mate ma tika
Post on 11-Dec-2014
69 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Matematika
GEOMETRI TRANFORMASI
Drs. Sujalwo, M.Kom
Selasa, 14 Mei 2011
Rumus Pencerminan
Rumus Umum Pencerminan dapat diperoleh sebagai berikut :
Misalkan persamaan sumbu s ialah : ax + by + c = 0.
1. Garis PP’ dan s, saling berpotongan tegak lurus, maka gradient
PP’ dan gradient s, berlaku gradient PP’ x gradient s = - 1.
Dimana gradient s = - dan gradient PP’ = maka
¾® a(y’ – y) = b(x’ – x) ¾® bx’ – ay’ = bx – ay . . . . . .
. . . (i).
2. Misalkan D tengah – tengah PP’ dengan koordinat ( ,
),
dimana garis melalui D( , ), sehingga persamaan
garis :
a( ) + b( ) + c = 0, ¾® ax’ + by’ = – ax – by –
2c . . (ii).
Dari dua persamaan (i). dan (ii) yaitu :
bx’ – ay’ = bx – ay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (i).
ax’ + by’ = – ax – by – 2c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (ii).
Sesudah dijabarkan dengan metode matriks, dari dua persamaan
bx’ – ay’ = bx – ay dan ax’ + by’ = – ax – by – 2c diselesailan ke
x’ dan y’ diperoleh :
x’ = ……………………………..(iii)
dan
y’ = …………………………….(iV)
Bentuk diatas dapat diubah sedemikian sehingga terdapat bentuk
umum rumus umum pencerminan I sbb :
x’ = x – dan y’ = y – ………. (3)
Bentuk umum rumus umum pencerminan I
x’ = x – dan y’ = y –
Bentuk umum rumus umum pencerminan II
Jika s dinyatakan dengan persamaan berbentuk normal :
S : x cos + y sin – p = 0 dimana a diganti dengan cos
;
b diganti dengan sin dan c diganti dengan p,
Karena
1). AA’ s maka gradien AA’ kali gradien s = – 1. dimana
gradien AA’ = , sedangkan gradient s = – ,
sehingga diperoleh :
= ¾® x’ sin q – x sin q = y’ cos q – y cos q ¾®
x’ sin q – y’ cos q = x sin q – y cos q ……………………(1).
2). S membagi AA’ menjadi dua sama panjang misal D dengan
koordinat ( , ) .
S melalui D ( , ) maka :
. cos q + . sin q – p = 0 ¾®
x’ cos q + x cos q + y’ sin q + y sin q – 2p = 0 ¾®
x’ cos q + y’ sin q = x cos q + y sin q + 2p ……………..(2)
dari (1) dan (2)
x’ sin q – y’ cos q = x sin q – y cos q
x’ cos q + y’ sin q = – x cos q – y sin q + 2p
ingat metode matrik untuk mencari variable x’ dan y’ sbb :
x’ = ¾® proses
x’ = – x.cos 2q – ysin 2q + 2p.cosq ……………………..(3)
y’ = ¾® proses
y’ = – x.sin 2q + y.cos 2q + 2p.sinq …………………..(3’)
Dari (3) dan (3’) di perolleh : rumus umum pecerminan II sebagai
berikut
x’ = – x cos 2 – y sin2 + 2p cos
y’ = – x sin 2 + y cos 2 + 2p sin ……………. (4)
atau
dengan bentuk matriks,
= + 2p
…………………….(4’)
Catatan : Persamaan normal dari s : ax + by + c = 0 adalah :
+ + = 0
identik dengan
x cos + y sin – p = 0
Jadi cos = , sin = dan – p =
Contoh :
Dengan menggunakan rumus II
carilah Ms, jika s :
1. Berimpit dengan sumbu y.
2. Berimpit dengan sumbu x.
3. Berimpit dengan y = x.
4. Berimpit dengan y = - x.
Penyelesaian :
Berimpit dengan sumbu y, berarti x = 0.
