ma1201 matematika 2a - · pdf file10.4 persamaan parametrik kurva di bidang ... pada saat t,...

MA1201 MATEMATIKA 2A

Hendra GunawanSemester II, 2016/2017

8 Maret 2017

Kuliah yang Lalu

10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola

10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang

10.5 Sistem Koordinat Polar

11.1 Sistem Koordinat Cartesius di R3

11.2-4 Vektor, Hasilkali Titik, Hasilkali Silang

11.5 Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak SepanjangKurva

11.6 Garis dan Garis Singgung di Ruang

11.8 Permukaan di Ruang

3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 2

Kuliah Hari Ini

10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola

10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang

10.5 Sistem Koordinat Polar

11.1 Sistem Koordinat Cartesius di R3

11.2-4 Vektor, Hasilkali Titik, Hasilkali Silang

11.5 Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak SepanjangKurva

11.6 Garis dan Garis Singgung di Ruang

11.8 Permukaan di Ruang

3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 3

11.5 FUNGSI BERNILAI VEKTOR DANGERAK SEPANJANG KURVA

MA1201 MATEMATIKA 2A

3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 4

• Menghitung limit dan turunan fungsi ber-nilai vektor

• Menentukan kecepatan dan percepatan darisuatu partikel yang bergerak sepanjangkurva yang diketahui persamaan posisinya

Fungsi Bernilai Vektor

Fungsi F yang memetakan tiapbilangan real t ϵ I ke suatu vektorF(t) di R2 atau R3 disebut sebagaifungsi bernilai vektor.

Sebagai contoh,

F(t) = (cos t, sin t), 0 ≤ t ≤ 2π

merupakan fungsi bernilai vektor. Daerah nilai fungsi ini adalahlingkaran yang berpusat di (0,0) danberjari-jari 1.

3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 5

1

F(π/2)

0 2ππ/2

Limit Fungsi Bernilai Vektor

Kita tuliskan apabilauntuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0sehingga

Secara intuitif: semakin dekat t ke c, semakin dekat F(t) ke L.

3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 6

LtFct

)(lim

.)(0 LtFct

F(t), t ≈ cL

Teorema

Misalkan F(t) = f(t)i + g(t)j. Maka F mempunyailimit di c jika dan hanya jika f dan g mempunyailimit di c. Dalam hal ini,

Sebagai akibatnya, F kontinu di c jika dan hanyajika f dan g kontinu di c. Dlm hal ini,

Catatan. Hal serupa berlaku utk fungsi bernilaivektor di R3.

3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 7

.).(lim).(lim)(lim jtgitftFctctct

).()(lim cFtFct

Contoh/Latihan

Tentukan nilai F(0) agar fungsi F yang di-definisikan

menjadi fungsi yg kontinu di setiap titik.

3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 8

,0,1sin

)(

tjt

ei

t

ttF

t

Turunan Fungsi Bernilai Vektor

Misalkan F = (f, g) adalah fungsi bernilai vektor. Turunan F di c didefinisikan sebagai

Berdasarkan teorema tentang limit fungsibernilai vektor, kita dapatkan: jika f dan gmempunyai turunan di c, maka

3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 9

.)()(

lim)('ct

cFtFcF

ct

.)(')(')(' jcgicfcF

Teorema

Misalkan F dan G mempunyai turunan, p fungsiskalar yang mempunyai turunan, dan c skalar. Maka

1.

2.

3.

4.

5.

3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 10

)(')(')]()([ tGtFtGtFDt

)('.)](.[ tFctFcDt

)()(')(')()]().([ tFtptFtptFtpDt

)(')()()(')]()([ tGtFtGtFtGtFDt

))((').('))](([ tpFtptpFDt

Teorema

Misalkan F dan G fungsi bernilai vektor di R3. Jika F dan G mempunyai turunan, maka

6.

Catatan. Dt menyatakan operasi turunanterhadap t.

3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 11

)(')()()(')]()([ tGtFtGtFtGtFDt

Contoh/Latihan

Tentukan apakah fungsi F yang didefinisikansebagai

mempunyai turunan di 0.

3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 12

,0,

,0,1sin

)(

tji

tjt

ei

t

ttF

t

Contoh/Latihan

Diketahui F(t) = (cos t, sin t) dan p(t) = t2. Tentukan:

1. Dt[p(t).F(t)]

2. DtF(p(t))

3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 13

Integral Fungsi Bernilai Vektor

Intergral dari fungsi F = (f,g) yang bernilaivektor di R2 didefinisikan sebagai

Catatan. Integral dari fungsi bernilai vektor diR3 didefinisikan serupa.

