• Nilai Eigen dan Vektor Eigen• Diagonalisasi• Diagonalisasi Ortogonal

7. NILAI-NILAI VEKTOR EIGEN

Diketahui A matriks nxn dan x adalah suatu vektorpada Rn, maka biasanya tdk ada hubungan antara vektor xdengan vektor Ax.

Namun , dapat terjadi vektor x tertentu sedemikiansehingga x dan Ax merupakan penggandaan satu sama lain

Nilai Eigen, Vektor Eigen

Ax

x

Ax

x

Jika A adalah matriks nxn,

• Vektor-vektor tidak nol pada Rn disebut vektor eigendari A jika Ax adalah suatu penggandaan skalar dari x,

yaitu: Ax = x• Untuk semua skalar .

• Skalar disebut eigenvalue A, dan x disebut jugaeigenvector A bersepadanan dengan .

Nilai Eigen, Vektor Eigen

Apabila diberikan transformasi linier A : Rn Rn, maka kitaperlu menentukan skalar sehingga Ax = x mempunyaisolusi tak nol.

Nilai Eigen, Vektor Eigen

Jika diketahui vektor adalah suatu vektor eigen

maka tentukan nilai eigen dari vektor tersebut.

λ =3

Ax = x

Menghitung λ

A nn Ax = x

Ax = Ix (I – A)x = 0.

det (I – A) = 0

Persamaan karakteristik dari A,dimana skalar yang memenuhipersamaan ini adalah nilai eigendari A.

det (I – A) merupakan persamaan polinomial p dalam dan disebut polinomial karakteristik dari A.

Untuk mencari nilai eigen dari matriks A yang berukuran nxn, maka:

Menghitung λ

det (I – A) = 0

Nilai Eigen, Vektor Eigen

Tentukan nilai eigen dari

• Polinomial karakteristik A didapat melalui:

• Nilai eigen value diperoleh melalui 3 – 82 + 17 – 4 =0

0 1 0

0 0 1

4 17 8

A

3 2

1 0

det( ) det 0 1 8 17 4

4 17 8

I A

3 – 82 + 17 – 4 =0(-4)(2-4 +1) = 0

Nilai Eigen, Vektor Eigen

Tentukan nilai eigen dari

• Nilai eigen value = ½ , = 2/3, dan = -1/4

4

185

03

21

002

1

A

det (I – A) = 0

Jika A adalah matriks segitiga nn triangular matrix ( segitiga atas,segitiga bawah atau diagonal) maka nilai eigen dari A adalah anggotadiagonal A.

Teorema Eigen

Jika Ann dan adalah bilangan real maka pernyataanberikut adalah ekuivalen:

• adalah nilai eigen dari A.• Sistem persamaan (I – A)x = 0 memiliki solusi

tak-trivial.• Ada suatu vektor tak-nol x pada Rn sedemikian

sehingga Ax = x.• merupakan suatu penyelesaian dari persamaan

karakteristik det(I – A) = 0.

Basis Ruang Eigen

• Eigenvectors A bersepadanan dengan eigenvalue adalah vektor tak-nol x yang memenuhi Ax = x.

• Eigenvectors yang bersepadanan dengan adalah vektor tak-nol dalam ruang penyelesaian (I – A)x = 0

ruang eigen A yang berhubungan dengan .

(I – A)x = 0

Mencari nilai eigen

det (I – A) = 0

Mencari vektor eigen

Basis Ruang Eigen

Cara menentukan nilai eigen dan vektor eigen matriks Aukuran nxn :

1. Tentukan polinomial karakteristik det(I – A)=0 darimatriks A.

2. Tentukan nilai eigen A dengan menyelesaikan persamaankarakteristik det (I – A) = 0 untuk .

3. Untuk tiap nilai eigen tentukan ruang null dari matriks

A-I. Vektor tak nol yang berhubungan dengan itumerupakan vektor eigen A.

4. Tentukan basis untuk ruang eigen tersebut.

Contoh Basis Ruang Eigen

Cari basis-basis untuk ruang eigen dari0 0 2

1 2 1

1 0 3

A

1

2

3

0 2 0

1 2 1 0 (3)

1 0 3 0

x

x

x

(I – A)x = 0

3 – 52 + 8 – 4 = 0

( – 1)( – 2)2 = 0 = 1 and = 2

• Mencari nilai eigen

det (I – A) = 0

• Mencari vektor eigen

Contoh Basis Ruang Eigen

1

2

3

2 0 2 0

1 0 1 0

1 0 1 0

x

x

x

• Menentukan ruang solusi dan basis untuk = 2

x1 = -s, x2 = t, x3 = s

Vektor eigen dari A yang bersepadanan dengan = 2 adalah vektor tak nol berbentuk:

0 1 0

0 0 1

0 1 0

s s

t t s t

s s

x

Cek : apakah bebas linier.