Persamaan normal : x cos q + y sin q – p = 0
Untuk x = 0 berarti cos q = 1 , sin q = 0 ¾® q = 00 dan p = 0
Ms(x,y) ¾®(x’,y’) dengan = + 2p
= + 2.0
= . + 0 ¾® = = .
Jadi x’ = – x, dan y’ = y
Lainnya untuk latihan.
Beberapa kejadian khusus :
1. My = Menunjukan refleksi terhadap sumbu y atau
terhadap x = 0, (Bila s berimpit dengan sumbu y)
2. Mx = Menunjukan refleksi terhadap sumbu x atau
terhadap y = 0 (Bila s berimpit dengan sumbu x)
3. Ml = Menunjukan refleksi terhadap garis y = x
(Bila s berimpit dengan sumbu y = x)
4. Mm = Menunjukan refleksi terhadap garis y = – x
(Bila s berimpit dengan sumbu y = – x)
Contoh :
Diketahui s : x + y – 8 = 0.
Carilah :
a. Ms
b. Ms(x2 + y2 = 4)
Penyelesaian :
s : x + y – 8 = 0 ¾® bentuk normalnya adalah :
+ + – = 0
sehingga
cos q = = , sin q = =
berarti q = 450
dan p = = 4
sehingga M(x,y) ¾® (x’,y’) dengan
= + 2p
= + 2. 4
= . + 2. 4
= +
Maka = – y + 8 ¾® y = – + 8 dan
y’ = – x + 8 ¾® x = – y’ + 8
Jadi Ms(x2 + y2 = 4) lingkaran pusat (0,0) dan jari – jari 2,
menjadi lingkaran (– x’ + 8)2 + (– y’ + 8)2 = 4 pusat (8,8)
dan jari – jari 2.
Kuliah
Selasa 14 Juni 2011
1. Putaran (Rotasi) R.p,
Dimuka telah dibahas :
Hasil kali 2 pencerminan dengan sumbu yang sejajar adalah
geseran. (dalil. 2.6.5)(IV.5).
Dalil. 2.6.5(IV.5)
Bila garis a sejajar dengan garis b maka Mb.Ma = SCD dengan
CD = 2 jarak (a,b) dan CD tegak lurus garis a.
Jadi hasilkali pencerminan terhadap dua garis sejajar merupakan
geseran pada arah tegaklurus garis – garis tadi dengan jarak dua
kali jarak kedua garis
Hasil kali 2 pencerminan dengan sumbu yang tegak lurus adalah
setengah putar.( dalil. 2.6.4)
Dalil. 2.6.4.(IV.4)
Bila s dan t saling tegak lurus dan P = titik (s,t) maka MtMs = Hp
Bagaimana jika kedua sumbu berpotongan sembarang apakah
hasilnya ?
Ambil sembarang sumbu s dan t yang berpotongan di p.
Sembarang titik A dikenakan pada Ms dan Mt.
Ms(A) = A’ dan Mt(A’) = A” ¾® Mt.Ms(A) = A”.
D titik tengah – tengah AA’ ¾® m< DPA = m<A’PD
E titik tengah – tengah A’A’’ ¾® m< EPA’ = m<A’’PE
Misal m< EPD = q maka m<A”PA = 2.q
Karena P pada s ¾® PA = PA’
Karena P pada t ¾® PA’ = PA’’
Dapat disimpulkan PA = PA”
Jadi Mt.Ms akan menghasilkan :
1.m<A”PA = 2.q dimana q = m<(s,t)
2. PA = PA”
Konsep Putaran (Rotasi)
Definisi : Putaran terhadap P dengan sudut , dengan lambang
R.p, ialah pemetaan yang memenuhi :
(1). R.p, = P,
(2). R.p, (A) = A’ dengan PA’ = PA, sudut (m< APA’ = )
Titik P disebut pusat putaran dan disebut sudut putar. Seperti
biasa, sudut positif bila arah putar berlawan dengan arah
jarum jam.
