Matematika

GEOMETRI TRANFORMASI

Drs. Sujalwo, M.Kom

Selasa, 14 Mei 2011

Rumus Pencerminan

Rumus Umum Pencerminan dapat diperoleh sebagai berikut :

Misalkan persamaan sumbu s ialah : ax + by + c = 0.

1.  Garis PP’ dan s, saling berpotongan tegak lurus, maka gradient

PP’ dan gradient s, berlaku gradient PP’ x gradient s = - 1.

Dimana gradient s = - dan gradient PP’ = maka

¾® a(y’ – y) = b(x’ – x) ¾® bx’ – ay’ = bx – ay . . . . . .

. . . (i).

2.  Misalkan D tengah – tengah PP’ dengan koordinat ( ,

),

dimana garis melalui D( , ), sehingga persamaan

garis :

a( ) + b( ) + c = 0, ¾® ax’ + by’ = – ax – by –

2c . . (ii).

Dari dua persamaan (i). dan (ii) yaitu :

bx’ – ay’ = bx – ay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (i).

ax’ + by’ = – ax – by – 2c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (ii).

Sesudah dijabarkan dengan metode matriks, dari dua persamaan

bx’ – ay’ = bx – ay dan ax’ + by’ = – ax – by – 2c diselesailan ke

x’ dan y’ diperoleh :

x’ = ……………………………..(iii)

dan

y’ = …………………………….(iV)

Bentuk diatas dapat diubah sedemikian sehingga terdapat bentuk

umum rumus umum pencerminan I sbb :

x’ = x – dan y’ = y – ………. (3)

Bentuk umum rumus umum pencerminan I

x’ = x – dan y’ = y –

Bentuk umum rumus umum pencerminan II

Jika s dinyatakan dengan persamaan berbentuk normal :

S : x cos + y sin – p = 0 dimana a diganti dengan cos

;

b diganti dengan sin dan c diganti dengan p,

Karena

1). AA’ s maka gradien AA’ kali gradien s = – 1. dimana

gradien AA’ = , sedangkan gradient s = – ,

sehingga diperoleh :

= ¾® x’ sin q – x sin q = y’ cos q – y cos q ¾®

x’ sin q – y’ cos q = x sin q – y cos q ……………………(1).

2). S membagi AA’ menjadi dua sama panjang misal D dengan

koordinat ( , ) .

S melalui D ( , ) maka :

. cos q + . sin q – p = 0 ¾®

x’ cos q + x cos q + y’ sin q + y sin q – 2p = 0 ¾®

x’ cos q + y’ sin q = x cos q + y sin q + 2p ……………..(2)

dari (1) dan (2)

x’ sin q – y’ cos q = x sin q – y cos q

x’ cos q + y’ sin q = – x cos q – y sin q + 2p

ingat metode matrik untuk mencari variable x’ dan y’ sbb :

x’ = ¾® proses

x’ = – x.cos 2q – ysin 2q + 2p.cosq ……………………..(3)

y’ = ¾® proses

y’ = – x.sin 2q + y.cos 2q + 2p.sinq …………………..(3’)

Dari (3) dan (3’) di perolleh : rumus umum pecerminan II sebagai

berikut

x’ = – x cos 2 – y sin2 + 2p cos

y’ = – x sin 2 + y cos 2 + 2p sin ……………. (4)

atau

dengan bentuk matriks,

= + 2p

…………………….(4’)

Catatan : Persamaan normal dari s : ax + by + c = 0 adalah :

+ + = 0

identik dengan

x cos + y sin – p = 0

Jadi cos = , sin = dan – p =

Contoh :

Dengan menggunakan rumus II

carilah Ms, jika s :

1.  Berimpit dengan sumbu y.

2.  Berimpit dengan sumbu x.

3.  Berimpit dengan y = x.

4.  Berimpit dengan y = - x.

Penyelesaian :

Berimpit dengan sumbu y, berarti x = 0.

