Beton K 300

Tebal pelat h = 12 cm, υ = 0,2, q=300 kg/m2

Hitung lendutan yang terjadi.

b = 4 M

X

Y

a = 6 M

45


w = ∑ ∑

dimana m = 1, 3, 5 …… dan n = 1, 3, 5, …….

0q 300 kg/m2

E=30000MN/m2, h=0.12 m, υ=0.2

)1(12 2

3

EhD =

)2.01(12

12.0*300002

3

=4.5 MNm=450 kgm

Pada x=3 m, y=2 m

-

4.32

7.48

12.38

7.48

4.32

0.00

Lendutan pada y=2 m

16 q0

π6D

~

m =1

~

n =1

sin .sin nπy

b

m.n. ( m

2

a2

+ n

2

b2 )2

mπx

a

1 1

2

2

2

2

2

46

4sin

6sin

0111.0m n nm

mn

ynxm

w

18


m=1 n=1 m=1 n=1

m=1, n=1 m=3 n=3 m=3 n=3

m=3,n=3 w (m) w(mm)

x y koef sin sin

sinmπx/6 sin n

0 2 0.0111 0 1.000 2.8E-

02 6.3E-

02 1.056 0.00 0 -1.000 0.250 6E-01 6E+00 0.000000 0.000E+00 -

1 2 0.0111 0.5 1.000 2.8E-

02 6.3E-

02 1.056 0.47 0.5 -1.000 0.250 6E-01 6E+00

-0.084155 4.320E-03

4.32

2 2 0.0111 0.866 1.000 2.8E-

02 6.3E-

02 1.056 0.82 0.86603 -1.000 0.250 6E-01 6E+00

-0.145761 7.482E-03

7.48

3 2 0.0111 1 1.000 2.8E-

02 6.3E-

02 1.056 0.95 -1 -1.000 0.250 6E-01 6E+00 0.168310 1.238E-02

12.38

4 2 0.0111 0.866 1.000 2.8E-

02 6.3E-

02 1.056 0.82 0.86603 -1.000 0.250 6E-01 6E+00

-0.145761 7.482E-03

7.48

5 2 0.0111 0.5 1.000 2.8E-

02 6.3E-

02 1.056 0.47 0.5 -1.000 0.250 6E-01 6E+00

-0.084155 4.320E-03

4.32

6 2 0.0111 1E-16 1.000

2.8E-02

6.3E-02 1.056 0.00 -7.4E-16 -1.000 0.250

6E-01 6E+00 0.000000 2.661E-18

0.00

18


.......17.095.011.1

46*

4sin

6sin

5.4*

300*16

1 12

2

2

2

26

m n nmnm

ynxm

w

0.0124 m = 1.24 cm

Sedangkan Momen

Mx = π2 DΣ Σ [ (m/a)

2 + ν (n/b)2 ] amn Sin (m πx/a). Sin(n πx/b)

My = π2 DΣ Σ [ (n/b)

2 + ν (m/n)2 ] amn Sin (m πx/a). Sin(n πx/b)

Mxy = - π2 D(1- ν2 )Σ Σ [ (mn/ab)

2 ] amn cos (m πx/a). cos (n πx/b)

Pada beban terbagi rata

lihat tabel diatas dengan beban lainnya

Mx=

b/a

1 ???????

2

3

4

5

6

7

~~

~~

~~

m=1

m=1

m=1

n=1

n=1

n=1

19


3.5.3 Beban terbagi rata dengan cara M. Levy

M. Levy w = ∑ Ym . Sin

w = w1 + w2

w1 = (x4 – 2 ax

3 + a

3 x)

w1 defleksi kearah sumbu X

Keungulan M.Levy, bisa untuk berbagai kondisi perletakan.

Sedangkan Navier hanya perletakan sederhana.

untuk w2 diambil dari persamaan

+ 2. + = 0

w2 dipilih agar memenuhu persamaan w1+w2=w

dengan mengambil w =∑ Ym sin

maka

∑ (YIV

m – 2. . Y"m + . Ym) Sin = 0

YIV

m – 2. . Y"m + . Ym = 0

~

m =1

mπx

a

b

2

a

b

2

X

Y

q

24 D

δ4

w

δ x4

δ4

w

δx2δy

2

δ4

w

δ y4

~

m =1

m2.π

2

a2

m4.π

4

a4

mπx

a

m2.π

2

a2

m4.π

4

a4

~

m =1

mπx

a

20


Penyelesaian umum :

Ym = ( Am. Cosh + Bm. . Sinh + Cm.