Catatan :
1. (+) jika arah putar berlawanan dengan arah jarum jam.
2. = 0 maka Rp,0 = I, disebut transformasi indentitas
( jika = 0 maka R.p,0 = I, sedangkan untuk R I)
3. Jika Hp = Rp,180 = Rp,-180
4. Jika a = b jika b = a + k.3600
Sembarang putaran Rp,q selalu dapat dinyatakan hasil kali 2
pencerminan satu terhadap s dan satu terhadap t dengan p titik
potong s dan t dan q = 2 m<(s,t).
Jadi :
SAB bila t // s
Mt.Ms =
Rp,q bila t tidak sejajar dengan s, dengan
kejadian khusus, bila s t, maka Mt.Ms = Hp
= Rp,180 = Rp.–180
Rumus Putaran
Putaran Rp,q dapat dianggap sebagai hasilkali Mt.Ms dengan s
sumbu semetri berimit dengan sumbu x, y = 0 dan t sumbu
semetri melalui O(0,0) dengan sudut dengan s.
s : y = 0 berarti a = 0, b = 1 dan c = 0
Rumus Ms : =
t : y = mx dengan m = ¾® y = .x
x.sin q - y.cos q = 0 ¾®
x cos (900 + ) + y sin (900 + ) = 0
Persamaan garis t : x cos (900 + ) + y sin (900 + ) = 0
Dengan pencerminan Mt dapat ditulis :
Mt(x’,y’) ¾® (x’’,y’’)
=
=
Sehingga hasilkali Mt.Ms dapat dirumuskan sebagai berikut :
Mt.Ms(x,y) ¾® (x’’,y’’)
= mt.Ms
=
Jadi jika P(0,0) maka
Rp,q(x,y) ¾® (x’,y’)
= atau
= x cos – y sin dan = x sin + y cos
Jadi Rumus Putaran terhadap 0(0,0) adalah
= atau
= x cos – y sin dan = x sin + y cos
3. Dengan pusat putar di P(a,b).
Anggap ada sumbu berpangkal di P(a,b) dimana sejajar
sumbu x dan sejajar sumbu y
Ambi C( , ) dan C’( , ) dengan sumbu
Rp,q ( , ) ¾®( , ) dengan
=
Koordinat C dan C’ terhadap sumbu XOY
PC’ = OC’ – OP ¾® = – =
=
= ¾® =
Dan seterusnya :
Akhirnya didapat.
Rumus Putaran terhadap P(a,b) adalah
= + dimana
p = – a cos + b sin + a dan q = – a sin – b cos
+ b
Contoh :
Diketahui : g : x – y = 10
a. carilah R0,-90(g) P(0,0), b. Rp,90 (x,y)
Penyelesaian :
a. carilah R0,-90(x,y)
Rp,q(x,y) ¾® (x’,y’)
= ¾® =
= ¾® =
Sehingga x’ = - y dan y’ = x.
Kenakan x – y = 10 ¾® – y’ – x’ = 10 ¾® y’ + x’ = –10
Contoh : 2
Tunjukkan bahwa : = +
Tunjukan bentuk diatas merupakan putaran dan
cari pusat putar.
Penyelesaian :
= +
= + ¾® = +
Berarti cos q = , sin q = - ¾® cos2q + sin2q = 1
+ = 1, jadi transformasi diatas merupakan putaran.
