metoda deduksi

METODE DEDUKSI KALIMAT LOGIKA

Modus Ponen (MP) :

Tautologi : [p (p q)] qpp q q

p q p q p (p q) [p (p q)] q

F F T F T

T F F F T

F T T T T

T T T T T

Contoh Soal 4.1 :Buktikan validitas argumen di bawah ini :

1. p q Pr

2. q r Pr

3. p Pr / r

4. q 1,3 MP

5. r 2,4 MP

1. p q Pr (Premis)

2. q r Pr

3. p Pr / r

Rangkaian argumen :

Pembuktiannya sbb :

Jika pintu kereta api ditutup, maka lalu lintas terhenti.

Jika lalu lintas terhenti, maka terjadi kemacetan lalu lintas.Pintu kereta api ditutup. Jadi terjadi kemacetan lalu lintas

p : Pintu kereta api ditutup.q : Lalu lintas terhenti.

R : Terjadi kemacetan lalu lintas

Jawab :Pergunakan notasi simbol :

Contoh Soal 4.2 : Buktikan validitas berikut :

Jawab :

1. (p q) (~s r) Pr

2. ~ s Pr

3. q t Pr

4. t (p q) Pr

5. q Pr /r6. t 3,5 MP

7. p q 4,6 MP

8. ~s r 1,7 MP

9. r 2,8 MP

Jika korupsi merajalela atau persediaan minyak bumi habis, maka jika pendapatan negara tidak dapat diatasi, maka Negara akan mengalami resesi.

Ternyata pendapatan negara tidak dapat diatasi

Jika persediaan minyak bumi habis, maka Negara kehilangan devisaJika Negara kehilangan devisa, maka korupsi merajalela atau persediaan minyak bumi habis

Jadi Negara mengalami resesi

p : Korupsi merajalela

q : Persediaan bumi habisr : Negara mengalami resesi

s : Pendapatan Negara dapat diatasit : Negara kehilangan devisa

Modus Tollen (MT) :

Tautologi : [~ q (p q)] ~ pp q~ q ~ p

p q ~ q p q ~ q (p q) ~ p [~q (p q)] ~p

F F T T T T T

T F T F F F T

F T F T F T T

T T F T F F T

Contoh Soal 4.3 : Buktikan rangkaian argumen berikut :

Jawab :

1. p q Pr

2. q r Pr

3. ~ p s Pr

4. ~ r Pr /s

1. p q Pr

2. q r Pr

3. ~ p s Pr

4. ~ r Pr /s5. ~ q 2,4 MT

6. ~ p 1,5 MT

7. s 3,6 MP

Simplifikasi (Simp) :

p q p

1. ~ p q Pr

2. r p Pr

3. ~ r s P.

4. s t Pr /t

Contoh Soal 4.4 : Buktikan rangkaian argumen berikut :

Jawab :

1. ~ p q Pr

2. r p Pr

3. ~ r s Pr

4. s t Pr /t5. ~ p 1, Simp

6. ~ r 2,5 MT

7. s 3,6 MP

8. t 4,7 MP

Contoh Soal 4.5 : Buktikan rangkaian argumen berikut :

1. (p q) r Pr

2. p s Pr

3. q t Pr /r

Jawab :

1. (p q) r Pr

2. p s Pr

3. q t Pr /r4. p 2, Simp

5. q 3. Simp

6. p q 4,5 Conj

7. r 1,6 MP

Conjuntion (Conj) :pq p q

Hypothetical Syllogism (HS) :Tautologi :[ (p q) (q r)] (p r)p qq r p r

1. p q Pr

2. ~ p r Pr

3. r s Pr / (~ q s)4. ~ q ~ p 1, Kontrapositip

5. ~ q r 2, 4 HS

6. (~ q s 3, 5 HS

Jawab :

p : Kamu mengirim pesan email

q : Saya menyelesaikan menulis program

r : Saya cepat tidur

s : Saya bangun dengan perasaan segar

Jika kamu mengirim pesan email, maka saya akan menyelesaikan menulis program.

Bila kamu tidak mengirim pesan email kepada saya, maka saya akan cepat tidur.

Jika saya cepat tidur, maka saya akan bangun dengan perasaan segar

Bila saya tidak menyelesaikan menulis program, maka saya akan bangun dengan perasan segar

Contoh Soal 4.6

Buktikan validitas argumen berikut :

Disjunction Syllogism (DS)

Tautologi :[ (p q) ~ p] qp q~ p q

Contoh Soal 4.7 :Buktikan validitas argumen berikut :Saya pergi ke Palembang atau berlibur ke Pemalang. Saya tidak ke Palembang tapi mengikuti kursus di Pemalang. Jadi saya berlibur ke Pemalang

1. p q Pr

2. ~ p r Pr / q3. ~ p 2, Simp

4. q 1, 3 DS

Jawab :p : Saya pergi ke Palembangq : Saya berlibur ke Pemalangr : Saya mengikuti kursus di Pemalang