+ Dm. . Cosh )

Pelat Simetris Cm = Dm = 0 maka :

w = (x4 – 2 ax

3 + a

3.x) + ∑ (Am. Cosh + Bm . Sinh )

. Sinh

Syarat batas, :

w = 0, = 0 untuk x = 0, dan x = a, dan y = ± maka :

(x4 – 2 ax

3 + a

3.x) = ∑ . Sinh

maka :

w = ∑ ( + Am. Cosh + Bm. . Sinh ) Sinh

Dengan boundary condition : w = 0; = 0 pada x = 0, dan x = a

= αm

Didapat

dan

qa4

D m.πy

a

m.πy

a

m.πy

a

m.πy

a

m.πy

a

m.πy

a

q

24 D

qa4

D m.πy

a

m.πy

a

~

m =1

m.πy

a

m.πx

a

δ2

w

δ y2

b

2

q

24 D

4 qa4

π5 D

~

m =1

1

m5

m.πx

a

4 qa4

D

~

m =1

4

π5.m

5

m.πy

a

m.πy

a

m.πy

a

m.πx

a

δ2

w

δ x2

m.π.b

2 a

21


a

xm

b

y

b

y

b

y

mD

qaw m

m

mm

m

mm

sin

2sinh

2

cosh2

22cosh

cosh2

2tanh1

14

5,3,155

4

Pada

x = ; y = 0

w = ∑ ( 1 - )

dimana

Dengan mamasukkan harga maka

maka persamaan diatas

yang sebelah kiri ada didapat koefisien

=0,0130

Maka didapatkan

wmax. = . - ∑ .

α1 = ; α3 = , …………

a

2

4 qa4

Π5 D

~

m =1,3,5

(-1)

m-1

2

m5

αm. tgh αm + 2

2 Cosh αm

5

384

qa4

D 4 qa

4

π5 D

~

m =1,3,5

m-1

2

m5

(-1) αm. tgh αm + 2

2 Cosh αm

π

2 3π

2

22


Selanjutnya akan dihitung jika b=2a, b=3a, b=4a, b=5a, b=6a,

Maka

b=a

b=2a

b=3a

b=4a

b=5a

23


b=5a

secara umum wmax =

α : dapat dilihat di tabel lendutan

Tabel lendutan

perletakan sederhana

dengan M. Levy

lendutan w = α( q a4/D)

No b/a Α

1 1 0.0040

2 2 0.0101

3 3 0.0122

4 4 0.0128

5 5 0.0130

6 6 0.0130

7 7 0.0130

8 10 0.0130

Mx = - q a2π

2 ∑ m

2 [2υBm – (1-υ) Am]. Sinh

My = υ - q a2π

2 ∑ m

2 [2. Bm + (1-υ) Am]. Sinh

Dimana

q x (a-x)

2 m.πx

a

~

m =1,3,5 (y=0)

q x (a-x)

2 m.πx

a

~

m =1,3,5 (y=0)

qa4

D

One way slab

24


(Mx)y=0 = β'. q. a2

(My)y=0 = β'1. q. a2

β' dan β'1 dapat dilihat di Tabel 1. [Thimosenko ,1959]

Tabel 1.:

β' dan β'1 untuk Bidang Momen perletakan sederhana pada pelat persegi dengan beban