Persamaan normal : x cos q + y sin q – p = 0

Untuk x = 0 berarti cos q = 1 , sin q = 0 ¾® q = 00 dan p = 0

Ms(x,y) ¾®(x’,y’) dengan = + 2p

= + 2.0

= . + 0 ¾® = = .

Jadi x’ = – x, dan y’ = y

Lainnya untuk latihan.

Beberapa kejadian khusus :

1. My = Menunjukan refleksi terhadap sumbu y atau

terhadap x = 0, (Bila s berimpit dengan sumbu y)

2. Mx = Menunjukan refleksi terhadap sumbu x atau

terhadap y = 0 (Bila s berimpit dengan sumbu x)

3. Ml = Menunjukan refleksi terhadap garis y = x

(Bila s berimpit dengan sumbu y = x)

4. Mm = Menunjukan refleksi terhadap garis y = – x

(Bila s berimpit dengan sumbu y = – x)

Contoh :

Diketahui s : x + y – 8 = 0.

Carilah :

a. Ms

b. Ms(x2 + y2 = 4)

Penyelesaian :

s : x + y – 8 = 0 ¾® bentuk normalnya adalah :

+ + – = 0

sehingga

cos q = = , sin q = =

berarti q = 450

dan p = = 4

sehingga M(x,y) ¾® (x’,y’) dengan

= + 2p

= + 2. 4

= . + 2. 4

= +

Maka = – y + 8 ¾® y = – + 8 dan

y’ = – x + 8 ¾® x = – y’ + 8

Jadi Ms(x2 + y2 = 4) lingkaran pusat (0,0) dan jari – jari 2,

menjadi lingkaran (– x’ + 8)2 + (– y’ + 8)2 = 4 pusat (8,8)

dan jari – jari 2.

Kuliah

Selasa 14 Juni 2011

1.  Putaran (Rotasi) R.p,

Dimuka telah dibahas :

       Hasil kali 2 pencerminan dengan sumbu yang sejajar adalah

geseran. (dalil. 2.6.5)(IV.5).

Dalil. 2.6.5(IV.5)

Bila garis a sejajar dengan garis b maka Mb.Ma = SCD dengan

CD = 2 jarak (a,b) dan CD tegak lurus garis a.

Jadi hasilkali pencerminan terhadap dua garis sejajar merupakan

geseran pada arah tegaklurus garis – garis tadi dengan jarak dua

kali jarak kedua garis

       Hasil kali 2 pencerminan dengan sumbu yang tegak lurus adalah

setengah putar.( dalil. 2.6.4)

Dalil. 2.6.4.(IV.4)

Bila s dan t saling tegak lurus dan P = titik (s,t) maka MtMs = Hp

       Bagaimana jika kedua sumbu berpotongan sembarang apakah

hasilnya ?

Ambil sembarang sumbu s dan t yang berpotongan di p.

Sembarang titik A dikenakan pada Ms dan Mt.

Ms(A) = A’ dan Mt(A’) = A” ¾® Mt.Ms(A) = A”.

D titik tengah – tengah AA’ ¾® m< DPA = m<A’PD

E titik tengah – tengah A’A’’ ¾® m< EPA’ = m<A’’PE

Misal m< EPD = q maka m<A”PA = 2.q

Karena P pada s ¾® PA = PA’

Karena P pada t ¾® PA’ = PA’’

Dapat disimpulkan PA = PA”

Jadi Mt.Ms akan menghasilkan :

1.m<A”PA = 2.q dimana q = m<(s,t)

2.  PA = PA”

Konsep Putaran (Rotasi)

Definisi : Putaran terhadap P dengan sudut , dengan lambang

R.p, ialah pemetaan yang memenuhi :

(1). R.p, = P,

(2). R.p, (A) = A’ dengan PA’ = PA, sudut (m< APA’ = )

Titik P disebut pusat putaran dan disebut sudut putar. Seperti

biasa, sudut positif bila arah putar berlawan dengan arah

jarum jam.