Constructive Dilemma (CD)

p qr sp q q s

Contoh Soal 4.8:Buktikan validitas argumen berikut :Jika purnama telah hilang, maka malam menjadi gelap gulitaJika malam semakin larut, maka angin bertiup semakin dinginPurnama telah hilang atau malam semakin larutJadi, malam menjadi gelap gulita atau angin bertiup semakin dingin

p : Purnama telah hilangq : Malam menjadi gelap gulitar : Malam semakin larutS : Angin bertiup semakin dingin

1. p q Pr

2. r s Pr

3. p q Pr / q s

4. q s 1,2,3 CD

Distructive Dilemma (DD)

p qr s~ q ~s p s

Addition (Add)

p p q

Contoh Soal 4.10Buktikan validitas argumen berikut :Jika di Pangandaran nelayan tertawa berdendang ria atau wisatawan ramai berpesta pora, maka di Pangandaran ada pesta lautJika bulan Pebruari telah tiba, maka nelayan di Pangandaran tertawa berdendang riaBulan Pebruari telah tibaJadi di Pangandaran ada pesta laut

p : Di Pangandaran nelayan tertawa berdendang ria q : Wisatawan ramai berpesta pora r : Di Pangandaran ada pesta laut s : Bulan Pebruari telah tiba

1. (p q) r Pr

2. s p Pr

3. s Pr / r4. p 2, 3 MP

5. p q 4, Add

6. r 1, 5 MP

Resolution (Res)

p q~ p r q r

Contoh Soal 4.11Buktikan validitas argumen berikut :Jasmin sedang bermain ski atau sekarang sedang tidak turun saljuSekarang sedang turun salju atau Bart sedang bermain hokiJasmin sedang bermain ski atau Bart sedang bermain hoki

p : Sekarang sedang turun salju q : Jasmine sedang bermain skir : Bart sedang bermain hoki

1. ~ p q Pr

2. p r Pr / q r3. q r Res

Jawab :

1 pp q

Addition (Add) 6 p qq r p r

Hypothetical Syllogism (HS)

2 p qp

Simplification (Simp) 7 p q~ p q

Disjunctive Syllogism (DS)

3 pqp q

Conjunction (Conj) 8 p qr sp q q s

Constructive Dilemma (CD)

4 p qpq

Modus Ponen (MP) 9 p qr s~ q ~s p s

Destructive Dilemma (DD)

5 ~ qp q ~ p

Modus Tollen (MT) 10 p q~ p r q r

Resolution (Res]

ATURAN PENARIKAN KESIMPULAN (RULE OF INFERENCE)

1 ~ (p q) ~ p ~q~ (p q) ~ p ~q

De Morgan (de M)

2 p q q pp q q p

Commutation (Comm))

3 p (q r) (p q) rp (q r) (p q) r

Association (Ass)

4 p (q r) (p q) (p r)p (q r) (p q) (p r)

Distribution (Distr)

5 ~ (~ p) = p Double Negation(DN)

6 p q ~ q ~ p Transposition (Trans)

7 p ~p q Material Implication (Impl)

8 p ↔ q (p q ) (q p) p ↔ q (p q ) (~ q ~p)

Material Equivalence (Equiv)

9 p q r p (q r) Exportation (Exp)

10 p p pp p p

Tautologi (Taut)

ATURAN PENUKARAN(RULE OF REPLACEMENT)

Contoh Soal 4.12Buktikan argumen di bawah ini :1. (a b ) (c d)2. ~ c / ~ b

Jawab :

1. (a b ) (c d) Pr

2. ~ c / ~ b Pr

3. ~ c ~ d 2, Add

4. ~(c d) 3, de M

5. ~ (a b ) 4, MT

6. ~ a ~ b 5, de M

7. ~ b ~ a Comm

8. ~ b Simpl

Contoh Soal 4.13Buktikan argumen di bawah ini :1. j (~ k j ) 2. k (~ j k) / (j k) (~ j ~ k)

Jawab :

1. j (~ k j ) Pr

2. k (~ j k) / (j k) (~ j ~ k) Pr

3. (~ k j ) j Comm

4. ~ k (j j) Ass

5. ~ k j Taut

6. k j Impl

7. (~ j k ) k Comm

8. ~ j (k k) Ass

9. ~ j k Taut

10. (j k ) Impl

11. (j k ) (k j) 6,10 Conj

12. j ↔ k Equiv

13. (j k) (~ j ~ k) Equiv

Soal Latihan No 4.1 [2005]

Tentukan validitas argumen berikut :~ (p m) (s r)~ s ~m

Soal Latihan No 4.2 Diberikan sebuah soal cerita di bawah ini, buktikan validitasnyaJika Nuraida pergi ke gunung Gede atau Aryanti tidak ada di rumah, maka Hasanah tidak akan pergi ke luar rumah dan Ineke akan setia menemaninya. Ternyata Hasanah pergi ke luar rumah. Jadi Aryanti ada di rumah

Soal Latihan No. 4.3

Diberikan argumen berikut :

