kalkulus (it 131) - thedigital.files.wordpress.com · kalkulus sudah dipelajari sejak zaman yunani...

Pengantar Kalkulus

ALZ DANNY WOWOR

KALKULUS (IT 131)

Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristen Satya Wacana

Bagian 2

Monday, July 1, 2013

Cakupan Materi

Masalah Luas

Masalah Garis Singgung (Tangen)


Secara mendasar Kalkulus berbeda dengan matematika. Kalkulus tidak begitu statis dan lebih dinamis.

Kalulus terkait dengan perubahan dan gerakan, yang melihat suatu besaran mendekati besaran lain.

Pengantar


1. Masalah Luas

Kalkulus sudah dipelajari sejak zaman Yunani kuno (2500 tahun lalu) yang digunakan untuk mencari luas bidang dengan “metode panghabis”.


Luas dari sembarang poligon diselesaikan dengan:Membaginya menjadi beberapa segitiga (Gambar 1), Menjumlahkan luas dari masing-masing segitiga tersebut.

Gambar 1


Mencari luas bidang melengkung

Masalah menjadi lebih sulit apabila mencari luas suatu bentuk melengkung.

Cara “Metode Penghabis” dilakukan dengan:Meletakan poligon dalam bidang tersebut dan menggambar poligon-poligon disekitar gambar tersebut,

Kemudian membiarkan sisi poligon bertambah banyak.


Gambar 2, Luasan lingkaran didekati dengan poligon didalamnya.

Gambar 2

Andaikan An adalah luas poligon dengan n sisi, maka dengan bertambahnya n, tampak An semakin mendekati luas lingkaran.

Sehingga dapat dikatakan luas lingkaran adalah limit dari luas poligon sebelah dalam,

A = limx→∞

An


Hal yang sama juga digunakan untuk menghitung luasan dibawah kurva seperti pada Gambar 3.

Gambar 3


Luas daerah A dihampiri dengan luas sejumlah persegi panjang (Gambar 4)

Luasan didekati dengan membuat lebar partisi mengecil, dan menghitung A sebagai limit dari jumlah luas semua persegi panjang.

Gambar 4


2. Masalah Garis Singgung

Bagaimana mencari persamaan garis singgung t pada kurva dengan persamaan y = f(x) di titik P, lihat Gambar 5.

Gambar 5


Diketahui bahwa titik P terletak pada garis singung, persamaan t dapat dicari jika mengetahui kemiringan m.

Masalahnya adalah diperlukan dua titik untuk menghitung kemiringan, padahal yang diketahui hanya satu titik, P pada t.


Penyelesain: 1) Mencari hampiran terhadap m dengan mengambil titik yang

berdekatan Q pada kurva dan

2) Menghitung kemiringan mPQ dari tali busur PQ

Diperoleh:

m =f (x) − f (a)x − a

Gambar 6


Bila Q bergerak sepanjang kurva menuju P (Gambar 7), Dapat dilihat talibusur berputar dan mendekati garis singgung sebagai posisi pembatas.

Gambar 7


Sehingga kemiringan mPQ dari talibusur akan semakin mendekati kemiringan m dari garis singgung, dan ditulis

m = limQ→P

mPQ


Sehingga m adalah limit mPQ sewaktu Q mendekati P sepanjang kurva.

Karena x mendekati a seiring Q mendekati P, maka diperoleh

m = limx→a

f (x) − f (a)x − a


kalkulus (it 131) - thedigital.files.wordpress.com · kalkulus sudah dipelajari sejak zaman yunani...

Documents