Jika iya, maka vektor-vektor tersebut membentuk suatu basis untuk ruang eigen yang berpadanan dengan = 2

Contoh Basis Ruang Eigen

• Dengan cara yang sama, ditentukan ruang solusi dan basis untuk = 1

Vektor eigen dari A yang bersepadanan dengan = 1 adalahvektor tak nol berbentuk:

basis untuk ruang eigen yang berpadanan dengan

= 2

Nilai Eigen Dari Pangkat Suatu Matriks

Jika k : bilangan bulat positif,

: eigenvalue matriks A,

x : eigenvector

k adalah eigenvalue dari Ak dan x is a corresponding eigenvector.

A2x= A (Ax) –A (x) = (Ax) - (x) = 2x

Teorema:

Jika k adalah suatu bilangan bulat positif, adalah suatu nilai eigendari suatu matriks A, dan x adalah suatu vektor eigen yangberpadanan, maka k adalah suatu nilai eigen dari Ak dan x adalahsuatu vektor eigen yang berpadanan.

Nilai Eigen Dari Pangkat Suatu Matriks

Contoh:

Nilai Eigen dari adalah

0 0 2

1 2 1

1 0 3

A

= 1 and = 2

Vektor eigen dari A untuk nilai = 2 adalah

Nilai eigen untuk A7 : = 27 = 128 dan = 17 = 1

Vekor eigen untuk A7 yang bersepadanan dengan = 27 = 128

Vekor eigen untuk A7 yang bersepadanan dengan = 17 = 1

Vektor eigen dari A untuk nilai = 1 adalah

Matriks Balikan pada Nilai Eigen

Suatu matriks bujursangkar A dapat dibalik jika dan hanyajika = 0 bukanlah suatu nilai eigen dari A.

RingkasanJika A mn matrix, dan jika TA : Rn Rn adalah perkalian dengan A;

• A dapat di-invers.• Ax = 0 hanya memiliki persamaan trivial.• Bentuk baris tereduksi dari A adalah In.• A dapat dinyatakan sebagai hasil kali matriks-matriks dasar.• Ax = b konsisten untuk setiap matriks b, n1.• Ax = b tepat mempunyai satu solusi untuk setiap matriks b, n1.• det(A)≠0.• Range (daerah hasil) TA adalah Rn.• TA satu satu.• Vektor kolom A bebas linier.• Vektor baris A bebas linier.• Vektor kolom A merentang Rn.• Vektor baris A merentang Rm.• Vektor kolom dari A membentuk suatu basis untuk Rn.• Vektor baris dari A membentuk suatu basis untuk Rn.• A berpangkat n.• A mempunyai kekosongan 0.• Komplemen orthogonal dari ruang kosong A adalah Rn.• Komplemen orthogonal dari ruang baris A adalah {0}.• ATA bisa dibalik• = 0 bukanlah suatu nilai eigen dari A

DIAGONALISASI

Diagonalisasi Matriks

Suatu matriks bujursangkar A dikatakan diagonalizable

• Jika ada matriks P yang dapat diinvers sehingga P-1AP =Dadalah matriks diagonal

• Matriks P dikatakan mendiagonalkan ( diagonalize) A.

Jika A nn maka:

• A dapat didiagonalkan.

• A mempunyai n vektor eigen yang bebas secara linier.

Prosedur Diagonalisasi Matriks

Suatu matriks Anxn dengan n vektor eigen yang bebas linier dapat didiagonalkan dengan langkah sbb: .

• Step 1. Cari n vektor eigen yang bebas secara linier dari A, yaitu p1, p2, …, pn.

• Step 2. Bentuk matriks P yang mempunyai p1, p2, …, pnsebagai vektor-vektor kolomnya.

• Step 3. Matriks P-1AP akan menjadi matriks diagonal dengan 1, 2, …, n sebagai anggota diagonalnya dimana iadalah nilai eigen yang berpadanan dengan pi, untuk i = 1, 2, …, n.

Contoh Diagonalisasi Matriks

Cari matriks P yang mendiagonalkan :

0 0 2

1 2 1

1 0 3

A

1

2

3

0 2 0

1 2 1 0 (3)

1 0 3 0

x

x

x

(I – A)x = 0

3 – 52 + 8 – 4 = 0

( – 1)( – 2)2 = 0 = 1 and = 2

• Mencari nilai eigen

det (I – A) = 0

• Mencari vektor eigen

Contoh Diagonalisasi Matriks

1

2

3

2 0 2 0

1 0 1 0

1 0 1 0

x

x

x

• Menentukan ruang solusi dan basis untuk = 2

x1 = -s, x2 = t, x3 = s

Vektor eigen dari A yang bersepadanan dengan = 2 adalah vektor tak nol berbentuk:

0 1 0

0 0 1

0 1 0

s s

t t s t

s s

x

Cek : apakah bebas linier.