Misalkan pusat putaran p(a,b), menurut rumus putaran terhadap
P(a,b) adalah
= + dimana
p = – a cos + b sin + a dan q = – a sin – b cos
+ b
1 = a – a. + b. - dan – 1 = b – a. - – b.
sehingga
5 = 2a – 4b dan 5 = 4a + 2b, setelah diproses didapat a = –
dan b = –
Untuk mencari sudut putar (q) maka tg q = = = –
¾® q = arc tg(– )
Hal. 18, No. 4, 5 dan 6
Mencari pusat putaran dapat dikerjakan dengan mencari
titik tetap (dalil.2.5.4) sebagai berikut :
= atau + =
menghasilkan persamaan linier atau
atau
3x + 4y + 5 = 5x → 2x – 4y – 5 = 0 ( I)
– 4x + 3y – 5 = 5y → 4x + 2y + 5 = 0 ( II)
dari persamaan (I) dan (II) diperoleh
x = dan y =
Jadi pusat putaran adalah P ( , )
Contoh : 3
Diketahui = +
a. Tunjukkan bahwa transfomasi diatas merupakan putaran.
b. Carilah pusat putar dan sudut putar.
Dalil. 2.7.1.
Sebarang putaran R.p, selalu dapat dianggap sebagai hasilkali
dua pencerminan, satu terhadap s dan satu terhadap t dengan
P = titik(s,t) dan m< (s,t) =
Bukti :
Diketahui titik P dan sudut , maka Rp, tertentu. Tarik
sembarang garis s melalui P, kemudian dilukis garis t melalui P
dengan sudut m<(s,t) = . Maka sesuai dengan pembahasan
dimuka, hasilkali Ms dengan Mt akan memberikan suatu putaran
yang tak lain adalah Rp, .
Dalil. 2.7.2
Rotasi merupakan suatu isometri
Bukti :
Karena (dalil. 2.7.1) rotasi dapat ditulis sebagai Rp, = Mt.Ms
dan sudah diketahui bahwa Ms (juga Mt) adalah transformasi
yang isometri maka dengan dalil 2.1.1 dan dalil 2.2.2 disimpulkan
bahwa Rp, adalah transformasi yang merupakan isometri. Jadi
juga kolineasi.
Sebagai kesimpulan sementara kita peroleh bahwa hasilkali dua
pencerminan akan menghasilkan geseran atau putaran :
SAB bila t // s
Mt.Ms =
Rp,q bila t tidak sejajar dengan s, dengan
kejadian khusus, bila s t, maka Mt.Ms = Hp
= Rp,180 = Rp.–180
Dalil. 2.7.3
=
Bukti : dengan lewat definisi
Dalil. 2.7.4.
Hasilkali . =
Bukti :
Dalil. 2.7.5
Rp, yang Msrupakan involusi hanyalah Hp.
Bukti :
Dalil. 2.7.6
Himpunan Rp, dengan P tertentu, Menyusun grup Abel.
Dalil. 2.7.7
Bila g’ = Rp, (g) maka m<(g,g’) = . Artinya peta putaran
Rp, terhadap suatu garis g akan Ms membentuk sudut
dengan g.
Bukti :
Rumus Putaran
Putaran Ro, dapat dianggap sebagai hasilkali Mt.Ms dengan
s = OX dan t adalah garis Mslalui O bersudut dengan s.
Rumus Ms : =
Persamaan garis t : x cos (900 + ) + y sin (900 + ) = 0
Dengan pencerminan Mt dapat ditulis :
=
=
ehingga hasilkali Mt.Ms dapat dirumuskan sebagai berikut :
=
=
Rumus Putaran terhadap 0(0,0) adalah
= atau
= x cos – y sin dan = x sin + y cos
Rumus Putaran terhadap P(a,b) adalah
= + dimana
p = – a cos + b sin + a dan q = – a sin – b cos
+ b
Group Matriks Tranformasi
1. I = Msnunjukan identitas
2. My = Msnunjukan refleksi terhadap sumbu y atau
terhadap x = 0
3. Mx = Msnunjukan refleksi terhadap sumbu y atau
terhadap y = 0
4. Ml = Msnunjukan refleksi terhadap garis y = x
5. Mm= Msnunjukan refleksi terhadap garis y = - x
6. = Msnunjukan seper empat putaran
7. = Msnunjukan setengah putaran
8. = Msnunjukan tiga per empat putaran atau
seper empat putaran
negatif.
9. Msnunjukan suatu peregangan pada arah sumbu
x , sedemikian
sehingga luas bangun image k kali luas bagun
semula.