terbagi rata

ν = 0,3, b ≥ a

b/a Mx = β'qa2,y=0 My = β'1qa2,y=0

X=0,1a X=0,2a X=0,3a X=0,4a X=0,5a X=0,1a X=0,2a X=0,3a X=0,4a X=0,5a

1.0 0.0209 0.0343 0.0424 0.0466 0.0479 0.0168 0.0303 0.0400 0.0459 0.0479

1.1 0.0234 0.0389 0.0180 0.0544 0.0554 0.0172 0.0311 0.0412 0.0475 0.0493

1.2 0.0256 0.0432 0.0515 0.0607 0.0627 0.0174 0.0315 0.0417 0.0480 0.0501

1.3 0.0277 0.0472 0.0599 0.0671 0.0694 0.0175 0.0316 0.0419 0.0482 0.0503

1.4 0.0297 0.0509 0.0649 0.0730 0.0755 0.0175 0.0315 0.0418 0.0481 0.0502

1.5 0.0314 0.0544 0.0695 0.0783 0.0812 0.0173 0.0312 0.0415 0.0478 0.0498

1.6 0.0330 0.0572 0.0736 0.0831 0.0862 0.0171 0.0309 0.0411 0.0472 0.0492

1.7 0.0344 0.0599 0.0773 0.0874 0.0908 0.0169 0.0306 0.0405 0.0466 0.0486

1.8 0.0357 0.0623 0.0806 0.0913 0.0948 0.0167 0.0301 0.0399 0.0459 0.0479

1.9 0.0368 0.0644 0.0835 0.0918 0.0985 0.0165 0.0297 0.0393 0.0451 0.0471

2.0 0.0378 0.0663 0.0861 0.0978 0.1017 0.0162 0.0292 0.0387 0.0444 0.0464

2.5 0.0413 0.0729 0.0952 0.1085 0.1129 0.0152 0.0272 0.0359 0.0412 0.0430

3.0 0.0431 0.0763 0.1000 0.1142 0.1189 0.0145 0.0258 0.0340 0.0390 0.0406

4.0 0.0445 0.0791 0.1038 0.1185 0.1235 0.0138 0.0246 0.0322 0.0369 0.0384

∞ 0.0450 0.0800 0.1050 0.1200 0.1250 0.0135 0.0240 0.0315 0.0360 0.0375

25


Diketahui sebuah pelat dengan beban q kg/m2, υ=0.3 perbandingan antar b dan a adalah 1.5,

maka hitunglah momen Mx dan My ditampang y=0 , x=a/2

Mx=0,0812qa2

My=0,0498qa2

a

X

Y

0.2a 0.4a

0.3a 0.5a 0.1a

26


Untuk x =

; Mx = β". q.a

2 My = - β". q.a

2

β" dan β"1 Tabel 2 dibawah

TABEL 2.

β'' dan β''1 untuk Bidang Momen pada perletakan sederhana dengan beban terbagi rata

ν = 0,3, b ≥ a

b/a Mx = β''qa

2,x = a/2 My = β''1qa

2,x = a/2

y=0.4a y=0.3a y=0.2a y=0.1a y=0 y=0.4a y=0.3a y=0.2a y=0.1a y=0

1.0 0.0168 0.0303 0.0400 0.0459 0.0479 0.0209 0.0343 0.0424 0.0466 0.0479

1.1 0.0197 0.0353 0.0465 0.0532 0.0554 0.0225 0.0363 0.0442 0.0481 0.0493

1.2 0.0225 0.0401 0.0526 0.0600 0.0627 0.0239 0.0379 0.0454 0.0490 0.0501

1.3 0.0252 0.0447 0.0585 0.0667 0.0694 0.0252 0.0391 0.0462 0.0494 0.0503

1.4 0.0275 0.0491 0.0639 0.0727 0.0755 0.0263 0.0402 0.0468 0.0495 0.0502

1.5 0.0302 0.0532 0.0690 0.0781 0.0812 0.0275 0.0410 0.0470 0.0493 0.0498

1.6 0.0324 0.0571 0.0737 0.0832 0.0862 0.0288 0.0417 0.0471 0.0489 0.0492

1.7 0.0348 0.0607 0.0780 0.0877 0.0908 0.0295 0.0423 0.0470 0.0484 0.0486

1.8 0.0371 0.0641 0.0819 0.0917 0.0948 0.0304 0.0428 0.0469 0.0478 0.0479

1.9 0.0392 0.0673 0.0854 0.0953 0.0985 0.0314 0.0433 0.0467 0.0472 0.0471

2.0 0.0413 0.0703 0.0887 0.0986 0.1017 0.0322 0.0436 0.0464 0.0465 0.0464

2.5 0.0505 0.0828 0.1012 0.1102 0.1129 0.0360 0.0446 0.0447 0.0435 0.0430

3 0.0586 0.0923 0.1092 0.1168 0.1189 0.0389 0.0447 0.0431 0.0413 0.0406

4 0.0723 0.1054 0.1180 0.1224 0.1235 0.0426 0.0436 0.0406 0.0389 0.0384

∞ 0.1250 0.1250 0.1250 0.1250 0.1250 0.0375 0.0375 0.0375 0.0375 0.0375

a

2 (x= a

2 ) a

2 ) (x=

27


Vy = Vq –

Mxmax = β qa2

Mymax = β1 qa

2

Momen maximum (x = ; y = 0) lihat juga total dibawah gaya lintang, lihat tabel 3

dibawah.

TABEL 3. α, β, γ, δ, n beban terbagi rata dan perletakan sederhana pelat persegi

v = 0,3

b/a

Wmax.

