jika maka: a a a –a a a -a a a · ij matrik dinamakan kofaktor -ij yaitu (-1) i+j m ij contoh :...

• JIka maka:

• det(A)= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a23 –

a a a – a a a - a a a

=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

a13a22 a13 – a11 a23 a32 - a12 a21 a33

atau

2331

2221

1211

333231

232221

131211

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

A =

−−

−

=

122

011

123

B

Tentukan determinan matriks

Jawab :

123 − 23

( )122

011

123

det

−−

−

=B

)1)(1)(2()2)(0)(3()2)(1)(1()2)(1)(1()2)(0)(2()1)(1)(3( −−−−−−−−+−+=

202203 −−−++=

1=

22

11

23

−−

Misalkan

Beberapa definisi yang perlu diketahui :

=

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

:::

...

...

21

22221

11211

Beberapa definisi yang perlu diketahui :

• Mij disebut Minor- ij yaitu determinan matriks A

dengan menghilangkan baris ke_i dan kolom ke-j

matriks A.

Contoh :

=

2 1 0

1 2 1

0 1 2

A13

1 2

maka 1

0 1

M = =

Cij Matrik dinamakan kofaktor - ij yaitu (-1)i+j Mij

Contoh :

2 1 0

1 2 1

0 1 2

=A

maka

= (– 1)3 (2 – 0)

= – 2

( )1 2

12

1 1 1

0 2C

+= −

2 1 0

Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor

sepanjang baris ke-i

det (A) = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + . . . + ainCin=1

n

ij ij

j

a c=∑

• Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor

sepanjang kolom ke-j

det (A) = a1j C1j + a2j C2j + . . . + anj Cnj =

1j=

1

n

ij ij

i

a c=∑

Hitunglah Det(A) dengan ekspansi kofaktor :

=

2 1 0

1 2 1

0 1 2

A

Jawab :

Misalkan, kita akan menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang bariske-3

2 1 0

1 2 1

0 1 2

=

A

3

3 3 31 31 32 32 33 33

1

det( ) j j

j

A a c a c a c a c=

= = + +∑

( )3 1 4

31 31

1 0( 1) ( 1) 1 (1)(1) (0)(2) 1 0 1

2 1c M+= − = − = − = − =

( )3 2 5

32 32

2 0( 1) ( 1) 1 (2)(1) (0)(1) 1(2 0) 2

1 1c M+= − = − =− − =− − =−

1 1

( )3 3 6

33 33

2 1( 1) ( 1) 1 (2)(2) (1)(1) 4 1 3

1 2c M+= − = − = − = − =

det( ) 0(1) 1( 2) 2(3) 0 2 6 4A = + − + = − + =

Tentukan determinan matriks dengan ekspansi

kofaktor

2 1 1

1 2 1C

=

3 2 0

0 1 0D

− =

= 043

012

A

−

= 217

311

B 1 2 1

1 1 2

C =

0 1 0

4 4 1

D= −

=

200

043A

=

105

217B

1 0 2

2 1 3

4 1 8

E

= −

4 1 8

2 1 3

1 0 2

F

= −

1 0 2

3 1 3

4 1 8

G

= −

1 0 2

6 1 3

4 1 8

H

= −

A mempunyai invers jika dan hanya jika det (A) ≠ 0.

Beberapa sifat determinan matriks adalah :

• Jika A adalah sembarang matriks kuadrat, maka

det (A) = det (At)

• Jika A dan B merupakan matriks kuadrat berukuran• Jika A dan B merupakan matriks kuadrat berukuransama, maka :

det (A) det (B) = det (AB)

• Jika A mempunyai invers maka :

)det(

1)det( 1

AA =−

Misalkan An x n dan Cij adalah kofaktor aij,

maka11 12 1

21 22 2

...

...

: : :

n

n

a a a

a a a

=

A

11 12 1

21 22 1

n

n

C C C

C C C

=

C

L

L

M M O M

Matriks C dinamakan matriks kofaktor A.

Transpos dari matriks ini dinamakan adjoin A,

notasi adj(A)

1 2...

n n nna a a

1 2n n nnC C C

M M O M

L

== TCAadj )(

nnnn

n

n

CCC

CCC

CCC

L

MOMM

L

L

21

12212

12111

• Misalkan A memiliki invers maka :

• Langkah-langkah mencari invers dengan matriks

1 1( )

det( )A adj A

A

− =

• Langkah-langkah mencari invers dengan matriksadjoin :• Tentukan det(A) dengan ekspansi kofaktor

• Tentukan kofaktor dari A

• Tentukan Matriks Kofaktor A

• Tentukan Matriks Adj(A)

Tentukan Matriks Kofaktor, Matriks Adjoin, dan

Invers matriks dari matriks berikut.1 0 2

2 1 3A

= −

Solusi:

2 1 3

4 1 8

A = −

11 12 13

21 22 23

31 32 33

c c c

C c c c

c c c

=

11

1 3

1 8

(( 1)(8) (3)(1))

8 3 11

c−

=

= − −

=− − =−

12

2 3

4 8

((2)(8) (3)(4))

(16 12) 4

c =−

=− −

=− − =−

13

2 1

4 1

((2)(1) ( 1)(4))

(2 4) 6

c−

=

= − −

= + =

21

0 2

1 8

((0)(8) (2)(1))

c =−

=− −

22

1 2

4 8c =

= −

23

1 0

4 1

((1)(1) (0)(4))

c =−

=− − ((0)(8) (2)(1))

(0 2) 2

=− −

=− − = ((1)(8) (2)(4))

0

= −

=

((1)(1) (0)(4))

(1 0) 1

=− −

=− − =−

31

0 2

1 3

((0)(3) (2)( 1))