3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 14

jdttgidttfdttF .)(.)()(

jdttgidttfdttF

b

a

b

a

b

a

.)(.)()(

Gerak Sepanjang Kurva

Misalkan sebuah partikel bergerak sepanjangsuatu kurva di bidang dengan persamaan

r(t) = f(t)i + g(t)j, t ϵ I,

yakni, pada saat t, vektor posisi partikel tsbadalah (f(t),g(t)).

Maka, kecepatan dan percepatan partikel tsbadalah

v(t) = f’(t)i + g’(t)j, t ϵ I,

a(t) = f’’(t)i + g’’(t)j, t ϵ I.3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 15

Gerak Sepanjang Kurva

3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 16

r(t)

v(t)

a(t)

Contoh

Diketahui sebuah partikel bergerak di bidangdengan persamaan

r(t) = (cos 2t, sin 2t), t > 0.

(a) Tentukan vektor kecepatan dan percepatan-nya.

(b) Periksa bahwa dan . (c) Buktikan bahwa lajunya, yaitu|v(t)|, konstan.

3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 17

)()( tvta )()( trtv

Soal

Diketahui sebuah partikel bergerak di bidang/ ruang dengan r(t) menyatakan vektor posisinyapada saat t. Buktikan bahwa |r(t)| konstan jikadan hanya jika r(t) ● r ’(t) = 0.

3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 18

11.6 GARIS DAN GARIS SINGGUNG DIRUANG

MA1201 MATEMATIKA 2A

3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 19

• Menentukan persamaan garis di ruang, baikdalam bentuk persamaan vektor, persamaanparametrik, atau persamaan Cartesius

Persamaan Garis di Bidang

Persamaan Cartesius garis di bidangyang memotong sumbu-y di P(0,c) dan mempunyai gradien m adalah

y = mx + c.

Persamaan garis ini dapat dinyatakandalam bentuk persamaan parametrik

x = t, y = mt + c,

atau persamaan vektor

r(t) = (t, mt+c) = (0,c) + t(1,m).3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 20

c1

m

Garis melalui (0,c) dan mempunyaivektor arah (1,m).

Persamaan Garis di Bidang

Dari persamaan parametrik

x = t, y = mt + c,

kita dapat pula memperolehpersamaan simetrik

Perhatikan bahwa garis melaluiP(0,c) dan mempunyai vektorarah v = (1,m) terekam dalampersamaan simetrik.3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 21

c1

m

.1

0

m

cyx

Persamaan Garis di Ruang

Persamaan garis yang melalui titik P(x0,y0,z0) danmempunyai vektor arah v = (a,b,c) adalah

r(t) = (x0,y0,z0) + t(a,b,c) … persamaan vektor

x = x0 + ta, y = y0 + tb, z = z0 + tc … p. parametrik

persamaan simetrik

3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 22

...000

c

zz

b

yy

a

xx

Contoh

Diketahui sebuah garis melalui titik P(1,-2,3) danQ(4,5,6). Tentukan persamaan vektor, persamaanparametrik, dan persamaan simetrik garis tsb.

Jawab:

3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 23

Soal 1

Persamaan bidang yang melalui titik P(x0,y0,z0)dan mempunyai vektor normal n = (n1,n2,n3) diberikan oleh (x – x0, y – y0, z – z0)●n = 0.

Tentukan persamaan garis yang merupakanperpotongan dua bidang: 2x – y – 5z = -6 dan4x + 5y + 4z = 9.

3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 24

Garis Singgung pada Kurva di Ruang

Persamaan

r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k

menyatakan sebuah kurva di ruang.

Pada saat t = t0, vektor posisi-nya adalah r(t0) dan vektorsinggung-nya adalah

r’(t0) = f’(t0)i + g’(t0)j + h’(t0)k.

3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 25

r(t0)

r’(t0)

Persamaan Garis Singgung pada Kurva

Persamaan parametrikgaris singgung padakurva tsb di titik P = r(t0) adalah:

x = f(t0) + t.f’(t0),

y = g(t0) + t.g’(t0),

z = h(t0) + t.h’(t0).

3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 26

r(t0)

r’(t0)

P

Contoh

Tentukan persamaan garis singgung pada kurva r(t) = (t, t2, t3) di titik P(1,1,1).

Jawab: r’(t) = (1, 2t, 3t2). Di titik P(1,1,1), t = 1, sehingga r’(1) = (1, 2, 3). Jadi, persamaan garissinggung di P adalah

x = 1 + sy = 1 + 2sz = 1 + 3s

dengan s menyatakan paramater. [Apa hubunganantara s dan t?]

3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 27

Soal 2

Tentukan persamaan garis singgung pada kurvar(t) = (cos t, sin t, t) di titik P(-1,0,π).

3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 28