metode invers matriks untuk menyelesaikan …ebook.repo.mercubuana-yogya.ac.id/fti/materi20151/7....
Post on 27-Dec-2019
46 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Pertemuan 7 – Aljabar Linear & Matriks
1
Metode invers matriks untuk menyelesaikan persamaan linier
Matriks Non-invertible (Singular)
• Matriks yang tidak mempunyai invers atau tidak invertible (singular)
juga dapat diketahui jika pada saat dikenai operasi elementer baris
maka dapat menghasilkan baris atau kolom yang semua elemennya
nol.
• Misalnya matriks A berikut ini:
Jika pada matriks tsb dikenakan operasi baris elementer dalam
usaha untuk mencari inversnya, maka akan diperoleh:
2
521
142
461
A
Perhatikan bahwa semua elemen baris ke-3 bernilai nol
Ini berarti bahwa matriks A merupakan matriks singular
(tidak mempunyai invers)
3
Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier
• Jika A adalah matriks nxn yang invertible, untuk setiap matriks b
dengan ukuran nx1, maka sistem persamaan linier Ax = b
mempunyai tepat 1 penyelesaian, yaitu
x = A-1 b
• Contoh
Selesaikan sistem persamaan linier berikut menggunakan metode
invers matriks.
4
Dalam bentuk matriks Ax = b maka dari sistem persamaan linier
tsb diperoleh:
Invers matriks A (sesuai yang telah diperoleh pada contoh yang
sebelumnya) adalah:
maka dengan menggunakan invers matriks A dapat diperoleh:
5
Sehingga x1 = 1, x2 = -1, dan x3 = 2
Teorema
Jika Ax1 = b1, Ax2 = b2, Ax3 = b3, …, Axk = bk maka
x1 = A-1 b1, x2 = A-1 b2, x3= A-1 b3, …, xk = A-1 bk
Sejumlah sistem persamaan linier yang seperti itu dapat dinyatakan
Dalam bentuk matriks augmentasi sebagai berikut:
[ A | b1 | b2 | … |bk ]
6
Contoh:
Selesaikan dua sistem persamaan linier berikut:
Penyelesaian:
Matriks augmentasi yang dapat diperoleh dari soal adalah sbb:
operasi elementer baris
Berapa harga-harga x untuk masing-masing sistem persamaan?
Coba selesaikan menggunakan invers matriks A!
7
Matriks Diagonal
Matriks diagonal adalah sebuah matriks bujursangkar dimana semua
elemen selain pada diagonal utama bernilai nol. Secara umum dapat
dinyatakan sebagai:
Contoh:
8
• Invers matriks diagonal
Matriks diagonal invertible jika dan hanya jika semua elemen
diagonalnya tidak sama dengan nol, dan jika demikian maka
inversnya adalah:
• Perpangkatan matriks diagonal
Perpangkatan matriks diagonal dengan suatu bilangan bulat k
didefinisikan sebagai:
9
• Perkalian dengan matriks diagonal
Perkalian dengan matriks diagonal sangat mudah untuk dihitung.
Ilustrasi:
10
Matriks Segitiga
• Matriks bujursangkar dimana semua elemen di atas diagonal utama
bernilai nol disebut matriks segitiga bawah.
• Matriks bujursangkar dimana semua elemen di bawah diagonal
utama bernilai nol disebut matriks segitiga atas.
11
Sifat-sifat matriks segitiga:
• Transpose matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga atas.
Demikian pula sebaliknya.
• Hasil kali dengan matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas.
• Hasil kali dengan matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga
bawah.
• Sebuah matriks segitiga dapat diinverskan jika dan hanya jika semua
elemen diagonalnya tidak sama dengan nol.
• Invers matriks segitiga atas juga berbentuk matriks segitiga atas.
• Invers matriks segitiga bawah juga berbentuk matriks segitiga bawah.
12
Contoh:
13
Matriks Simetris
Sebuah matriks bujursangkar A disebut simetris jika AT = A.
Contoh:
14
3
2
1
00
00
00
705
034
541
53
37
d
d
d
Quiz 30 Minutes
Selesaikan sistem persamaan berikut menggunakan metode invers matriks.
a.
b.
c.
15
Referensi
• Aljabar Linier Elementer, Howard Anton alih bahasa Pantur Silaban dkk, Penerbit Erlangga, 1984.
• Elementary Linear Algebra with Applications 9th Edition, Howard Anton, John Wiley & Sons, 2005.
• AljabarLinier, Yuliant Sibaroni,2002
Peraturan UTS Aljabar Linier & Matriks
17
• Sifat ujian: close book, close device elektronik, close internet.
• Again: dilarang menggunakan hp saat ujian berlangsung.
• Tidak ada ujian susulan kecuali alasan yang sifatnya darurat (harus memberitahukan pada jam dan hari saat ujian berlangsung).
top related