Catatan :

1.    (+) jika arah putar berlawanan dengan arah jarum jam.

2.    = 0 maka Rp,0 = I, disebut transformasi indentitas

( jika = 0 maka R.p,0 = I, sedangkan untuk R I)

3. Jika Hp = Rp,180 = Rp,-180

4. Jika a = b jika b = a + k.3600

Sembarang putaran Rp,q selalu dapat dinyatakan hasil kali 2

pencerminan satu terhadap s dan satu terhadap t dengan p titik

potong s dan t dan q = 2 m<(s,t).

Jadi :

SAB bila t // s

Mt.Ms =

Rp,q bila t tidak sejajar dengan s, dengan

kejadian khusus, bila s t, maka Mt.Ms = Hp

= Rp,180 = Rp.–180

Rumus Putaran

Putaran Rp,q dapat dianggap sebagai hasilkali Mt.Ms dengan s

sumbu semetri berimit dengan sumbu x, y = 0 dan t sumbu

semetri melalui O(0,0) dengan sudut dengan s.

s : y = 0 berarti a = 0, b = 1 dan c = 0

Rumus Ms : =

t : y = mx dengan m = ¾® y = .x

x.sin q - y.cos q = 0 ¾®

x cos (900 + ) + y sin (900 + ) = 0

Persamaan garis t : x cos (900 + ) + y sin (900 + ) = 0

Dengan pencerminan Mt dapat ditulis :

Mt(x’,y’) ¾® (x’’,y’’)

=

=

Sehingga hasilkali Mt.Ms dapat dirumuskan sebagai berikut :

Mt.Ms(x,y) ¾® (x’’,y’’)

= mt.Ms

=

Jadi jika P(0,0) maka

Rp,q(x,y) ¾® (x’,y’)

= atau

= x cos – y sin dan = x sin + y cos

Jadi Rumus Putaran terhadap 0(0,0) adalah

= atau

= x cos – y sin dan = x sin + y cos

3.    Dengan pusat putar di P(a,b).

Anggap ada sumbu berpangkal di P(a,b) dimana sejajar

sumbu x dan sejajar sumbu y

Ambi C( , ) dan C’( , ) dengan sumbu

Rp,q ( , ) ¾®( , ) dengan

=

Koordinat C dan C’ terhadap sumbu XOY

PC’ = OC’ – OP ¾® = – =

=

= ¾® =

Dan seterusnya :

Akhirnya didapat.

Rumus Putaran terhadap P(a,b) adalah

= + dimana

p = – a cos + b sin + a dan q = – a sin – b cos

+ b

Contoh :

Diketahui : g : x – y = 10

a.  carilah R0,-90(g) P(0,0), b. Rp,90 (x,y)

Penyelesaian :

a. carilah R0,-90(x,y)

Rp,q(x,y) ¾® (x’,y’)

= ¾® =

= ¾® =

Sehingga x’ = - y dan y’ = x.

Kenakan x – y = 10 ¾® – y’ – x’ = 10 ¾® y’ + x’ = –10

Contoh : 2

Tunjukkan bahwa : = +

Tunjukan bentuk diatas merupakan putaran dan

cari pusat putar.

Penyelesaian :

= +

= + ¾® = +

Berarti cos q = , sin q = - ¾® cos2q + sin2q = 1

+ = 1, jadi transformasi diatas merupakan putaran.

Misalkan pusat putaran p(a,b), menurut rumus putaran terhadap

P(a,b) adalah

= + dimana

p = – a cos + b sin + a dan q = – a sin – b cos

+ b

1 = a – a. + b. - dan – 1 = b – a. - – b.

sehingga

5 = 2a – 4b dan 5 = 4a + 2b, setelah diproses didapat a = –

dan b = –

Untuk mencari sudut putar (q) maka tg q = = = –

¾® q = arc tg(– )

Hal. 18, No. 4, 5 dan 6

Mencari pusat putaran dapat dikerjakan dengan mencari

titik tetap (dalil.2.5.4) sebagai berikut :

= atau + =

menghasilkan persamaan linier atau

atau

3x + 4y + 5 = 5x → 2x – 4y – 5 = 0 ( I)

– 4x + 3y – 5 = 5y → 4x + 2y + 5 = 0 ( II)

dari persamaan (I) dan (II) diperoleh

x = dan y =

Jadi pusat putaran adalah P ( , )

Contoh : 3

Diketahui = +

a.  Tunjukkan bahwa transfomasi diatas merupakan putaran.

b.  Carilah pusat putar dan sudut putar.