= k ; titik – titik pada sumbu y ialah titik –
titik invariant
10. Msnunjukan suatu peregangan pada arah sumbu
y , sedemikian
sehingga luas bangun image k kali luas bagun
semula.
= k ; titik – titik pada sumbu x ialah titik –
titik invariant
11. Msnunjukan suatu peregangan ( k > 0)
Jika matriks ini Msntransformir P ke P’ maka OP’
= k OP
Untuk k > 1 terdapat peregangan (“uniform
stretching”)
Untuk 0 < k < 1 terdapat pengkerutan (“uniform
comprestion”)
1. Putaran (Rotasi) R.p,
Dari hasil pembicaraan di muka sudah diketahui bahwa hasilkali
dua pencerminan(Refleksi) dengan sumbu saling sejajar adalah
suatu geseran sedang bila sumbu – sumbu saling tegak lurus
Menghasilkan setengah putaran. Bagaimana untuk letak
sebarang bagi kedua sumbu pencerminan ? Inilah yang akan di
bawah. Ambil sebarang sumbu s dan t yang berpotongan di P.
Sebuah titk A sebarang dikenakan Ms kemudian Mt.
Nb. Rp,0 = I dan Rp,1800 = Hp
A’ = Ms(A); dimana A’’ = Mt(A’) = Mt.Ms(A) = (Mt.Ms)(A)
Misalkan Q titik tengah garis (AA’), dan T titik tengah garis (A’A’’)
Karena sifat pencerminan : m< QPA = m<QPA’; sedangkan
m<TPA’ = m<TPA’’. Bila = m<(s,t) maka
m<APA’’ = 2 m< APQ + 2 m< TPA’; m<APA’’ = 2 m< QPA’ + 2
m< A’PT
m<APA’’ = 2 m< QPT = 2 m< (s,t) = 2
Juga dari sifat pecerminan, PA’’ = PA’ = PA, hingga dari
penjabaran di atas diperoleh bahwa hasilkali dua pencerminan
(terhadap s dan terhadap t) Msmberikan PA’’ = PA dan m< APA’’
= 2 m< (s,t) = 2 .
Pemetaan terakhir ini disebut putaran terhadap P dengan sudut 2
. Untuk membahas kejadian umum, sudut dianggap berarah
hingga besarnya dapat positif maupun negative.
b. carilah RA,270(g) dengan A(- 1, 2)
Rp,q(x,y) ¾® (x’,y’)
= - + ¾®
= - +
Dan seterusnya.
Posted 12th January 2012 by ninikkurnia.blogger.com
Loading Send feedback
untuk persiapan semester Geometri Transformasi, ada beberapa soal yang mungkin bermanfaat untuk dipelajari. contoh soalnya adalah sebagai berikut:
1. Jika T isometri g garis,Tunjukan bahwa TMgT-1 adalah suatu pencerminan dengan garis T(g).
2. Diketahui A(2,3), B ( -4, 7 ) B terletak pada h, GAB= MgMh, tentukan persamaan garis g dan h?
3. Buktikan bahwa komposisi rotasi dengan rotasi adalah suatu rotasi atau translasi, komposisi refleksi geser dengan refleksi geser adalah suatu translasi atau rotasi, komposisi refleksi dengan refleksi adalah translasi atau rotasi, komposisi rotasi dengan refleksi adalah refleksi atau refleksi geser.
4. buktikan rumus dari rotasi dengan pusat A(a,b) diputar sejauh 5. Dipunyai L={(x,y)|x2 + y2 – 6y + 5 = 0}, g = {(x,y)|y = x + 3} ,A(3,2) dan P (2,5)
apakah P terletak pada MgSA(L) tentukan juga MgSA(L)?6. Dipunyai L={(x,y)|x2 + y2 – 6y + 5 = 0}, titik A (1,2) titik B (4,3) tentukan RB,90
o.RA,-90
o
(L)
top related