modul b-3 (modul 8a)pengenalan analisa struktur metode matriks

MODUL MATERI KULIAH B-3PENGENALAN ANALISA STRUKTUR METODE MATRIKS

Tujuan Pembelajaran Umum

Mahasiswa mampu menyelesaikan analisa struktur dengan cara Analisa Struktur

Metode Matriks (ASMM)

3.1 Pendahuluan Analisa Struktur Metode Matriks (ASMM)

Tujuan Pembelajaran Khusus

Mahasiswa mengerti tentang Metode Kekakuan yang meliputi penurunan rumus

kekakuan, deformasi, dan derajat kebebasan

ANALISA STRUKTUR METODE MATRIKS (ASMM)

Analisa Struktur Metode Matriks (ASMM) adalah suatu metode untuk menganalisa

struktur dengan menggunakan bantuan matriks, yang terdiri dari : matriks kekakuan,

matriks perpindahan, dan matriks gaya. Dengan menggunakan hubungan :

{ P } = [ K ] { U }

dimana :

{ P } = matriks gaya

[ K ] = matriks kekakuan

{ U } = matriks perpindahan

Salah satu cara yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan di atas, yaitu

dengan menggunakan Metode Kekakuan.

Pada Metode Kekakuan, variable yang tidak diketahui besarnya adalah :

perpindahan titik simpul struktur (rotasi dan defleksi) sudah tertentu/pasti.

Jadi jumlah variable dalam metode kekakuan sama dengan derajat ketidaktentuan

kinematis struktur.

Metode Kekakuan dikembangkan dari persamaan kesetimbangan titik simpul yang

ditulis dalam : “ Koefisien Kekakuan “ dan “ Perpindahan titik simpul yang tidak

diketahui “.

3.2 Metode Kekakuan Langsung (Direct Stiffness Method)

Tujuan Pembelajaran Khusus

Mahasiswa mengerti tentang Metode Kekakuan Langsung, untuk mencari matriks

kekakuan elemen dan global, serta penentuan deformasi dan gaya pada ujung aktif

METODE KEKAKUAN LANGSUNGmatriks kekakuan

U1, P1 U2, P2

{ P } = [ K ] { U }

U3, P3 U4, P4 gaya perpindahan

P1 K11 K12 K13 K14 U1

P2 K21 K22 K23 K24 U2

P3 K31 K32 K33 K34 U3

P4 K41 K42 K43 K44 U4

P1 = K11 . U1 + K12 . U2 + K13 . U3 + K14 . U4 Kesetimbangan gaya

di arah U1

P2 = K21 . U1 + K22 . U2 + K23 . U3 + K24 . U4 Kesetimbangan gaya

di arah U2

P3 = K31 . U1 + K32 . U2 + K33 . U3 + K34 . U4 Kesetimbangan gaya

di arah U3

P4 = K41 . U1 + K42 . U2 + K43 . U3 + K44 . U4 Kesetimbangan gaya

di arah U4

Jika U1 = 1 dan U2 = U3 = U4 = 0 , maka :

P1 = K11 ; P2 = K21 ; P3 = K31 ; P4 = K41 Lihat Gambar (a)

Jika U2 = 1 dan U2 = U3 = U4 = 0 , maka :

P1 = K12 ; P2 = K22 ; P3 = K32 ; P4 = K42 Lihat Gambar (b)

Jika U3 = 1 dan U2 = U3 = U4 = 0 , maka :

P1 = K13 ; P2 = K23 ; P3 = K33 ; P4 = K43 Lihat Gambar (c)

Jika U4 = 1 dan U2 = U3 = U4 = 0 , maka :

P1 = K14 ; P2 = K24 ; P3 = K34 ; P4 = K44 Lihat Gambar (d)

