kalkulus (it 131) - thedigital.files.wordpress.com · kalkulus sudah dipelajari sejak zaman yunani...

Pengantar Kalkulus

ALZ DANNY WOWOR

KALKULUS (IT 131)

Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristen Satya Wacana

Bagian 2

Monday, July 1, 2013

Cakupan Materi

Masalah Luas

Masalah Garis Singgung (Tangen)

Monday, July 1, 2013

Secara mendasar Kalkulus berbeda dengan matematika. Kalkulus tidak begitu statis dan lebih dinamis.

Kalulus terkait dengan perubahan dan gerakan, yang melihat suatu besaran mendekati besaran lain.

Pengantar

Monday, July 1, 2013

1. Masalah Luas

Kalkulus sudah dipelajari sejak zaman Yunani kuno (2500 tahun lalu) yang digunakan untuk mencari luas bidang dengan “metode panghabis”.

Monday, July 1, 2013

Luas dari sembarang poligon diselesaikan dengan:Membaginya menjadi beberapa segitiga (Gambar 1), Menjumlahkan luas dari masing-masing segitiga tersebut.

Gambar 1

Monday, July 1, 2013

Mencari luas bidang melengkung

Masalah menjadi lebih sulit apabila mencari luas suatu bentuk melengkung.

Cara “Metode Penghabis” dilakukan dengan:Meletakan poligon dalam bidang tersebut dan menggambar poligon-poligon disekitar gambar tersebut,

Kemudian membiarkan sisi poligon bertambah banyak.

Monday, July 1, 2013

Gambar 2, Luasan lingkaran didekati dengan poligon didalamnya.

Gambar 2

Andaikan An adalah luas poligon dengan n sisi, maka dengan bertambahnya n, tampak An semakin mendekati luas lingkaran.

Sehingga dapat dikatakan luas lingkaran adalah limit dari luas poligon sebelah dalam,

A = limx→∞

An

Monday, July 1, 2013

Hal yang sama juga digunakan untuk menghitung luasan dibawah kurva seperti pada Gambar 3.

Gambar  3

Monday, July 1, 2013

Luas daerah A dihampiri dengan luas sejumlah persegi panjang (Gambar 4)

Luasan didekati dengan membuat lebar partisi mengecil, dan menghitung A sebagai limit dari jumlah luas semua persegi panjang.

Gambar 4

Monday, July 1, 2013

2. Masalah Garis Singgung

Bagaimana mencari persamaan garis singgung t pada kurva dengan persamaan y = f(x) di titik P, lihat Gambar 5.

Gambar  5

Monday, July 1, 2013

Diketahui bahwa titik P terletak pada garis singung, persamaan t dapat dicari jika mengetahui kemiringan m.

Masalahnya adalah diperlukan dua titik untuk menghitung kemiringan, padahal yang diketahui hanya satu titik, P pada t.

Monday, July 1, 2013

Penyelesain: 1) Mencari hampiran terhadap m dengan mengambil titik yang

berdekatan Q pada kurva dan

2) Menghitung kemiringan mPQ dari tali busur PQ

Diperoleh:

m =f (x) − f (a)x − a

Gambar  6

Monday, July 1, 2013

Bila Q bergerak sepanjang kurva menuju P (Gambar 7), Dapat dilihat talibusur berputar dan mendekati garis singgung sebagai posisi pembatas.

Gambar  7

Monday, July 1, 2013

Sehingga kemiringan mPQ dari talibusur akan semakin mendekati kemiringan m dari garis singgung, dan ditulis

m = limQ→P

mPQ

Monday, July 1, 2013

Sehingga m adalah limit mPQ sewaktu Q mendekati P sepanjang kurva.

Karena x mendekati a seiring Q mendekati P, maka diperoleh

m = limx→a

f (x) − f (a)x − a

Monday, July 1, 2013