= α

(Mx)max. =

β qa2

(My)max. =

β1 qa2

(Qx)max. =

γ qa

(Qy)max. =

γ1 qa

(Vx)max. =

δ qa

(Vy)max. =

δ1 qa

R

= nqa2

α β β1 Γ γ1 δ δ1 n

1.0 0.00406 0.0479 0.0479 0.338 0.338 0.420 0.420 0.065

1.1 0.00485 0.0554 0.0493 0.360 0.347 0.440 0.440 0.070

1.2 0.00564 0.0627 0.0501 0.380 0.353 0.455 0.453 0.074

1.3 0.00638 0.0694 0.0503 0.397 0.357 0.468 0.464 0.079

1.4 0.00705 0.0755 0.0502 0.411 0.361 0.478 0.471 0.083

1.5 0.00772 0.0812 0.0498 0.424 0.363 0.486 0.480 0.085

1.6 0.00830 0.0862 0.0492 0.435 0.365 0.491 0.485 0.086

1.7 0.00883 0.0908 0.0486 0.444 0.367 0.496 0.488 0.088

1.8 0.00931 0.0948 0.0479 0.452 0.368 0.499 0.491 0.090

1.9 0.00974 0.0985 0.0471 0.459 0.369 0.502 0.494 0.091

2.0 0.01013 0.1017 0.0464 0.465 0.370 0.503 0.496 0.092

3.0 0.01223 0.1189 0.0406 0.493 0.372 0.505 0.498 0.093

4.0 0.01282 0.1235 0.0384 0.498 0.372 0.502 0.500 0.094

5.0 0.01297 0.1246 0.0375 0.500 0.372 0.501 0.500 0.095

∞ 0.01302 0.1250 0.0375 0.500 0.372 0.500 0.500 0.095

0.0325 qa2

M1

R R

M2

My Mz

0.0825 qa

0.338 qa δMxy

δx δMxy

δx

a

2 a

2

a 2

a 2

R= 0.065 qa2

V = 0,3

σx

σy

σ1

σ2

- 0.0325 qa2

x

F1G.63

a

2

qa4

D

28


Demikian juga Qxmax = γ qa, Qy max = γ1 q a, Vx max = δ qa dan Vy max =δ1 qa.

Sedangkan R = η q a2

η Dimana γ, γ1, δ, δ1 dan η dapat dilihat dari tabel 3 diatas.

Untuk gaya-gaya yang lain, gaya hidrostatik, terpusat dapat dilihat di buku [Thimoshenko,

1959].

Pada tabel dibawah ini dibuat perbandingan antara pelat beton yang poisson rationya 0.2 dan

pelat baja yang poison rationya 0.3

Pelat Bujur Sangkar Mx = β' qa2

ν = 0.3

x β'

0.5 a 0.04773

0.4 a 0.04643

0.3 a 0.04224

0.2 a

0.1 a

Pelat Bujur Sangkar Mx = β' qa2

ν = 0.2

x β'

0.5 a 0.04402 92.23%

0.4 a 0.04290 92.39%

0.3 a 0.03922 92.86%

0.2 a

0.1 a

29


3.6 . Pelat dengan kondisi perletakan yang bervariasi

3.6..1 Pelat dengan Momen diperletakan

+ 2. + = 0

Penyelesaian umum :a

xmYw

m

m

sin

1

Dimana a

ym

a

ymD

a

ym

a

ymC

a

ymB

a

ymAY mmmmm

coshsinhcoshsinh

Dalam konsdisi simetri maka Am=Dm=0

Maka a

xm

a

ym

a

ymC

a

ymBw m

m

m

sinh)sinhcosh(

1

Boundary condition pada y=2

b , maka w=0

Didapat 02

sinh22

cosh a

bm

a

bmC

a

bmB mm

a

bm

a

bmCB mm

2tanh

2

mmmm CB tanh

b/2

b/2

a

f2(x)

f1(x)

δ4

w

δ x4

δ4

w

δx2δy

2

δ4

w

δ y4

30


Dimana a

bmm

2

Persamaan lendutan:

a

xm

a

ym

a

ym

a

ymCw mm

m

m

sinh)coshtanhsinh(

1

.................a

Dimana Cm harus dicari dengan syarat batas

Pada tumpuan bekerja momen sembarang sebesar

a

xmExfxf m

sin)()( 21 …………………………………b

Syarat batas )(1

2

2

2

xfy

wD

by

dan )(2

2

2

2

xfy

wD

by

……………….c

Dari a, b dan c diperoleh

Cm = -

m

m

Dm

Ea

cosh2 22

2

Maka persamaan lendutan menjadi

)sinhcoshtanh(cosh

sin

2 .....5,3,122

2

a

ym

a

ym

a

ymE

m

a

xm

D

aw mm

m

m

m

Jika momen tumpuan distribusi rata Mo maka pada y=b/2

a

xm

m

MMy

m

sin

14

.....3,2,1

0

Jika ditumpuan beban terbagi rata dengan M0 maka

31


a

xm

a

ym

a

ym

a

ym

mD

aMw mm

m m

sin)sinhcoshtanh(

cosh

12

,......5,3,133

2

0

Pada y=0

a

xm

mD

aMw mm

m m

sin)tanh(

cosh

12

,......5,3,133

2

0

Dimana a

bmm

2

Pada tabel 4 dapat dilihat lendutan w, Mx dan My pada pusat pelat akibat Mo (merata di 2

perletakan), sedangkan 2 perletakan lagi sederhana.