11 2

=

U1’ = 1 P1’ = K11

P2’ = K21

P3’ = K31

P4’ = K41

U1’ = 1 P1’ = K11

P2’ = K21

P3’ = K31

P4’ = K41

U1’ = 1 P1’ = K11

P2’ = K21

P3’ = K31

P4’ = K41

U1’ = 1 P1’ = K11

P2’ = K21

P3’ = K31

P4’ = K41

K11 K12 K13 K14

K21 K22 K23 K24

K31 K32 K33 K34

K41 K42 K43 K44

Matriks Kekakuan

Gambar (a) (b) (c) (d)

K =

K =

Jika pada batang bekerja gaya aksial :

L, EA

K11 = K21 =

U1, P1 U2, P2

U3, P3 U4, P4

Matriks kekakuan elemen dengan melibatkan gaya aksial :

6 x 6

U1’,P1’ U2’,P2’

U1’= 1

K12 = - U2’= 1

K22 =

11 2

K =

Kinematis tidak tentu orde 1

Kinematis tertentu

Struktur primer

(Restrained structure)

Sistem sekunder

Kondisi awal : M2 = 0

M2 = M2q + M2

2 = 0

= 0

M12 = M12q +

= +

M12 = M21q +

= +

3.3 Elemen Balok 2 Dimensi

Tujuan Pembelajaran Khusus

q

[ K1 ] =

Mahasiswa mampu menyelesaikan struktur statis tak tentu elemen balok 2

dimensi dengan cara Metode Kekakuan langsung

Contoh 1 Analisa struktur pada balok dengan cara Metode Kekakuan Langsung

Dengan memperhatikan deformasi akibat translasi dan rotasi. Sebuah balok statis tak tentu seperti pada gambar

1 1 2 2 3

L, EI L, EI

Menentukan keaktifan ujung-ujung elemen

Menentukan matriks tujuan DOF : 2 2 rotasi

Matriks kekakuan struktur

[ Ks ] 2 x 2

Membuat matrik kekakuan elemen : [ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]

Elemen 1

0 0 0 1

0

0

0

1

Matriks Tujuan { T1 } = { 0 0 0 1 }T

1 2 3

0

1 2

0

0

0

1 2

1 23

0 00

12

0 1 1 2

0

K1 =

= +

0 0=

2 x 2 0 0

Elemen 2

0 1 0 2

0

1

0

2

Matriks Tujuan { T2 } = { 0 1 0 2 }T

2 x 2

Matriks Kekakuan Global Struktur

[ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]

[ Ks ] 2 x 2

Untuk mendapatkan deformasi ujung-ujung aktif struktur, maka digunakan

hubungan :

{ Ps } = [ Ks ] { Us } { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }

dimana :

K2 =

[ K2 ] =

q

0 0

Us = deformasi ujung-ujung aktif

Ks = kekakuan struktur

Ps = gaya-gaya pada ujung aktif elemen akibat beban luar (aksi)

Untuk contoh di atas, maka :

Ps =

Menghitung invers matrik kekakuan global [ Ks ]-1

[ Ks ] =

[ Ks ]-1 = =

Jadi : { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }

Us =

Us =

Us =Rotasi di joint 2

Rotasi di joint 3

U11

U12

U13

U14

000

U21

U22

U23

U24

0

0

q

0 0

0

0

0

0

PR2 =PR1 =

0

0

0

0

0

0

0

Deformasi untuk masing-masing elemen

Elemen 1 : U1 = =

Elemen 2 : U2 = =

Reaksi akibat beban luar :

Gaya akhir elemen :

Elemen 1 : { P1 } = [ K1 ] + { PR1 }

P1 =

+

0

0

0 0

P1 = =

Elemen 2 : { P2 } = [ K2 ] + { PR2 }

P2 =

+

P2 = =

q 0

- -+

-

+ +

q

Free Body Diagram :

Menggambar gaya-gaya dalam :

Bidang D :

Bidang M :

Contoh 2 Analisa struktur pada balok dengan cara Metode Kekakuan Langsung

Dengan hanya memperhatikan deformasi akibat rotasi saja.

