homomorfisma grup ( lanjutan )

HOMOMORFISMA GRUP (Lanjutan)

Teorema VII.2Misalkan < G, . > grup dan < B,* > sistem aljabar dengan

operasi *.Maka fungsi f : G B mengawetkan operasi maka Im(f)

merupakan grup terhadap operasi * yang termuat dalam sistem B.

Bukti: Dengan sedikit perubahan pada pembuktian Teorema

VII.1 maka dapat dibuktikan sifat ketertutupan, identitas dan hukum invers. Tinggal dibuktikan bahwa hukum assosiatif berlaku.

Misalkan f(a), f(b), f(c) dalam f(G). Pada satu sisi, ( f(a)*f(b) ) * f(c) = f(ab)*f(c) = f((ab)c) Sedangkan pada sisi lain, f(a) * (f(b)*f(c)) = f(a)*f(bc) = f(a(bc)) Karena G grup maka (ab) c = a (bc) sehingga kedua

hasil di atas sama.

Definisi VII.4Misalkan f : G H homomorfisma grup.

Inti dari f atau Ker(f) didefinisikan sebagai anggota G yang dipetakan oleh f ke anggota identitas dari H yaitu

Ker(f) = { x G | f(x) = e }.

Contoh VII.7Bila didefinisikan pemetaan f : Z20*

Z20* dengan f(x) = x2 maka dengan menggunakan metode trial and error akan diperoleh

Ker(f) = { 1, 9, 11,19 }.

Teorema VII.3Jika f : G H homomorfisma grup

maka Ker(f) grup bagian dari G.Bukti :Akan dibuktikan bahwa e dalam

Ker(ƒ).Telah ditunjukkan bahwa f(e) =

e.Akibatnya identitas e dalam G

merupakan anggota Ker(f).

Akan ditunjukkan bahwa Ker(ƒ) tertutup.Misalkan x, y dalam Ker(f).Karena x, y dalam Ker(f) maka f(x) = e dan f(y)

= e sehingga(xy) = f(x) f(y) = e e= e.Oleh karena itu , xy dalam Ker(f).Akan ditunjukkan bahwa Ker(ƒ)mengandung

invers dari anggotanya.Misalkan x dalam Ker(f).Karena x dalam Ker(f) maka f(x) = e sehingga f(x) = ef(x) f(x-1) = e f(x-1) f(x x-1) = f(x-1) f(e)= f(x-1) e= f(x-1)Berarti x-1 dalam Ker(f).■

Teorema VII.4Misalkan f : G H homografisma

grup dengan peta f(g). Sifat-sifat berikut ini berlaku :

Jika G berhingga maka orde dari f(G) membagi orde G.

Jika G siklik maka f(G) siklik.Jika a G mempunyai orde

berhingga maka order dari f(a) membagi order a.

Jika G abelian maka f(G) abelian.

Contoh VII.8 : Fungsi f : dengan f(x) = 8x merupakan

homomorfisma 2 ke 1.Karena f(0) = 0 dan f(5) = 0 maka

K=Ker(f) = { 0, 5 }. Koset dari K dibawa ke anggota dari

peta f yaitu 10 anggota dibawa dalam 2 ke 1 cara ke 5 anggota peta f.

{ 0 , 5 } 0{ 1 , 6 } 8{ 2 , 7 } 6{ 3 , 8 } 4{ 4 , 9 } 2

Teorema VII.5Misalkan f : G H homomorfisma

grup dengan inti Ker(f) dan peta f(G).

Sifat-sifat berikut ini berlaku :Fungsi f injektif jika dan hanya

jika Ker(f)={ 0 } Jika f injektif maka G isomorfis

dengan f(G).

Contoh VII.9 : Didefinisikan pemetaan f : Z Z

dengan aturan f(x) = 3x.Karena f(x+y) = 3(x+y) = 3x+3y =

f(x) + f(y) maka f homomorfisma.Penyelesaian persamaan 3x = 0

adalah x = 0 sehingga Ker(f) = { 0 } atau f injektif.

Dengan menggunakan teorema maka Z isomorfis dengan Im(f) = { 3x | x dalam Z } = (3)

yang merupakan grup bagian sejati dari Z.■

Soal VII.1Misalkan diketahui R himpunan

bilangan real dan R* = R – {0}. Didefinisikan f : R* R* dengan f(x)

= x2 Buktikan f homomorfisma tetapi f tidak injektif.

Jawab :Berdasarkan Contoh VII.4, dengan

mengingat R* grup terhadap operasi perkalian maka f homomorfisma tetapi

Ker(f) = { x R* | f(x) = x2 = 1 } = { 1, -1 } ≠ { 1 }

sehingga f tidak injektif.

LatihanTentukan fungsi ini

homomorfisma atau bukan.◦f : Z R* dengan f(k) = 2 .◦f : R R dengan f(x) = x .◦f : Z Z dengan f(k. 1) = k. 1.

Jika pada soal nomor 1 di atas homomorfisma maka tentukan intinya.

Diketahui f : R R+ dengan f(x) = 2-x. Tunjukkan bahwa f homomorfisma yang injektif dengan uji kernel.

TERIMA KASIH