Jika iya, maka vektor-vektor tersebut membentuk suatu basis untuk ruang eigen yang berpadanan dengan = 2

Contoh Diagonalisasi Matriks

• Dengan cara yang sama, ditentukan ruang solusi dan basis untuk = 1

Vektor eigen dari A yang bersepadanan dengan = 2 adalahvektor tak nol berbentuk:

basis untuk ruang eigen yang berpadanan dengan

= 2

Contoh Diagonalisasi Matriks

0

1

0

,

1

0

1

21 pp

1

1

2

3p

Sehingga didapat basis untuk ruang eigen adalah sebagai berikut:

= 2:

= 1:

101

110

201

P

Cek apakah matriks A dapat didiagonalkan dan mendiagonalkan A:

DAPP

100

020

002

101

110

201

301

121

200

101

111

2011

Contoh Diagonalisasi Matriks

Cari matriks P yang mendiagonalkan

253

021

001

A

Polinominal karakteristik dari A dicari dengan :

det (I – A) = 02

1 0 0

det( ) 1 2 0 ( 1)( 2)

3 5 2

I A

Persamaan karakteristik:

Nilai eigen dan basis ruang eigen adalah:

Karena A matriks 3X3 dan P hanya terdiri dari 2 vektor basis, maka A tidak dapat didiagonalkan.

Teorema Diagonalisasi Matriks

Jika v1, v2, …, vk, adalah vektor-vektor eigen dari A yangberpadanan dengan nilai eigen yang berbeda-beda 1, 2, …,k, maka {v1, v2, …, vk} adalah suatu himpunan yang bebassecara linier.

Jika suatu matriks Ann mempunyai nilai-nilai eigen yangberbeda-beda, maka A dapat didiagonalkan.

Diagonalisasi Matriks

Contoh :

0 1 0

0 0 1

4 17 8

A

Cari matriks P yang mendiagonalkan

• Polinomial karakteristik A didapat melalui:

3 – 82 + 17 – 4 =0(-4)(2-4 +1) = 0

3 2

1 0

det( ) det 0 1 8 17 4

4 17 8

I A

Matriks A3x3 mempunyai nilai-nilai eigen yang berbeda-beda,maka A dapat didiagonalkan.

1

4 0 0

0 2 3 0

0 0 2 3

P AP

Diagonalisasi Matriks Segitiga

Ingat: Jika A adalah matriks segitiga nn triangular matrix ( segitiga atas, segitigabawah atau diagonal) maka nilai eigen dari A adalah anggota diagonal A.

Matriks A berikut adalah sebuah matriks yang bisa didiagonalkan.

1 2 4 0

0 3 1 7

0 0 5 8

0 0 0 2

A

DIAGONALISASI ORTOGONAL

Masalah Diagonalisasi Ortogonal (Bentuk Matriks)

Diketahui suatu matriks A, nxn, dan suatu matriksortogonal P sedemikian sehingga :

P-1AP = PTAP=D

maka A disebut dapat didiagonalkan secara ortogonaldan P disebut mendiagonalkan A secara ortogonal.

Masalah Diagonalisasi Ortogonal (Bentuk Matriks)

Setiap matriks simetris dapat didiagonalkan secara ortogonal.

Jika A adalah matriks nn maka pernyataan berikut ekuivalen:

• A dapat didiagonalkan secara ortogonal.

• A mempunyai suatu himpunan n vektor eigen yang ortonormal.

• A simetris.

AT = (PDPT)T=PDTPT = PDPT = A

Jika A adalah suatu matriks simetris, maka:

– Nilai eigen dari A semuanya bilangan real.

– Vektor-vektor eigen dari ruang eigen yang berbeda ortogonal.

Diagonalisasi Matriks Simetris

Prosedur mendiagonalkan secara ortogonal suatu matriks simetris:

• Step 1. Cari basis untuk setiap ruang eigen dari A.

• Step 2. Terapkan proses Gramm Schmidt pada setiap basis-basis ini untuk mendapatkan suatu basis ortonormal untuk setiap ruang eigen.

• Step 3. Bentuk matriks P yang kolom-kolomnya adalah vektor-vektor basis yang disusun pada step-2, matriks ini mendiagonalkan A secara ortogonal

Masalah Diagonalisasi Ortogonal (Bentuk Matriks)

• Cari suatu matriks ortogonal P yang mendiagonalkan

• Solusi: – Persamaan karakteristik A adalah:

– Basis ruang eigien yang bersepadanan dengan = 2 adalah

– :

4 2 2

2 4 2

2 2 4

A

2

4 2 2

det( ) det 2 4 2 ( 2) ( 8) 0

2 2 4

I A

1 2

1 1

1 and 0

0 1

u u

Masalah Diagonalisasi Ortogonal (Bentuk Matriks)

Terapkan proses Gram Schmidt pada {u1, u2untuk menghasilkan vektor eigen yang ortonormal berikut:

1 2

1/ 2 1/ 6

1/ 2 and 1/ 6

0 2 / 6

v v

Ruang eigen yang bersepadanan dengan = 8 adalah 3

1

1

1

u

Terapkan proses Gram Schmidt pada {u3} didapat:3

1/ 3

1/ 3

1/ 3

v

sehingga

3/16/20

3/16/12/1

3/16/12/1

321 vvvP

P mendiagonalkan A secara ortogonal. Cek bahwa PTAP=D