matematika keuangan bunga majemuk - indra maipita

Matematika KeuanganDan Ekonomi

Indra MaipitaIndra Maipita

BUNGA MAJEMUK

Pengertian Bunga Majemuk

Bunga yang jatuh tempo ditambahkan ke nilai pokok pada akhir setiap periode compound atau periode perhitungan bunga untuk mendapatkan pokok yang baru (bunga berbunga)Periode perhitungan bunga dapat dinyatakan dalam mingguan (j52), bulanan (j12), triwulanan (j4), semesteran (j2) atau tahunan (j1).

Contoh 1:Hitunglah bunga dari Rp 1.000.000 selama 2 tahun dengan tingkat bunga 10% p.a. apabila bunga dihitung semesteran, dan bandingkan dengan bunga sederhana yang dihasilkan.

Jawab:

Periode Pokok Pinjaman Perhitungan Bunga Majemuk Nilai Pada

Akhir Periode

1 1.000.000 1.000.000 x 0,05 = 50.000

1.050.000

2 1.050.000 1.050.000 x 0,05 = 52.500

1.102.500

3 1.102.500 1.102.500 x 0,05 = 55.125

1.157.625

4 1.157.625 1.157.625 x 0,05 = 57.881

1.215.506,25

Total bunga selama 2 tahun adalah Rp 215.506,25 ; sedangkan bila menggunakan bunga sederhana, total bunganya adalah Rp 200.000 (Rp 1.000.000 x 10% x 2)

Perhitungan Bunga Majemuk

S = P (1 + i)n dengan

dengan P = Nilai pokok awal (principal)S = Nilai akhirn = Jumlah periode perhitungan bungam = Frekuensi perhitungan bunga dalam setahun, yaitu

2 untuk semesteran, 4 untuk triwulanan, dst.Jm = Tingkat bunga nominal tahunan dengan periode

perhitungan m kali per tahuni = Tingkat bunga per periode perhitungan bunga

mJi m=

Contoh 2

Berapakah nilai S dari P sebesar Rp 10.000.000 jika j12 = 12% selama :

a. 5 tahunb. 25 tahun

967.166.18Rp)01,01(000.000.10Rp

)i1(PS

bulan6012tahun5n

01,0%112

%12i

000.000.10RpP.a

60

n

=+=

+=

=×=

===

=

6,662.884.197Rp)01,01(000.000.10Rp

)i1(PS

bulan30012tahun25n01,0%1i

000.000.10RpP.b

300

n

=+=

+=

=×===

=

Bunga Efektif Dan Bunga Nominal

Bunga Nominal tingkat bunga tahunan yang dinyatakan, dan tidak terpengaruh periode perhitungan bunga

Bunga Efektif tingkat bunga tahunan j1 yang ekuivalen, tingkat bunga sebenarnya atau yang akan diperoleh

j1 = (1 + i)m – 1 atau

1 + j1 = (1 + i) m

Contoh 3

%10efektifbungaTingkat

%101025,0j1)05,1(j

121,01j.a

41

41

1

21

2

1

=

==

−=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

%68,12efektifbungaTingkat%68,12126825,0j

1)01,1(j

11212,01j.b

1

121

12

1

===

−=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

Hitunglah tingkat bunga efektif j1 yang ekuivalen dengan:a. j2 = 10%b. j12 = 12%c. j365 = 13,25%

%17,14efektifbungaTingkat%17,1414165,0j

1)14165,1(j

13651325,01j.c

1

3651

365

1

===

−=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

nn )i1(S

)i1(SP −+=+

=

Contoh 4Dengan menggunakan j12 = 12%, hitunglah nilai diskonto dari uang sejumlah Rp 100.000.000 yang jatuh tempo :a. 10 tahun lagib. 25 tahun lagi

Menghitung Nilai Sekarang

Jawab:

97,477.299.30RpP)01,01(

000.000.100RpP

)i1(SP

01,0%112

%12i

1201210n000.000.100RpS.a

120

n

=+

=

+=

===

=×==

75,448.053.5RpP)01,01(

000.000.100RpP

)i1(SP

01,0%112

%12i

3001225n000.000.100RpS.b

300

n

=+

=

+=

===

=×==

Menghitung Tingkat Bunga Dan Jumlah Periode

1PSi

n1

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

)i1(logPSlog

n+

=

Contoh 5Berapa tingkat bunga j12 yang dapat membuat sejumlah uang menjadi tiga kali lipat dalam 12 tahun?

Jawab:

Kita asumsikan uang tersebut sebagai x.n = 12 x 12 = 144Maka:x (1+i)144 = 3x

(1+i) = (3)1/144

i = (3)1/144 – 1i = 0,00765843

j12 = 12 x ij12 = 12 x 0,00765843 = 0,09190114j12 = 9,19%

Contoh 6

Berapa lama waktu yang diperlukan untuk membuat uang sebesar Rp 5.000.000 menjadi Rp 8.500.000 dengan j12 = 12%?

Jawab:

P = Rp 5.000.000S = Rp 8.500.000i = 01,0%1

12%12

==

Jawab:

bulan6tahun4hari10bulan5tahun4natau

bulan3277,53n01,1log7,1logn

)01,01(log000.000.5Rp000.500.8Rplog

n

)i1(logPSlog

n

≈=

=

=

+=

+=

Continuous Compounding

Digunakan untuk kasus-kasus yang memiliki tingkat pertumbuhan yang sangat cepat (continuous compounding), misalnya per detik.

S = P er t

Contoh 7Berapakah jumlah penduduk Indonesia pada tahun 2010 apabila diketahui tahun 2004 Indonesia memiliki penduduk 220.000.000 jiwa dengan tingkat pertumbuhan penduduk per tahun 1,7%?

Jawab:

P2004 = 220.000.000r = 1,7%t = 6

P2010 = P2004 er t

P2010 = 220.000.000 e(1,7%)(6)

P2010 = 220.000.000 e(10,2%)

P2010 = 243.624.364 jiwa

Thank you for your attention

14