32


Tabel 4:lendutan dan momen pada y=±

b/a W Mx My

0 0.1250 Mo b2/D 0.300 Mo 1.000 Mo

0.50 0.0964 Mo b2/D

0.387 Mo 0.770 Mo

0.75 0.0620 Mo b2/D 0.424 Mo 0.476Mo

1.00 0.0368 Mo a2/D

0.394 Mo

0.256 Mo

1.50 0.0280 Moa2/D

0.264 Mo

0.046 Mo

2.00 0.0174 Moa2/D 0.153 Mo

-0.010 Mo

Contoh soal: Sebuah pelat b/a=2

a

b

33


3.6..2 Pelat dengan beban merata dua tumpuan jepit dua lainnya sederhana

Jika pelat ditumpu sederhana maka persamaan lendutannya adalah

a

xm

b

y

b

y

b

y

mD

qaw m

m

mm

m

mm

sin

2sinh

2

cosh2

22cosh

cosh2

2tanh1

14

5,3,155

4

mmma

xm

mD

qa

y

w

tanh1tanhsin

12

5,3,144

3

a)

Pada y = b/2 dan y=-b/2 besar momen adalah

a

xmEMy

m

m

sin

1

Dari bab sebelumnya maka persamaan lendutan akibat My adalah sebesar

b/2

b/2

a

x

y

q

34


)sinhcoshtanh(cosh

sin

2 .....5,3,122

2

a

ym

a

ym

a

ymE

m

a

xm

D

aw mm

m

m

m

y

w mmmE

m

a

xm

D

am

m

m

m

1tanhtanhcosh

sin

2 .....5,3,122

2

b)

Dari a dan b

1tanhtanh

tanh1tanh433

2

mmmm

mmmm

mm

qaE

1tanhtanh

tanh1tanhsin

4

...5,3,133

2

)2

(

mmmm

mmmm

m

by m

a

xm

qaMy

Dari bab sebelumnya akibat momen tepi maka lendutan

)sinhcoshtanh(cosh

sin

2 .....5,3,122

2

a

ym

a

ym

a

ymE

m

a

xm

D

aw mm

m

m

m

)sinhcoshtanh(1tanhtanh

tanh1tanh

cosh

sin

2 .....5,3,125

4

a

ym

a

ym

a

ym

m

a

xm

D

aw mm

m mmmm

mmmm

m

Lendutan diatas adalah akibat momen tepi,sedangkan lendutan total adalah lendutan akibat

beban terbagi rata dengan perletakan sederhana dikurang dengan lentutan akibat momen tepi

W= wakibat beban merata (perletakan sederhana) – w akibat momen tepi

Selanjutnya didapat

35


Mx=

a

ym

a

ym

a

ym

m

xm

qamm

mmmm

mmmm

m m

coshtanh12sinh1

1tanhtanh

tanh1tanh

cosh

sin2

5,3,123

2

My=

a

ym

a

ym

a

ym

m

xm

qamm

mmmm

mmmm

m m

coshtanh12sinh1

1tanhtanh

tanh1tanh

cosh

sin2

5,3,123

2

Dimana a

bmm

2

Maka Mx= dan My= , pada x=a/2 dan y=0, My= pada x=a/2 dan y=b/2

Tabel 4:

Tabel 4: pelat persegi beban terbagi rata, tumpuan

jepit-jepit dan sendi-sendi v=0.3, b<a

a/b x=a/2, y=0

x=a/2, y=0

x=a/2, y=0

x=a/2, y=b/2

α

0.0026 0.0125 0.0417 -0.0833

2 0.0026 0.0142 0.042 -0.0842

1.5 0.00247 0.0179 0.0406 -0.0822

1.4 0.0024 0.0192 0.0399 -0.081

1.3 0.00234 0.0203 0.0388 -0.0794

1.2 0.00223 0.0215 0.0375 -0.0771

1.1 0.00209 0.023 0.0355 -0.0739

1

2

b

a

36


pelat 2 arah(pelat cangkang)

Documents