Dalil. 2.7.1.

Sebarang putaran R.p, selalu dapat dianggap sebagai hasilkali

dua pencerminan, satu terhadap s dan satu terhadap t dengan

P = titik(s,t) dan m< (s,t) =

Bukti :

Diketahui titik P dan sudut , maka Rp, tertentu. Tarik

sembarang garis s melalui P, kemudian dilukis garis t melalui P

dengan sudut m<(s,t) = . Maka sesuai dengan pembahasan

dimuka, hasilkali Ms dengan Mt akan memberikan suatu putaran

yang tak lain adalah Rp, .

Dalil. 2.7.2

Rotasi merupakan suatu isometri

Bukti :

Karena (dalil. 2.7.1) rotasi dapat ditulis sebagai Rp, = Mt.Ms

dan sudah diketahui bahwa Ms (juga Mt) adalah transformasi

yang isometri maka dengan dalil 2.1.1 dan dalil 2.2.2 disimpulkan

bahwa Rp, adalah transformasi yang merupakan isometri. Jadi

juga kolineasi.

Sebagai kesimpulan sementara kita peroleh bahwa hasilkali dua

pencerminan akan menghasilkan geseran atau putaran :

SAB bila t // s

Mt.Ms =

Rp,q bila t tidak sejajar dengan s, dengan

kejadian khusus, bila s t, maka Mt.Ms = Hp

= Rp,180 = Rp.–180

Dalil. 2.7.3

=

Bukti : dengan lewat definisi

Dalil. 2.7.4.

Hasilkali . =

Bukti :

Dalil. 2.7.5

Rp, yang Msrupakan involusi hanyalah Hp.

Bukti :

Dalil. 2.7.6

Himpunan Rp, dengan P tertentu, Menyusun grup Abel.

Dalil. 2.7.7

Bila g’ = Rp, (g) maka m<(g,g’) = . Artinya peta putaran

Rp, terhadap suatu garis g akan Ms membentuk sudut

dengan g.

Bukti :

Rumus Putaran

Putaran Ro, dapat dianggap sebagai hasilkali Mt.Ms dengan

s = OX dan t adalah garis Mslalui O bersudut dengan s.

Rumus Ms : =

Persamaan garis t : x cos (900 + ) + y sin (900 + ) = 0

Dengan pencerminan Mt dapat ditulis :

=

=

ehingga hasilkali Mt.Ms dapat dirumuskan sebagai berikut :

=

=

Rumus Putaran terhadap 0(0,0) adalah

= atau

= x cos – y sin dan = x sin + y cos

Rumus Putaran terhadap P(a,b) adalah

= + dimana

p = – a cos + b sin + a dan q = – a sin – b cos

+ b

Group Matriks Tranformasi

1. I = Msnunjukan identitas

2. My = Msnunjukan refleksi terhadap sumbu y atau

terhadap x = 0

3. Mx = Msnunjukan refleksi terhadap sumbu y atau

terhadap y = 0

4. Ml = Msnunjukan refleksi terhadap garis y = x

5. Mm= Msnunjukan refleksi terhadap garis y = - x

6. = Msnunjukan seper empat putaran

7. = Msnunjukan setengah putaran

8. = Msnunjukan tiga per empat putaran atau

seper empat putaran

negatif.

9. Msnunjukan suatu peregangan pada arah sumbu

x , sedemikian

sehingga luas bangun image k kali luas bagun

semula.