(0 2) 2

c =−

= − −

= + =

32

1 2

2 3

((1)(3) (2)(2))

1(3 4) 1

c =−

=− −

=− − =

33

1 0

2 1

((1)( 1) (0)(2))

( 1 0) 1

c =−

= − −

= − − =−

• Matriks Kofaktor Matriks Adjoin (adj(A))

• Determinan Matriks A (ekspansi baris ke-1)

11 2 2

( ) 4 0 1

6 1 1

adj A

− = − − −

11 4 6

2 0 1

2 1 1

C

− − = − −

• Determinan Matriks A (ekspansi baris ke-1)

( ) ( )

1 0 21 3 2 3 2 1

det( ) 2 1 3 1 0 21 8 4 8 4 1

4 1 8

1 ( 1)(8) (3)(1) 0 2 (2)(1) ( 1)(4)

( 8 3) 2(2 4) 11 12 1

− −= − = − +

= − − − + − −

= − − + + = − + =

A

• Invers Matriks A

1

11 2 2 11 2 21 1

( ) 4 0 1 4 0 1det( ) 1

A adj AA

−

− − = = − = − det( ) 1

6 1 1 6 1 1A

− − − −

1

11 2 2

4 0 1

6 1 1

A−

− = − − −

• Tentukan invers dari matriks berikut denganmenggunakan matriks adjoin:

2 2 1

1 3 0A

=

1 2 2

2 3 2B

− = −

1 0 2

2 1 3C

= − 1 3 0

5 4 3

A =

2 3 2

1 5 3

B = − −

2 1 3

4 1 8

C = −

2 1 3

4 1 8

1 0 2

D

− =

1 1 6

0 1 4

2 2 11

E

− − = −

1 2 2

3 2 1

5 1 2

F

− = −

Operasi baris elementer meliputi :

1. Pertukaran Baris

2. Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol

3. Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan

konstanta tak nol (seperti butir 2) dengan baris

yang lain.

Contoh : OBE 1 Pertukaran Baris

=

4 2 0

3 2 1

1- 2- 3-

A

↔

4 2 0

1- 2- 3-

3 2 1

~21 bb

Baris pertama (b1)

ditukar dengan

baris ke-2 (b2)

• Contoh : OBE 2

Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol

• Contoh : OBE 3

Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan konstanta

=

3 1 1- 2

7 1 2 0

4- 0 4- 4

A 1

1 -1 0 -1 1

~ 0 2 1 74

2 -1 1 3

b

Perkalian Baris

pertama (b1)

dengan

bilangan ¼

Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan konstanta

tak nol dengan baris yang lain.

=

3 1 1- 2

7 1 2 0

1- 0 1- 1

A 1 3

1 -1 0 -1

2 ~ 0 2 1 7

0 1 -1 5

− +

b b

Perkalian (–2)

dengan b1 lalu

tambahkan

pada baris ke-

3 (b3)

1 1 1 3

0 0 2 1

0 0 0 0

− =

B

� Baris pertama dan ke-2 dinamakan baris tak nol, karena pada kedua baris tersebut memuat unsur tak nol.

� Bilangan 1 pada baris pertama dan bilangan 2 pada baris ke-2 dinamakan unsur pertama tak nol pada baris masing-masing.

� Bilangan 1 (pada baris baris pertama kolom pertama) dinamakan satu utama.

� Baris ke-3 dinamakan baris nol, karena setiap unsur pada baris ke-3 adalah nol.

1. Pada baris tak nol maka unsur tak nol pertama

adalah 1 (dinamakan satu utama).

2. Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah

memuat 1 utama yang lebih ke kanan.

3. Jika ada baris nol (baris yang semua unsurnya nol), 3. Jika ada baris nol (baris yang semua unsurnya nol),

maka ia diletakkan pada baris paling bawah.

4. Pada kolom yang memuat unsur 1 utama, maka

unsur yang lainnya adalah nol.

� Matriks dinamakan esilon baris jika

dipenuhi sifat 1, 2, dan 3

� Matriks dinamakan esilon baris tereduksi jika

dipenuhi semua sifat 1, 2, 3, dan 4

• Tentukan matriks esilon baris tereduksi

dari:

• Solusi

1 -1 0 -1

0 -2 2 8

3 1 -1 2

=

A

• Solusi

1 3

1 -1 0 -1

~ 3 0 -2 2 8

0 4 -1 5

− +

b b

1 -1 0 -1

0 -2 2 8

3 1 -1 2

2

1 -1 0 -1 1

~ 0 1 -1 -42

0 4 -1 5

−

b 2 3

1 -1 0 -1

~ 4 0 1 -1 -4

0 0 3 21

− +

b b

3

1 -1 0 -1 1

~ 0 1 -1 -43

0 0 1 7

b3 2

1 -1 0 -1

~ 0 1 0 3

0 0 1 7

+

b b

2 1

1 0 0 2

~ 0 1 0 3

0 0 1 7

+

b b

Perhatikan hasil OBE tadi :

1 0 0 2

0 1 0 3

0 0 1 7

�Setiap baris mempunyai satu utama.

�Tidak setiap kolom memiliki satu utama, karena

Jumlah baris lebih sedikit dari jumlah kolom

(kolom 4 tidak mempunyai satu utama)

0 0 1 7

Tentukan bentuk eselon baris tereduksi dari matriks

berikut:

1. 2.

2 5 1 1

1 3 0 1

−

3 5 2 2

2 3 4 3

− −

3. 4.

2 3 4 2 − − −

3 4 13 2

1 2 3 1

2 1 11 3

− − − − − − −

2 3 4 3

1 2 1 1

− −

4 6 3 1

1 2 1 2

3 7 2 3

− − − −