Sebuah balok statis tak tentu seperti pada gambar

1 1 2 2 3

L, EI L, EI

Menentukan keaktifan ujung-ujung elemen

1 2 3

0

1 2

0

0

0

1 2

[ K1 ] = 0 0

0

Menentukan matriks tujuan DOF : 2 2 rotasi

Matriks kekakuan struktur

[ Ks ] 2 x 2

[ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]

Membuat matrik kekakuan elemen akibat deformasi rotasi saja :

Elemen 1

0 1

0

2 x 2 1

Matriks Tujuan { T1 } = { 0 1 }T

2 x 2

Elemen 2

1 2

1

2 x 2 2

Matriks Tujuan { T2 } = { 1 2 }T

2 x 2

Matriks Kekakuan Global Struktur

[ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]

1 231

20 1 1 2

K1 =

[ K2 ] =

K2 =

= +

0

=

q

0 0

0 0

[ Ks ] 2 x 2

Untuk mendapatkan deformasi ujung-ujung aktif struktur, maka digunakan

hubungan :

{ Ps } = [ Ks ] { Us } { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }

dimana :

Us = deformasi ujung-ujung aktif

Ks = kekakuan struktur

Ps = gaya-gaya pada ujung aktif elemen akibat beban luar (aksi)

Untuk contoh di atas, maka :

Ps =

Menghitung invers matrik kekakuan global [ Ks ]-1

[ Ks ] =

[ Ks ]-1 = =

Jadi : { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }

Us =

U11

U12

0

U21

U22

q

0 0

0

0PR2 =PR1 =

Us =

Us =

Deformasi untuk masing-masing elemen

Elemen 1 : U1 = =

Elemen 2 : U2 = =

Reaksi akibat beban luar :

Rotasi di joint 2

Rotasi di joint 3

0 0

0

q 0

P1 = +

P1 = =

P2 = +

P2 = =0 0

Dihitung lagi Dihitung lagi

Hasil perhitungan hanya momen saja

Hasil perhitungan hanya momen saja

Gaya akhir elemen :

Elemen 1 : { P1 } = [ K1 ] + { PR1 }

Elemen 2 : { P2 } = [ K2 ] + { PR2 }

Free Body Diagram :

- -+

-

+ +

q

Menggambar gaya-gaya dalam :

Bidang D :

Bidang M :

Contoh 3 Analisa struktur pada balok dengan cara Metode Kekakuan Langsung,

dengan hanya memperhatikan deformasi akibat rotasi saja untuk

kekakuan balok yang tidak sama.

Sebuah balok statis tak tentu seperti pada gambar

1 1 2 2 3

L, EI L, 2EI

Menentukan keaktifan ujung-ujung elemen

1 2 3

0

1 2

0

0

0

1 2

[ K1 ] = 0 0

0

Menentukan matriks tujuan DOF : 2 2 rotasi

Matriks kekakuan struktur

[ Ks ] 2 x 2

[ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]

Membuat matrik kekakuan elemen akibat deformasi rotasi saja.

Elemen 1

0 1

0

2 x 2 1

Matriks Tujuan { T1 } = { 0 1 }T

2 x 2

Elemen 2

1 2

1

2 x 2 2

Matriks Tujuan { T2 } = { 1 2 }T

2 x 2

1 231

20 1 1 2

K1 =

[ K2 ] =

K2 =

= +

0

=

q

0 0

0 0

Matriks Kekakuan Global Struktur

[ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]

[ Ks ] 2 x 2

Untuk mendapatkan deformasi ujung-ujung aktif struktur, maka digunakan

hubungan :

{ Ps } = [ Ks ] { Us } { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }

dimana :

Us = deformasi ujung-ujung aktif

Ks = kekakuan struktur

Ps = gaya-gaya pada ujung aktif elemen akibat beban luar (aksi)

Untuk contoh di atas, maka :

Ps =

Menghitung invers matrik kekakuan global [ Ks ]-1

[ Ks ] =

[ Ks ]-1 = =

Jadi : { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }

U11

U12

0

U21

U22

q

0 0

0

0

Us =

Us =

Us =

Deformasi untuk masing-masing elemen

Elemen 1 : U1 = =

Elemen 2 : U2 = =

Reaksi akibat beban luar :