= k ; titik – titik pada sumbu y ialah titik –

titik invariant

10. Msnunjukan suatu peregangan pada arah sumbu

y , sedemikian

sehingga luas bangun image k kali luas bagun

semula.

= k ; titik – titik pada sumbu x ialah titik –

titik invariant

11. Msnunjukan suatu peregangan ( k > 0)

Jika matriks ini Msntransformir P ke P’ maka OP’

= k OP

Untuk k > 1 terdapat peregangan (“uniform

stretching”)

Untuk 0 < k < 1 terdapat pengkerutan (“uniform

comprestion”)

1.  Putaran (Rotasi) R.p,

Dari hasil pembicaraan di muka sudah diketahui bahwa hasilkali

dua pencerminan(Refleksi) dengan sumbu saling sejajar adalah

suatu geseran sedang bila sumbu – sumbu saling tegak lurus

Menghasilkan setengah putaran. Bagaimana untuk letak

sebarang bagi kedua sumbu pencerminan ? Inilah yang akan di

bawah. Ambil sebarang sumbu s dan t yang berpotongan di P.

Sebuah titk A sebarang dikenakan Ms kemudian Mt.

Nb. Rp,0 = I dan Rp,1800 = Hp

A’ = Ms(A); dimana A’’ = Mt(A’) = Mt.Ms(A) = (Mt.Ms)(A)

Misalkan Q titik tengah garis (AA’), dan T titik tengah garis (A’A’’)

Karena sifat pencerminan : m< QPA = m<QPA’; sedangkan

m<TPA’ = m<TPA’’. Bila = m<(s,t) maka

m<APA’’ = 2 m< APQ + 2 m< TPA’; m<APA’’ = 2 m< QPA’ + 2

m< A’PT

m<APA’’ = 2 m< QPT = 2 m< (s,t) = 2

Juga dari sifat pecerminan, PA’’ = PA’ = PA, hingga dari

penjabaran di atas diperoleh bahwa hasilkali dua pencerminan

(terhadap s dan terhadap t) Msmberikan PA’’ = PA dan m< APA’’

= 2 m< (s,t) = 2 .

Pemetaan terakhir ini disebut putaran terhadap P dengan sudut 2

. Untuk membahas kejadian umum, sudut dianggap berarah

hingga besarnya dapat positif maupun negative.

b.  carilah RA,270(g) dengan A(- 1, 2)

Rp,q(x,y) ¾® (x’,y’)

= - + ¾®

= - +

Dan seterusnya.

Posted 12th January 2012 by ninikkurnia.blogger.com

Loading Send feedback

untuk persiapan semester Geometri Transformasi, ada beberapa soal yang mungkin bermanfaat untuk dipelajari. contoh soalnya adalah sebagai berikut:

1. Jika T isometri g garis,Tunjukan bahwa TMgT-1 adalah suatu pencerminan dengan garis T(g).

2. Diketahui A(2,3), B ( -4, 7 ) B terletak pada h, GAB= MgMh, tentukan persamaan garis g dan h?

3. Buktikan bahwa komposisi rotasi dengan rotasi adalah suatu rotasi atau translasi, komposisi refleksi geser dengan refleksi geser adalah suatu translasi atau rotasi, komposisi refleksi dengan refleksi adalah translasi atau rotasi, komposisi rotasi dengan refleksi adalah refleksi atau refleksi geser.

4. buktikan rumus dari rotasi dengan pusat A(a,b) diputar sejauh 5. Dipunyai L={(x,y)|x2 + y2 – 6y + 5 = 0}, g = {(x,y)|y = x + 3} ,A(3,2) dan P (2,5)

apakah P terletak pada MgSA(L) tentukan juga MgSA(L)?6. Dipunyai L={(x,y)|x2 + y2 – 6y + 5 = 0}, titik A (1,2) titik B (4,3) tentukan  RB,90

o.RA,-90

o

(L)