~ (p q) r

p q

p r

Buktikan validitas argumen di atas

Soal Latihan No. 4.4Diberikan argumen berikut :Jika Wayan berdagang, maka ia tidak menjadi beban keluarganyaJika ia tidak berdagang, maka ia tidak mempunyai modal.Jika ia tidak mempunyai modal, maka ia bekerja di toko.Jika ia bangkrut, maka ia menjadi beban keluarganya.Jadi ia tidak bangkrut atau ia bekerja di tokow : Wayan berdagangk : Wayan menjadi beban keluarganyam : Wayan mempunyai modalt : Wayan bekerja di tokob : Wayan bangkrut

ATURAN PEMBUKTIAN KONDISIONAL

Pernyataan kondisional : [(p q) ~ p ] q berkorespondensi denganargumen :1. p q2. ~ p3. q

Setiap argumen yang valid berkorespondensi dengan pernyataan kondisional yang merupakan tautologi

Menurut hukum Exportation : a (b c) (a b) c, keduanya tautologi

1. a2. b c

Pernyataan kondisional berkorespondensi dengan suatu argumen

Premis-premis argumen (1 dan 2) adalah antesenden dari pernyataan kondisionalKonsekuen argumen (3) adalah konklusi dari pernyataan kondisional

1. a2. b3. c

Ada premis tambahan (b) rule of Conditional Proof (CP)

1. a b2. c d3. ~ b ~ d4. ~ a ~ b5. (a ~ c)

1. a b2. c d3. ~ b ~ d4. ~ a ~ b5. a (premis tambahan)6. ~ c

1 a b Pr2 c d Pr

3 ~ b ~ d Pr

4 ~ a ~ b

Pr / a c

5 a Pr tambahan / c

6 b 1,5 MP

7 ~ (~b) 6 DN

8 ~ d 3,7 DS

9 ~ c 2,8 MT

10 a ~c 5,9 CP

Contoh Soal 4.14Buktikan validitas argumen berikut :

Jawab :Ubah argumen di atas menjadi :

Pembuktian selengkapnya :

1. a (b c) Pr2. c (d e) Pr /a (b d)

1. a (b c) Pr 2. c (d e) Pr3. a (Pr tambahan) / (b d)4. b (Pr tambahan) / d

1 a (b c) Pr2 c (d e) Pr

3 a Pr tambahan

4 b Pr tambahan

5 b c 1,3 MP

6 c 5,4 MP

7 d e 2,6 MP

8 d 7 Simp

Contoh Soal 4.15Buktikan validitas argumen berikut :

Jawab :Ubah argumen di atas menjadi :

Pembuktian selengkapnya :

Latihan Soal 4.6 Buktikan validitas argumen berikut menggunakan aturan pembuktian kondisional1. p r Pr2. (~ p r) (s q) Pr /p (s q)

Latihan Soal 4.5Buktikan validitas argumen berikut menggunakan aturan pembuktian kondisional1. (s q) r Pr2. (p s) q Pr /p r

Latihan Soal 4.7 Buktikan validitas argumen berikut menggunakan aturan pembuktian kondisional1. t d e Pr / t e

ATURAN PEMBUKTIAN TAK LANGSUNGRule of Indirect Proof (IP)

• Membentuk negasi dari konklusinya yang kemudian dijadikan premis tambahan• Bila terjadi kontradiksi, maka argumen valid

Contoh Soal 4.16Buktikan validitas argumen ini dengan pembuktian tak langsung1. p q Pr2. q r Pr3. p Pr / r

1. p q Pr2. q r Pr3. p Pr / r4. ~ r Pr tambahan

1 p q Pr2 q r Pr

3 p Pr

4 ~ r Pr tambahan

5 ~ q 2,4 MT

6 ~ p 1,5 MT

7 p ~p 3,6 conj

Terjadi kontradiksi argumen valid

Contoh Soal 4.17Buktikan validitas argumen di bawah ini dengan metode IP, dan lanjutkan sampai diperoleh konklusi argumennya1. b j Pr2. h d Pr3. ~ (~j ~ d) u Pr 4. ~ u Pr / ~ b

~ h

Jawab :

1 b j Pr

2 h d Pr

3 ~ (~j ~ d) u Pr

4 ~ u Pr / ~ b ~ h

5 ~(~ b ~ h) IP ,Pr tambahan

6 b h De Morgan

7 b 6, simp

8 j 1,7 MP

9 h b 6, comm

10 h 9, simp

11 d 2,10 MP

12 ~j ~ d 3,4 MT

13 ~ (~j ) 8, DN

14 ~ d 12,13 DS

15 d ~ d 11, 14 conj

16 ~ b ~ h 1,2, 12 DD

17

18

Terjadi kontradiksi

Latihan Soal 4.9 Buktikan validitas argumen berikut menggunakan aturan pembuktian tak langsung1. a b c d Pr2. d e) f Pr 3. a Pr / f

Latihan Soal 4.8Buktikan validitas argumen berikut menggunakan aturan pembuktian tak langsung1. ~ (p m) (s r) Pr2. ~ s Pr /~ m

Latihan Soal 4.10 Buktikan validitas argumen berikut menggunakan aturan pembuktian kondisional1. p [q (r s)] Pr 2. ~r ~s Pr3. ~q Pr / ~ p