Rotasi di joint 2

Rotasi di joint 3

PR2 =PR1 =

0 0

0

q 0

P1 = +

P1 = =

P2 = +

P2 = =0 0

Dihitung lagi Dihitung lagi

Hasil perhitungan hanya momen saja

Hasil perhitungan hanya momen saja

Gaya akhir elemen :

Elemen 1 : { P1 } = [ K1 ] + { PR1 }

Elemen 2 : { P2 } = [ K2 ] + { PR2 }

Free Body Diagram :

- -+

-

+ +

q = 1 t/m P = 2 t

Menggambar gaya-gaya dalam :

Bidang D :

Bidang M :

Contoh 4 Analisa struktur pada balok dengan cara Metode Kekakuan Langsung

Dengan memperhatikan deformasi akibat translasi dan rotasi. Sebuah balok statis tak tentu seperti pada gambar

1 1 2 2 3

L = 4 m, EI L = 2 m, EI

Menentukan keaktifan ujung-ujung elemen

1 2 3

0

1 3

0

0

2

1 2

[ K1 ] = 0 0

0

Menentukan matriks tujuan DOF : 3 2 rotasi

1 dilatasi

Matriks kekakuan struktur

[ Ks ] 2 x 2

[ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]

Membuat matrik kekakuan elemen :

Elemen 1

0 1

0

2 x 2 1

Matriks Tujuan { T1 } = { 0 1 }T

2 x 2

Elemen 2

0 1 2 3

0

1

2

3

Matriks Tujuan { T2 } = { 0 1 0 2 }T

1 2 3

0 2

1 20 11 3

0

K2 =

K1 =

= +

0 0

=

q =1 t/m

= EI

3 -1,5 1

-1,5 1,5 -1,5

1 -1,5 2

P = 2 t

3 x 3

Matriks Kekakuan Global Struktur

[ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]

[ Ks ] 2 x 2

Untuk mendapatkan deformasi ujung-ujung aktif struktur, maka digunakan

hubungan :

{ Ps } = [ Ks ] { Us } { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }

dimana :

Us = deformasi ujung-ujung aktif

Ks = kekakuan struktur

Ps = gaya-gaya pada ujung aktif elemen akibat beban luar (aksi)

Untuk contoh di atas, maka :

[ K2 ] =

0 0

U11

U12

0

0

Ps =

= EI

3 -1,5 1

-1,5 1,5 -1,5

1 -1,5 2

[ Ks ]

1 2 1

2 6,67 4

1 4 3

=

1 2 1

2 6,67 4

1 4 3

=

-2,67

-10,67

-6,67

-2,67

Menghitung invers matrik kekakuan global [ Ks ]-1

[ Ks ]-1 =

Jadi : { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }

Us =

Deformasi untuk masing-masing elemen

Elemen 1 : U1 = =

1,33

-2

0

1,33

-2

0

Rotasi di joint 2

Translasi di joint 3

Rotasi di joint 3

U21

U22

U23

U24

0

- 2,67

-10,67

- 6,67

1,33

-1,33

PR2 =PR1 =

0 0

q =1 t/mP = 2 t

2

0

0

2

0

0 1,33

-1,33

P1 = +

P1 = Hasil perhitungan hanya momen saja

0

- 4

Elemen 2 : U2 = =

Reaksi akibat beban luar :

Gaya akhir elemen :

Elemen 1 : { P1 } = [ K1 ] + { PR1 }

0

- 2,67

-10,67

- 6,67

2

4

0

0

q =1 t/m P = 2 t

++

0

0

2

0

-

Elemen 2 : { P2 } = [ K2 ] + { PR2 }

P2 =

+

P2 =

Free Body Diagram :

0 4 4

1 3 2

Menggambar gaya-gaya dalam :

Bidang D :

1 2 2

-+

3

Bidang M :

4